1/4 2/4 3/4 4/4 MTH6311. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2014. (v2) MTH6311: NP-complétude 1/18

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1 N P-complétude MTH6311 S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2014 (v2) MTH6311: NP-complétude 1/18

2 Plan 1. Ensembles P et N P 2. N P-complétude 3. N P-difficulté 4. Autres classes de complexité MTH6311: NP-complétude 2/18

3 1. Ensembles P et N P 2. N P-complétude 3. N P-difficulté 4. Autres classes de complexité MTH6311: NP-complétude 3/18

4 Problème de décision Définition : Un problème de décision est un problème dont la réponse est OUI ou NON. Pour un problème P, notons O(P ) l ensemble des instances de P dont la réponse est OUI. Propriété : Soient A et B deux problèmes de décision. Si A B, alors il existe une fonction f calculable en temps polynomial telle que p O(A) f(p) O(B). MTH6311: NP-complétude 4/18

5 Ensemble P Définition : P est l ensemble de tous les problèmes de décision pouvant être résolus en temps polynomial. Théorème 1 : Soient A et B deux problèmes de décision tels que A p B et B P. Alors A P. Exemple 1 : Preuve du Théorème 1. MTH6311: NP-complétude 5/18

6 Ensemble N P Définition : N P est l ensemble de tous les problèmes de décision P tel que pour toute instance p O(P ) (toute instance dont la réponse est OUI), il existe une preuve vérifiable en temps polynomial que p O(P ). ( c est l ensemble des problèmes dont il est possible de vérifier une solution efficacement). Remarque : Cette définition est asymétrique. On ne demande rien pour les instances p / O(P ). Remarquons ainsi par exemple qu il n est pas évident de prouver polynomialement qu un graphe n est pas hamiltonien. Attention : N P ne veut pas dire non-polynomial mais nondeterministic polynomial. MTH6311: NP-complétude 6/18

7 Ensemble N P (suite) Théorème 2.1 : P N P. Exemple 2 : Preuve du Théorème 2.1. Question ouverte (1 million $US offert par l institut Clay) : P = N P? Ou encore tout ce que l on peut vérifier facilement peut-il être découvert aisément? Exemple 3 : Montrer que HAMD N P. MTH6311: NP-complétude 7/18

8 Ensemble co-n P Définition : Soit P un problème de décision. Le problème complémentaire de P, noté P est le problème de décision tel que p O(P ) p / O(P ). Définition : co-n P est l ensemble de tous les problèmes de décision P tels que P N P. Théorème 2.2 : P co-n P (preuve similaire à l Exemple 2). Exemple 4 : On a déjà montré que HAMD N P. On sait par définition que HAMD co-n P, mais on ne sait pas si HAMD N P. MTH6311: NP-complétude 8/18

9 1. Ensembles P et N P 2. N P-complétude 3. N P-difficulté 4. Autres classes de complexité MTH6311: NP-complétude 9/18

10 N P-complétude Définition : N P-complet est l ensemble de tous les problèmes de décision P N P tels que P P pour tout P N P. ou encore : Un problème P de N P est N P-complet si tout problème de N P peut être transformé en P en un temps polynomial. Ceci implique que si on prouve qu un seul problème N P-complet peut être résolu de manière polynomiale, alors chaque problème de N P peut aussi être résolu polynomialement, i.e. P = N P (voir Théorème 4). MTH6311: NP-complétude 10/18

11 N P-complétude (suite) Théorème 3 : Soient A et B deux problèmes de décision tels que A N P-complet, B N P, et A B. Alors B N P-complet. Exemple 5 : Prouver le Théorème 3. On en déduit que pour montrer qu un problème P est N P-complet, il faut d abord s assurer que P N P et ensuite déterminer un problème P N P-complet tel que P P. MTH6311: NP-complétude 11/18

12 N P-complétude (suite) Théorème 4 : N P-complet P P = N P. Exemple 6 : Prouver le Théorème 4. MTH6311: NP-complétude 12/18

13 1. Ensembles P et N P 2. N P-complétude 3. N P-difficulté 4. Autres classes de complexité MTH6311: NP-complétude 13/18

14 N P-difficulté Définition : N P-dur est l ensemble des problèmes P tel qu il existe P N P-complet avec P p P. Remarque : Un problème N P-dur n est pas forcément un problème de décision ni un problème de N P. MTH6311: NP-complétude 14/18

15 1. Ensembles P et N P 2. N P-complétude 3. N P-difficulté 4. Autres classes de complexité MTH6311: NP-complétude 15/18

16 Autres classes de complexité PSPACE est l ensemble des problèmes de décision qui peuvent être résolus à l aide d un algorithme qui requiert une taille mémoire de taille O ( p(n) ) pour chaque instance de taille n. LOGSPACE est l ensemble des problèmes de décision qui peuvent être résolus à l aide d un algorithme qui requiert une place mémoire de taille O(log n) pour chaque instance de taille n. MTH6311: NP-complétude 16/18

17 Résumé situation la plus probable MTH6311: NP-complétude 17/18

18 Résumé (suite) NP-Hard NP-Hard NP-Complete NP P = NP = NP-Complete P Complexity P NP P = NP MTH6311: NP-complétude 18/18