Courbes et surfaces. 1. Courbes Problèmes : étant donnés n points (de R 2 ou de R 3 ), trouver une courbe passant

Transcription

1 Corbes et sraces. Corbes Problèmes : état doés pots (de R o de R ), trover e corbe passat par les pots > terpolato «près des pots» > lssage o terpolato MIM/corbes

2 .. Iterpolato Problème P : état doés () pots (x, y ), (x, y ),, (x, y ), trover polyôme de degré P ( x) a x tel qe, P ( x ) y Ce problème admet e solto qe (e tlsat la base caoqe par exemple), mas cette solto doe le à des problèmes d oscllato : Fgre : MIM/corbes

3 Fgre (d après R. DONY, MASSON) MIM/corbes

4 Por évter les oscllatos, o va essayer de résodre atre problème : Problème P : état doés () pots (x, y ), (x, y ),, (x, y ), trover e octo s q mmse I(s) b a ( q) [ s ( x) ] dx où s (q) est la dérvée q ème de s a < x x < b et telle qe, s( x ) y Cec codt à la oto de octo sple (q provet de la latte de bos tlsée par les dessaters) MIM/corbes 4

5 Théorème : por q doé () s est polyôme de degré (q-) das les tervalles [a, x ] et [x, b] () s est polyôme de degré (q-) sr chaqe tervalle ] x, x [ () la dérvée d ordre (q-) est cote e chaqe x O motre qe l o pet costrre les octos sples par morceax : posos s x < x (x x ) x - x s x x et P ( x) d ( x x ) q ( q )! MIM/corbes 5

6 MIM/corbes 6 alors α,, α q-, d,, d sot coes. Por les détermer, o a les éqatos : ( ) ( ) q j j j x P x α x s ( ) k q -,..., k x d,..., y x s Remarqe : e résolvat le système précédet, o obtet la cotté d ordre (q-) e x. La dérvée d ordre (q-) présete e dscotté de valer d e x

7 Fgre MIM/corbes 7

8 .. Lssage Problème P : état doés () pots (x, y ), (x, y ),, (x, y ), trover e corbe passat «près» de ces pots... Approche de Fergso Il s agt de chercher polyôme r r r r P α α α ( ) α, [,] tel qe la posto de la corbe à l orge doée par r α r r r r la posto de la corbe à l extrémté doée par la drecto de la tagete à l orge doée par r α α α α α r r r la drecto de la tagete à l extrémté doée par α α α r MIM/corbes 8

9 ... Corbes de Bézer... Détos O cherche e corbe dée par : r r P α,,, ( ) ( ) [ ] telle qe à l orge ( ) la posto de la corbe est doée par r α la dérvée k ème (k ) e déped qe de à l extrémté ( ) la posto de la corbe est doée par la dérvée k ème (k ) e déped qe de r α, r r α,..., α k r α r r r α, α,..., α k MIM/corbes 9

10 o pet motrer qe k k k k ( ) x, avec x (- ) C C k, k, k Les () s appellet des polyômes de Bézer Fgre 4 MIM/corbes

11 MIM/corbes : : Fgre 5

12 MIM/corbes Proprétés : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [, por... B C > > > >... Forme de Berste posos alors ( ) ( ) α P r r por, S S α S r r r r r

13 MIM/corbes ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S B S S S P r r r r r B () est appelée octo de Berste o octo de mélage > pots de cotrôle et polygoe de cotrôle

14 MIM/corbes B 4 B B 6 6 B - B 4 4 B 6 B : B - - B : Fgre 6

15 Proprétés : de l eveloppe covexe de l varace par les trasormatos aes Avatages : la corbe passe par les pots de cotrôle P et P Icovéets : le degré d polyôme déped d ombre de pots de cotrôle le cotrôle de la corbe est global MIM/corbes 5

16 ... Corbes B-sples... Détos Sot t ( t ), e ste de ombres réels tels qe, t t Chaqe t est oed et t est appelé vecter odal O appelle B-sple de base les octos N,k dées par N N,,k ( ) s t t so ( ) N ( ) ( ) ω ( ) N ( ) ω ( ),k,k,k,k avec ω,k ( ) t t k t s t k so t MIM/corbes 6

17 t t t t t t Fgre 7 : N, Fgre 8 : N, MIM/corbes 7

18 Proprétés : N,k est polyôme de degré k par morceax, l hors de [t, t k ]. Les t sot les pots de jocto etre les dvers morceax de la corbe s, t, alors N,k est C k- t. So, chaqe doblemet d pot de cotrôle dme de la cotté e t... B-sples Sot t ( t ), e ste odale. Ue B-sple d ordre k assocée à t est dée par : B ( ) k, t () N,k V où les V sot les pots de cotrôle de la B-sple MIM/corbes 8

19 Fgre 9 : e B-sple MIM/corbes 9

20 Cas partclers : t Z (, -, -,,,, ) > sples cardal o ormes t (,,,,, ) µ ν La récrrece déssat les N,k devet N µ,ν ( ) N µ,ν ( )N µ,ν N µ,ν µ µ ν ( ) C ( ) µ ν MIM/corbes

21 Proprétés : de l eveloppe covexe de l varace par les trasormatos aes Avatages : le degré d polyôme est dépedat d ombre de pots de cotrôle le cotrôle de la corbe est local Icovéets : MIM/corbes

22 ..4. Forme ratoelle (NURBS) O appelle H la octo et T l applcato R R z t O ote M (t) les octos de mélage des corbes de Bézer o des B-sples dées par les pots de cotrôle P A chaqe pot P, o assoce pods β > 4 (x, y,z, t) a R ( x, y,z) a ( x, y,z,) 4 R x t, y t, MIM/corbes

23 O dét S : [,] R 4 a β T ( P ) M ( ) La orme ratoelle d e corbe (Bézer o B-sple) est alors dée par σ :, R [ ] a σ ( ) H ( S( ) ) e at σ ( ) β P M β M ( ) ( ) MIM/corbes

24 Avatages : qadrqes lece d pot de cotrôle grâce à β Icovéets : agmetato des temps de calcl MIM/corbes 4

25 . Sraces O dstge dex méthodes de représetato d e srace : les carreax de srace d terpolato et le prodt tesorel.. Carreax de srace d terpolato Cette méthode est basée sr la déto des corbes délmtat carrea sv d remplssage de ce carrea par terpolato etre les corbes costtat le bord d carrea Das la méthode de Coos, le carrea est dé par 4 corbes P(,), P(,), P(,v) et P(v,) MIM/corbes 5

26 Avec les octos d terpolato () t t () t t t t pot P d carrea est dé par P t (, v) P(,) ( v) P(,) ( v) P(, v) ( ) P(, v) ( ) - P(,) ( ) ( v) P(,) ( ) ( v) P(,) ( ) ( v) P(,) ( ) ( v) MIM/corbes 6

27 .. Prodt tesorel U carrea est gééré par le déplacemet et la déormato d e corbe tale, la géératrce, le déplacemet état dé par des trajectores appelées drectrces Cette méthode est e gééralsato des méthodes de lssage ves por les corbes : o part d résea polygoal de sommets,, j m P, j MIM/corbes 7

28 ... Sraces de Bézer O tlse les polyômes de Bézer comme octos de mélage : P m (, v) B ( ) P B ( v),, v j j, m, j, MIM/corbes 8

29 Avatages : terprétato asée des pots de cotrôle bo cotrôle de la srace Icovéets : le degré d polyôme est dépedat d ombre de pots de cotrôle le cotrôle de la corbe est global MIM/corbes 9

30 ... Sraces B-sples P m (, v) N ( ) P N ( v),, v j j, m, j, Avatages : le degré d polyôme est dépedat d ombre de pots de cotrôle le cotrôle de la corbe est local Icovéets : La srace e passe par ac pot de cotrôle MIM/corbes