Cours d algèbre 1. MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed et EL AOUNI Allal. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

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1 UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz Cours d algèbre 1 MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed et EL AOUNI Allal Département de Mathématiques Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 39

2 Chapitre 4 L espace vectoriel IR n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 2 / 39

3 Généralités la structure d espace vectoriel IR n la structure d espace vectoriel IR n Définition Soit n un entier naturel. IR n est le produit cartésien de n copies de R. C est à dire IR n = {(a 1, a 2,..., a n ) tq a 1, a 2,..., a n IR} 1 Pour n = 1, IR 1 = IR. 2 Pour n = 2, IR 2 = {(x, y), tq x, y IR}. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 3 / 39

4 Généralités la structure d espace vectoriel IR n la structure d espace vectoriel IR n Définition pour n IN on définit dans IR n les deux opérations : 1 a = (a 1, a 2,..., a n ) IR n et b = (b 1, b 2,..., b n ) IR n : a + b = (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) a + b est appelé la somme de a et b. 2 α IR et a = (a 1, a 2,..., a n ) IR n : αa = (αa 1, αa 2,..., αa n ) αa est appelé le produit de α par a. Cette opération est appelé la multiplication externe dans IR n sur IR. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 4 / 39

5 Généralités la structure d espace vectoriel IR n la structure d espace vectoriel IR n Définition Soit n IN. On dit que IR n muni de l addition et la multiplication externe sur IR est un espace vectoriel et on note IR n est e.v. les éléments de IR sont appelés les scalaires. les éléments de IR n sont appelés les vecteurs de IR n Le vecteur (0, 0,..., 0) est appelé le vecteur nul et noté 0 n. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 5 / 39

6 Généralités la structure d espace vectoriel IR n la structure d espace vectoriel IR n Définition Soit n IN et a, a 1, a 2,..., a p IR n. On dit que a est combinaison lineaire de a 1, a 2,...,a p s il existe λ 1, λ 2,..., λ p IR tels que a = p λ i a i = λ 1 a 1 + λ 2 a λ p a p i=1 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 6 / 39

7 Sous espace vectoriel de IR n Sous espace vectoriel de IR n Généralités Définition Une partie E de IR n est dite sous espace vectoriel de IR n et on note E est un s.e.v. s elle vérifie les trois propriétés suivantes : 1 E est non vide : E 2 E est stable par addition : a, b E, a + b E 3 E est stable par multiplication par un scalaire : a E, λ R, λa E. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 7 / 39

8 Sous espace vectoriel de IR n Sous espace vectoriel de IR n Généralités Exemples 1 IR n est un sous espace de IR n. 2 0 n = (0,..., 0) est sous espace de IR n. Propriété Si E est un sous espace vectoriel de IR n alors 0 n E Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 8 / 39

9 Sous espace vectoriel de IR n Sous espace vectoriel de IR n Généralités Proposition Soit E une partie de IR n. E est un s.e.v. de IR n si et seulement si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : 1 E. 2 α IR, u, v E : αu + v E Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 9 / 39

10 Sous espace vectoriel de IR n Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels Exemples 1 E = {(x, y, z) IR 3 tq : 2x y + 3z = 1} n est pas un sous espace vectoriel de IR 3. 2 E = {(x, y) IR 2 tq xy = 0} n est pas un sous espace vectoriel de IR 2. 3 E = {(x, y, z) IR 3 tq : 2x y + 3z = 0} est un sous espace vectoriel de IR 3. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 10 / 39

11 Sous espace vectoriel de IR n Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels Propriétés Si E et F sont deux sous espaces vectoriels de IR n alors E F est un sous espaces vectoriel de IR n. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 11 / 39

12 Sous espace vectoriel de IR n la somme directe des sous espaces vectoriels la somme directe des sous espaces vectoriels Définition Soient n IN, E et F sont deux sous espaces vectoriels de IR n. On appelle somme de E et F ou E plus F l ensemble noté E + F défini par E + F = {a + b tq a E et b F } Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 12 / 39

13 Sous espace vectoriel de IR n la somme directe des sous espaces vectoriels la somme directe des sous espaces vectoriels Définition Soient E et F deux s.e.v. de IR n. On dit que la somme de E et F est directe si a E + F il existe d une façon unique a E E et a F F tels que a = a E + a F. dans ce cas : 1 E + F est noté aussi E F. 2 E F est appelé somme directe de E et F. 3 a { E F ae, est appelé la projection de a sur E parallèlement à F a F, est appelé la projection de a sur F parallèlement à E 4 Si G est un s.e.v. de IR n et E F = G on dit que E et F sont supplémentaires dans G ou E est un supplémentaire de F dans G. 5 Si E et F sont supplémentaire dans IR n on dit aussi que E et F sont supplémentaires. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 13 / 39

14 Sous espace vectoriel de IR n la somme directe des sous espaces vectoriels la somme directe des sous espaces vectoriels Proposition Soit n IN. la somme de deux sous espaces vectoriel E et F est direct dans IR n si et seulement si E F = {0 n } En particulier : { E F = IR n E + F = IR n E F = {0 n } Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 14 / 39

15 Les systèmes de vecteurs Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteurs Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteurs Notations Soit S = (a 1, a 2,..., a p ) un système de vecteurs de IR n. 1 On note par vect(s) = vect(a 1, a 2,..., a p ) l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs a 1, a 2,..., a p : vect(s) = {α 1 a 1 + α 2 a α p a p / α 1, α 2,..., α p IR} 2 On note vect( ) = {0 n }. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 15 / 39

16 Les systèmes de vecteurs Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteurs Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteurs Proposition vect(s) = vect(a 1, a 2,..., a p ) est un sous espace vectoriel de IR n contenant a 1, a 2,..., a p. et c est le plus petit sous espace vectoriel de IR n contenant les vecteurs a 1, a 2,..., a p. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 16 / 39

17 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Définition Soient n IN et S = (a 1, a 2,..., a p ) un système de vecteurs de IR n. 1 On dit que le système S est lié ou que a 1, a 2,..., a p sont linéairement dépendants s il existe des scalaires α 1, α 2,..., α p IR non tous nuls tels que : p α i a i = α 1 a 1 + α 2 a α p a p = 0 n i=1 2 Dans le cas contraire on dit que le système S est libre ou que a 1, a 2,..., a p sont linéairement indépendants. c est à dire si on a : α 1, α 2,..., α p IR : p α i a i = 0 n = α 1 = α 2 =... = α p = 0 i=1 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 17 / 39

18 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Exemples 1 Soient a 1 = ( 2, 1), a 2 = (1, 1), a 3 = (3, 1) et S = (a 1, a 2, a 3 ) un système de vecteurs de IR 2. α, β, γ IR : αa 1 + βa 2 + γa 3 = (0, 0) α( 2, 1) + β(1, 1) + γ(3, 1) = (0, 0) ( 2α + β + 3γ, α + β γ) = (0, 0) { γ = α + β α + 4β = 0 { 2α + β + 3γ = 0 α + β γ = 0 admet plusieurs solution donc le système S est lié. { α = 4β γ = 4β Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 18 / 39

19 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Exemple 2 Soient a 1 = ( 2, 1, 3), a 2 = (1, 1, 1) et S = (a 1, a 2 ) α, β IR : αa 1 + βa 2 = (0, 0, 0) α( 2, 1, 3) + β(1, 1, 1) = (0, 0, 0) 2α + β = 0 α + β = 0 3α β = 0 Donc le système S est libre. { β = 2α 3α = 0 α = β = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 19 / 39

20 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Propriétés 1 (0 n ) est système lié 2 Tout système de vecteurs de IR n qui contient 0 n est lié. 3 a IR n {0 n } : le système (a) est libre 4 a, b IR n avec a 0 n (a, b) est lié si et seulement s il existe α R tel que b = αa Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 20 / 39

21 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Proposition Soit S = (a 1, a 2,..., a p ) un système de vecteurs de IR n. S est lié k {1,..., p} tq a k est une combinaison linéaire des autres vecteurs. c est à dire S est lié k {1,..., p} tq a k vect(a 1,..., a k 1, a k+1,..., a p ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 21 / 39

22 Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés : les systèmes libres et les systèmes liés : Exemple Soient u = (1, 2, 3), v = (5, 1, 1), w = (3, 3, 7) et S = (u, v, w).on a v = w + 2u donc D ou S est un système lié. v vect(u, w) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 22 / 39

23 Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs les systèmes générateurs Définition soient n IN, E un sous espace vectoriel et S = (a 1, a 2,..., a p ) un système de vecteurs de IR n. On dit que S est un système générateur de E si on a : E = vect(s) = vect(a 1, a 2..., a p ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 23 / 39

24 Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs les systèmes générateurs Exercice Soit E = {(x, y, z) IR 3 / 2x y + 3z = 0} un s.e.v. de IR 3. Trouver un système générateur de E Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 24 / 39

25 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Définition Soient E un sous espace vectoriel de IR n et B un système de vecteurs de E. On dit que B est une base de E si B est à la fois libre et générateur de E Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 25 / 39

26 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Proposition Soit E un sous espace vectoriel de IR n et B = (a 1, a 2,..., a n ) un système de vecteurs de E. B est une base de E a E :!α 1, α 2,..., α p IR tq a = α 1 a 1 + α 2 a α p a p Dans ce cas α 1, α 2,..., α p sont appelées les coposantes du vecteur a dans la base B Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 26 / 39

27 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Exemple soient E = IR 2 et B = (a 1, a 2 ) un système de IR 2 avec a 1 = (2, 1), a 2 = (1, 1). (a 1, a 2 ) est une base de R 2. En effet : alors a = (x, y) IR 2, α, β IR : a = αa 1 + βa 2 (x, y) = (2α + β, α + β) { { 2α + β = x α = x y α + β = y β = 2y X Donc B est une base de IR 2 et les composantes d un vecteur a = (x, y) dans B sont x y et 2y x Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 27 / 39

28 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Propriétés Soient n IN et E un sous espace vectoriel de IR n. 1 Si E = IR 2, e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) Alors B = (e 1, e 2 ) est un système libre et générateur de IR 2 donc B est une base de IR 2 appelé la base canonique de IR 2 2 En général : Si E = IR n, e 1 = (1, 0,...0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),...,e n = (0,..., 0, 1). Alors B = (e 1, e 2,..., e n ) est un système libre et générateur de IR n Donc B est une base de IR n appelé la base canonique de IR n. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 28 / 39

29 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Exercice Soit E = {(x, y, z) IR 3 / 2x y + 3z = 0} un s.e.v. de IR 3. Trouver une base de E Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 29 / 39

30 Les bases Les systèmes de vecteurs Les bases Propriétés Soient F 1 et F 2 deux s.e.v. de IR n. Si B 1 est une base de F 1 est B 2 est une base de F 2 alors : { B1 B la somme de F 1 et F 2 est directe 2 = B 1 B 2 est libre Dans ce cas B 1 B 2 est une base de F 1 F 2 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 30 / 39

31 Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel La dimension d un sous espace vectoriel Notation Soit A un ensemble fini. le nombre des éléments de A est appelé le cardinale de A et noté A Théorème et définition Si n IN et E un sous espace vectoriel de IR n Alors E admet des bases et tous ces bases ont le même nombre de vecteurs appelé la dimension de E et noté dime et on a dime n. Ainsi, si B est une base de E alors dime = B n Propriétés n IN, dimir n = n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 31 / 39

32 Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel La dimension d un sous espace vectoriel Propriétés Soient E et F deux sous espaces vectoriels de IR n. Alors : 1 Si S est une partie génératrice de E alors S dime. 2 Si S est une parie libre de E alors S dime. 3 Si E F et dime = dimf alors E = F. 4 Si dime = n alors E = IR n. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 32 / 39

33 Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel La dimension d un sous espace vectoriel Théorème Soient F un sous espace de IR n de dimension p et B un système de F de cardinal p. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 B est un système libre 2 B est un système générateur de F 3 B est une base de F Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 33 / 39

34 Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel La dimension d un sous espace vectoriel proposition Soient E et F deux sous espace vectoriel de IR n. Alors dim(e + F ) = dime + dimf dim(e F) dime + dimf Si en plus la somme de E et F est directe alors dim(e F) = dime + dimf. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 34 / 39

35 Les bases Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel Théorème de la base incomplète Soient E un sous espace vectoriel de IR n. Si S et T sont deux parties finies de E qui vérifient les 3 propriétés suivantes : 1 S une partie libre de E. 2 T est une partie génératrice de E. 3 S T. Alors il existe une base B de E telle que S B T. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 35 / 39

36 Les bases Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel Corollaire Soit E un s.e.v. de IR n. Si S et T sont deux parties finies de E qui vérifient les deux propriétés suivantes : 1 S est une partie libre de E. 2 T est une partie génératrice de E. Alors il existe une base B de E telle que S B S T. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 36 / 39

37 Les bases Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel Exemple Si n = 5 et E = IR 5, a 1 = (1, 0, 0, 1, 1), a 2 = (1, 1, 1, 1, 1), S = (a 1, a 2 ) e 1 = (1, 0, 0, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0, 0),...,e 3 = (0, 0, 1, 0, 0), e 4 = (0, 0, 0, 1, 0), e 5 = (0, 0, 0, 0, 1) et T = (e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 ). 1 S est une partie libre de IR 5. 2 T est une partie génératrice de IR 5. Alors il existe une base B de IR 5 telle que S B S T. On a S = (a 1, a 2 ) est un système libre de IR 5. 1 On verifie que le système (a 1, a 2, e 1 ) est libre. 2 On vérifie que (a 1, a 2, e 1, e 2 ) est libre. 3 On verifie que (a 1, a 2, e 1, e 2, e 3 ) est lié. 4 On vérifie que (a 1, a 2, e 1, e 2, e 4 ) est libre. Ainsi le système B = (a 1, a 2, e 1, e 2, e 4 ) est libre et card(b) = 5 = dimir 5 ce qui montre que B est une base de IR 5. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 37 / 39

38 Les bases Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel Proposition Soient E un sous espace vectoriel de IR n. Alors E admet au moins un suplémentaire dans IR n. C est à dire pour tout s.e.v E il existe au moins un s.e.v, F tel que F E = IR n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 38 / 39

39 Les bases Les systèmes de vecteurs La dimension d un sous espace vectoriel Exemple Soit F = {(x, 3x, 0), tq x IR}. Trouvons un supplémentaire de F dans IR 3 On a F = vect(a) = IRa avec a = (1, 3, 0) donc (a) est une base de F. Soient B 0 = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de IR 3 et T = (a, e 1, e 2, e 3 ) trouver une base B de IR 3 tel que {a} B T. 1 on vérifie que (a, e 1 ) est libre. 2 On vérifie que (a, e 1, e 2 ) est lié. 3 On vérifie que (a, e 1, e 3 ) est libre. Ainsi, puisque card(b) = dimir 3 = 3 alors B = (a, e 1, e 3 ) est une base de IR 3. Ce qui implique que G = vect(e 1, e 3 ) = {αe 1 + βe 3 /α, β R} = {(α, 0, β) /α, β R} est un supplémentaire de F dans IR 3. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 39 / 39