Induction magnétique
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- Constance Carrière
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1 Induction magnétique Eercice n 1 : phère en rotation chargée uniformément Une sphère de centre de rayon,portant la charge électrique q > 0 répartie uniformément sur sa surface Σ,est en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire ω = ω e autour de l un de ses diamètres.la sphère est isolante afin que les charges soient entraînées dans le mouvement (courant de convection) et que la rotation n affecte pas la répartition surfacique de charge. L étude est faite en coordonnées sphériques (r, θ). Eprimer le vecteur densité surfacique de courant j s (P) en un point P de Σ,et déduire le courant di dans une couronne élémentaire à définir sur Σ. Montrer que l on peut plus simplement trouver di en revenant à la définition du courant 2. Etablir l epression du champ magnétique () crée en par la distribution de courant,en fonction de µ 0, q, et ω 3. Etablir l epression du moment magnétique M de la sphère 4. etrouver () en le déduisant de M par l intermédiaire de leurs epressions intégrales respectives Eercice n 2 : Les rails de Laplace Un circuit est constitué de deu rails rectilignes,parallèles,horiontau,de résistance négligeable et dont l écartement est l. Le circuit comprend une résistance et est formé par une tige,parfaitement conductrice,de masse m,qui peut glisser sans frottements sur les deu rails.l ensemble est plongé dans un champ magnétique uniforme vertical. A l instant t = 0,il n y a pas de courant,i (0) = 0,et la tige est lancée avec une vitesse v 0 e (v 0 > 0),puis abondonnée à elle-même. Ecrire les équations du système. Comment s applique la loi de Len?Donner la vitesse v(t) de la tige 2. Que devient l énergie cinétique initiale de la tige? 2. Dans le même dispositif qu à la question précédente,le circuit électrique comporte en plus de la résistance,une capacité C en série. À l instant t = 0,la capacité est chargée (q = q 0 ) et la tige est immobile (v 0 = 0). 2. Ecrire les équations du système. Comment s applique la loi de Len? 2.2. Faire un bilan instantané de puissance 2.3. n pose 1 τ = 1 C + B2 l 2.Donner les solutions q(t),i (t) et v(t). Que constante-t-on m lorsque t?epliquer Eercice n 3 : Inductance propre ou mutuelle Deu solénoïdes,de trés grande longueur h,comportent respectivement n et n i spires par unité de longueur. Le premier solénoïde i de rayon est strictement contenu à l intérieur du second de rayon. n rappelle que le champ magnétique crée par un solénoïde infini en son etérieur est nul. h 1 / 5
2 Calculer l inductance propre L du premier solénoïde en utilisant le flu 2. Calculer l inductance propre L du premier solénoïde en utilisant l énergie 3. Calculer l inductance mutuelle M du second solénoïde au travers du premier 4. Calculer l inductance mutuelle M du premier solénoïde au travers du second 5. Commenter les résultats 6. n change la convention de courant dans le premier solénoïde : le courant i parcourt le premier solénoïde en sens inverse. Quelle s sont les conséquences? Eercice n 4 : Induction de Neumann Les deu circuits représentés ci-dessous sont couplés par mutuelle. Le premier comporte un générateur de fem E = E 0 cosωt et une résistance. on inductance propre est L. Le second circuit comporte les mêmes éléments,le générateur en moins. n note M la mutuelle inductance entre les deu circuits E L M A i 1 i 2 2. Trouver les équations différentielles satisfaites par les intensités i 1 et i 2 des deu circuits 3. En déduire les équations satisfaites par = i 1 + i 2 et y = i 1 i 2 4. En étudiant la solution générale,donner l ordre de grandeur de la durée du régime transitoire 5. n se place désormais dans le cadre du régime sinusoïdal forcé. En déduire i 2 intensité dans le second circuit en notation complee. 6. éaliser le bilan énergétique du circuit global Eercice n 5 : Moteur linéaire (EEI) Dans une portion d espace,on réalise un champ magnétique que l on peut représenter par = B 0 cos 2π e B L C D La composante suivant du champ est considérée comme négligeable. Un cadre conducteur fermé sur lui-même est formé de N spires rectangulaires de dimensions a et b (b suivant,et a suivant y). Il est placé dans le champ magnétique,et entraîné à la vitesse v suivant (à l instant t,le centre du cadre est à l abscisse = vt). y b Dans l hypothèse où b <<,où on peut considérer le champ magnétique comme localement uniforme sur la surface du cadre,calculer le flu φ du champ magnétique à travers le cadre. n garde cette approimation dans la suite 2. Le cadre a pour résistance et pour inductance L. n pose Ω = 2πv et φ M = NabB 0 Eprimer l intensité i (t) du courant dans le cadre en régime établi a 2 / 5
3 3. Montrer que le module de la force électromagnétique moyenne qui s eerce sur le ( π ) 2 cadre a pour epression : < F >= 2 φ 2 M v 2 + (LΩ) 2 Préciser son sens,et en déduire la puissance développée par l opérateur qui entraîne le cadre 4. Calculer la puissance moyenne perdue par effet Joule dans le cadre. Commenter 2. n alimente les bobines sources du champ magnétique avec un courant sinuspïdal de pulsation ω en les déphasant de manière à ce que le champ magnétique soit bien représenté par : = 3 ( 2 B 0 cos ωt 2π ) e 2. Montrer que c est un champ g li ssant suivant à une vitesse v 0 que l on précisera 2.2. Le cadre précédent est placé dans ce champ. Donner l epression de la force moyenne de propulsion du cadre en fonction de sa vitesse v. Cette epression représente la caractéristique mécanique d un moteur linéaire. Donner l epression de < F 0 > au démarrage Donner l epression de v M de la vitesse pour laquelle la force est maimum Pour quelles valeurs de la vitesse le système fonctionne-t-il en moteur ou en générateur? Quelle opportunité présente le fonctionnement en générateur lors de la traction d un véhicule par un moteur linéaire? Tracer la courbe < F > (v). Que représente-t-elle? Eercice n 3 : Moteur à courant continu Le rotor (partie mobile) du moteur est constitué de N spires rectangulaires (de côtés 2a et b) tournant autour d un ae coïncidant avec l ae,passant par leur centre et parallèle au côtés CD et C D. Il est plongé dans un champ magnétique. Le champ est négligeable sur les brins DD, AC et A C. ur les brins CD et C D,il est radial et de norme B pratiquement constante. Dans le domaine y < 0 (ce qui est le cas du brin C D dans la position représenté sur la figure), est radial entrant alors qu il est radial sortant dans le domaine y > 0 (cas du brin CD). Un point M courant du brin CD sera repéré par M = a e X + [ e avec b 2, b ]. La forme des pièces polaires N et de l aimant et la 2 présence d un noyau de fer cylindrique d ae permet d obtenir un champ magnétique pratiquement radial,au niveau des brins CD et C D y D a D Y X b Y i X CD C A A C C D N Vue de face Vue de dessus 3 / 5
4 Comparer les directions et les sens des champs en un point M du tronçon CD et en un point M du tronçon C D 2. Comparer les forces de Laplace f CD et f C D s eerçant sur ces deu tronçons 3. Montrer que le moment M 1 par rapport à l ae des forces de Laplace s eerçant sur la spire peut se mettre sous la forme M 1 = iφ 1. Eprimer φ 1 et montrer qu il a les dimensions d un flu magnétique L epression de φ 1 dépend-elle de la position de la spire?que se passe-t-il si le brin CD passe dans le domaine y < 0? 2.2. Quelle serait la valeur moyenne de M 1 sur un tour si l intensité i 1 comptée positivement dans le sens de CD,était constante? 2.3. En fait,un commutateur permet d avoir toujours une intensité de même signe dans le brin qui évolue dans la one y > 0. Quel est l intérêt de cette commutation? 2.4. Dans la suite,on admettra que le moment des efforts de Laplace s eerçant sur le rotor dans son ensemble peut s écrire M = φ.i,avec φ = Nφ 1,quelle que soit la position du rotor. Justifier ce résultat et indiquer l approimation effectuée La spire tourne à la vitesse angulaire Ω autour de l ae. Calculer la fem e induite. La mettre sous la forme e = φ 2 Ω. Comparer φ et φ Donner le schéma électrique équivalent au moteur,si on note la résistance totale des fils Eercice n 4 : Haut-parleur Un haut-parleur est composé d un aimant permanent et fie,cylindrique d ae et créant un champ magnétique radial d intensité constante B. La membrane qui est considérée plane et régide ici,est assimilée à un disque de masse m mobile le long de l ae. a position (t) est ramenée par une suspension à un positionnement moyen grâce à un ressort de constante de rappel k ;le couplage avec l air est responsable de l eistance d une force de frottement visqueu F = f d e dt olidaire de la membrane,un cylindre portant bobine se déplace dans l entrefer de l aimant,un amplificateur est par ailleurs connecté à la bobine,il se comporte comme un générateur dont on notera E(t) la force électromotrice. n précise les caractéristiques suivantes : la résistance totale du circuit est,l inductance propre L et la longueur du fil bobiné l.n Donne : B = 2T, l = 10m, = 6Ω,L = 0,5mH,m = 15g,k = 6000N.m 1 et f = 27kg.s 1 aimant bobine bobine Baffle suspension N membrane Déterminer un système d équations différentielles régissant les évolutions temporelles de la position (t) et de l intensité i(t) 2. Lorsque la force électromotrice E(t) est sinusoïdale de pulsation ω,quelle est l impédance complee Z du haut-parleur 4 / 5
5 3. Montrer que du point de vue électrique,le couplage électromécanique se traduit par l eistence,dans le schéma équivalent du circuit,d un terme résistif et d un terme inductif L supplémentaires. Eprimer et L en fonction de a(ω) = k ω mω et b = B2 l 2 f f 4. Comment varient l impédance additionnelle Z et l impédance totale Z en fonction de la pulsation? 5. Proposer un schéma équivalente au haut-parleur,sous la forme de la mise en série d un circuit,l et d un circuit m,l m,c m,ces trois derniers éléments étant placés en parallèle les uns des autres. Quelle correspondance entre grandeurs électriques et mécaniques retrouve-t-on ainsi? 5 / 5
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