1 Définition et premiers exemples

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Définition et premiers exemples"

Transcription

1 Master Eseigemet Aalyse Uiversité Paris 13 Devoir maiso d aalyse Le but de ce petit problème est d étudier les foctios covexes. À partir de la défiitio géométrique, o démotrera les propriétés de base (iégalités des petes croissates, résultats sur la dérivabilité et la cotiuité. O démotrera esuite ue iégalité plus géérale, dot ue coséquece sera ue comparaiso etre la moyee arithmétique et la moyee géométrique. Das tout le problème, I désige u itervalle o vide de IR. 1 Défiitio et premiers exemples Défiitio : Soit f ue applicatio de I das IR. O dit que f est ue foctio covexe sur I si (x, y I 2, t [0, 1], f(tx + (1 ty tf(x + (1 tf(y. (* Défiitio : Pour x < y das I, o appelle arc du graphe de f etre x et y l esemble des poits de coordoées (z, f(z où z décrit l itervalle [x, y]. Pour x < y das I, o appelle corde du graphe de f etre x et y le segmet d extrémités (x, f(x et (y, f(y. Iterprétatio géométrique : Ue foctio est covexe sur I si et seulemet si tout arc du graphe de f est e-dessous de sa corde. Défiitio : Soit I u itervalle de IR et f ue applicatio de I das IR. O dit que f est ue foctio cocave sur I si (x, y I 2, t [0, 1], f(tx + (1 ty tf(x + (1 tf(y. Questio 1.1 Détermier géométriquemet lesquelles des foctios suivates sot covexes : a f : IR IR, f(x = e x si x IR. b f : IR IR, f(x = x 2 si x IR. c f : IR IR, f(x = x 3 si x IR. d f : IR + IR, f(x = x 3 si x IR +. e f : [ 1, 1] IR, f( 1 = 2, f(1 = 2 et f(x = x 2 si x ] 1, 1[. f f : [ 1, 1] IR, f( 1 = 0, f(1 = 0 et f(x = x 2 si x ] 1, 1[. g f : [ 1, 1] IR, f(x = 0 si x < 0 et f(x = x si x 0. (O tracera l allure des graphes et si la foctio est pas covexe, o tracera ue corde le prouvat. Questio 1.2 Soit f ue applicatio de I das IR. seulemet si f est cocave. Motrer que f est covexe si et Questio 1.3 Doer l iterprétatio géométrique de la cocavité. E déduire les applicatios qui sot à la fois covexes et cocaves.

2 2 Propriétés de cotiuité et dérivabilité des foctios covexes 2.1 Iégalité des petes croissates Soit f : I IR. O veut motrer la caractérisatio suivate de la covexité : f covexe sur I ( (x, y, z I 3 f(y f(x f(z f(x, x < y < z y x z x O appelle la double iégalité du terme de droite l iégalité des petes croissates. f(z f(y z y Pour démotrer cette caractérisatio, o va raisoer géométriquemet. Pour x < y < z das I, o itroduit les poits suivats : A de coordoées (x, f(x, B de coordoées (y, f(y, C de coordoées (z, f(z et P le poit d abscisse y sur le segmet [AC]. Questio 2.1.a (Représetatio graphique d u cas particulier Tracer l allure de la courbe de f = exp sur [ 1, 1], et placer les poits A, B, C et P das le cas x = 1, y = 0, z = 1. Iterpréter géométriquemet les trois valeurs das l iégalité des petes croissates. O prouve maiteat la caractérisatio das le cas gééral. Questio 2.1.b Exprimer l ordoée de P (que l o ote y P e foctio de f(x, y x et de la pete de la droite (AC. Exprimer y P d autre part e foctio de f(z, y z et de la pete de la droite (AC. Questio 2.1.c Déduire de la questio précédete que si f est covexe sur I, alors l iégalité des petes croissates est vérifiée. Questio 2.1.d Réciproquemet, si o suppose que l iégalité des petes croissates est vérifiée pour f, motrer que f(y y P et e déduire que f est covexe sur I. 2.2 Dérivabilité et cotiuité Soit f ue foctio covexe de I das R. O veut motrer qu e tout poit itérieur à I, f est cotiue, dérivable à gauche et dérivable à droite. Soit x 0 u poit itérieur à I. O itroduit la foctio φ : I ], x 0 [ IR défiie par : x I ], x 0 [, φ(x = f(x f(x 0 x x 0. Questio 2.2.a Soit x et y das I tels que x < y < x 0. E utilisat l iégalité des petes croissates, démotrer que φ(x φ(y. Questio 2.2.b Soit λ das I avec λ > x 0. Démotrer que φ est majorée par f(λ f(x 0 λ x 0. (o pourra utiliser l iégalité des petes croissates Questio 2.2.c E déduire que f est dérivable à gauche e x 0 et est cotiue à gauche e x 0.

3 Questio 2.2.d Commet pourrait-o procéder pour motrer que f est dérivable à droite e x 0 et est cotiue à droite e x 0? Remarque à reteir : O a motré qu ue foctio covexe était dérivable à gauche et à droite (doc cotiue e tout poit itérieur à I. Cepedat, elle peut très bie e pas être dérivable e u poit (cf. l exemple g de la questio 1.1, et peut e pas être cotiue aux extrémités de l itervalle (cf l exemple e de la questio 1.1. Cocerat les dérivées à gauche et à droite, o pourrait motrer de plus que f g(x 0 f d (x 0 pour x 0 itérieur à I. 2.3 Caractérisatio des foctios covexes dérivables Das toute cette partie 2.3, o suppose que f est ue foctio dérivable de I das IR. Questio 2.3.a Supposos f covexe. Soit x < z fixés das I, et y das ]x, z[. E utilisat l iégalité des petes croissates, démotrer que f f(z f(x (x f (z. z x (o pourra faire tedre y vers des valeurs bie choisies pour prouver chacue des iégalités Questio 2.3.b E déduire que si f est covexe, alors f est croissate. O s itéresse maiteat à l implicatio réciproque. O suppose doc f croissate das les questios à veir de la partie 2.3, et o souhaite démotrer que f est covexe. Soit x < y fixés das I, et φ : [0, 1] IR défiie par t [0, 1], φ(t = tf(x + (1 tf(y f(tx + (1 ty. Questio 2.3.c φ(1. Démotrer que φ est dérivable et calculer sa dérivée. Calculer φ(0 et Questio 2.3.d Ecrire l égalité des accroissemets fiis pour f etre x et y. E déduire qu il existe λ ]0, 1[ tel que pour tout t de [0, 1], ( φ (t = (x y f (λx + (1 λy f (tx + (1 ty. Questio 2.3.e Résoudre l iégalité λx + (1 λy tx + (1 ty d icoue t et e déduire le sige de φ sur [0, λ] et sur [λ, 1]. Questio 2.3.f Etablir le tableau de variatio de φ (o e précisera pas f(λ. Questio 2.3.g Coclure. Remarque à reteir : Cette partie 2.3 prouve doc que pour ue foctio f dérivable, il y a équivalece etre la covexité de f et la croissace de f. O e déduit aisémet que pour f deux fois dérivable, il y a équivalece etre la covexité de f et la positivité de f. De faço similaire, o peut motrer qu ue foctio dérivable est covexe si et seulemet si so graphe est au-dessus de toutes ses tagetes.

4 3 Ue utilisatio de la covexité Soit f ue applicatio de I das IR. Soit IN, (x 1,..., x I et (λ 1,..., λ [0, 1] vérifiat λ λ = 1. O admet pour les parties 3.1 et 3.2 que l iégalité suivate est vérifiée si f est covexe. ( f λ i x i λ i f(x i (** O prouvera das la partie 3.3 que l iégalité ( implique bie l iégalité (. 3.1 Moyees arithmétique et géométrique Questio 3.1.a Grâce aux résultats de la partie 2.3, démotrer que la foctio logarithme épérie est cocave. Questio 3.1.b O cosidère maiteat IN, (x 1,..., x (IR +. Démotrer que ( ( 1 1 l x i l x i. Questio 3.1.c E déduire que la moyee arithmétique des ombres x 1,..., x est supérieure à leur moyee géométrique. 3.2 Etropie d ue probabilité O cosidère l uivers Ω = {1,..., } et P ue probabilité sur Ω. O rappelle que P est caractérisée par les réels p k = P({k} pour 1 k. L etropie de la probabilité P est défiie par H(P = p k l(p k. Avec pour covetio 0 l(0 = 0. Questio 3.2.a Motrer que H est à valeurs das R + et trouver ue P telle que H(P = 0. Questio 3.2.b Calculer H(P lorsque P est la loi uiforme sur {1,..., }. Questio 3.2.c Soit (q k, k [ 1, ] et (p k, k [ 1, ] deux probabilités sur {1,..., }, telles qu aucu p k ou q k e s aule. Démotrer à l aide de l iégalité ( appliquée à la foctio l, aux poits x k = p k /q k et à λ k = q k que q k l(p k q k l(q k. E choisissat p k = 1/ pour tout k {1,..., }, e déduire que la probabilité uiforme réalise le maximum de H. 1 1 De faço heuristique, l etropie mesure le maque d iformatio d ue loi : o voit aisi que la loi uiforme, qui e favorise aucu des possibles, est la loi qui apporte le mois d iformatio. Iversemet, la loi de probabilité où u des possibles a probabilité 1 de se réaliser réalise le miimum de l etropie sur Ω = {1,..., }.

5 3.3 Iégalité gééralisée de covexité O veut ici démotrer l iégalité ( pour ue foctio covexe f. O procède par récurrece sur. Questio 3.3.a Démotrer que ( est vérifiée pour = 1 et pour = 2. Pour toute la suite, soit fixé tel que ( soit vraie. O veut démotrer que ( est vraie au rag suivat. Fixos doc (x 1,..., x +1 I +1 et (λ 1,..., λ +1 [0, 1] +1 vérifiat λ λ +1 = 1. Questio 3.3.b Motrer que si λ +1 = 1, alors ( est vérifiée. Questio 3.3.c O s itéresse maiteat au cas λ +1 < 1. O a doc λ i = 1 λ +1 > 0. 1 Posos y = λ λ i x i. O admet que y est bie u poit de I. i Motrer f ( +1 λ i x i (1 λ +1 f(y + λ +1 f(x D autre part, motrer via l hypothèse de récurrece que f(y λ i f(x i. 1 λ +1 Combier les deux iégalités précédetes pour obteir l iégalité ( au rag + 1.

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES

CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES Dérivatio des octios composées Cours CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES. DERIVATION d ue FONCTION COMPOSEE.. Dérivée d ue octio composée Théorème Soit ue octio dérivable

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes 1 Ue défiitio de la foctio expoetielle das l esprit des ouveaux programmes 0. Itroductio. Les ouveaux programmes de mathématiques de termiale S qui sot etrés e vigueur à la retrée 2002 icitet fortemet

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE Nombre de pages de l épreuve Durée de l épreuve 0 pages 3h00 Compte teu du fait qu il s agissait d u cocours d etraiemet, cette épreuve à été prise sur le

Plus en détail

Master Ingénierie mathématique, Univ. Nantes Option Mathématiques et applications, ECN. Statistique Inférentielle.

Master Ingénierie mathématique, Univ. Nantes Option Mathématiques et applications, ECN. Statistique Inférentielle. Master Igéierie mathématique, Uiv. Nates Optio Mathématiques et applicatios, ECN Statistique Iféretielle. Ae Philippe Uiversité de Nates, LMJL Adresses email : Ae.Philippe@uiv-ates.fr Pages web : Iformatio

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1.

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1. Chapitre VI : Foctio expoetielle I. La foctio expoetielle a) Défiitio La foctio expoetielle, otée exp, est la foctio défiie sur! par exp(x) = e x, e x état l uique ombre réel strictemet positif dot le

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Problème 1 : continuité uniforme

Problème 1 : continuité uniforme SESSION 0 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : cotiuité uiforme f est pas uiformémet cotiue sur I si et seulemet si ε > 0/ η > 0, x,y I / x y η et fx fy > ε Soit f ue foctio -lipschitziee sur I avec

Plus en détail

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Sujet

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Sujet Sujet Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Le barème est fouri à titre idicatif. Eercice 1 (commu) [5 poits] 3 Soit la foctio f défiie sur + par f ( ) =. O appelle C, la courbe représetative

Plus en détail

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 6

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 6 Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 6 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2

CORRIGÉ DE LA FEUILLE 2 CORRIGÉ DE LA FEUILLE. Exercice Soiet u et v deux séries à termes positifs.. Si ue des séries est divergete, alors la série de terme gééral u + v est divergete C est vrai. E effet, supposos que la série

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

1 + ln x + 1 2. MA + MB + MC + MD. AMERIQUE DU SUD Novembre 2000

1 + ln x + 1 2. MA + MB + MC + MD. AMERIQUE DU SUD Novembre 2000 MERIQUE DU SUD Novembre 000 EXERIE U sac cotiet trois boules umérotées respectivemet 0, et, idiscerables au toucher. O tire ue boule du sac, o ote so uméro et o la remet das le sac ; puis o tire ue secode

Plus en détail

Chapitre 2 : Etudes de fonctions.

Chapitre 2 : Etudes de fonctions. PCSI Préparatio des Khôlles 0-04 Chapitre : Etudes de foctios. Eercice type Motrer que pour [0,], o a( ) 4. Edéduire que ( ) 4. Solutio : Si R, 4 ( ) 4 0. Preos alors ]0,[, alors {0,,}, (( )) ( ) 4, e

Plus en détail

TD n 3 : quelques exercices sur la récurrence

TD n 3 : quelques exercices sur la récurrence Éocé TD 3 : quelques exercices sur la récurrece Exercice 1 Soit (a ) 0 ue suite de ombres réels ou complexes. O pose b 0 = 1 et b = (1 a k ) pour 1. Motrer que b +1 = 1 Exercice O défiit ue suite (u )

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Suites numériques : définition générale.

Suites numériques : définition générale. 1 Suites arithmétiques Suites umériques : défiitio géérale.... Le pricipe de récurrece... 3 Suites arithmétiques... 4 Formule 1 des suites arithmétiques... 5 Appreos à compter... 6 Formule des suites arithmétiques...

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5 Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 5 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice

Plus en détail

Quelques inégalités classiques

Quelques inégalités classiques Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 06 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer qu

Plus en détail

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP Cocours Commus Polytechiques - Sessio 11 Corrigé de l épreuve d aalyse- Filière MP Séries etières, équatios différetielles et trasformée de Laplace Corrigé par M.TRQI http://alkedy.1.m Eercice 1 1. La

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

( ) soit vraie, et on démontre ( ) elle est vraie. ( ) est vraie pour tout entier naturel n n 0

( ) soit vraie, et on démontre ( ) elle est vraie. ( ) est vraie pour tout entier naturel n n 0 Chapitre 1 : Les suites umériques I. Le raisoemet par récurrece 1. Présetatio Soit P( ) la propriété : «7 + 2 est divisible par 3». O veut vérifier que cette propriété est vraie pour tout etier aturel.

Plus en détail

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. LEÇON N 20 : Racies -ièmes d u ombre complexe. Iterprétatio géométrique. Applicatios. Pré-requis : Représetatio d u ombre complexe das le pla R 2 mui d u repère orthoormé direct ; Formes trigoométrique

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA SESSION 993 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIÉRE PARTIE ) Les polyômes L 0,, L sot + polyômes de R [X] qui est de dimesio + Pour vérifier que la famille (L i ) 0 i est ue

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1 Révisions de topologie et d analyse fonctionnelle

Feuille d exercices n o 1 Révisions de topologie et d analyse fonctionnelle Distributios-Aalyse foctioelle 1 Maîtrise de Mathématiques Feuille d exercices o 1 Révisios de topologie et d aalyse foctioelle 1. Quelle est la différece etre C(Ω), C(Ω) et C(Ω)? 2. Soit H u espace préhilbertie

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Juin 2014 MATHEMATIQUES

Juin 2014 MATHEMATIQUES Jui 014 1 ères S MATHEMATIQUES Voici ue série d exercices sur différets thèmes abordés e classe de première S. Ils vous permettrot de repredre cotact avec les mathématiques avat d aborder la classe de

Plus en détail

Terminale S. 1. Divers

Terminale S. 1. Divers Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Chapitre 4. Lois de Probabilité. Sommaire. 1. Introduction. 4. 2. Lois discrètes..4

Chapitre 4. Lois de Probabilité. Sommaire. 1. Introduction. 4. 2. Lois discrètes..4 Mathématiques : Outils pour la Biologie Deug SV UCBL D. Mouchiroud (5/0/00) Chapitre 4 Lois de Probabilité Sommaire. Itroductio. 4. Lois discrètes..4.. Loi uiforme..4... Défiitio...4... Espérace et variace..5..

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Préparation concours Sciences-Po

Préparation concours Sciences-Po Lycée Féelo Saite-Marie Préparatio cocours Scieces-Po Cocours blac de Mathéatiques Mai 0 Durée : 4 heures Tout docuet iterdit La calculatrice graphique type «lycée» est autorisée Toute répose doit être

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION

Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION Les doées se présetet sous la forme d ue suite de couples de valeurs umériques(x i, y i ), umérotés de à i =. O ote m x, s x ², m y, s y ² les moyees et les variaces des

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen Uiversité Paris-Dauphie Aée 28-29 U.F.R. Mathématiques de la décisio L3 - Statistique Mathématique Exame Durée 2h. Le barême est doé à titre idicatif. Exercice : 5 poits) Soit X,...,X ) u échatillo de

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

1 Intervalles de confiance. 2 Tests d hypothèses. 3 La loi du χ 2. X N (µ; σ 2 ) n très grand = la valeur observée x de X µ

1 Intervalles de confiance. 2 Tests d hypothèses. 3 La loi du χ 2. X N (µ; σ 2 ) n très grand = la valeur observée x de X µ Pla du cours 3 RFIDEC cours 3 : Itervalles de cofiace, tests d hypothèses, loi du χ Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Itervalles de cofiace Tests d hypothèses 3 La loi du χ Itervalles

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion

COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licence d économie et de gestion COURS DE STATISTIQUES INFERENTIELLES Licece d écoomie et de gestio Laurece GRAMMONT Laurece.Grammot@uiv-st-etiee.fr http://www.uiv-st-etiee.fr/maths/cvlaurece.html September 19, 003 Cotets 1 Rappels 5

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

Reconnaissance des formes: Fenêtre de Parzen

Reconnaissance des formes: Fenêtre de Parzen Préom Nom Recoaissace des formes: Feêtre de Parze Pricipes de l'appretissage o paramétrique Estimatio o paramétrique de la desité Feêtres de Parze vs. k plus proches voisis Feêtres de Parze Réseau de euroes

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Corrigé de CCP 2015 Math PC

Corrigé de CCP 2015 Math PC Corrigé d CCP 5 Math PC Problèm : Aalys t probabilités Parti I : Aalys..a. Pour N, f st dérivabl sur R + t, pour t, f (t) = t t ( t).! f st doc croissat sur [; ], décroissat sur [; + [ t f () = = lim f

Plus en détail

Une démonstration du théorème. fondamental des nombres premiers. Fin de Licence 3, 2006-2007, Université d'orsay, Professeur : M. Zuily.

Une démonstration du théorème. fondamental des nombres premiers. Fin de Licence 3, 2006-2007, Université d'orsay, Professeur : M. Zuily. Ue démostratio du théorème fodametal des ombres premiers Fi de Licece 3, 26-27, Uiversité d'orsay, Professeur : M. Zuily. Table des matières Itroductio 2. Quelques rappels et otatios....................................

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Fonctions convexes. Prologue

Fonctions convexes. Prologue Foctios covexes Prologue Ce chapître développe les propriétés des foctios covexes f C E R défiies sur ue partie covexe C d u espace de dimesio fiie E. Si, fodametalemet, la covexité est ue propriété uidimesioelle

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Itégratio complexe Exercice - Avez-vous compris? - L3/M - Le chemi est paramétré par t (t, t 2 ), où t [, 2]. O a doc, le log du chemi, z t + it 2, dz ( + 2it)dt, et doc I 2 (t it 2 )( + 2it)dt 9 + 7 3

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Fiace d Etreprise, Gestio des systèmes d iformatio. SESSION 2012 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et fiace d etreprise

Plus en détail

6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédentaire (proportional

6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédentaire (proportional 6 Tests d hypothèse (Klei 6.3, Lawless 10.2 et 10.3, Klugma 13.4) 6.1 Modèle multiplicatif de mortalité excédetaire (proportioal hazard) O veut comparer la mortalité d u groupe sous étude avec celle d

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail