Dans le vocabulaire courant, on trouve quatre mots qui peuvent être mis en parallèle : lettres et chiffres ; mots et nombres.

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Arthur Boivin
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1 Chapitre 1 Système décimal 1.1 Numération entière Voici trois points importants en guise d introduction : Dans le vocabulaire courant, on trouve quatre mots qui peuvent être mis en parallèle : lettres et chiffres ; mots et nombres. Cette correspondance montre que les nombres sont constitués de chiffres tout comme les mots sont constitués de lettres. L écriture des mots exige les 26 lettres de l alphabet alors que celle des nombres nécessite seulement 10 chiffres. Ces chiffres sont : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 On utilise donc beaucoup moins de symboles avec les nombres qu avec les mots, mais puisqu on s autorise à écrire côte à côte autant de chiffres qu on veut, il existe beaucoup plus de nombres que de mots. Enfin, tout comme pour les mots où la place des lettres est importante, la place des chiffres dans un nombre l est aussi. Elle l est d ailleurs tellement qu on a donné un nom à chacune des places possibles. 1.2 Numération entière La numération entière s occupe de l écriture des nombres entiers (c est à dire sans virgule). Cette écriture est basée sur le tableau suivant : millions mille unités c d u c d u c d u

2 SYSTÈME DÉCIMAL 2 Ce tableau montre que : les chiffres d un nombre occupent des places bien déterminées, assimilées ici à des colonnes; il y a un chiffre et un seul par colonne; les colonnes sont regroupées par paquets de trois; chaque paquet de trois colonnes a un nom; chaque colonne a un nom. Un paquet de trois colonnes s appelle une classe; pour ce qui est de l usage courant onaseulement besoin de trois classes qui sont : la classe des unités; la classe des mille; la classe des millions. Les différentes classes sont constituées de la même façon; elles ont toutes trois colonnes qui sont : la colonne notée u qui s appelle la colonne des unités de la classe; la colonne notée d qui s appelle la colonne des dizaines de la classe; la colonne notée c qui s appelle la colonne des centaines de la classe. Le nom d une colonne dans une classe fait intervenir le nom de la colonne et le nom de la classe : la colonne d de la classe des millions s appelle la colonne des dizaines de millions ; la colonne c de la classe des unités s appelle la colonne des centaines d unités ; la colonne u de la classe des mille s appelle la colonne des unités de mille Ce principe simple admet une seule exception : La colonne u de la classe des unités ne s appelle pas la colonne des unités des unités mais plus simplement la colonne des unités. Cette méthode d appellation permet alors de préciser la place des chiffres dans un nombre. Par rapport au tableau précédent, on peut préciser par exemple que : le chiffre 2 s appelle le chiffre des dizaines de millions ; le chiffre 7 s appelle le chiffre des centaines d unités ; le chiffre 6 s appelle le chiffre des unités de mille. Pour lire un nombre en entier, on procède ainsi : on effectue des regroupements par paquets de trois en partant de la droite; en partant de la gauche, on lit chacun des paquets en précisant le nom de la classe. le nombre se lit deux millions (car ); le nombre se lit vingt-cinq mille (car ); le nombre se lit deux millions vingt-cinq mille (car ); le nombre se lit cent vingt-trois millions quatre cent cinquante six mille sept cent quatre-vingt neuf unités (car ). Enfin, les termes quatre, vingt, quatre-vingts, cent, mille, million,... sont des adjectifs numéraux ou des noms. Leur orthographe n est pas abordée ici.

3 SYSTÈME DÉCIMAL Numération décimale La numération décimale s intéresse aux nombres décimaux, c est à dire avec virgule. Dans un nombre décimal comme 12,34 on distingue : la partie entière qui est ici 12; la partie décimale qui est ici 34. Tout comme pour la partie entière, les chiffres de la partie décimale occupent des places bien précises et chacune de ces places a un nom. Par rapport au nombre suivant : 0,123 on peut dire que : le chiffre 1 est le chiffre des dixièmes; le chiffre 2 est celui des centièmes; le chiffre 3 est celui des millièmes. Lire un nombre décimal consiste à lire d abord la partie entière puis la partie décimale : 200,02 se lit deux cent unités et deux centièmes ; 5,23 se lit cinq unités et vingt trois centièmes ; 12000,5 se lit douze mille unités et cinq dixièmes ; , 444 se lit cent onze millions deux cent vingt-deux mille trois cent trente-trois unités et quatre cent quarante-quatre millièmes. Cette règle admet une et une seule exception : On ne dit pas la partie entière quand celle-ci est égale à zéro. Par exemple le nombre 0,12 ne se lit pas zéro unités et douze centièmes mais plus simplement douze centièmes. 1.4 Comparaison Quand on considère deux nombres différents, l un est toujours plus grand (ou plus petit) que l autre. Dire lequel, c est effectuer une comparaison. Pour signifier une comparaison, on utilise obligatoirement des symboles qui sont au nombre de deux : plus petit < plus grand ou 125 > 120; 12 < 20. plus grand > plus petit Pour ce qui est de la comparaison des nombres décimaux on procède ainsi :

4 SYSTÈME DÉCIMAL 4 on compare d abord les parties entières : si l une est plus grande (ou plus petite) que l autre, alors il en est de même pour ces nombres; si les parties entières sont identiques, on compare les chiffres des dixièmes : si l un est plus grand (ou plus petit) que l autre, alors il en est de même pour ces nombres; si les chiffres des dixièmes sont identiques, on compare les chiffres des centièmes : si l un est plus grand (ou plus petit) que l autre, alors il en est de même pour ces nombres; si les chiffres des centièmes sont identiques, on compare les chiffres des millièmes : si l un est plus grand (ou plus petit) que l autre, alors il en est de même pour ces nombres; etc. 100,45 > 99, ,45 < 100,50. 0,123 < 0, ,129 > 10,125. 8,5 < 8,51 car 8,5 = 8,50 Quand on a plusieurs nombres, il arrive qu on demande de les classer, c est à dire de les présenter dans un certain ordre. Il existe deux façons de présenter une suite de nombres : dans l ordre croissant, c est à dire du plus petit au plus grand; dans l ordre décroissant, c est à dire du plus grand au plus petit. Classez dans l ordre croissant les nombres suivants : 12,35; 12,3; 120,333; 12,03 La présentation sera : 12,03 < 12,3 < 12,35 < 120,333. Classez dans l ordre décroissant les nombres suivants : 5,235; 6,188; 5,3; 5,25 La présentation sera : 6,188 > 5,3 > 5,25 > 5, Les approximations Lorsqu on effectue des calculs à partir de nombres décimaux, il arrive fréquemment que le résultat obtenu comporte beaucoup voire trop de chiffres après la virgule : 0,01 0,01 = 0,0001; 0,0001 n a aucun sens puisque les plus petites pièces de monnaie en euros valent 0,01. Ainsi, dans certains cas, on ne doit pas donner le véritable résultat trouvé mais une valeur approchée, c est à dire avec moins de chiffres après la virgule que le nombre réellement trouvé. Il existe différentes valeurs approchées : approximation par défaut à deux décimales : on donne le nombre à deux décimales qui est juste plus petit que le nombre de départ :

5 SYSTÈME DÉCIMAL 5 l approximation par défaut à deux décimales de 12,354 sera 12,35; 12,35 < 12,354 l approximation par défaut à deux décimales de 12,356 sera 12,35. 12,35 < 12,356 approximation par excès à deux décimales : on donne le nombre à deux décimales qui est juste plus grand que le nombre de départ : l approximation par excès à deux décimales de 12,354 sera 12,36; 12,354 < 12,36 l approximation par excès à deux décimales de 12,356 sera 12,36. 12,356 < 12,36 arrondie à deux décimales : ondonnelenombreàdeuxdécimalequiestleplusprèsdunombre de départ. Petit truc : pour savoir quelle sera la valeur arrondie, il suffit de regarder le premier chiffre à négliger (ici, c est le chiffre des millièmes); si ce chiffre est 0, 1, 2, 3, ou 4 ce sera la valeur approchée par défaut; si ce chiffre est 5, 6, 7, 8, ou 9 ce sera la valeur approchée par excès. Par exemple : l arrondie à deux décimales de 12,354 sera 12,35; l arrondie à deux décimales de 12,356 sera 12,36. Voici des exemples suplémentaires : l approximation par excès à une décimale de 12,3456 est 12,4; l approximation par excès à deux décimales de 12,3456 est 12,35; l approximation par excès à trois décimales de 12,3456 est 12,346; l approximation par excès à deux décimales de 42,625 5 est 8,53 (le résultat exact étant 8,525); l approximation par défaut à une décimale de 12,3456 est 12,3; l approximation par défaut à deux décimales de 12,3456 est 12,34; l approximation par défaut à trois décimales de 12,3456 est 12,345; l approximation par défaut à deux décimales de 42,625 5 est 8,52 (le résultat exact étant 8,525); l arrondie à une décimale de 12,3456 est 12,3; l arrondie à deux décimales de 12,3456 est 12,35; l arrondie à trois décimales de 12,3456 est 12,346; l arrondie à deux décimales de 42,625 5 est 8,53 (le résultat exact étant 8,525).

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