Correction de l exercice 1

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1 IUT Orsa Iformatique S3 Correctio de l exercice. Ω est l esemble des résultats possibles de l experiece aléatoire lacer u dé à faces : Ω {,, 3,,, }, et Ω.. Si k Ω sort, le gai du jeu est k euros. Doc la foctio G : Ω R est défiie par Gk k. 3. O a GΩ {G,..., G} { 3,,, 0,, } R. La variable G est discrète car so image est fiie.. Le jeu est équitable si EG 0. O voit que : EG k Ω GkP {k} doc le jeu est pas équitable. k Ω Gk < 0. Si o admet que le prix q R du jeu puisse varier, la variable aléatoire du gai deviet G q : Ω R, G q : k k q. Il faut alors imposer EG q 0, c est à dire 0 EG q k q q + q + 3 q + q + q + q k Ω q 7 q d où q 7. Ceci est effectivemet l espérace du résultat du lacer d u dé parfait.. L uivers déped uiquemet des résultats possible de l experiece aléatoire, qui a pas chagé. O a doc toujours Ω {,, 3,,, }. 7. O sait que P {}, et la loi du dé est uiquemet détérmiée par les probabilités des évéemets élémetaires P {k}, k Ω. Il faut doc calculer P {}, P {3}, P {}, P {} et P {} ; comme ces ombres sortet de maière uiforme, o a P {} P {3} P {} P {} P {}. Notos p : P {}. Comme P est ue probabilité, o sait que k Ω P {k}, d où k Ω P {k} P {} + P {} + P {3} + P {} + P {} + P {} P {} + p + p O doit alors imposer + p, c est-à-dire p Comme tout à l heure, si u prix q R est fixé le gai du jeu est doé par G q k k q, k Ω. Le prix q est équitable si EG q 0, i.e. 0 EG q G q kp {k} qp {k} qp {} + k q p k Ω k Ωk k q q 0 q d où q : ça c est l espérace du résultat du lacer d u dé pipé comme ci-dessus.

2 IUT Orsa Iformatique S3 9. Notos q {, 7 } le prix équitable du jeu, qui déped du choix du dé. O ote P A et P I les évéemets choisir le dé PArfait et choisir le dé PIpé, respectivemet. O a P P A P P I, et certaiemet P A P I. D après la loi des probabilités totales pour l évéemet G q >, par rapport à la partitio {P A, P I}, o a alors P G q > P G q > P A P P A + P G q > P I P P I k P > 7 + P A + P k > + P I P k > 9 P A + P k > 7 P I P k {, } P A + P k {,, } P I Remarque : G q > G q doc o pouvait predre l u ou l autre de ses deux évèemets. 0. Il faut calculer P P I G q >. D après la formule de Baes : P P I G q > P G q > P I P P I P G q > Or, o a P P I, et o a calculé que P G q > 9. O a aussi P G 0 q > P I P k {,, } P I 3. 0 Doc : P P I G q > L uivers de l experiece aléatoire repetée 0 fois est Ω 0. Doc X : Ω 0 R e tat que foctio. Le ombre de parties où l o gage plus que euro varie etre 0 et 0, d où XΩ 0 {0,,,..., 9, 0}. La v.a. X compte le ombre de fois qu u évéemet de probabilité fixée se vérifie au cours de 0 tetatives idépedates. La loi de X est ue loi biômiale B0,p avec p : P G q > 9 0 Ue faço plus précise et sthétique d argumeter est la suivate : X est ue somme de 0 variables de Beroulli idépedates et semblables, c est-à-dire de même paramètre p. Elle est doc ue variable biomiale de paramètres 0, p, d après le cours. O peut doc coclure que X B0, p, avec p 9. D après le cours, l espérace 0 et la variace de X sot alors doées par avec os doées o trouve fialemet EX 0p, V X 0p p EX 9 9, V X

3 IUT Orsa Iformatique S3 Correctio de l exercice Si f : R R modélise la richesse das ue populatio, alors λ > 0 doit être la richesse miimale ; pas de limite pour la richesse maximale. Le paramètre détermie la vitesse avec laquelle la fréquece de riches doit dimiuer das ce modèle o assume qu elle le fasse de faço mootoe.. Si λ la desité de la loi de Pareto deviet Or, o a par défiitio ft t + [,+ [t t + [,+ [ t EX R tftdt Das otre cas : tftdt t t + [,+ [ tdt t t + dt t dt R R [ ] t + lim t + t 0 O a utilisé le fait que pour calculer la primitive, aisi que la limite de t pour t +.. La foctio de répartitio F X : R R de la variable aléatoire X est défiie par Das otre cas : f Le cas otrivial x doe D où : F X x P X x t + [,+ [ tdt t + dt F X x ] x [ t f { 0, x < t + dt, sio x x { 0, x < x, x O remarque que cette foctio est positive, cotiue, mootoe croissate et que lim x + F X x. 3. E s appuat sur la foctio de répartitio o trouve : p x P X x P X x F X x x x C est ce qu il fallait motrer. 3

4 IUT Orsa Iformatique S3. O a, par defiitio de probabilité coditioelle : P X > x + x 0 X > x P X > x + x 0 X > x P X > x P X > x + x 0 P X > x O a utilisé ici le fait que X > x + x 0 X > x X > x + x 0, car {t R Xt > x + x 0 } {t R Xt > x} pour x 0 > 0. Maiteat, si l o suppose x >, o peut écrire : P X > x + x 0 P X > x p x + x 0 p x x + x 0 x x x + x 0 O voit bie que la limite du rapport pour x + vaut : le umérateur et le déomiateur sot tous les deux des Ox pour x +.. O sait que l espérace est liéaire e tat que foctio défiie sur l espace des variables aléatoires. Doc : EY EλX λex C est bie ue foctio de λ. D après la première questio, o a alors EY λ. E s appuat sur la foctio de répartitio de X, o trouve, pour x R : F Y x P Y x P λx x P X x x F X { { λ λ x 0, λ < x λ, x 0, x < λ x λ λ, x λ O voit que la foctio de répartitio est dérivable sur les itervalles ], λ[ et [λ, + [. D après le cours, la desité f Y de Y sur ces itervalles est alors doée par la dérivée de la répartitio. O a doc : { { d dt f Y t 0, t < λ d 0, t < λ t, dt λ t λ t + λ, t λ Cette foctio est défiie par parties. Ue faço sthétique de l écrire, e utilisat la foctio caractéristique de l itervalle [λ, + [ est : f Y t λ t + [λ,+ [t ce qui est justemet la desité de la Loi de Pareto de paramètres, λ > 0. Ceci sigifie par défiitio que Y suit la Loi de Pareto avec ces paramètres : Y P, λ

5 IUT Orsa Iformatique S3 7. Comme toute à l heure, e utilisat la répartitio de Y : pour λ. λ p P Y P Y F Y λ 8. Calculos l itégrale qui apparaît das la formule de R, λ. Cette itégrale est pas forcémet égale à EY, car le domaie d itégratio est pas R. Plutôt, o a : tf Y tdt Doc o trouve : R EY λ t λ t + [λ,+ [ tdt ] t dt λ + [t λ tf Y t λ λ λ t λ t + dt λ λ λ p 9. Fixos p [0, ]. Pour satisfaire au pricipe de Pareto, il faudrait avoir R c est-à-dire Cette équatio est aussi équivalete à Or, o voit bie que > si. 0. Il s agit de résoudre la même équatio ci-dessus, cette fois-ci pour ue variable réelle a > à la place de la variable etière. O espère trouver ue solutio a,. Les mêmes passages motret que la coditio du pricipe de Pareto R a a est équivalete à a

6 IUT Orsa Iformatique S3 L uique solutio réelle de cette équatio est par défiitio a : log Il s agit éffectivemet d u ombre strictemet compris etre et, car les iégalités < < assuret que log < a < log et la foctio t log t est cotiue mootoe strictemet croissate sur ]0, + [.