CONCOURS D ADMISSION Filière MP (Durée de l épreuve : 3 heures) (L usage d ordinateur ou de calculette est interdit).

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1 A 2003 Math MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D ADMISSION 2003 ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière MP (Durée de l épreuve : 3 heures) (L usage d ordiateur ou de calculette est iterdit). Sujet mis àladispositiodescocours: Cycle Iteratioal, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP. Les cadidats sot priés de metioer de faço apparete sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES -Filière MP. Cet éocé comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, u cadidat repère ce qui lui semble être ue erreur d éocé, il le sigale sur sa copie et poursuit sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il est ameé à predre. Première partie Le but de cette première partie est d établir des résultats qui serot utiles das la secode partie. État doé uetier strictemet positif ( ), soiet S et I les deux réels défiis par les relatios ci-dessous : S = dy ; I = dx i + j x + y +. i=0 j=0

2 Itégrale I.. Calculer, pour toute valeur de l etier strictemet positif, l itégrale I. 2. Détermier les costates A, B, C et D figurat das le développemet limité delafoctio I à l ifii qui s écrit sous la forme suivate : I = A+ B l + C + D ( ) + o. Somme S : 3. Établir u ecadremet du réel S à l aide de I. 4. E déduire que la somme S est équivalete à l ifii à2 l 2. Soit J l itégrale suivate : J = ( 0 k=0 ) 2 x k dx. Itégrale J : 5. Détermier la relatio qui lie l itégrale J au réel S.Edéduire, lorsque l etier croît idéfiimet, u équivalet de J à l ifii. Secode partie Soit E u espace préhilbertieréel ; soit (x, y) (x y) le produit scalaire de cet espace. La orme d u vecteur x de E, déduite de ce produit scalaire est otée x. État doé uréel µ supérieur ou égal à(µ ), ue suite de vecteurs d u espace euclidie E, de dimesio fiie, x,x 2,..., x est dite µ-presque orthogoale (e abrégé µ-p.o.) si et seulemet si : i. les vecteurs x, x 2,..., x sot de orme uité, ii. pour toute suite fiie de réels a, a 2,..., a la orme du vecteur a i x i vérifie la double iégalité suivate: (a i ) 2 2 a i x i µ (a i ) 2. µ Plus gééralemet : ue suite déombrable (x k ) k N de vecteurs uitaires d u espace préhilbertie réel est dite presque orthogoale (p. o.), si et seulemet s il existe u réel µ tel que, pour tout etier strictemet positif, pour toute suite extraite x k, x k2,..., x k de la suite (x k ) k N et pour toute suite fiie de réels a, a 2,..., a, la orme du vecteur a i x ki vérifie la relatio suivate : 2

3 µ (a i ) 2 2 a i x ki µ (a i ) 2. Remarque : la suite des idices k,k 2,..., k de la suite extraite x k,x k2,..., x k, est ue suite mootoe strictemet croissate k <k 2 <... < k. Premières propriétés : Soit E u espace euclidie de dimesio. 6. Démotrer que, pour qu ue suite de vecteurs x, x 2,..., x soit ue base orthoormée de E, il faut et il suffit qu elle soit ue suite -presque orthogoale. 7. Démotrer que, si ue suite de vecteurs x, x 2,..., x de E est µ-presque orthogoale, la suite est libre. U exemple : Soit E l espace vectoriel des foctios réelles défiies et cotiues sur le segmet [0, ] ; le produit scalaire de deux foctios f et g de E est défii par la relatio suivate : (f g) = 0 f (x) g (x) dx. Soit (P ) N la suite des foctios de E défiies par la relatio suivate : P (x) = 2 +x. 8. Démotrer que, bie que la suite des foctios P de orme uité soit libre, la suite (P ) N est pas presque orthogoale. Soit (V, V 2,..., V ) ue suite libre de vecteurs idépedats uitaires d u espace euclidie E de dimesio. Soit M la matrice carrée d ordre dot les élémets m ij sot égaux aux produits scalaires des vecteurs V i et V j. M =(m ij ) ; m ij =(V i V j ). État doée ue suite de réels a,a 2,..., a, soit A le vecteur de R de coordoées a, a 2,..., a et W le vecteur égal à la combiaiso liéaire des vecteurs V, V 2,..., V avec les coefficiets a, a 2,..., a : A = a a 2... a ; W = a i V i. La suite de vecteurs (V, V 2,..., V ) est µ-presque orthogoale : 9. Démotrer l existece d ue matrice carrée P orthogoale et d ue matrice diagoale D dot tous les élémets de la diagoale sot différets de 0, telles que : 3

4 M = t P.D.P. 0. Établir la relatio qui lie la orme du vecteur W au réel t A.M.A ; t A désige la matrice trasposée de la matrice coloe A.. E déduire que les élémets de la matrice D sot strictemet positifs, puis e déduire u ecadremet de la orme du vecteur W à l aide des valeurs propres de la matrice M et de la orme du vecteur B égal à l image par la matrice P du vecteur A (B = P.A). 2. E déduire que la suite (V, V 2,..., V )est µ-presque orthogoale ; préciser des valeurs possibles pour le réel µ. Soit maiteat (V ) ue suite déombrable de vecteurs uitaires d u espace préhilbertie réel E. Ue coditio suffisate : 3. Démotrer que, s il existe u réel α, strictemet supérieur à3(α>3), tel que le produit scalaire de deux vecteurs V p et V q soit majoré e valeur absolue par le réel α p q,c est-à-dire : (V p V q ) α, p q la suite (V ) est presque orthogoale. Deux questios prélimiaires : 4. Soit f la foctio défiie das le quart de pla [, [ [, [ parla relatio suivate : : 2y + 2xy + f (x, y) =. y + xy + Soit G la foctio, défiie sur la demi-droite [, [, par la relatio suivate G (x) = lim f (x, y). y Étudier les variatios des six foctios défiies sur la demi-droite fermée [, [ par les relatios suivates : x f (x, ) ; y f (, y) ; G : x lim f (x, y) ; y y lim f (x, y) ; f y : x f (x, y); f x : y f (x, y). x 4

5 5. Soit γ u réel strictemet compris etre 0 et (0 <γ<). Démotrer l existece d ue foctio ϕ γ, défiie sur la demi-droite fermée [, [, telle que, pour tout réel y de la demi-droite [, [, la relatio ci-dessous soit vérifiée : f (ϕ γ (y), y)=γ. Démotrer l existece d u réel β tel que la foctio G, défiie ci-dessus, pree la valeur γ e ce poit : G (β) =γ. Démotrer que ce réel β est strictemet supérieur à et est u miorat de l image par ϕ γ de la demi-droite fermée [, [. Soit (P ki ) ue suite extraite de la suite des polyômes cosidérés àlaquestio 8. L applicatio i k i est ue suite strictemet croissate. Pour simplifier les otatios, soit Q i le polyôme P ki : Q i = P ki. Étude de la suite (Q i ) i 0 : 6. O choisit ue suite (k i ) i 0 telle que la suite (Q i ) i 0 soit presque orthogoale. Démotrer que le réel µ etrat das la défiitio de la presque orthogoalité est strictemet supérieur à (µ>). Démotrer qu il existe u réel β, strictemet supérieur à (β>), tel que, pour tout idice i, les idices k i et k i+ soiet liés par la relatio suivate : k i+ βk i. FINDUPROBLÈME 5

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