Induction électromagnétique

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1 Induction électomagnétique

2 Induction électomagnétique Pésentation qualitative du phénomène d induction électomagnétique

3 Un cicuit se déplaçant dans un champ magnétique pemanent peut se compote comme un généateu électocinétique : il est le siège d un phénomène d induction. On pale alos d induction de Loentz. Losqu un cicuit fixe est soumis à un champ magnétique vaiable, il est encoe le siège d un phénomène d induction. On pale alos de phénomène d induction de Neumann. Dans le e cas, le déplacement du cicuit à vitesse v e (dans le éféentiel du laboatoie) dans le champ pemanent B 0 de l aimant entaîne l appaition d une foce magnétique q v e B 0 susceptible de faie cicule les chages de conduction du cicuit. Dans le ème cas, le cicuit, fixe dans le éféentiel du laboatoie, voit appaaîte un champ magnétique vaiable céé pa l aimant. L équation de Maxwell-Faaday : B ot E t monte l appaition d un champ électique induit capable de mette en mouvement les chages du cicuit 3

4 Rappels d électomagnétisme («Equations locales de l EM») Rappels su les équations de Maxwell et le potentiel vecteu : Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expiment des elations ente le champ EM ( E, B ) et ses souces ( ρ, j) : div B 0 ρ div E ε 0 B ot E t ot B µ j 0 + ε 0 µ 0 E t ( Equation ( Equation ( Equation ( Equation du flux magnétique Flux) de Maxwell Gauss MG) de Maxwell Faaday MF) de Maxwell Ampèe MA) 4

5 Définition des potentiels ( A,V) : Dans le cas du égime pemanent E A t B ot A gad V 0 A t, on etouve l expession classique E gad V. 5

6 Potentiels pemanents : En égime pemanent, les équations de Poisson se éécivent sous la fome : A µ 0 j et Cette denièe équation a pou solution la solution bien connue (loi de Coulomb pou le potentiel électostatique) : V ( M ) 4πε 0 ( 6 D) V ρ( S) SM (On note M le point où l on calcule le potentiel, S un point souce de la distibution (D) de chages, SM et SM u ). Chaque composante A x, A y et A z véifient la même équation que V ; pa conséquent : A( M ) µ 0 4π ( D) j( S) SM dτ dτ ρ ε 0

7 Appoximation des égimes quasi-stationnaies (ARQS) : Natue de l appoximation : Cette appoximation consiste à néglige les etads qui inteviennent dans les expessions des potentiels etadés, c est-à-die à utilise en égime non pemanent les potentiels instantanés suivants : V V ( M, t) A A( M, t) SM ρ( S, t ) c dτ 4πε 0 ( D) SM 4πε 0 ( SM j( S, t ) µ 0 c µ 0 dτ 4π ( D) SM 4π ( D) D) ρ( S, t) SM j( S, t) SM dτ dτ SM Cette appoximation est justifiée si tous les etads t c sont négligeables vis-à-vis d un temps T caactéistique de l évolution de la distibution de chages et de couants. Si on suppose cette évolution péiodique, T epésente alos la péiode. 7

8 L ARQS néglige les phénomènes de popagation. Si l on note ct λ la longueu d onde du phénomène dans le vide, on a alos : SM λ c t << T soit SM << λ ct c c ν Ainsi, l ARQS décit convenablement le champ EM d une distibution (D) en des points dont les distances SM aux éléments de (D) sont faibles devant la longueu d onde λ ct. 8

9 Détemination du champ électomagnétique ( E, B ) dans le cade de l ARQS : Dans le cade de l ARQS, on peut donc calcule les potentiels à l aide des mêmes fomules qu en égime stationnaie, valables à chaque instant : V V ( M, t) A A( M, t) SM ρ( S, t ) c dτ 4πε 0 ( D) SM 4πε 0 ( SM j( S, t ) µ 0 c dτ 4π ( D) SM µ 0 4π ( D) D) ρ( S, t) SM j( S, t) SM L expession du champ EM ( E, B ) se déduit de ces deux expessions gâce aux elations : A B ot A et E gad V t dτ dτ 9

10 On note que la elation ente B et A est la même qu en égime stationnaie puisqu elle ne fait pas inteveni de déivation pa appot au temps (mais seulement des déivées d espace). Pa conséquent, la loi de Biot et Savat sea encoe valable dans le cade de l ARQS. E gad V A t En evanche, le champ électique l ARQS, à un champ de Coulomb instantané du type : ne s identifie pas, même dans ρ( S, t) dτ E u 4πε ( D) 0 SM A En aison du teme d induction t (champ électomoteu de Neumann). 0

11 Loi d Ohm dans les conducteus ohmique dans le cade de l ARQS : La loi d Ohm : pou un conducteu comme le cuive pa exemple, le temps de elaxation («duée» de collision des poteus de chages) est de l ode de 0 4 s τ. O on sait que, dans un conducteu, la loi d Ohm est satisfaite si le temps caactéistique d évolution du système T véifie T >> τ. Dans le cade de l ARQS, cette condition sea bien véifiée. Ainsi, dans le cade de l ARQS, la loi d Ohm locale sea valable : j σe A σ gad V + t

12 Couant de déplacement dans un conducteu ohmique : L équation de Maxwell-Ampèe s écit, compte tenu de la loi d Ohm locale : E ot B µ 0 σe + ε 0 t On note T le temps d évolution caactéistique de la distibution (D) (sa péiode d évolution). On peut compae le couant de conduction avec le couant de déplacement : σe σe σt E E ε ε 0 ε 0 0 t T Pou le cuive de conductivité 7 σ 6.0 Ω. m 8, ce appot est de l ode de 0 T (avec T en s). Ainsi, même si T est de l ode de 0 s (soit une féquence de 0 GHz) : 0

13 σe E ε 0 t 0 8 Pa conséquent, pou les égimes d évolution justifiant l emploi de la loi d Ohm, le couant de déplacement est, au sein du conducteu ohmique, négligeable devant le couant de conduction. L équation de Maxwell-Ampèe s écit alos : ot B j µ σe µ 0 0 3

14 Equations de Maxwell dans un conducteu : Finalement, dans le cade de l ARQS, le champ EM véifie les équations de Maxwell «simplifiées» suivantes : div div B E 0 0 ot E ot B B t j µ σ E µ 0 0 Ainsi, dans un conducteu, l ARQS ne diffèe des égimes stationnaies que pa la pise en compte des phénomènes d induction (équation de Maxwell-Faaday). 4

15 * Changement de éféentiel : Fomule de changement de éféentiel : Soit v la vitesse d une paticule de chage q dans un éféentiel (R) et soit v ' sa vitesse dans un éféentiel (R ) animé de la vitesse e v pa appot à (R). On est amené à pose : (expessions de changement de éféentiels galiléens du champ EM) E' E + v B et B B' e 5

16 A - Cas d un cicuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps (Cas de Neumann) I) Ciculation du champ électique, loi de Faaday, loi de Lenz, définitions des coefficients d inductance pope L et mutuelle M de deux cicuits filifomes : Ciculation du champ électique : On se place dans le éféentiel du laboatoie. Le champ électique est de la fome : A E gad V t On considèe un cicuit filifome (C) pacouu pa un couant d intensité i. La loi d Ohm pemet d écie que : j σe et dr dl σ S dr étant la ésistance d une longueu d l de conducteu. Pa ailleus, i js. 6

17 7 On calcule la ciculation du champ électique le long d une potion de conducteu allant de A à B : l l d t A V V E d AB C AB A B C. ) (. ) ( ) ( + O :

18 j i E d. l. dl d ( C ). l σ ( C ) σ S ( C ) ( C ) AB AB AB AB i dr R AB i Pa conséquent : R A i ( VA VB ) dl ( C AB ) t + AB. Dans la suite, on note e AB la ciculation du champ électomoteu de Neumann long du cicuit de A à B : A eab. dl ( C AB ) t A t le Ainsi : V A V B R AB i e AB 8

19 On compend alos que le champ magnétique dépendant du temps, souce du champ électomoteu de Neumann, puisse cée une fém d induction e AB et mette ainsi en mouvement les chages de conduction du cicuit. V A V B R AB i e AB (Schéma équivalent) 9

20 Cas paticulies : En cicuit ouvet (i 0) : alos V A VB eab. Le phénomène d induction se taduit pa l appaition d une ddp aux bones du cicuit ouvet. Le long d un cicuit femé : V VB 0 donc eab RABi. A 0

21 Loi de Faaday : On considèe le phénomène d induction le long d un cicuit femé (C) fixe dans le éféentiel du laboatoie. A + M ds n B (C) suface S La ciculation du champ électomoteu de Neumann s écit, en utilisant le elation de Stockes : A d d e AB. dl A. dl ot B. ds ( CAB ) t dt ( CAB ) dt ( S)

22 Soit (loi de Faaday) : e AB d dt ( S) ot B. ds dφ dt «La fém induite le long d un cicuit femé fixe dans le laboatoie galiléen est opposée à la déivée tempoelle du flux magnétique à taves le cicuit.» B

23 3 Loi de Lenz : Le signe moins de la loi de Faaday ésulte des conventions utilisées pou oiente la suface du cicuit et défini la fém algébique et, physiquement, de l effet modéateu du couant induit. La loi de Lenz taduit qualitativement cet effet. Elle pemet de pévoi le sens du couant induit dans les cas simples et de véifie son signe une fois le calcul algébique effectué. Enoncé de la loi de Lenz : «Le couant induit a un sens tel que le flux induit qu il cée s oppose aux vaiations du flux inducteu.» ou encoe : «La fém induite tend pa ses conséquences à s oppose à la cause qui lui a donné naissance.» 3

24 Exemple ; on considèe le système suivant : La vaiation du champ magnétique B dans le temps est cause d un flux magnétique vaiable à taves le cicuit, appelé «flux inducteu» et d une fém induite qui peut débite un couant dans le cicuit (appelé «couant induit»). B S Sens+ i(induit) < 0 Contou (C) b Face + Face - 4

25 Le couant induit céé un champ magnétique pope b ou «champ magnétique induit» esponsable d un flux magnétique à taves le cicuit appelé «flux induit». Si le flux inducteu augmente (la nome du champ B augmente), sa déivée est positive et d apès la loi de Faaday, la fém induite est négative. Le couant induit est alos négatif. Le champ induit b s en déduit (ègle de Biot et Savat) et le flux induit est donc négatif quand la vaiation du flux inducteu est positive : le flux induit s oppose donc à la vaiation du flux inducteu, ce qui illuste, su cet exemple, la loi de Lenz qui appaaît bien comme une loi de modéation. 5

26 4 - Définitions des coefficients d inductance pope L et mutuelle M de deux cicuits filifomes a) Inductance pope : Un cicuit femé filifome (C) est pacouu pa un couant d intensité I ; son champ magnétique pope B P (M ), donné pa la loi de Biot et Savat, est popotionnel à I. S(C) ds B P I > 0 (C) Le flux du champ magnétique pope à taves le contou oienté pa le sens positif du couant choisi ou «flux pope» est popotionnel à I : Φ B. ds I soit Φ LI P P P ( S ) 6

27 Le coefficient L ne dépend que des caactéistiques géométiques du cicuit et s appelle coefficient d auto-induction ou d inductance pope du cicuit (C). Signe de L : Si I > 0, le champ magnétique a le sens epésenté su la figue et le flux est donc positif, donc L > 0. De même, si I < 0, le champ magnétique change de sens et le flux devient négatif. Pa conséquent, L est un coefficient positif. Le flux est expimé en Webe et le coefficient L en Heny. 7

28 Exemples : Inductance pope d un solénoïde : Le champ magnétique à l intéieu du solénoïde «infini» est Le flux à taves N spies occupant une longueu L est : B ni u µ 0 z. Φ P N ( µ 0 I) NS LI avec L l µ 0 N l S AN : une bobine de longueu 0 cm compotant 00 spies dont le diamète est de cm a une inductance pope de l ode de 0,0 mh : le heny est une assez gande unité. Des inductances popes plus impotantes s obtiennent avec une bobine à noyau de fe. Mais la elation donnant L est plus compliquée (L dépend non seulement de la géométie du cicuit mais aussi de l intensité). 8

29 Inductance pope d une bobine toique de section ectangulaie : On considèe une bobine toique de section ectangulaie de hauteu h et de ayons a et b compotant N spies jointives pacouues pa un couant I. Un plan méidien est plan de symétie ; en un point de ce plan, en codonnées cylindiques, le champ pope est othoadial et dépend a pioi de et de z : B P ( M ) B P (, Les lignes de champs sont des cecles d axe (Oz). On applique le théoème d Ampèe à la ligne de champ de ayon : z) u θ π B(, z) µ NI soit B ( ) Le champ ne dépend finalement pas de la cote z. 0 P µ NI 0 π 9

30 30 Le flux pope à taves les N spies vaut alos : Φ a b h I N h d B N P b a P ln ) ( 0 π µ On en déduit l inductance : a b h N L ln 0 π µ

31 b) Inductance mutuelle, fomule de Neumann : Deux cicuits filifomes (C ) et (C ) sont pacouus pa des couants d intensités I et I. Le champ magnétique B céé pa (C ), donné pa la loi de Biot et Savat, est popotionnel à I. Le flux Φ de B à taves le contou femé (C ) oienté pa le sens positif du couant I est popotionnel à I : Φ M I et de même Φ M I 3

32 3 Fomule de Neumann : Le flux du champ magnétique à taves une coube femée est égal à la ciculation du potentiel vecteu dont il déive : ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( S S d d I d S S d I d A C C C C C Φ π µ π µ Soit : ) ( ) ( 0. 4 S S d d M C C π µ Du fait de la symétie des indices : ) ( ) ( 0. 4 S S d d M M M C C π µ (fomule de Neumann)

33 M est appelé coefficient d inductance mutuelle ente les deux cicuits (C ) et (C ). Contaiement à l inductance qui est toujous positive, M est positive ou négative (selon l oientation des cicuits). Remaque : si on sait calcule Φ, on en déduit M et Φ. Pafois, le calcul de l un des deux flux est compliqué alos que le calcul de l aute est plus simple 33

34 Exemple : (inductance mutuelle de deux spies) Soient deux spies, l une de ayon R et d axe (Oz) et une seconde spie de même axe et de ayon a<<r. Ces deux spies sont à une distance d l une de l aute. Calcule les coefficients M et M et monte qu ils sont égaux. I R a Spie () I z Spie () d 34

35 II) Bilan énegétique de l établissement du couant dans un ensemble de deux cicuits filifomes indéfomables et fixes : énegie magnétique (expession en fonction des couants et des coefficients d inductance) ) Loi d Ohm généalisée : On considèe deux cicuits filifomes (C ) et (C ) en couplage mutuel. Alos, en l absence d autes souces de champs magnétiques : I + I + Φ (C ) (C ) L I + MI et Φ LI + MI 35

36 Si les cicuits sont igides et immobiles dans le éféentiel du laboatoie, les fém d induction valent : dφ di di dφ di e L M et e L dt dt dt dt dt M di dt La ddp aux bones de chaque cicuit est alos : di di di u RI e RI + L + M et u RI e RI + L + dt dt dt M di dt 36

37 37 ) Enegie magnétique d un système de deux cicuits : La puissance électique eçue pa les deux cicuits vaut : I u I u P + Soit : dt di MI I L dt d I R dt di MI I L dt d I R P ) ( I I dt d M I L dt d I L dt d I R I R P Finalement : ) ( I MI I L I L dt d I R I R P On econnaît d une pat la puissance dissipée pa effet Joule et on définit d aute pat :

38 E m L I + LI + MI comme étant l énegie magnétique du système des deux cicuits, en l absence d autes souces de champs magnétiques et en penant comme convention que cette énegie est nulle losque les couants sont nuls. I Relation ente L, L et M : L énegie magnétique est nécessaiement positive. On pose x I I, alos : E m I L x + L + Mx > 0 soit L x + Mx + L > 0 (quel que soit x) Cette denièe condition est éalisée si le disciminant du polynôme est négatif, soit : 4M 4L L < 0 soit M < L L 38

39 Couplage idéal : On a vu que M L L. On pose : k L M L le coefficient de couplage ente les deux cicuits. Ce coefficient est compis ente 0 et. Le cas limite k, soit M L L coespond au cas où toutes les lignes de champ du champ magnétique céé pa un des deux cicuits tavesent l aute cicuit. Il s agit du cas idéal du couplage pafait. 39

40 Execice su les cicuits couplés : On considèe désomais le cicuit suivant : C i i E v C M v L L 40

41 Aute définition de l inductance pope d un cicuit : On considèe un cicuit (filifome ou non) sans inteaction mutuelle avec un aute cicuit. Pou étende la définition de L, on peut identifie les deux expessions de l énegie magnétique, soit : LI ( V ) B pope µ 0 dτ 4

42 Exemple d'application ; le tansfomateu idéal : 4

43 B - Cas d un cicuit mobile dans un champ magnétique stationnaie (Cas de Loentz) I) Ciculation du teme v e B, loi de Faaday : On considèe un conducteu mobile (C). on note v e la vitesse d un élément du cicuit situé au point M pa appot au éféentiel du laboatoie et v ' la vitesse des poteus de chages losqu ils passent au point M. 43

44 D apès la loi de composition des vitesses, la vitesse v des poteus de chages au point M, évaluée dans le éféentiel du laboatoie est : v v' + On suppose que, dans le éféentiel du laboatoie, ègne un champ EM dont la A composante magnétique est pemanente, de telle sote que 0 t et donc : v e E gad Le champ EM dans le éféentiel du conducteu est alos, en utilisant les elations de tansfomations des champs : E' E + v B et B' e V B 44

45 Ainsi, dans le éféentiel du conducteu, appaaît un champ électomoteu E m à ciculation non consevative, susceptible de mette en mouvement elatif les poteus de chages : E m v e B 45

46 46 Ente A et B, la ciculation de ce champ donnea la fém induite ente ces deux points : l l d B v d E e e C m C AB AB AB ). (. ) ( ) ( Pou un cicuit mobile femé : l l d B v d E e e C m C AB AB ). (. ) ( ) (

47 Remaque : On peut monte que, pou un champ magnétique pemanent, la loi de Faaday est valable : e dφ dt d Φ epésente la vaiation du flux du champ magnétique à taves le cicuit los du où déplacement du cicuit pendant l intevalle de temps dt. 47

48 II) Exemple : bae lancée su des ails La bae (AB), de longueu a et de masse m, de cente de masse d abscisse x(t) et de vitesse v v u x (avec v x & ) est lancée avec une vitesse initiale v 0 su des ails métalliques su lesquels elle glisse sans fottement. Elle constitue avec les ails de ésistance négligeable un cicuit ectangulaie (C) de ésistance R constante et d inductance négligeable et dont la suface à l instant t est S ( t) ax( t). B B u z a A + x 48 B dl dl uy v Ce cicuit est placé dans un champ magnétique pemanent (C). v u x On souhaite détemine la fém induite et la loi de vitesse de la bae. B u z d oigine extéieue à B

49 Détemination de la fém induite : èe méthode de calcul (utilisation de la loi de Faaday) : Pendant l intevalle de temps dt, la vaiation du flux magnétique est : La fém induite vaut donc : d Φ Ba dx Bav dt dφ e Bav dt ème méthode de calcul (ciculation du champ électomoteu) : La ciculation du champ électomoteu ente A et B vaut (elle est nulle le long du este du cicuit qui, lui, est immobile) : e B B B ( v B). dl ( v u x Bu z ). dl u y vb dl Bav A On etouve bien évidemment le même ésultat. A 49 A

50 Le cicuit peut alos ête modélisé pa : B B u z B A + x i L intensité qui tavese le cicuit se calcule pa la loi de Pouillet : e Ri soit i e Bav R Ainsi, pou v > 0, on en tie i < 0 : ce ésultat pouvait ête pévu à l aide de la loi de Lenz. En effet, losque la tige se déplace ves la doite, le flux inducteu (positif) augmente. Pa conséquent, le flux induit doit ête négatif, ce qui coespond bien à un couant induit dans le sens négatif. 50

51 Loi de vitesse v(t) : La bae est soumise (hoizontalement du moins) à la foce de Laplace : F i a u B u iab u F u y Ainsi, pou i < 0, F < 0 : ce ésultat peut là encoe ête pévu pa la loi de Lenz. z En effet, l appaition d une foce de feinage négative est bien un effet modéateu tendant à s oppose à la mise en mouvement de la bae. Le théoème du CI appliqué à la bae donne enfin : Le teme τ mr a B B a R m dv dt iab B a R v 5 soit x dv dt x B a mr joue le même ôle qu un coefficient de fottement fluide. On pose (temps caactéistique du égime tansitoie), alos : v v 0 e t τ v

52 Remaque : (application de la loi de Lenz aux couants de Foucault) Selon un pincipe analogue à celui du montage pécédent, les couants de Foucault induits dans les conducteus massifs mobiles dans des champs magnétiques pemanents sont à l oigine de foces de Laplace qui tendent à s oppose au mouvement qui leu donne naissance. Tel est le pincipe du feinage électomagnétique, utilisé notamment pou les poids louds et les TGV. 5

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55 Aspect énegétique (exemple de tansducteu) : On epend l équation électique (E) et l équation mécanique (M) du cicuit : (E) : e Ri Bav et (M) : dv m F dt Afin de faie inteveni des puissances, on multiplie l équation (E) pa i et l équation (M) pa v : ei Ri Bav i et dv mv Fv dt iab iabv On note mv Ec l énegie cinétique de la bae ; alos : de c dt Ri 55

56 L énegie cinétique pedue pa la bae se etouve intégalement sous fome d effet Joule dans la ésistance : la bae joue le ôle de convetisseu d énegie mécanique en énegie électique finalement dissipée pa effet Joule en chaleu. On peut également envisage le cas où la bae est initialement fixe et où l intoduction le long du cicuit d une souce de tension (une pile pa exemple) engende un couant. La bae se met alos en mouvement sous l action des foces de Laplace et le même système joue le ôle de écepteu en convetissant cette fois de l énegie électique en énegie mécanique ; on a en fait le pincipe d un moteu électique. D une manièe généale, on appelle «tansducteu électomécanique» un système qui est susceptible de tansfome l énegie mécanique en énegie électique et écipoquement. 56

57 III) Rendement fondamental des tansducteus électomécaniques : ) Puissance de la fém induite et puissance des foces de Laplace : On considèe un poteu de chage plongé dans un champ magnétique indépendant du temps et se déplaçant à la vitesse v pa appot au conducteu, lui-même se déplaçant à la vitesse v e pa appot au éféentiel du laboatoie (R 0 ). 57

58 Dans ce éféentiel, le poteu de chage a une vitesse ( v + v Loentz q( v + ve ) B dont la puissance est nulle : q( v v ) B.( v + v ) [ ] 0 + e e e ) et subit la foce de Cette puissance peut ête décomposée en 4 temes dont deux sont nuls : q( v B). v + q( v B). v + q( v B). v + q( v B). v q( v B). v + q( v e e e e e e B). v Dans un volume élémentaie dτ, le nombe de poteus de chage est n.dτ et la puissance volumique de la foce de Loentz devient : df ndτ q( v B). v + q( v B). v [ ] Le teme ndτ q( ve B). v epésente la puissance volumique de la foce appliquée aux chages due au champ électomoteu Em ve B évaluée dans le éféentiel du conducteu ; en sommant su tout le volume du conducteu, on obtient la puissance de la fém induite, notée P e : e e 58

59 Pe nd q ve B v ve B j d τ ( ). ( ). τ ( ve B ). d l i ( V ) Intepétation du teme nd τ q( v B). ve : ( V ) ndτ q( v B). v ( j dτ B). e v e Ce teme appaaît comme la puissance de la foce de Laplace subie pa l élément de volume dτ. Finalement, pa intégation : P e + PL ei + PL La puissance de la foce électomotice d induction est compensée pa celle des actions de Laplace execée su le cicuit. 0 ( C) ei 59

60 ) Rendement d un tansducteu électomécanique : Les moteus et généateus électiques sont des convetisseus de puissance susceptibles de poduie de la puissance mécanique à pati d une souce électique ou de la puissance électique à pati d une excitation électique (des tansducteus électomécaniques). Théoiquement, les deux sens de convesion sont en généal possibles, mais les appaeils sont en généal adaptés techniquement à un seul mode de fonctionnement. S il était possible de faie abstaction des ésistances, le endement seait de 00% : en effet, la puissance mécanique est celle des actions de Laplace et la puissance électique est, en l absence de ésistance, celle de la fém d induction. D apès le paagaphe pécédent, ces deux puissances sont égales en valeu absolue. On peut ainsi die que le endement fondamental d un tansducteu électomécanique est égal à. 60

61 IV) La oue de Balow, ancête des généateus et des moteus électiques : On envisage un moteu électique constitué d'un disque métallique de ayon a, libe de toune autou de son axe hoizontal Oz avec un moment d'inetie J et plongé dans un champ magnétique unifome et stationnaie B-Bu z, avec B>0. Ce disque est femé pa un fil électique issu de son cente O et pa un contact avec un bain de mecue en un point A su un généateu de fém E constante et une ésistance R via un inteupteu K. On néglige la ésistance du disque et celle du généateu. On néglige l'inductance pope du cicuit. On note i l'intensité du couant et ω la vitesse angulaie de otation du moteu. Le couant étant nul et la oue au epos, on feme l'inteupteu K. B O. Oz A A i Mecue (K) R E 6

62 Le disque, pacouu pa un couant imposé pa le généateu, se met en mouvement (dû aux foces de Laplace dans un champ magnétique) ; ce mouvement va cée une fém d induction (cas de Loentz) dont les effets vont s oppose à la cause de ce mouvement. Il y a couplage ente i(t) et ω(t) : la oue de Balow constitue un exemple de «tansducteu électomécanique», c est-à-die de système susceptible de tansfome l énegie mécanique en énegie électique et écipoquement. Dans un e temps (voi à la fin de ce paagaphe), on admet que les foces de Laplace subies pa le disque sont équivalentes à celles que subiait un conducteu filifome confondu avec le ayon OA et pacouu pa un couant d'intensité i. On va établi l'équation difféentielle du poblème en supposant que la oue est soumise à un couple de fottements de la fome -fω. 6

63 Un élément de longueu dl d u du conducteu filifome fictif OA, centé en M, est soumis à la foce de Laplace : df i d u ( B) u z ib d Le moment élémentaie de cette foce pa appot à l axe (Oz) est : dγz ( u df). uz Le moment total pa appot à l axe vaut donc : ib d u θ Γ z iba Le théoème scalaie du moment cinétique donne ensuite (dans le éféentiel galiléen du laboatoie) : J dω dt C est l équation difféentielle (M) obtenue pa les lois de la mécanique. iba 63 fω

64 On va détemine maintenant l équation électique du système. La fém d induction qui appaaît peut se calcule selon : e OA 0 a ω θ. d u ( u ( B u )) z Bωa On peut également die que, pou un tansducteu électomécanique dans un champ magnétique stationnaie, la puissance des foces de Laplace et la puissance de la fém induite sont opposées. Pa conséquent : Soit : P ei e P L e Γzω i Bωa Γzω La loi des mailles dans le cicuit électique équivalent donne l équation électique (E) : E Ri + e 0 soit Ri E Ba ω 64

65 En éliminant i ente les équations (E) et (M), on obtient : J dω dt Ba E Ba ω R fω Soit : 4 dω B a J + f dt + 4R ω La oue étant immobile à t 0, il vient : Ba E R t 4 τ l ) avec + et ω l ω ω ( e τ f J B a 4RJ Ba 4Rf + B E a 4 Le moteu atteint une vitesse angulaie limite l ω au bout d un intevalle de temps de l ode de τ. 65

66 On obtient l intensité pa : i R ( E Ba ω ) Soit : i( t) B a 4Ef 4 + 4Rf + B a B 4 R a 4 E + 4R f e t τ On constate que le couant est discontinu à l'instant t 0 puisque i ( 0 ) 0. i (0 + ) E R alos que Il atteint une valeu pemanente : i l B a 4Ef 4 + 4Rf 66

67 On peut effectue un bilan énegétique du dispositif : pou cela, on multiplie l équation (M) pa ω et l équation (E) pa i : dω Jω dt iωba fω Ba ωi ; Ri Ei Soit : Ei Ri + f ω + d dt J ω La puissance founie pa le généateu set à augmente l énegie cinétique du disque, une patie étant dissipée sous fome de fottements mécaniques et d effet Joule. En égime pemanent établi, ce bilan se simplifie sous la fome : l l Ei Ri + fω La puissance du généateu compense entièement les petes. l 67

68 Exemples de moteus : 68

69 V) Application au haut-paleu électodynamique (couplage électomécanique), bilan énegétique : La figue suivante epésente un dispositif pouvant sevi aussi bien de haut-paleu que de micophone. R L C +q i S N (P) u u θ u z E (B) F z S (A) 69

70 70

71 (A) est un aimant pemanent possédant une symétie de évolution d axe (Oz). Dans son entefe ègne un champ magnétique adial, dans la égion où se déplace le bobinage (B) solidaie du pavillon (P), ce champ s écit en coodonnées cylindiques : B B u (P) est un système de masse totale m, susceptible de se déplace le long de l axe (Oz). Il peut ête mis en mouvement de tanslation pa l action d une foce extéieue F u z. Il subit en oute des foces dissipatives de somme h z& u z, des foces de appel de somme k z uz execées pa un système de essots ainsi que des foces de Laplace de somme f execées su (B). Ce denie, constitué d une longueu totale de fil l, tanspote un couant d intensité i. Négligeant l hélicité de (B), on admet que chaque élément de fil est epésentable en coodonnées cylindiques pa : dl dl u θ 7

72 (B) est alimenté pa une souce de tension E à taves un cicuit dont on note R, L et C les ésistances, inductances et capacités totales (c est-à-die elatives à l ensemble du cicuit, (B) compis). On peut expime f en fonction de i q&, B et l. En effet, si l on somme les foces de Laplace qui s execent su les difféents éléments de (B) : df i dl u B u ibdl u et f ibl u θ On en déduit l équation difféentielle (M) véifiée pa z(t) qui taduit le compotement mécanique du système en écivant le théoème de la ésultante cinétique appliqué au pavillon (P) (et pojeté su l axe (Oz)) : m & z hz& kz Bli + F soit mz && + hz& + kz Bli + On obtient ainsi l équation mécanique (M) du système. z z F 7

73 Afin d obteni l équation électique (E), on va expime en fonction de fém e induite dans (B). Su un élément d l de (B) est induite la fém : de ( v B). dl ( z& u B u ). dl u Bz& dl z θ et, en intégant le long de (B) dans le sens positif de i : e Bz& l Blv La loi des mailles donne alos l équation électique (E) du cicuit : v z&, B et l la L q&& + Rq& + q Blv + C On effectue la combinaison (M).v+(E).i : E ( mz && + hz& + kz). v + ( Lq&& + Rq& + q). i ( Bli + F). v + ( Blv + C On voit que cette équation peut se mette sous la fome : E). i 73

74 du dt Fv + Ei Ri hv Avec : U mv + kz + Li + q C U epésente l énegie mécanique du système et son énegie électomagnétique. L équation pécédente taduit la consevation de l énegie : la déivée de U est égale à la somme des puissances founies pa les deux souces d énegie du système (la foce extéieue F et la souce de tension E) diminuée des puissances dissipées sous fome de fottements (ou d énegie acoustique los que le haut-paleu émet un son) ou d effet Joule. 74