Nombres complexes. Trigonométrie

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1 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb / Nombres complexes. Trigonométrie I) Ensemble des nombres complexes ) Définition ) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique 3) Egalité de deux complexes 4) Opérations + et dans 5) Représentation géométrique des complexes 6) Ordre dans II) Conjugué. Module ) Définitions ) Interprétation géométrique 3) Inverse d un complexe non nul 4) Propriétés 5) Inégalité triangulaire III) Argument d un nombre complexe ) Nombres complexes de module ) Notation e i t 3) Argument 4) Interprétation géométrique 5) Exemple 6) Propriétés 7) Forme trigonométrique d un complexe 8) Exercices IV) Racines d un complexe ) Définition ) Calcul algébrique des racines carrées 3) Résolution des équations du second degré 4) Racines n-ièmes de 5) Résolution de l équation z n = a V) Utilisations des nombres complexes en géométrie ) Liens distance-module et angle-argument ) Points alignés, droites orthogonales 3) Exercices 4) Transformation du plan 5) Translation, homothétie, rotation VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie ) Formules d Euler ) Formules utiles 3) Linéarisation 4) Calcul de sommes trigonométriques 5) Exercice VII) Exponentielle complexe

2 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb / ) Définition ) Propriété fondamentale 3) Proposition VIII) Trigonométrie ) Ce qu il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement ) Exercices I) Ensemble des nombres complexes ) Définition VS (Version Symbolique) : on pose = 9x + i y ê Hx, yl œ = VF (Version Française) : est l ensemble des nombres z qui peuvent s écrire sous la forme z = x + i y avec x et y deux réels quelconques. Le nombre i est un nouveau nombre. Il vérifie i = -. Remarquons que: () Cette définition de l ensemble n a pas de sens... Qu est-ce que c est que ce nombre i, surgissant de nulle part? On peut présenter plus rigoureusement, mais nous nous contenterons de celle-ci. () Ce n est pas la première fois que vous êtes confrontés (sans le réaliser) à une définition peu rigoureuse. Si vous n en êtes pas convaincu, essayez de donner par exemple la définition d un angle, d une droite ou d un nombre réel... ) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique () Etant donné z = x + i y un nombre complexe (avec x, y œ ), on pose Re z = x et Im z = y. Re z est la partie réelle de z et Im z est la partie imaginaire de z. () L écriture z = x + i y du nombre complexe z (avec x, y œ ) est l écriture (ou la forme) algébrique de z. Par exemple avec z = i -, Re HzL = - et Im HzL = 3) Egalité de deux complexes Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et imaginaires. Soient z = x + i y et z' = x' + i y' deux complexes écrits sous forme algébrique. Alors: z = z' ñ x = x' et y = y' ñ Re HzL = Re Hz'L et Im HzL = Im Hz'L 4) Opérations + et dans Soient z = x + i y et z' = x' + i y' deux complexes écrits sous forme algébrique On pose: z + z' = Hx + x'l + i Hy + y'l et zäz' = Hx x' - yy'l + i Hx y' + x' yl. En particulier i = -. On pose a = - i et b = i. Calculer a + b, a, a 4, aäb et b.

3 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 3/ 5) Représentation géométrique des complexes Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct: () au complexe z = x + i y est associé le point M x y, appelé image de z dans le plan, noté M HzL. () au point M x y est associé le complexe z = x + i y, appelé affixe de M et noté noté z M. 6) Ordre dans Il n y a pas d ordre dans prolongeant l ordre usuel b sur et compatible avec la multiplication. (Il faudrait avoir z r 0 et z' r 0 fl z z' r 0) En effet: si i r 0 alors on doit avoir i r 0, ce qui est faux, et si i b 0 alors on doit avoir i r 0, ce qui est faux II) Conjugué. Module ) Définitions Soit z = x + i y un complexe écrit sous forme algébrique. On définit: () le conjugué z de z par z = x - i y () le module z de z par z = x + y = z z ) Interprétation géométrique Si z est l affixe du point M, alors: () z = O M () MHzL est le symétrique par rapport à la droite Ox du point M HzL 3) Inverse d un complexe non nul Soit z œ * un nombre complexe non nul. Alors z = z- z. On pose a = - i et b = i. Calculer sous forme algébrique a, b et a b. 4) Propriétés " z, t œ, on a: () z + t = z + t et zät = zät. () z = z. (3) Re HzL = z+z- et Im HzL = z -z- i (4) z œ ñ z = z et z œ i ñ z = -z ( i = 8i y ê y œ < est l ensemble des imaginaires purs)

4 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 4/ Et: " z, t œ, on a: () z = 0 ñ z = 0. () z ä t = z ä t et z t (3) z = z. = z t ( si t 0 ) (4) z M = O M et z B - z A = A B. Trouver deux entiers naturels a, b vérifiant a + b = I3 + 5 M I7 + 4 M 5) Inégalité triangulaire " z, t œ, z + t b z + t. Il y a égalité lorsqu il existe l œ + tel que z = l t ou t = l z III) Argument d un nombre complexe ) Nombres complexes de module Soit z = x + i y un complexe. Alors z = ñ $ t œ ì : x = cos t y = sin t. On note l ensemble des nombres complexes de module. On a = 8cos HtL + i sin HtL ê t œ <. sin(t) z = e it t cos(t) ) Notation e i t On pose e i t = cos HtL + i sinh tl pour t œ. Cette notation se justifie car on retrouve la propriété de base de calcul de l exponentielle: " t, t' œ, e i Ht+t'L = e i t e i t'

5 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 5/ 3) Argument Soit z œ * et q œ. Alors q est un argument de z ñ z = z e iq. On écrit alors arg HzL = pd, car, si q est un argument de z, les autres sont q + k p avec k œ. Attention: z = 0 n a pas d argument 4) Interprétation géométrique y M(z) q = ArgHzL = KO x, O pd q = arg(z) 0 x 5) Exemple Calculer un argument de a = - + i et b = i - 3 6) Propriétés " z, z' œ *, arg Hzäz'L = arg HzL + arg pd et arg z z' = arg HzL - arg pd 7) Forme trigonométrique d un complexe a) Définition Tout complexe z 0 peut se mettre sous la forme z = r e i q avec r = z > 0 et q = ArgHzL œ. Une telle écriture est une forme trigonométrique de z. Elle n'est pas unique, car on peut remplacer q par q + k p avec k œ. b) Calcul sur les nombres complexes mis sous forme trigonométrique Soient r, r' œ ]0,+ [ et q, q' œ et n œ. Alors: () r e iq r' e iq' = r r' e i Hq+q'L et () r eiq r' e iq' = r e i Hq-q'L r' (3) Ir e iq M n = r n e i n q et (4) Hcos HqL + i sinh qll n = coshn ql + i sin Hn ql (Formule de Moivre) (5) cos HqL = ei q +e -i q et sin HqL = ei q -e -i q i (Formules d Euler) 8) Exercices a) Calculer les parties réelles et imaginaires de a = -i 3 +i b) Prouver que " a, b œ, e i a + e i b = cos Hb-aL e i Ha+bL. 0 et de b = + +i + -i 0.

6 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 6/ IV) Racines d un complexe ) Définition Soient a, z œ et soit n œ *. Alors: z est une racine n ième de a ñ z n = a Par exemple, z = i est une racine carrée de a = -. ) Calcul algébrique des racines carrées a) Proposition Un nombre complexe non nul a admet deux racines carrées opposées. b) Calcul pratique des racines carrées de a Pour calculer sous forme algébrique les racines carrées du complexe a () On pose z = x + i y avec x, y œ. Alors z = a ñ (S : x - y = Re a x y = Im a. ( En effet, Hx + i yl = x - y + i xy ) () Si on peut trouver une solution "évidente" Hx, yl de (S), les deux racines carrées sont Hx + i yl. (3) Sinon on remarque que z = a amène l'équation x + y =»a» qui ajoutée à (S) permet de résoudre (S). c) Exemples Calculer les racines carrées de a = i ; b = 7-4i et c = - 3i 3) Résolution des équations du second degré a) Théorème Les solutions dans de l équation a z + b z + c = 0 avec a, b, c œ et a 0 sont -b d a avec d = D = b - 4 ac. b) Exemple Résoudre dans l équation H + il z - H5 + il z i = 0 c) Exercices a) Résoudre dans l équation z 4 - H5-4 il z - H5 i + L = 0 b) Résoudre dans l équation z 3 + H6 + 4 il z + H8 + 5 il z i = 0 (chercher une racine réelle) 4) Racines n ièmes de (ou de l unité) a) Définition Soit n œ *. Les racines n ièmes de (ou de l unité) sont les nombres complexes z vérifiant z n =. b) Théorème i k p Les racines n ièmes de l unité sont les z = e n avec k œ 80,,..., n - <.

7 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 7/ c) Images dans le plan Il y a n racines n ièmes de l unité. Leurs images dans le plan forment les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique dont l un des sommets est le point A = 0. A n=6 d) Exercice Prouver que la somme S n des racines n ièmes de est nulle. 5) Résolution de l équation z n = a On met a sous forme trigonométrique a = r e i q. Alors b = ramené aux racines n ièmes de. n r e i q n vérifie b n = a, et z n = a ñ z n = b n ñ J z b Nn = : on est a) Résoudre dans l équation z 3 = i. b) Résoudre dans l équation Hz - L 4 + z 4 = 0. V) Utilisations des nombres complexes en géométrie ) Liens distance-module et angle-argument On a: z = z A B B - z A et A B = z B - z A et JA B, C DN = Arg z D -z pd. Ces relations permettent de transformer des z B -z A problèmes d angles ou de distances en problèmes sur les nombres complexes et réciproquement. ) Points alignés, droites orthogonales Soient A, B, C trois points distincts. On note Z = z C -z B z B -z A. Alors: A, B, C sont alignés ñ Z œ ñ Z = Z et (A BL HB CL ñ Z œ i ñ Z = -Z. 3) Exercices a) Chercher E = 8M HzL ê H i + L z - 3 b 4< b) Pour z œ on note AHzL, BIz M et C Iz 3 M. Chercher E = 8M HzL ê HO BL HA CL< 4) Transformation du plan a) Définition Une transformation du plan est une application (une fonction) du plan dans le plan.

8 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 8/ b) Ecriture complexe Soit f : ö une transformation du plan qui à un point M associe le point M '. Si on note M = MHzL = x MöM' y et M ' = M ' Hz'L = x' avec z = x + i y et z' = x' + i y', l écriture complexe de f est la relation qu il y a entre z' et et z. y' c) Exemple La symétrie orthogonale par rapport à (Ox) a pour écriture complexe z' = z - 5) Translation, homothétie, rotation a) Définitions La translation de vecteur u est l application notée t u définie par: " M œ, t u HML = M ' avec M M ' = u. L écriture complexe de la translation t u est z' = z + z u. L homothétie de centre le point A et de rapport k œ est l application notée h A,k définie par: " M œ, h A,k HML = M ' avec A M ' = k A M. L écriture complexe de l homothétie de centre A HaL et de rapport k est z' - a = k Hz - al. La rotation de centre le point A et d angle q œ est l application notée rot A,q définie par: " M œ A M ' = A M, r A,q HML = M ' avec : JA M, A M 'N = pd L écriture complexe de la rotation de centre A HaL et d angle q est z' - a = e i q Hz - al. b) Dessins 6) Exercice i p On note j = e 3. Prouver que + j + j = 0 et que j 3 =. Soient A,B,C trois points du plan d affixes a, b, c. a) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral direct ñ a + b j + c j = 0. b) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral ñ a + b + c = a b + a c + b c. VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie ) Formules d Euler " q œ, cosh ql = ei q + e -i q et sinh ql = ei q - e -i q i

9 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 9/ ) Formules utiles " q œ, + e iq = cos J q N ei q et - e iq = - i sin J q N ei q 3) Linéarisation a) But Exprimer des quantités du type A = cos k x sin q x (avec k, q œ ) comme somme d expressions du type B = cos Hn xl ou C = sin Hm xl (avec n, m œ ). b) Moyens * Toujours possible: Euler + Binôme + Moivre + Euler * Parfois possible: utiliser les formules cos x = Par exemple, linéariser A = cos 4 HxL et B = sin 3 HxL. +cos H xl et sin x = -cos H xl 4) Calcul de sommes trigonométriques n n Soient x œ et n œ. On pose C = S coshk xl et S = S sinhk xl. Simplifier la somme A = C + i S et en déduire des k=0 k=0 expressions compactes de C et de S sans le symbole. 5) Exercice Trouver un polynôme P HxL tel que cosh5 xl = PHcos HxLL. En déduire la valeur exacte de cosj p 0 N. VII) Exponentielle complexe ) Définition Soit z = x + i y œ. On pose e z = e x HcosH yl + i sin HyLL. On note aussi exphzl = e z. Par exemple: a = e ln + i p = e ln HcosHpL + i sinhpll = -. ) Propriété fondamentale " z, z' œ, e z+z' = e z e z' 3) Proposition Soient z, z' œ. Prouver que e z = e z' ñ $ k œ ê z - z' = i k p

10 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 0/ VIII) Trigonométrie ) Ce qu il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement a) Valeurs trigonométriques usuelles 0 cos sin 0 tan 0 p p 4 p 3 3 p 0 3 b) Formules de base cos HxL + sin HxL = tan HxL = sinhxl coshxl cosh-xl = coshxl sinh-xl = -sinhxl tanh-xl = -tanhxl cosha + bl = coshal coshbl - sinhal sinhbl cosha - bl = coshal coshbl + sinhal sinhbl sinha + bl = sinhal coshbl + coshal sinhbl sinha - bl = sinhal coshbl - coshal sinhbl tanha + bl = tanhal + tanhbl - tanhal tanhbl tanha - bl = tanhal - tanhbl + tanhal tanhbl c) Angles doubles cos H xl = cos HxL - sin HxL = cos HxL - = - sin HxL sinh xl = sinhxl coshxl cos HxL = + cosh xl sin HxL = - cosh xl d) Usage du cercle trigonométrique Pour retrouver rapidement les formules du type: cosh x al =... sinh x al =... avec a œ :0, p, p> e) Résolution des équations trigonométriques coshxl = coshal ñ x = a + k p ou x = -a + k p sinhxl = sinhal ñ x = a + k p ou x = p - a + k p tanhxl = coshal ñ x = a + k p f) Transformation des produits en sommes En ajoutant et soustrayant les formules cosha bl = et sinha bl = cos HaL cos HbL =... sinhal sinhbl =... sinhal cos HbL =...

11 03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb / g) Transformation des sommes en produits En ajoutant et soustrayant cosha bl = et sinha bl = puis en posant a = p + q et b = p - q c est à dire p = a+b et q = a-b. coshpl + coshql =... coshpl - coshql =... sinhpl + sinhql =... sinhpl - sinhql =... ) Exercices a) Factoriser sin HpL + sin HqL et sin HpL - sin HqL b) Résoudre dans l équation cosh xl = sin HxL c) Résoudre dans les équations (): sin HxL - 3 cos HxL = et (): cos HxL + sin HxL =. d) Simplifier C = cos 4 x - sin 4 x et D = cos x- cos y sin Hx+yL sin Hx-yL. e) Résoudre dans l équation sinhxl + sinh xl + sinh3 xl = 0 f) On suppose que a + b + c = p. Montrer que cos HaL + cos HbL + cos HcL + coshal cos HbL cosh cl =.