Evaluation de la saisonnalité mobile due au calendrier lunaire sur les séries chronologiques par application du modèle espace d'état

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1 Résumé Evaluaio de la saisoalié mobile due au caledrier luaire sur les séries chroologiques par applicaio du modèle espace déa Ibrahim Amrai, Abedelhalim Salli Ecole Mohammadia d Igéieurs Dépareme Géie idusriel BP 765, Agdal, Raba, Maroc ibrahim_amrai@yahoo.r, salli@emi.ac.ma La décomposiio des séries chroologiques e edace, cycle, composae saisoière e résidu, savère das plusieurs cas, isuisae das la mesure où la présece dauocorrélaio es remarquée au iveau du résidu. Lexracio daures composaes es doc écessaire. Parmi elles, il es possible de cier les composaes dévéemes liés au caledrier Hégirie : Ramada e les êes religieuses aisi que la composae du caledrier. La paricularié des premiers évéemes es leur mobilié par rappor au caledrier Grégorie. Das ce aricle, le modèle espace déa es uilisé pour modéliser des séries chroologiques mesuelles e les composaes préciées so iroduies. Liérê de ce modèle es quil perme de modéliser les ees ixes e variables. Les paramères du modèle so esimés par maximisaio de la ocio vraisemblace e uilisa ue méhode quasi ewoiee. Chaque composae es maieue au modèle que si elle perme le respec des ess de validaio. Le crière diormaio de Aaie (AIC es uilisé pour choisir ere les modèles qui vériie ces ess. Mos clés : Caledrier Hégirie; Composae du caledrier; Crière AIC; Modèle espace déa; Tess de validaio. Summary I may cases, he decomposiio o ime series io red, cycle, seasoal compoe ad residual, is isuicie isoar as here is a auocorrelaio a he level o he residual. The exracio o oher compoes is hereore ecessary. Amog hem, we ca meio he compoes o eves relaed o he Hegiria caledar: Ramada, religious eass ad also he radig day compoes. The speciiciy o he irs eves is heir mobiliy i he Gregoria caledar. I his paper, he sae space mehod is used o model mohly ime series ad he above-meioed compoes are iroduced. The advaage o his orm is ha i ca model boh he ixed ad variable eecs. The parameers o his model are esimaed hrough he maximizaio o he lielihood ucio usig a quasi-newo mehod. Each compoe is maiaied i he model oly i he validaio ess are saisied. The Aaie iormaio crierio (AIC is used o choose amogs he models which respec hese ess. Key words: AIC crierio; Hegiria caledar; Sae space model; Tradig day compoes; Validaio ess. Revue MODULAD, Numéro 39

2 Iroducio Toue acivié écoomique es iluecée par des évéemes qui so soi excepioels (accides, grève ec ou qui présee des caracères qui leurs so propres (êes, vacaces ec. E prea le caledrier Grégorie comme réérece pour les daes, u évéeme es di mobile si sa dae chage d ue aée à ue aure. Lexemple le plus cou e occide es la êe de Pâques qui a lieu chaque aée ere le mars e le 5 avril. Du aure côé, Ramada es le euvième mois du caledrier Hégirie qui ixe les daes des êes musulmaes. Ce caledrier luaire recule chaque aée due dizaie de jours par rappor au caledrier Grégorie e ce recule es lorigie de la mobilié des évéemes qui lui so associés. Ce ype de êe egedre das la sociéé, des comporemes spéciiques e similaires à u ee de saiso. Doù lappellaio de saisoalié mobile. L obje de cee éude es dévaluer lee des évéemes mobiles sur les séries chroologiques uidimesioelles. Igorer ces évéemes peu compliquer lideiicaio des modèles e empêcher leur validaio, voir Bell, R.W e Hillmer, S.C. (983. Ce problème des évéemes mobiles a ue dimesio uiverselle das la mesure où il ouche diverses régios du mode. Plusieurs aueurs lo abordé, Liu, M.L (98 a développé u moye de déecio de la présece due saisoalié mobile sur les séries chroologiques. Bell, R.W e Hillmer, S.C (983 o comparé la qualié des modèles (avec e sas la composae de saisoalié mobile. Ue elle comparaiso peu êre cosidérée comme u moye de déecio. Morris, N.D e Peerma, D (984 o uilisé le modèle dyamique liéaire pour évaluer lee de la saisoalié mobile. Liérê de ce ouil, es quil perme de modéliser les phéomèes sochasiques, alors que Liu, M.L (98 a imposé ue évoluio liéaire e Bell, R.W e Hillmer, S.C (983 se so resreis aux phéomèes déermiises. Alper, E.C e Aruoba, S.B ( se so limiés égaleme au cas déermiise. Leur éude das le domaie des réqueces peu êre cosidérée comme u aure moye pour jusiier liégraio due composae de saisoalié mobile das u modèle. Le modèle espace déa es équivale au modèle dyamique liéaire. Il es appliqué das ce aricle comme il a éé éudié das Harvey, A.C (989 e Durbi, J e Koopma, S.J (. Les modèles cosruis compore ue edace, u cycle, ue composae saisoière, ue composae de la saisoalié mobile e la composae du caledrier. Lobjeci es dobeir des modèles coormes aux ess de validaio e le crière AIC es uilisé pour choisir ere les modèles valides. Chaque composae do la présece das le modèle perme la validaio des ess, es reeue que si elle améliore le crière AIC. Le modèle espace déa es cosiué de deux équaios : la première appelée équaio de mesure, exprime la série sous orme du veceur déa, la secode es appelée équaio déa, elle radui le ai que le veceur déa sui u processus auorégressi dordre. Lapplicaio du modèle espace déa revie à appliquer u algorihme cou sous le om de ilre de Kalma. Le ilrage à u isa, es la projecio de léa du sysème sur les valeurs de la série, dispoibles à ce isa. Les composaes du veceur déa, cosidérées das ce aricle so supposées o saioaires. Das ce cas, lalgorihme de Roseberg éudié par Harvey A.C (989, es uilisé pour iiialiser le ilre de Kalma. Les paramères icous du modèle espace déa so esimés par maximisaio de la ocio vraisemblace. Ue méhode quasi-ewoiee es uilisée pour raier ce problème dopimisaio. Das la secio, le modèle espace d éa es déii avec les diérees composaes qui peuve modéliser ue série. La secio 3 compore la préseaio du ilre de Kalma e le raieme de so iiialisaio. La méhode BFGS (Broyde, Flecher, Goldarb, Shao uilisée pour Revue MODULAD, Numéro 39

3 maximiser la ocio vraisemblace, es décrie, aisi que les diéres ess de validaio e le crière AIC. La secio 4 raie lapplicaio du modèle espace d éa sur des séries mesuelles marocaies. Le modèle espace d éa : u ouil pour modéliser les séries chroologiques. Soi y ue série emporelle, léquaio de mesure es : y = zα + e léquaio de rasiio es α = T α + Rη, =,...,, z es u veceur ( m, déermiise, es u brui blac ormal, despérace ulle e de variace σ, T es ue marice ( m, m déermiise, appelée marice de rasiio e η es u veceur brui blac ormal, ceré, de marice de covariace σ Q. Les composaes de η, so souve supposées idépedaes pour simpliier la orme de la marice Q. La marice R es ue marice déermiise : elle peu par exemple sélecioer les composaes du veceur d éa α do les perurbaios so o ulles. Pour compléer cee déiiio, il va alloir supposer que : (i le veceur iiial α sui ue loi ormale de moyee a e de marice de covariace P (ii les perurbaios e η so idépedaes ere elles e avec α E( η =, E( α s s, =,...,, = e E( η α =, =,...,. Das cee déiiio, la marice de covariace de la perurbaio η es exprimée e ocio de la variace de. Das la suie de ce aricle, les variaces vo êre exprimées de la même aço. Cee maière de procéder, perme dexprimer le ombre des paramères icous. La première équaio idique que le veceur cosiué des composaes qui l iluece : σ α e ocio des aures variaces, ce qui dimiue explique la série das la mesure où ce derier es b = zα = μ + c + γ + xδ + diφi + i= y + La orme de cee équaio idique que la série éudiée sui u schéma addii. Si la série sui u schéma muliplicai, il sui de lui appliquer la ocio logarihmique. Le es de Buys-Ballo proposé par Bourboais, R e Terraza, M (4 perme de choisir ere les deux schémas. La edace idique le mouveme à log erme de la série, à chaque isa cee composae es composée de deux variables : la première idique le iveau e l aure idique la pee. μ = μ + β + ξ β = β + ζ Si ζ es ul alors la pee es cosae, sio elle varie das le emps. Les variaces de ξ e ζ so respeciveme σ σ ξ e σ σ ζ Le cycle es u mouveme oscillaoire qui se superpose à la edace e qui s éed sur plusieurs aées. Das le modèle o saioaire proposé par Harvey, A.C (989, iervie u processus auxiliaire ~ c el que : c ~ cos( λc si( λc c- w ~ = si( cos( ~ + ~ c λc λc c- w μ Revue MODULAD, Numéro 39

4 La variace de w ~ e de w ~ es σ σ. es la réquece du cycle, elle peu êre esimée e w ~ λ c maximisa la vraisemblace du modèle. π/λc es la période du cycle. La composae saisoière es ue lucuaio périodique qui s iscri das le cadre d ue aée e réapparaî chaque aée. Cee variaio es déecée par des doées mesuelles ou rimesrielles. Lee des êes do la dae es ixée par le caledrier Grégorie (caledrier de réérece es iclus das la composae saisoière. Pour modéliser cee composae, la orme rigoomérique proposée par Harvey, A.C (989 a éé choisie : [ s/ ] γ = γj Où j= γ = γ cos λ + γ si λ + w j j j = γ j γ si λ + γ cos λ + w j-j j-j j j j j πj s éa le ombre de saisos ( s = pour des doées mesuelles e λ j = j =,...,[ s / ]. s La variace de e es σ e [ s /] désige la parie eière de s / w j w j σ w La composiio des jours peu diérer d u mois à u aure e cee diérece peu iluecer l allure d ue série chroologique. Parmi les exemples les plus remarqués, o peu cier le chire d aaires des ceres commerciaux, qui augmee sesibleme peda les wee-eds. Pour u mois qui compred ciq wee-eds, il es rès probable que so chire d aaires soi supérieur à celui d u mois qui e compred que quare wee-eds. Le calcul de l ee caledrier a éé eecué par Dagum, E.B e al (99, Harvey, A.C (989 e Bell, W.R (4, qui o cosidéré le modèle sochasique. L ee de la composae du caledrier es x δ = 7 i( yi - y = i= y i 6 i= ( i -7( yi-y i es le ombre du jour i apparea au mois, es la moyee du jour i, relaive au mois 7 e y = yi 7 i= Das les aricles de Dagum, E.B e al (99 e Bell, W.R e Mari, Doald E.K (4, δi = yi-y e x =, i,...,6. i i i 7 = δ es le paramère du jour i relai au mois, i =,,6. Pour dimache cosidéré comme jour de réérece : δi δ 7 = y 7 - y = - 6 i= δ i peu êre soi ixe ou variable. Das ce derier cas δ + χ avec χ (χ,...,χ es u i = δi veceur brui blac ceré, de marice de covariace. Das Dagum, E.B e al (99, es I 6 σ Q χ choisie égale à, ( éa la marice ideié d ordre (6,6, alors que das Bell W.R (4, Q χ σ = O σ χ I 6 i = 6 Q χ. Noos que das ces deux aricles, les perurbaios so o corrélées ere σ 6 Revue MODULAD, Numéro 39

5 elles mais elles so corrélées avec la perurbaio du sepième jour qui es cosidéré comme jour 6 de réérece, e ee, si χ 7 = δ7 δ7-, alors χ 7 = δi δi- = χ χ 6. Le choix du jour i= de réérece es arbiraire, e impore quel jour peu êre choisi comme jour de réérece, mais les propriéés de ce jour diére des aures jours. Bell, W.R e Mari, Doald E.K (4 cosidère cee caracérisique comme u icovéie de ce modèle. Cee remarque es accepée das le cadre du jugeme global de ce modèle. Mais e e cosidéra que le côé calcul, aucu reproche apparaî, das la mesure quue ois le jour de réérece es choisi, six perurbaios o corrélées so uilisées das le modèle e cee propriéé de corrélaio déduie de léquaio χ 7 = χ χ 6 apparaî e aucu mome au iveau des calculs relais à lesimaio des paramères icous. Du aure côé, Harvey, A.C (989 a implicieme supposé que y i = yi- + χ i, i =,...,7, e χ i so des brui blacs cerés, muuelleme idépedas, de variace commue σ σ χ. Das ce cas les bruis χ i, i =,,7, so corrélés e il es acile de calculer cov( χ i,χ j qui es 6 σ σ si i = j χ 7 égale à σ χ -σ si i j 7 Bell, W.R & Mari, Doald E.K (4 cosidère cee orme plus resricive que celle de Bell, W.R (4. E ee, ous pesos quil es peu-êre plus praique de cosruire des bruis o auocorrélés pluô que des bruis auocorrélés due maière précise. Bell, W.R e Mari, Doald E.K (4 o égaleme proposé ue rasormaio rigoomérique pour doer à la marice de covariace du modèle de Harvey, A.C. (989, ue orme diagoale e se coormer au logiciel quils uilise. Das ce aricle, le modèle de Harvey, A.C (989 peu êre uilisé sas avoir à rasormer la marice de covariace. Pour chaque évéeme mobile i, il es aribué u iervalle de logueur jours, das lequel l iluece de ce évéeme, exercée sur la série es la même. Bell, R.W e Hillmer, S.C (983 o pris ue même logueur de ce iervalle pour les diérees aées de la série, alors que das ce aricle, τ i peu chager d ue aée à ue aure pour u même évéeme. E ee, u ombre es ixé à τ i mais chaque aée où le premier ou le derier jour de ce iervalle coïcide avec u wee-ed alors ce derier y es iclus. d i es la proporio des jours du mois, qui appariee à τ i. Pour les mois qui e coïcide pas avec ce iervalle, d i es ul. φi es le paramère de l évéeme mobile i, il es gééré par u processus de premier ordre : φ i = φi + θ, θ éa u brui blac ceré de variace σ σ θ. Le caledrier de lhégire es composé de mois, la durée des mois es 9 ou 3 jours. Ces aisi que le ombre de jours due aée Hégiriee es iérieur à celui due aée Grégoriee. Cee diérece eraîe le recul du premier caledrier par rappor au secod. Au Maroc, chaque 9 ème jour du mois Hégirie, la lue es surveillée, si elle es observée, le mois suiva débue le ledemai, sio le mois coura dure 3 jours. Les évéemes mobiles cosidérés das ce aricle so les suivas : τ i Revue MODULAD, Numéro 39

6 Ramada es le euvième mois du caledrier Hégirie, les musulmas jeûe peda ce mois qui es caracérisé par des habiudes e des comporemes bie spéciiques. Fir es le premier jour du mois de Chaoual, successeur du mois de ramada. C es ue êe religieuse das laquelle deux jours de cogé so accordés Adha es la êe du sacriice, chaque amille égorge u mouo e cee praique es oreme suivie par la sociéé. Cee êe a lieu le dixième jour du mois de Hija e deux jours de cogé so accordés. C es aussi la période du cogé auel de cerais méiers comme les maços. Maoulid es l aiversaire du prophèe Mohammed, il a lieu le douzième jour du mois de Rabi. Deux jours de cogé so accordés. Suie au recul du caledrier Hégirie par rappor au caledrier Grégorie, des périodes du mois Hégirie peuve êre recorées à deux reprises das ue aée Grégoriee. Par exemple, das laée, le mois de javier a coïcidé avec 7 jours du mois de Ramada de laée de lhégire 4, e le mois de décembre a coïcidé avec 7 jours du mois de Ramada de laée 4. Ce scéario e pose aucu problème pour lévaluaio de lee du évéeme mobile das la mesure ou ce derier es représeé par ue variable idicarice das chaque mois du caledrier Grégorie. Les composaes e évéemes préciés so sochasiques si la variace du brui correspoda es sriceme posiive. Lorsquelle es ulle, ils so ixes ou déermiises e das ce cas φ φ, =,...,. = Lorsquo modélise ue série doée, il es coura de remarquer la présece de valeurs aberraes. Celles-ci so dues à des siuaios excepioelles : accides, grèves, ec. Pour palier à ce problème, o ajoue au iveau de léquaio de mesure ue variable idicarice δ relaive à la valeur aberrae ( δ = si = e δ = si, éa lisa de la valeur aberrae, e muliplié par u paramère b icou e ixe ( b = b qui es ue composae du veceur déa. α Le résidu regroupe les lucuaios irrégulières e imprévisibles auour de la edace e qui e peuve êre aribuées à liluece des composaes préciées. 3 Le modèle espace d éa 3- Le ilre de Kalma Soi a / la meilleure approximaio de α basée sur liormaio dispoible à la dae : a / = E(α /y,...,y. Lerreur quadraique moyee de ilrage sur α à la dae es σ P = E[ (α a (α a ] A la dae -, a = / E(α /y,...,y es la prévisio de α Lerreur quadraique moyee de prévisio es σ P / = E[ (α a/ (α a/ ] La prévisio de y aie à lisa - es ~ y E(y /y,...,y. /- = / / / Revue MODULAD, Numéro 39

7 Le ilre de Kalma es u algorihme qui perme u calcul récursi de ces gradeurs. v peu êre cosidérée comme la parie de E(α /y,...,y,y E(α /y,...,y,v = y o corrélée avec y,..., y, ce qui eraîe que a / = E( α /y,...,y,v = E( α /y,...,y + cov( α,v ( σ v a / = a / + P / z v σ P / = E[ (α a/ (α a/ ] = var (α /y,...,y,v = σ P / (voir Durbi J e Koopma S.J ( (voir Durbi J e Koopma S.J ( P P P z z P / = / / / cov( α,v ( σ cov( α,v Léquaio de rasiio implique que a Léquaio de mesure implique que ~ y T a = / / /- = z a / e P + / = T P / T RQR σ = var (z((α a/ + = zσ P / z + σ = z P / z + 3- Esimaio des codiios iiiales Léquaio de rasiio es supposée o saioaire. Pour se assurer, il sui de vériier que les modules des valeurs propres de la marice de rasiio so supérieurs à. /- 3-3 Calcul de la ocio vraisemblace /- L erreur de prévisio à l horizo es v - ~ = y y/- e es el que σ = var( v = E( y - ~ y/-. Das lalgorihme de Roseberg, α es supposé ixe, ce qui eraîe a = α e P =. Le ilre de Kalma es appliqué ue première ois lorsque α = e P = pour obeir les erreurs de prévisio v, v,..., v. Il es appliqué ue secode ois lorsque α es ixé à u veceur o ul doé e P =, pour obeir les erreurs de prévisio v, v,..., v. Sacha que la marice P / es la même pour les deux ilres, l idée es d exprimer v, =,...,, e ocio de v das la ocio vraisemblace. Il es acile de prouver e maipula les équaios du ilre de Kalma, quà chaque isa, a/- = a/- + Gα, a / es la prévisio de α calculée pour le premier ilre de Kalma e G se calcule d ue maière récursive par G + = (T + T + P/ z z G avec G = T ~ L erreur de prévisio v = y y = y z a = v z G α Par u raisoeme simple, eecué das Harvey, A.C (989, le logarihme de la ocio vraisemblace es doé par : (vi -zigiα log( π - log(σ log( i (3-3- i= σ i= i Laulaio de la dérivée parielle de cee équaio par rappor à α e, perme de les esimer : σ Revue MODULAD, Numéro 39

8 - - (vi zigiαˆ αˆ = Gi zi i zigi Gi zi i vi e σˆ = i= i= i= i ˆα ouri ue esimaio des composaes du veceur déa qui so choisies ixes. Cepeda, il exise que si la marice ere croches es iversible. E remplaça les expressios de ˆα e σ das l équaio (3-3-, la ocio vraisemblace cocerée es obeue : log(lc = - log(π log( σ log( i, c es cee ocio i= qui es maximisée pour esimer les paramères icous du modèle. 3-4 Maximisaio de la ocio vraisemblace du modèle espace déa La ocio vraisemblace cocerée du modèle espace déa, es ue ocio à plusieurs variables, pour laquelle ous cherchos à calculer le maximum. Nous proposos pour cela ue méhode quasi-ewoiee. La descripio de cee méhode va porer sur u problème de miimisaio, il es ou à ai simple de rameer u problème de maximisaio due ocio g à u problème de miimisaio : max ( g = -mi(- g. La méhode BFGS es ue méhode quasi ewoiee qui cosise à cosruire ue suie dapproximaios x x,..., du miimum x recherché, à léape +, x = x + μ d avec d, = D g( x x e D ue marice déiie posiive qui se calcule de maière iéraive : D + avec p = D q v υ = x p = q p p + p q + p q D = g(x = x + q D q q q g(x D q υ D q D es ue marice déiie posiive quelcoque, e gééral D es prise égale à la marice ideié. wp: g(x + μ d g(x + m μ g(x d m, μ es u réel el que : Ce so les règles wp : g(x + μ d d m3 g(x d m3 ] m, [ de Wole Powell, proposées par Mioux M (983 qui a idiqué que. e.7 so des valeurs couraes respeciveme pour e m. La première iégalié assure que lalgorihme es m 3 décroissa : g ( x + < g( x. Berseas, D.P (98 a démoré e uilisa liégalié de Cauchy Schwarz que la secode iégalié assure que D + es déiie posiive si D les aussi. La mise e œuvre des règles de Wole Powell es expliquée das la igure. Le logiciel STAMP (Koopma, S.J e al ( uilise la méhode BFGS pour maximiser la ocio vraisemblace du modèle espace déa. Pour le choix du pas, il uilise ue méhode odée sur des aspecs empiriques (Koopma, S.J e al (, p Du poi de vue héorique, les règles de Wole Powell so plus iéressaes. D + υ v v + ] [ Revue MODULAD, Numéro 39

9 Lors de l applicaio de la méhode BFGS, il au réiiialiser l algorihme d ue maière périodique pour assurer sa covergece. Mioux M (983 recommade cee procédure pour chaque p iéraios, p es le ombre délémes du veceur x. Le calcul du gradie de la ocio vraisemblace es compliqué. Chaque composae va êre g(x + hνi g(x hνi approchée par g(x i, avec ν i le veceur où la composae i es égale à h e les aures so ulles, e h es u scalaire rès pei. Les paramères icous de la ocio vraisemblace cocerée peuve êre les variaces e la réquece du cycle λc. Les variaces so posiives e < λ c < π. U chageme de variables es eecué pour se rameer à u problème dopimisaio sas coraies, voir par exemple (Durbi, J e Koopma, S.J. (, p Lalgorihme de calcul des x es arrêé après avoir aei les deux codiios suivaes : i ii g(x + g(x < c g(x < c c e c so deux seuils à choisir e il au sassurer que chaque iégalié es vériiée pour u cerai ombre diéraios successives. ] μ [ Choisir μ,μ mi max wp o μ = max μ oui wp o μ = mi μ oui Fi Figure : Orgaigramme des règles de Wole Powell ( μ mi = ; μ max= Revue MODULAD, Numéro 39

10 3-5 Les ess de validaio e η so supposés êre des bruis blacs ormaux. Das ce cas l erreur de prévisio sadard v déiie par e = es aussi u brui blac ormal. Les ess de ormalié, d homoscédasicié / σ e de recherche d auocorrélaio so appliqués. Harvey, A.C. (989 a idiqué que lhypohèse de ormalié de e es approximaive lorsque les paramères icous du modèle so esimés. Malgré cee approximaio, le es de ormalié es appliqué das ce aricle. Dailleurs il es rerouvé das les applicaio du modèle espace déa, éudiée das Harvey, A.C e Durbi J (986 e Durbi J e Koopma S.J ( Tes de ormalié. Les momes de l erreur de prévisio sadard so : q m = ei, mq = ( ei m q =, 3, 4 i= i= ( 3 β = β + Le es de ormalié, uilise la saisique N qui sui ue loi χ à deux degrés 6 4 / m3 m4 de liberé sacha que es assez grad, β = es le coeicie de Sewess e β 3/ = m m es le coeicie de Kurosis. Si sadard es rejeée au seuil α. N χ -α(, l hypohèse de ormalié de l erreur de prévisio 3-5- L homoscédasicié Le es d homoscédasicié de l erreur de prévisio sadard, uilise la saisique doi êre iérieure au Fisher H(h ei i= -h+ = h ei i= F pour h u eier posii proche de e α u degré de coiace. 3 α h,h qui La recherche d auocorrélaio La saisique de Ljug Box es uilisée pour eser l absece d auocorrélaio ere les c j e i, i =,..., Q( = ( + avec c j = ( e m ( e-j m -j m j= = j+ Revue MODULAD, Numéro 39

11 Q ( sui due maière asympoique ue loi χ à ( p degrés de liberé. Il y a présece d auocorrélaio au seuil α, si Q ( es supérieure au χ -α ( -p, p es le ombre de paramères à esimer. 3-6 Le crière AIC Le crière AIC es uilisé pour comparer ere les modèles qui vériie les ess de validaio. Par exemple, comparer u modèle qui compore ue composae choisie ixe ou déermiise à u modèle qui compore la même composae lorsquelle es choisie sochasique. Comparer égaleme u modèle qui compore ue composae au modèle qui e la compore pas. Le modèle choisi es celui qui dispose du crière le plus aible. Koopma S.J e al ( o déii le crière AIC pour u modèle espace déa : AIC = Log( pev + r /, pev = σ e = lim. Si e peu pas êre obeue, il es possible duiliser avec i assez + grad, par exemple i =, r es le ombre de paramères à esimer plus le ombre de composaes o saioaires du veceur déa. 3-7 Les pricipales éapes des calculs Deux algorihmes so préseés, le premier cosise à calculer la ocio vraisemblace cocerée e appliqua le ilre de Kalma e e para du veceur x doé, des paramères icous. Das ce algorihme, chaque ois quue variable s es écrie sous orme s (, cela sigiie ou simpleme quil es demadé au calculaeur de sauvegarder s e quil es possible de aire appel à cee variable ou au log de ce programme. Le secod algorihme opimise la ocio vraisemblace cocerée e uilisa la méhode BFGS e les règles de Wole Powell pour le choix du pas. La marice D es réiiialisée à la marice uié après chaque p iéraios. Algorihme Choisir x a =, P =, G ( = T Mα =, Vα =, lv =, l = = Ta que a /- ( = T a- /- P/- = T P- /-T + RQR v ( = y za/- ( = z P/ z + G+ ( + = (T + T + P/-z - a / = a/- + P/-z v - P/ = P/- P/- z z P/- - Mα = Mα + G z zg - Vα = Vα + G z v - z G ( i Revue MODULAD, Numéro 39

12 l = l + log( = + Fi Ta que αˆ = (Mα Vα = Ta que v = v ( z G ( ˆα lv = lv a = + Fi a que σˆ = lv v + /- = a/- ( + G ( ˆα Log( Lc = log( π- log(σˆ g(x = Log( Lc l Algorihme c =, c = Ta que c > e-8 e c > e-6 ier = d = - g(x D = I p Ta que ie r p e c > e-8 e c > e-6 μ = =, μ = μmax x suc = x + μd mi wp = g( x suc g( x g( x d( μm ier = ier + Si wp wp = g(x g(xm d ( suc 3 Si wp Calculer Sio Fi Si Dsuc D = Dsuc d = D g(x suc c = g(xsuc g(x c = g(x suc x = μ = mi x suc μ / Revue MODULAD, Numéro 39

13 Fi Ta que x = Fi Ta que Sio μ max = μ Fi Si Ta que wp > ou wp < μ = (.9 +. μ Fi Ta que Calculer D suc D = Dsuc d = D g(x x suc = x + μ max μd mi wp = g( x suc g( x g( x d( μm Si wp > μ max = μ Sio wp = ( g(xsuc g(xm3 d Si wp < μ mi = μ Fi Si Fi Si suc c = g(xsuc g(x c = g(x suc x suc / 4 Applicaios Das cee secio, le modèle espace déa es appliqué sur des séries chroologiques marocaies. Lobjeci de cee applicaio es lobeio du modèle qui respece dabord les ess de validaio e ouri u crière AIC miimal. Le calcul de la log vraisemblace, sa maximisaio e les calculs écessaires aux ess de validaio, o éé programmés sur Malab 6.5. Chaque valeur aberrae corrigée das les deux applicaios qui suive, es caracérisée par ue erreur absolue sadard e assez grade e valeur absolue. Sa présece das la série ocroie à la saisique N du es de ormalié ue rès grade valeur. La correcio de cee valeur aberrae, améliore la vraisemblace opimale du modèle e dimiue la saisique N. 4- Le raic erroviaire des voyageurs exprimé e millio de voyageurs ilomères javier 98 décembre 4 Lapplicaio du es de Buys-Ballo idique la préérece pour le schéma muliplicai : La ocio logarihmique es alors appliquée à la série. Liervalle de lévéeme Ramada τ ram es choisi égale au ombre de jours de ce mois qui es e gééral 3. Les iervalles des évéemes Adha e Maoulid, τ adh e τmao so ixés selo le jour de lévéeme : Revue MODULAD, Numéro 39

14 Ludi Mardi Mercredi Jeudi Vedredi Samedi Dimache Tableau : Les valeurs prises par τ adh e τ selo le ype de jour de lévéeme. mao Lors de chaque évéeme, deux jours de cogé so oers. Si lévéeme es u mercredi alors τ adh ou τmao so égales à 3 jours, e ee le raic des voyageurs sacive e pricipe dès la veille de lévéeme. Si par exemple lévéeme es u jeudi alors τ adh (ou τmao, compred mercredi qui es la veille, jeudi e vedredi qui so les deux jours de cogé, e samedi e dimache qui cosiue le wee-ed. Sacha que Fir es le premier jour du mois qui succède au mois de Ramada, la veille de ce évéeme es icluse das ce mois. Les valeurs prises par liervalle τ i de lévéeme Fir, so doées das le ableau. Ludi Mardi Mercredi Jeudi Vedredi Samedi Dimache 4 3 Tableau : Les valeurs prises par τ i selo le ype de jour de lévéeme Fir. Modèles Log N Auocorrélaio Homoscédasisié AIC vraisemblace ed + sais + cyc + aberr(3 ed + sais + cyc + aberr (4 ed + sais + cyc + Adh + aberr (4 ed + sais + cyc + Adh + Ram + aberr (4 ed + sais + cyc + Adh + Ram + Fi + aberr (4 ed + sais + cyc + Adh + Ram + Fi + Mao + aberr (4-97 3,4 es accepé -34 3,5 es rejeé es accepé ,9 es rejeé es accepé -4 4,35 es rejeé es accepé -45 4,39 es accepé es accepé -5,5-46 4,9 es accepé es accepé -5,5 ed + sais + cyc + Adh + Ram + Fi + caled -48 3,55 es accepé es accepé -5,48 (Dag + aberr (4 ed + sais + cyc + Adh + Ram + Fi + caled -49 3,38 es accepé es accepé -5,49 (Har + aberr (4 (La lere qui sui ue composae sigiie que celle-ci es choisie ixe Tableau 3 : Les modèles cosruis pour la série raic des voyageurs Revue MODULAD, Numéro 39

15 Les composaes ixes iroduies das les diéres modèles du ableau 3 o dabord éé choisies variables mais les variaces de leurs perurbaios éaie rès aibles. La composae du caledrier a éé iroduie au modèle e a que variable ixe, das ce cas, le modèle de Bell, W.R (4, es le même que celui de Dagum, E.B e al (99. Le crière AIC es calculé pour les modèles validés par les ess. Le modèle aya le crière le plus aible (AIC = -5.5 das le ableau 3 es celui cosiué due edace, due composae Revue MODULAD, Numéro 39

16 .5 Figure 3 : Le cycle e la composae saisoière Cycle Composae saisoière Revue MODULAD, Numéro 39

17 Adha Ramada Fir oc.-8 5/3 juil.-8 8/3 mars-93 4/3 aoû-8 /3 ov.-4 /5 oc.-8 4/3 aoû-8 /3 évr.-94 7/8 aoû-8 /3 sep.-8 / juil.-8 9/3 mars-94 3/3 juil.-8 3/3 sep.-83 /5 aoû-8 /3 évr.-95 juil.-83 /3 sep.-84 /6 jui-8 4/5 mars-95 /3 jui-84 /3 aoû-85 3/3 juil.-8 /3 jav.-96 /3 juil.-84 /3 aoû-86 3/3 jui-83 9/3 évr.-96 /9 jui-85 /5 aoû-87 5/3 juil.-83 /3 jav.-97 /3 jui-86 /5 juil.-88 5/3 mai-84 /3 évr.-97 /7 mai-87 /3 juil.-89 4/3 jui-84 9/3 déc.-97 /3 mai-88 /3 juil.-9 3/3 mai-85 /3 jav.-98 9/3 mai-89 /3 jui-9 /5 jui-85 9/3 déc.-98 /3 avr.-9 / jui-9 /6 mai-86 /3 jav.-99 8/3 avr.-9 /5 mai-93 /3 jui-86 4/5 déc.-99 3/3 avr.-9 /5 jui-93 /5 avr.-87 /3 jav.- 7/3 mars-93 4/3 mai-94 3/3 mai-87 9/3 ov.- / mars-94 /3 mai-95 3/3 avr.-88 3/3 déc.- 7/3 mars-95 3/3 avr.-96 /6 mai-88 7/3 ov.- 7/5 évr.-96 /9 avr.-97 /5 avr.-89 4/5 déc.- 6/3 évr.-97 /4 avr.-98 / mai-89 6/3 ov.- 5/6 jav.-98 /3 mars-99 4/3 mars-9 4/3 déc.- 5/3 évr.-98 /8 mars- 3/3 avr.-9 3/5 oc.-3 5/3 jav.-99 /3 mars- 3/3 mars-9 5/3 ov.-3 5/6 jav.- /3 évr.- 3/8 avr.-9 / oc.-4 7/3 déc.- 4/3 évr.-3 3/8 mars-9 7/3 ov.-4 3/3 déc.- /3 jav.-4 /3 avr.-9 / déc.- 3/3 évr.-4 /9 évr.-93 3/4 ov.-3 /5 Tableau 4 : Les proporios des mois qui coïcide avec les composaes Adha, Ramada e Fir σ σ σ ξ σ σ adh σ σ σ σ w ζ,,3,78,69 λ c Tableau 5 : Esimaio des variaces e de la réquece du cycle Revue MODULAD, Numéro 39

18 .5 Figure 4 : La composae Adha Figure 5 : La composae Ramada Revue MODULAD, Numéro 39

19 .9 Figure 6 : La composae Fir saisoière, du cycle ixe, des paramères Adha, Ramada ixe, Fir ixe e quare valeurs aberraes (4, 64, 47,85, la première e la derière valeur so maieseme des valeurs aberraes (igure e d après les resposables, correspode à des grèves. Les paramères ixes de Ramada e Fir so respeciveme -. e.6. La présece de Ramada rédui le raic des voyageurs, alors que la présece de Fir le ai augmeer. Ces deux évéemes se succède e leurs ees so opposés. Ce modèle va êre recalculé e modiia les valeurs de τ i e τ ram : liervalle τi va predre les valeurs du ableau, e τ ram va êre rédui du ombre de jours qui o éé iclus à τ i. Ce choix sigiie ou simpleme que lee réduceur du mois de Ramada sarrêe la veille de Fir do lee avorise le raic. Cee ouvelle modélisaio es validée par les ess mais améliore pas le crière AIC. Le meilleur modèle du ableau 3 es ialeme reeu. Les igures 4 e 6 idique qu Adha e Fir avorise le raic. Lee du premier es e gééral plus impora que le secod. 4- Le raic erroviaire des marchadises exprimé e millios de oes ilomères javier 96 avril 4 Le es de Buys-Ballo idique la préérece au schéma addii. Les iervalles de emps so ceux du ableau pour Adha, ceux du ableau pour Fir e τ ram es e gééral égale à 3. Le ableau 6 idique que la présece due valeur aberrae avec la edace e la composae saisoière, a sui pour vériier les ess de validaio. Liroducio des évéemes Ramada e Adha dimiue le crière AIC. Ces deux évéemes so doc reeus pour la modélisaio de la série. Par core i la présece de la composae du caledrier i de celle de lévéeme Fir e Revue MODULAD, Numéro 39

20 dimiue le crière AIC. Ei, liroducio du cycle a crée des auocorrélaios au iveau de lerreur de prévisio sadard. Selo le crière AIC, le meilleur modèle du ableau 6, es cosiué due edace, due composae saisoière, due valeur aberrae e des paramères Ramada ixe e Adha ixe. La valeur aberrae (69 es sas doue ue valeur erroée. Repreos cee modélisaio avec τ adh = e τadh = 3 ( jour ava la êe e jours après. Les résulas de cee ouvelle modélisaio, so doés das le ableau 7 qui idique que le ai de choisir τ adh = améliore la modélisaio par rappor au meilleur modèle du ableau 6, Doc lee de lévéeme Adha a ue durée de deux jours seuleme. Ce choix de τ adh es semblable à celui de Bell R.W e Hillmer S.C. (983 eecué pour la êe de Pâques e es rerouvé das Bell, W.R. (4 e Bell, W.R. e Mari, Doald E.K. (4. Modèles Log N Auocorrélaio Homoscédasisié AIC vraisemblace ed + sais 796 7,79 ed + sais + aberr ( 764,93 es accepé es accepé 3,86 ed + sais + aberr ( + caled(dag ed + sais + aberr ( + ram + caled(dag 76,8 es accepé es accepé 3,96 75,4 es accepé es accepé 3,7 ed + sais + aberr ( + adh + caled(dag 756,34 es accepé es accepé 3,8 ed + sais + aberr ( + adh + ram + 745,5 es accepé es accepé 3,65 caled(har ed + sais + aberr ( + adh + ram + 745,88 es rejeé es accepé caled(bel ed + sais + aberr ( + adh + ram + 745,86 es accepé es accepé 3,63 caled(dag ed + sais + aberr ( + adh + ram 749,8 es accepé es accepé 3,53 ed + sais + aberr ( + adh + ram + cyc 747,6 es rejeé es accepé ed + sais + aberr ( + adh + ram + i 748,9 es accepé es accepé 3,59 (La lere qui sui ue composae sigiie que celle-ci es choisie ixe Tableau 6 : Les modèles cosruis pour la série raic erroviaire des marchadises Revue MODULAD, Numéro 39

21 τadh Log vraisemblace N Auocorrélaio Homoscédasisié AIC 745,38 es accepé es accepé 3, ,9 es accepé es accepé 3,49 Tableau 7 Das le meilleur modèle du ableau 7, les paramères ixes dadha e de Ramada so égais e so égales respeciveme à -.5e8 e -.39e7. Ces évéemes réduise alors les valeurs de la série. La igure 8 more quare iveaux pour la composae Adha qui correspode aux proporios /3, /3, /8 e /9. x 7 5 Doées Tedace Composae saisoière Figure 7 : Evoluio des doées, de la edace e de la composae saisoière jav.96 ev-96 jav.97 ev.97 dec.97 jav.98 dec.98 jav.99 dec.99 /3 /9 /3 /7 /3 9/3 /3 8/3 3/3 jav. ov. dec. ov. dec. ov. dec. oc.3 ov.3 7/3 / 7/3 7/5 6/3 5/6 5/3 5/3 5/6 Tableau 8 : Les proporios des mois qui coïcide avec Ramada σ σ σ σ σ ξ ζ Tableau 9 : Esimaio des variaces σ σ w 5,63E+3 9,9E+,76E+7,33E+7 Revue MODULAD, Numéro 39

22 x 6 Figure 8 : La composae Adha x 7 Figure 9 : La composae Ramada Coclusio Das u modèle espace d éa, ue série chroologique es exprimée sous orme d ue combiaiso liéaire de diverses composaes plus ue erreur. Chaque composae peu êre soi ixe, soi elle évolue das le emps. Lorsqu ue ouvelle composae es iroduie au modèle, la valeur de la Revue MODULAD, Numéro 39

23 ocio vraisemblace es gééraleme augmeée. Malgré cela la décisio du maiie de cee composae au modèle revie au crière AIC do l expressio déiie au paragraphe 3-6, péalise les modèles rop paramérés. Pour cee raiso, lee caledrier a pas éé reeu das les deux applicaios. Cocera la recherche du maximum de la ocio vraisemblace, il es écessaire de vériier que le hessie es déii posii. E ai o s es coeé de maximiser au mieux la ocio vraisemblace e sassura que le modèle obeu répod bie aux ess de validaio. Cepeda la valeur de la ocio vraisemblace calculée, rese ribuaire du choix des valeurs iiiales des paramères icous. Bell R.W e Hillmer S.C. (983 o uilisé le modèle reg-arima qui es u modèle de régressio déermiise avec l erreur sous orme d u processus ARIMA. La recherche d auocorrélaio s es aie au iveau du brui du processus ARIMA. Das le modèle espace déa, la recherche v d auocorrélaio se ai au iveau de l erreur de prévisio sadard e =. / σ Lapplicaio du modèle espace déa es simple e acileme programmable, il sui duiliser u logiciel qui eecue acileme le calcul mariciel. Das la première série de lapplicaio, le modèle a pu êre validé quaprès avoir iclus les composaes de saisoalié mobile. Das la secode série, la edace e la composae saisoière o sui pour valider le modèle, la présece des composaes de saisoalié mobile a cepeda amélioré la qualié de la modélisaio. Pour déermier le ombre de jours des iervalles des évéemes mobiles, plusieurs scéarios so mis e compéiio. La coaissace des caracérisiques de la série, es due grade imporace das la cocepio des diéres scéarios. E ee, la modélisaio de celle-ci peu acileme êre améliorée e modiia simpleme le choix de ces iervalles. Ce aricle a moré la écessié de eir compe des phéomèes mobiles liés au caledrier hégirie das la modélisaio des séries chroologiques. Les évéemes ciés cocere l esemble du mode musulma. Leur iroducio au modèle perme le respec des ess de validaio e améliore la qualié de la modélisaio. Rééreces : Alper, E.C. e Aruoba, S.B. (. Movig holidays ad seasoaliy: a applicaio i he ime ad he requecy domais or Turey, Bell, W.R. (4. O RegCompoe ime series models ad heir applicaios, i Sae Space ad Uobserved Compoe Models: Theory ad Applicaios, eds. Adrew C. Harvey, Siem Ja Koopma, ad Neil Shephard, Cambridge, UK: Cambridge Uiversiy Press. Bell, W.R. e Hillmer, S.C. (983. Modelig ime series wih caledar variaio. Joural o he America Saisical Associaio 78, Bell, W.R. e Mari, Doald E.K. (4. Modelig ime-varyig radig-day eecs i mohly ime series, ASA coerece, Toroo. Berseas D.P. (98. Cosraied opimizaio ad Lagrage muliplier mehods, Academic Press Bourboais, R e Terraza, M. (4. Aalyse des séries emporelles, Duod Dagum, E.B. Queeville, B. e Suradhar B. (99. Tradig day variaios muliple regressio models wih radom parameers. Ieraioal Saisical Review 6, Durbi, J e Koopma, S.J. (. Time series aalysis by sae space mehods, Oxord saisical sciece series. Kazmier, L.J. (98. Saisiques de la gesio, héorie e problèmes, Serie Schaum Harvey, A.C. (989. Forecasig, srucural ime series ad he alma iler, Cambridge Revue MODULAD, Numéro 39

24 Harvey, A.C e Durbi J (986. The eecs o sea bel legislaio o Briish road causaliies: A case sudy i srucural ime series modellig, (wih discussio, Joural o he Royal Saisical Sociey A 49, 87-7 Koopma, S.J. Harvey, A.C, Doori J.A.D e Shephard N ( Samp: Srucural ime series aalyser, modeller ad predicor, Timberlae Cosulas Ld Liu, M.L. (98. Aalysis o ime series wih caledar eecs, Maageme Sciece, 6, 6- Miisère de l iérieur, (994. Table de cocordaces des caledriers grégorie e hégirie. Mioux, M. (983. Programmaio mahémaique : héorie e algorihmes ome, Duod. Morris, N.D. e Peerma, D. (984. A Kalma iler approach o he orecasig o mohly ime series aeced by movig esivals, Joural o Time Series Aalysis 5, Revue MODULAD, Numéro 39