Exemples de questions de théorie

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1 Université de Liège Département ArGEnCo Secteur MS²F Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques Cours d Eléments de Mécanique des Fluides ( ème Bachelier CO & ARCH) Prof. M. PIROTTON Exemples de questions de théorie 1. Pour différents fluides, expliquer la relation entre les contraintes de cisaillement et le gradient de vitesse. Détailler particulièrement les deux fluides suivants : newtonien et parfait.. Démontrer que la pression est une grandeur scalaire. 3. Enoncer et ensuite démontrer le principe d Archimède. Discuter la stabilité des corps flottants. 4. Définir les notions de trajectoire et de ligne de courant. Dans quel(s) cas particulier(s) ces deux notions sont elles identiques? 5. Le principe de conservation de la quantité de mouvement énoncé par Newton privilégie t il une vue lagrangienne ou eulérienne? Quelle est la vision privilégiée en mécanique des fluides? Pourquoi? Est il possible de passer d un système à l autre? 6. Définir la notion de dérivée particulaire. 7. Quelles sont les forces à considérer dans le principe de conservation de la quantité de mouvement? Exprimer mathématiquement le tenseur des forces de surface. 8. Quelle est la définition physique et mathématique d un fluide incompressible? Un fluide hétérogène peut il être incompressible? Quelle est la conséquence de l incompressibilité sur la formulation de la conservation de la masse? 9. Quels sont les mouvements que subit une particule fluide lors de son déplacement? Quelle est la liaison mathématique entre le rotationnel du vecteur vitesse et la vitesse angulaire? 10. Définir les notions de fil, surface, tube et débit tourbillonnaires. Que vaut le débit tourbillonnaire à travers un tube tourbillonnaire? 11. Quels sont les trois états possibles d un tube tourbillonnaire? Quel(s) phénomène(s) de la mécanique des fluides peut (peuvent) être approché(s) par la notion de tube ou couches tourbillonnaires? 1. Définir la notion de circulation du champ de vitesse. Quel est le lien possible avec le tube tourbillonnaire? 13. Après avoir décrit la géométrie (axes, plan d écoulement, ), établir le champ de vitesse engendré par un fil tourbillonnaire rectiligne. Décrire le type d écoulement engendré.

2 14. Définir la notion de taux de déformation angulaire. Quel est le lien avec le tenseur de contraintes des forces de surface. 15. A partir du système en écriture indicielle exprimant la conservation de masse et de quantité de mouvement : divu 0 t ui p divuiu Fi t xi xj Ecrire le système d équations de Navier Stokes, en notation vectorielle, pour un fluide incompressible newtonien. Etablir la simplification que subit le terme de tensions visqueuses. 16. Quelle est la différence entre le système d équations de Navier Stokes et d Euler? Quels sont le domaine d application et/ou les limitations des équations d Euler? 17. Quelles sont les inconnues du système d équations de Navier Stokes? Le système est il fermé? 18. Expliquer, sur base de l équation de conservation de la masse, comment se réalise la mise sous forme adimensionnelle des équations? divu 0 t 19. Expliquer, sur base des équations de conservation de la quantité de mouvement, comment se réalise la mise sous forme adimensionnelle des équations? ui p divuiu Fi t xi xj 0. Citer quatre nombre adimensionnels du système général de la mécanique des fluides divu 0 t ui p divuiu Fi t xi xj Donner la signification physique pour chaque nombre adimensionnel. 1. Le nombre de Reynolds est important pour caractériser le type d écoulement. Que représente t il? Quels sont ses dimensions? Donner quelques seuils de valeurs de ce nombre et les écoulements associés.. Définir les notions de traînée et de portance. Exprimer mathématiquement de façon générale la traînée et la portance pour un corps mince aérodynamique plongé dans un fluide en mouvement de translation uniforme. 3. Depuis le système d équations d Euler écrit sous la forme de Lamb : U0 t U 1 U U F p t Faire apparaître la fonction de Helmholtz en rappelant les hypothèses nécessaires.

3 4. Donner les hypothèses sur le mouvement et les propriétés du fluide et ensuite établir la formule de Bernoulli à partir du système d équations d Euler écrit sous la forme de Lamb U0 t U 1 U U F p t 5. Pour l équation de continuité, quelle est l utilité de définir la notion de «vecteur potentiel»? Expliquer cette notion dans le cadre d un écoulement dans le plan xy. Etablir ainsi le lien entre le champ de vitesse et la fonction de courant. 6. Démontrer que la fonction de courant est une constante le long d une ligne de courant. 7. Définir la notion d écoulement irrotationnel. Cet écoulement particulier est il obligatoirement lié à un fluide parfait? 8. Après avoir défini chaque notion, démontrer comment se mobilisent les contraintes visqueuses d un fluide newtonien incompressible dans le cas d un écoulement irrotationnel. 9. Définir la notion de potentiel de vitesse dans le cas d un écoulement irrotationnel. 30. Après avoir défini chaque notion, démontrer pourquoi un fluide non barotrope ne peut développer un écoulement irrotationnel. U0 t U 1 U U F p t 31. Un écoulement irrotationnel est il obligatoirement stationnaire? expliquer. 3. Depuis le système d équations d Euler écrit sous la forme de Lamb : U0 t U 1 U U F p t Exprimer comment se reformule le système d équations dans le cas d un écoulement irrotationnel. 33. Etablir les deux formulations de l équation de Laplace. 34. Définir et donner les propriétés de la fonction de courant et du potentiel de vitesse. 35. Démontrer ce que devient la circulation du champ de vitesse dans le cas d un écoulement irrotationnel. Expliquer quel champ de vitesse peut développer un fluide initialement au repos. 36. Expliquer la notion de corps imperméable. Quelle(s) condition(s) limite(s) doit on lui appliquer dans le cas d un écoulement irrotationnel? 37. Expliquer s il est possible de superposer des solutions d écoulements irrotationnels? Quelle en est l utilité physique? 38. Comment peut on représenter l écoulement irrotationnel autour d un cercle fictif centré en (0,a)? 39. Enoncer le paradoxe de d Alembert.

4 40. Que représente physiquement une couche tourbillonnaire? L écoulement résultant est il irrotationnel? 41. Sur base du principe de conservation de l énergie (Bernoulli), expliquer l effet Magnus Robins sur un cylindre en rotation. 4. De quels paramètres du fluide ou propriétés de l écoulement dépend l effort de portance sur un corps? 43. Pour une aile, expliquer la naissance d un tourbillon de démarrage lors d une phase d accélération. 44. Définir la notion de sillage. 45. Un écoulement irrotationnel peut il exister pour un fluide newtonien dans un espace confiné et en présence d une paroi immobile? expliquer. 46. Définir la notion de régime établi et non établi. 47. Définir la notion de couche limite. 48. Quel est le lien entre rotationnalité dans le fluide et couche limite? 49. Comment évolue globalement l épaisseur de la couche limite en fonction du Reynolds? a. Re b. Re c. 1 Re Justifier physiquement votre réponse. 50. Dans le cadre d une plaque plane mince, expliquer la démarche d établissement de l évolution de l épaisseur de la couche limite grâce à un bilan macroscopique sur un volume de contrôle. Définir la notion de profil auto similaire. 51. Expliquer physiquement le phénomène de décollement de la couche limite. Ce décollement a t il lieu plus rapidement en laminaire ou en turbulent? expliquer. 5. Définir physiquement et mathématiquement les coefficients de traînée (C D ) et de portance (C L ). 53. Décrire l expérience de Reynolds. Quelles sont ses observations majeures? 54. Quelle(s) est (sont) le(s) hypothèse(s) liée(s) à l écoulement de Stokes? 55. En partant du système général suivant (pour un fluide incompressible newtonien) : uk 0 xk ui uu i k 1 p Fi u i t xk xi Etablir analytiquement l écoulement de Couette unidimensionnel entre deux plaques horizontales parallèles. 56. En partant du système général suivant (pour un fluide incompressible newtonien) : uk 0 xk ui uu i k 1 p Fi u i t xk xi Etablir analytiquement l écoulement de Poiseuille unidimensionnel entre deux plaques horizontales parallèles.

5 57. A partir de l expression générale de la vitesse d un écoulement entre deux plaques horizontales parallèles (pour un fluide incompressible newtonien): 1 dp yh y U uy s y dx h Exprimer analytiquement les tensions de cisaillement au sein du fluide et à la paroi. Etablir les expressions des pertes en long pour le cas particulier de l écoulement de Couette. 58. A partir de l expression générale de la vitesse d un écoulement entre deux plaques horizontales parallèles (pour un fluide incompressible newtonien): 1 dp yh y U uy s y dx h Exprimer analytiquement les tensions de cisaillement au sein du fluide et à la paroi. Etablir les expressions des pertes en long pour le cas particulier de l écoulement de Poiseuille. 59. Grâce à une analyse dimensionnelle, établir la relation générale des pertes en long dans une canalisation. 60. Donner le profil de vitesse d un écoulement laminaire en canalisation circulaire rectiligne en régime établi (pas de démonstration mathématique). Comment s exprime le coefficient de perte en long dans ce cas précis? 61. Quels sont les problèmes liés à l intégration de la loi de Bernoulli sur la section d une canalisation? Comment le praticien a t il généralisé cette loi établie analytiquement le long d une ligne de courant? 6. A quoi sont dues les pertes locales dans une canalisation? 63. Etablir la formulation de la perte locale de Bélanger dans le cas d un élargissement brusque. 64. A partir des deux premiers principes de la mécanique des fluides : dm d conservation de la masse : dv 0 dt dt V fluide conservation de la quantité de mouvement : dmu Fi pression, gravité, frottement dt où : m est la masse t est le temps est la masse volumique U est le champ de vitesse Etablir le système d équations instationnaires intégrées pour un écoulement unidimensionnel pleinement turbulent en section circulaire. 65. Définir la notion de célérité des ondes. De quel(s) paramètre(s) (fluide, écoulement, canalisation, ) dépend elle? 66. Définir mathématiquement et physiquement la notion de caractéristiques pour un système d équations hyperboliques.

6 67. Expliquer le phénomène de coup de bélier dans le cas de la fermeture brusque d une vanne dans une canalisation circulaire horizontale et alimentée par un réservoir à niveau constant. 68. Expliquer la démarche d analyse de stabilité linéaire d un écoulement. Sous quelle forme les résultats d une telle analyse sont ils synthétisés? 69. Expliquer la notion de stabilité de l écoulement. Quel est le lien avec la turbulence? 70. Définir la notion de décomposition de Reynolds pour une variable fluctuante. Quelles sont les hypothèses liées à l application de cette décomposition? 71. Démontrer analytiquement comment est transformée l équation de continuité par l utilisation de la décomposition de Reynolds. Quelles sont les hypothèses liées à l application de cette décomposition? 7. Expliquer la notion de cascade d énergie dans un écoulement turbulent. Quel(s) terme(s) du système d équation implique(nt) une telle interaction entre les échelles de la turbulence? divu 0 t ui p divuiu Fi t xi xj 73. Quelles sont les caractéristiques générales de la couche limite turbulente d une plaque plane mince lisse et infiniment longue? Etablir les nombres adimensionnels utilisés dans le profil universel de vitesse. 74. Comment évolue l épaisseur de la couche limite turbulent vis à vis de la couche limite laminaire sur une plaque plane mince lisse et infiniment longue? 75. Quel est l effet de la rugosité des parois sur la loi de pertes en long dans une canalisation en écoulement turbulent ou laminaire? 76. Expliquer l intérêt d une campagne d essais physiques réalisés selon une similitude de Froude. 77. Expliquer l intérêt d une campagne d essais physiques réalisés selon une similitude de Reynolds. 78. Démontrer à quelle échelle une campagne d essais physiques doit être menée pour conserver la représentativité à la fois des forces d inertie, de viscosité et de gravité. 79. Dans un modèle physique, comment peut être pris en compte le phénomène de sédimentation de particules?

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