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1 Statistiques - Échatilloage Cours Objectifs du chapitre Passer d u mode de représetatio des doées à u autre (doées brutes, tableau d effectifs, représetatio graphique) Calculer la moyee, la médiae, les quartiles d ue série statistique. Doer ue iterprétatio de ces idicateurs. Calculer u itervalle de fluctuatio ou de cofiace à 95% et iterpréter le résultat. U peu de vocabulaire Toute étude statistique s appuie sur des doées qui peuvet être de plusieurs types. Das le cas où les doées sot umériques i.e. des ombres, o distigue les doées discrètes (par exemple, le ombre d efats par famille, les otes d ue classe à u cotrôle) et les doées cotiues (par exemple, u temps de parcours, la taille d idividus). La populatio d ue série statistique est l esemble des idividus sur lesquels porte l étude statistique. Le caractère de la série est la propriété étudiée. Il est dit : qualitatif si les valeurs que peut predre ce caractère e sot pas umériques (par exemple, la couleur des yeux d ue populatio). quatitatif si les valeurs que peut predre ce caractère sot des ombres. Et das ce cas, il peut être discret ou cotiu.

2 O suppose que le caractère étudié peut predre les valeurs x,..., x p avec les effectifs,..., p. O résume souvet la situatio par u tableau : Valeurs Effectifs Fréquece Effectifs cumulés Fréqueces cumulées x f = f x 2 2 f 2 = f + f x p p f p = p + + p = f + + f p = Total = + + p L effectif cumulé d ue valeur x i est égal à la somme des effectifs des valeurs iférieures ou égales à x i (de même pour les fréqueces cumulées). Lorqu u caractère quatitatif pred u grad ombre de valeurs, o peut les regrouper e classes [a,b[ : b a est appelé l amplitude de la classe et le cetre de la classe est a + b 2. Classes Effectifs Fréqueces [a,b[ f = [u, v[ p f p = p Total = + + p 2

3 2 Représetatios graphiques Pour représeter ue série statistique, o peut utiliser plusieurs représetatios sous forme de graphiques. Présetos e ici quelques ues. 2. Le diagramme e bâtos Il est formé de bâtos dot l abscisse est la valeur x i et la hauteur est l effectif correspodat i. Exemple : le tableau suivat récapitule les otes obteues à u devoir. Notes Effectifs L histogramme Lorsque les valeurs sot regroupées par classes, o représete la série par des rectagles de base chaque classe et d aire proportioelle à l effectif. Exemple : le tableau suivat récapitule les heures de travail quotidie d u groupe d élèves. Heure de travail [0; [ [; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ Effectifs

4 2.3 Le diagramme des fréqueces cumulées croissates Repreos l exemple de la partie précédete : Heure de travail [0; [ [; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ Effectifs Fréqueces 6% 38% 34,4% 9,6% 2% Fréqueces cumulées 6% 54% 88,4% 98% 00% O a ajouté les deux liges des fréqueces et des fréqueces cumulées. Le diagramme des fréqueces cumulées croissates est formé des segmets reliat les poits ayat pour abscisse l extrémité d ue classe et comme ordoée la fréquece cumulée correspodate : 2.4 Le diagramme circulaire U disque est partagé e secteurs dot l agle au cetre est proportioel à l effectif. Exemple : o s itéresse à la deuxième lague vivate choisie par les 500 élèves d u lycée. Lagues Aglais Espagol Allemad Italie Autres Total Effectifs Agle

5 3 Paramètres statistiques Ue série statistique peut coteir de très ombreuses doées. Il est doc impéritif de trouver des idicateurs de la série pour les résumer. 3. La moyee La moyee est l idicateur le plus utilisé pour caractériser ue série statistique. O suppose que le caractère étudié peut predre les valeurs x,..., x p avec les effectifs,..., p. Alors la moyee de cette série, otée x, est doée par x = x + 2 x p x p p. O peut égalemet calculer la moyee e utilisat les fréqueces. Théorème Si o ote f i la fréquece du caractère x i alors x = f x + + f p x p. Remarques importates!! Lorsque la série est regroupée e classes, o calcule la moyee e preat pour valeurs x i le cetre de chaque classe. 3.2 La médiae La médiae d ue série statistique est le ombre Me tel que 50% au mois des idividus ot ue valeur du caractère iférieure ou égale à Me et 50% au mois des idividus ot ue valeur du caractère supérieure ou égale à Me. 5

6 Remarques importates!! Le médiae est pas écessairemet u ombre de la série. C est la valeur cetrale de la série si l effectif total est impair et la demi-somme des deux valeurs cetrales si est pair. Si le caractère est quatitatif cotiu, la médiae correspod à la valeur du caractère ayat ue fréquece cumulée croissate de 0,5. Les valeurs de la moyee et de la médiae peuvet être très différetes. 3.3 Les quartiles Le premier quartile Q est le plus petit ombre de la série tel qu au mois 25% des doées soiet iférieures ou égales à Q. Le troisième quartile Q 3 est le plus petit ombre de la série tel qu au mois 75% des doées soiet iférieures ou égales à Q 3. L itervalle iter-quartiles est l itervalle [Q,Q 3 ] et Q 3 Q est l écart iter-quartiles 3.4 Les déciles Le premier décile D est le plus petit ombre de la série tel qu au mois 0% des doées soiet iférieures ou égales à D. O défiit égalemet le euvième décile D 9 : c est le plus petit ombre de la série tel qu au mois 90% des doées soiet iférieures ou égales à D 9. L itervalle iter-déciles est l itervalle [D,D 9 ] et D 9 D est l écart iter-déciles. 6

7 Exercice résolu Pour la série statistique 3;5;6;6;8;0;2;20;20;2;23;25, o a = 2 doc la moyee vaut x = = = 3,25 et la médiae vaut Me = = 2 et comme 2 4 = 3, Q est le troisième ombre de la série doc Q = 6. O a 2 3 = 9 doc Q 3 est le euvième ombre de la série d où Q 3 = 20. Doc [6;20] est 4 l itervalle iter-quartiles et l écart iter-quartiles vaut 20 6 = 4. Par ailleurs, comme 2 =,2, le premier décile est le deuxième ombre de la série doc 0 D = 5 et comme 2 9 = 0,8, le euvième décile est le ozième ombre de la série doc 0 D 9 = 23. O résume la situatio à l aide d u diagramme e boites : 4 Échatilloage Il est parfois impossible de recueillir des doées sur l esemble d ue populatio. O étudie alors u échatillo de cette populatio à l aide d u sodage. O étudie la caractère souhaité sur l échatillo puis o essaie esuite d e déduire des estimatios du caractère sur la populatio etière. Par exemple, lors d u sodage d opiio sur les itetios de vote, o iterroge eviro u millier de persoes et o e déduit les itetios de vote de toute la populatio. 4. Modélisatio E statistique, u échatillo de taille est la liste des résultats obteus par répétitios idépedates de la même expériece. Exemple : O lace u dé équilibré à six faces et o relève le chiffre qu o obtiet. O répète ce lacer 00 fois et o obtiet u échatillo de taille 00. O répète cette expériece pour obteir u deuxième échatillo de taille 00. O a reporté les résultats das le tableau suivat : Chiffre Échatillo A 0, 4 0, 7 0, 9 0, 8 0, 7 0, 5 Échatillo B 0, 5 0, 6 0, 6 0, 8 0, 7 0, 8 7

8 O costate que les distributios de ces deux échatillos sot différetes : c est ce qu o appelle la fluctuatio d échatilloage. La moyee de l échatillo A vaut 3,52 et celle de B est 3, Itervalle de fluctuatio, itervalle de cofiace O ote p la proportio de la populatio vérifiat le critère étudié et ˆp la proportio de l échatillo de taille vérifiat ce critère. Si o coait la proportio théorique p, o a le résultat suivat : Théorème (Théorème de l itervalle de fluctuatio) O suppose que p [0,2;0,8] et que 25. Alors das ce cas, das plus de 95% des cas, [ ˆp p ; p + ]. E revache, si o cherche à estimer p et qu o e coait que l estimatio ˆp, o a le résultat suivat : Théorème (Théorème de l itervalle de cofiace) O suppose que ˆp [0,2;0,8] et que 25. Alors das ce cas, das plus de 95% des cas, [ p ˆp ; ˆp + ]. Remarques importates!! Pour les deux théorèmes précédets, o parle d itervalle de fluctuatio ou de cofiace à 95%, ou au seuil 95%. 8

9 Exercice résolu O souhaite savoir si ue etreprise exerce ue discrimiatio à l embauche vis-à-vis des femmes. S il y a pas discrimiatio, la proportio de femmes das cette etreprise devraiet être représetative de la proportio de femmes das la populatio active. O admet que la proportio de femmes das la populatio active est 0,5. ) E utilisat l itervalle de fluctuatio au seuil 0, 95, détermier si ue etreprise coteat 83 femmes sur 2540 salariés exerce ue discrimiatio à l égard des femmes. 2) Quel doit être le ombre miimal de femmes das cette etreprise pour que la proportio ˆp de femmes appartiee à l itervalle de fluctuatio [0,48;0,52]? Solutio : ) La taille de l échatillo est = Das cet exercice, o coait la proportio théorique p = 0, 5. Les coditios d applicatio [ du théorème état respectées, o peut doc coclure qu au seuil 95%, ˆp 0,5 ;0,5 + ], soit [0,48;0,52]. Or ici, ˆp = 83 0,466. Doc ˆp [0,48;0,52]. O e coclut que cette etreprise exerce très 2540 probablemet ue discrimiatio à l égard des femmes. 2) Pour que ˆp [0,48;0,52], il faut avoir au miimum = 29.2, doc au mois 220 femmes. Exercice résolu Lors du deuxième tour des électios présidetielles, u cadidat souhaite coaitre les itetios de vote des fraçais e sa faveur. U premier sodage sur 250 persoes iterrogées doe ue itetio de vote de 54%. U secod sodage sur 900 persoes iterrogées doe ue itetio de vote de 53%. Quel est le sodage qui est le plus favorable au cadidat? Solutio : O e coait pas la proportio théorique des fraçais qui vot voter pour ce cadidat. O e coait que les proportios observées sur les deux sodages. Le premier sodage doe ue proportio ˆp = 0,54 sur u échatillo de taille = 250. O peut doc détermier l itervalle de cofiace à 95% : [ p 0,54 ;0,54 + ], soit [0,477;0,604] Le secod sodage doe ue proportio ˆp = 0, 53 sur u échatillo de taille = 900. O obtiet doc u itervalle de cofiace à 95% : [ p 0,53 ;0,53 + ], soit [0,507;0,553] Pour être élu, il faut au mois ue proportio de 0,5, or le premier sodage e permet pas d affirmer que p 0,5, alors que le secod sodage permet d affirmer que das 95% des cas, p 0,5. C est doc le secod sodage qui est le plus favorable au cadidat. 9

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