CH.III Inéquations du 1 er degré dans R. 1. Introduction :

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1 CH.III Inéquatins du 1 er degré dans R. 1. Intrductin : Cnnecte-ti sur le site de mathinverses et regarde la 1 ère vide présente dans l nglet Inéquatins-> prpriétés des inégalités Ensuite, répnds aux questins ci-dessus ainsi qu à celles se truvant sus l nglet «quizz et inscriptin» Tu sais que a) Que deviennent ces inégalités si : n ajute 9 aux deux membres? n sustrait 21 aux deux membres? n multiple les deux membres par 5 : n multiplie les deux membres par 4? n divise les deux membres par 2? n divise les deux membres par 3? DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 1

2 Quizz (crrectin) 1) Lrsque l n ajute un même nmbre aux 2membres d une inégalité, n btient Une inégalité de même sens Une inégalité de sens cntraire 2) On ne cnserve pas le sens de l inégalité quand : On ajute u retire un même nmbre aux 2membres de l inégalité On multiplie u divise par un nmbre négatif les 2membres de l inégalité On multiplie u divise par un nmbre psitif les 2membres de l inégalité 3) Si a bet c 0 Alrs a c b c Vrai Faux 4) Si ab et c 0 Alrs a. c b. c Vrai Faux 2. Prpriétés 2.1 Additin et rdre Si n ajute (retire) un même nmbre réel aux deux membres d une inégalité, n btient une inégalité. Si a, b et c R : DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 2

3 2.2 Multiplicatin et rdre Si n multiplie (divise) les deux membres d une inégalité par un même nmbre réel strictement psitif, n btient une inégalité. Si a, b R et c R 0 : Si n multiplie (divise) les deux membres d une inégalité par un même nmbre réel strictement négatif, n btient une inégalité. Si a, b R et c R 0 : 3. Inéquatins Cnnecte-ti sur le site de mathinverses et regarde les 2 vides présentes dans l nglet Inéquatins-> inéquatins a x b et inéquatins ax b. Ensuite, répnds aux questins du quizz sus l nglet «réslutin d inéquatins» Quizz (crrectin) 1) Si x 3 4 alrs : x 1 x 1 x 7 2) Si 3x 9 alrs : x 3 x 3 x 3 DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 3

4 3) Si 5x 2 17 x 3 x 3 19 x exemples x.( x 10) ( x 1) 5.( x 2) 3.2 bservatins Cntrairement à une équatin du premier degré, une inéquatin admet plusieurs slutins (plusieurs pints de la drite graduée snt slutins de l inéquatin). DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 4

5 3.3 Représentatins des slutins Cnnecte-ti sur le site de mathinverses et regarde la vide présente dans l nglet Inéquatins-> Slutins d inéquatins. Ensuite, cmplète le tableau ci-dessus. L ensemble des réels R est suvent représenté sur une drite graduée. En utilisant ce prcédé, il est facile de nter des parties de cet ensemble. Si a R, la cnditin impsée à x dans les différentes situatins permet de définir des parties de R. Ensemble des réels x Inégalité Ntatin Représentatin inférieurs à a supérieurs à a inférieurs u égaux à a supérieurs u égaux à a Cas particuliers : 0. x 0 0. x 0 0. x 0 0. x 0 0. x 5 0. x 5 0. x 5 0. x 5 0. x 2 0. x 7 0. x 3 0. x 4 Slutin Représentatin DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 5

6 3.4 Cnclusins Une inéquatin se résut de la même façn qu une équatin, sauf qu à la dernière ligne : si n multiplie (u divise) chaque membre de l inégalité par un même nmbre psitif différent de zér, le sens de l inégalité est. si n multiplie (u divise) chaque membre de l inégalité par un même nmbre négatif différent de zér, le sens de l inégalité est. 3.5 Exercices Résus les inéquatins suivantes : 2x 7 8 x 6 7 3x 2 + 4x - 7 2x 7 3x 2 5 2x x x x x x x x 5x x 4 2 x 1 x x 7 x x x x 11.( x 3) x 3 x 3.(3x 2) DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 6

7 3.6 Prblèmes Cnnecte-ti sur le site de mathinverses et regarde la vide présente dans l nglet Inéquatins-> Réslutin de prblèmes. Celle-ci t aidera à mieux abrder les exercices ci-dessus. 1) Virgile vient d installer sn cmmerce.il vend du vin! Pur cmmencer sn activité, il a acheté 2types de vin. Il vend le premier 4eurs par litre et le secnd 7eurs par litre. Il suhaite mélanger ces deux vins pur btenir et prpser à la vente 20cubis de 3litres au prix de 15eurs par cubi. Quel mélange dit il effectuer? 2) Julien a bien prfité de sn w-e festif de sn village rganisé à la fin mai. Il a néanmins ublié que sa sessin d examen est prche.trp prche. Sn curs de maths est cmpsé de deux parties : algèbre et trignmétrie. Ces deux parties snt pndérées de manière identique. A quelque jur du début de la sessin, il pse le cnstat suivant : il lui reste 20 heures d étude pssible avant l examen de math ; il estime que chaque heure qu il cnsacre au curs d algèbre lui fera gagner 1pint lrs de l examen ; une heure d étude de sn curs de trignmétrie lui rapprtera 0,5 pint. Il a parié avec sn cusin qu il btiendrait la nte de 12/20. Cmbien d heures dit-il étudier le curs d algèbre et le curs de trignmétrie pur gagner sn pari? A-t-il bien fait de prfiter du w-e festif de sn village? 3) Pur quelles valeurs de x, l aire du carré grisé est-t-elle inférieure à celle du rectangle hachuré? Représente la situatin pur la valeur la plus grande de x, exprimée en millimètres entiers. DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 7

8 4) Une entreprise envisage la fabricatin de pièces. Deux mdes de fabricatin snt pssibles. Si l n fabrique les pièces à l unité, chaque pièce revient à 30. Si l n envisage une fabricatin en petite série, la fabricatin d une pièce cûte 15 mais pur lancer la série il a fallu auparavant dépenser a) Quel est dans chaque cas, le prix de revient ttal de la fabricatin de 100 pièces? de 150 pièces? b) On désigne par x le nmbre de pièces fabriquées. Dnne, dans chaque cas, l expressin du prix ttal de la fabricatin des x pièces. c) Détermine le nmbre de pièces à partir duquel la fabricatin en petite série est mins cûteuse. 5) Niclas désire s inscrire à un club vidé. Après avir pris ses renseignements, il dispse des tarifs de deux clubs. Club 1 : l abnnement cûte 30 et la lcatin de chaque cassette 4. Club 2 : l abnnement cûte 40 et la lcatin de chaque cassette 3. À quel club va-t-il s inscrire? Aide-le à faire sn chix. 6)Une entreprise de bâtiments dit cnstruire une salle de sprts. Avant de cmmencer les travaux, elle veut savir s il est plus écnmique de fabriquer le bétn sur place, plutôt que de le faire venir prêt à l empli. Les prix snt les suivants : prix du bétn prêt à l empli : 75 le m³ ; prix du bétn préparé sur chantier : frais fixes (installatin, branchement ) : 3750 ; frais variables (sable, gravier, ciment ) : 45 le m³. Détermine à partir de quel vlume de bétn il est plus rentable de fabriquer le bétn sur place. DEBRE-NIV-VIL-VONCE-SAUMA Ch.III - page 8