Expressions numériques et algébriques

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1 Expressions numériques et algébriques 1 Nombresréels Définition 1 L ensemble des nombre réels est l ensemble des nombres mesurant une distance et tous les opposés de ces nombres. On le noter. On peut représenter cet ensemble par une droite ayant une origine et une unité Sous-ensembles de R. Appartenance, inclusion. Définition 2 Unentierrelatifestunentierpositifounégatif.L ensembledecesnombresestnoté Z. Unnombredécimalestunnombrepouvants écriresouslaformed unefractionde deux entier, avec un dénominateur sous la forme d une puissance de dix (10 a ). Un tel nombre a sa partie décimale finie(au-delà d un certain rang, toutes les décimales sont 0). L ensemble deces nombres est notéd. Un nombre rationnel est un nombre pouvant s écrire sous la forme d une fraction dedeux entiers. L ensemble deces nombres est notéq. Unnombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s écrire sous la forme d une fraction de deux entiers. Exemple 1 2; 0; sont des entiers relatifs, mais aussi des nombres décimaux, rationnels, réels. Onpeut aussi noter : 2 Z; R. 2,3 et = = 1,23 sont des nombres décimaux mais qui ne sont pas entiers. On peut noter : 2,3 D et 2,3 Z. 3 1; 7 2 sont des nombres rationnels qui ne sont pas des nombres décimaux. On peut noter : 1 3 Q et 7 2 D. π et 2sont des nombres irrationnels. P. Flambard Page 1 sur 6 Année scolaire

2 Propriété 1 Tout entier relatif est un nombre décimal. On dit alors que l ensemble des entiers relatifs est inclus dans celui des nombres décimaux. OnnoteZ D. D Q. Q R. Remarque: La différence entre l appartenance et l inclusion tient aux objets mis en jeu : un nombre appartient à un ensemble 2 Z un ensemble est inclus dansun autre ensemble Z Q 1.2 Ensembles sous forme de liste Définition 3 On peut écrire une liste de nombres sous forme d un ensemble. Par convention, cet ensemble est délimité par des accolades. Exemple 2 { 13 ;2; 4 } est l ensemble constitué des nombres 3 1 ; 2 et 4. Un ensemble peut être constitué d un seul élément :{3} est l ensemble constitué du nombre 3 (on parle de «singleton 3»). 1.3 Valeursapprochées Les nombres rationnels non-décimaux et les nombres irrationnels ne possèdent pas d écriture décimal exact; néanmoins, on peut être amener à déterminer une valeur approchée sous forme décimale en certaines occasions. Onprendra garde ànepas mélanger les symboles «=»et :«1 3 =0,33» est faux, alors que 0,33»est acceptable. «1 3 Définition 4 Pour arrondir un nombre réel à 10 n près, on peut arrondir par défaut, on obtient alors le nombre avec sa partie entière et sa partie décimale jusqu à la n-ème position; arrondir par excès, on obtient alors le nombre avec sa partie entière et sa partie décimale jusqu à la n-ème position et la dernière décimale est augmentée de 1. Exemple 3 Le nombre 2ne possède pas d écriture décimale exacte. Onpeut écrire : 2 1,41 à 10 2 par défaut ou 2 1,42 à 10 2 parexcès. Le nombre 3 2 nepossède pasd écriture décimale exacte. Onpeutnéanmoinsécrire: 3 2 0,666à10 3 pardéfautou 3 2 0,667à10 3 parexcès. Remarque : Usuellement, on arrondit par défaut quand la (n + 1)-ème décimale est comprise entre 0 et 4, et par excès quand elle est comprise entre 5 et 9. Cette règle peut cependant être ignorée : l âge (au sens de la loi et au sens commun) est par exemple une approximation par défaut à l année près de l âge réel. Remarque : En mathématiques, on cherchera à préserver au maximum l usage des valeurs exactes, et les valeurs approchées ne seront utilisées que si l énoncé le demande. p 100 =p%. Remarque: Onpeut écrire un nombre décimal sous forme de pourcentage : Ainsi, ,7 0,667= 100 =66,7 %. Remarque : On peut écrire un nombre décimal sous forme scientifique, M 10 a où M est un nombre réel compris strictement entre 10et 10 et a un entier positif. P. Flambard Page 2 sur 6 Année scolaire

3 2 Calcullittéral 2.1 Calculs : règles Définition 5 a est un nombre réel et n un entiernaturel. na=n a=a+a+ +a; } {{ } a n =a a a; } {{ } n nombres n nombres Si a non nul, a n = 1 a n ; Si a est positif, alors laracinecarréedeaest le nombre positif a tel que a 2 =a. Propriété 2 Pour un nombre réel a, a 1 =a; a 1 = 1 a (a 0); a 0 =1(a 0). Définition 6 La priorité des calculs obéit à la convention suivante : on effectue dans l ordre, les calculs entre parenthèses; les puissances; les multiplications; les additions. Remarque: Il n existe que deux opérations : l addition et la multiplication. Soustraire deux nombres revient à additionner un nombre et l opposé du second: a b = a+( b). Diviser deux nombres revient àmultiplier un nombre avec l inverse du second : a b =a 1 b. 2.2 Propriétés des fractions Propriété 3 a; b;c et d sont quatre nombre réels. k a k b = a b (b 0). a d + b d = a+b d (nécessité du dénominateur commun; d 0). a b c d = a c b d (b 0 et d 0). a b c = a b d c (b 0; c 0 et d 0). d 2.3 Propriétés des exposants Propriété 4 a et b sont deux nombres réels et n et p deux entiers naturels. a n a p =a n+p. (a n ) p =a np. ( (ab) n =a n b n. a n b) = a n b n. ( a) n = a n si a 0. a b = a b si ( a 0et b 0 ). P. Flambard Page 3 sur 6 Année scolaire

4 3 Distributivités 3.1 Développer& factoriser Définition 7 Développer une expression, c est l écrire sous forme d une somme. Factoriser une expression, c est l écrire sous forme d un produit. Propriété 5 : Simple et double distributivité a; b;c; d sont quatre nombres réels. Alors : c(a+b)=c (a+b)=c a+c b =ca+cb (a+b)(c+d)=(a+b) (c+d)=a c+a d+b c+b d =ac+bc+ad+bd Propriété 6 : Identités remarquables a et b sont deux nombres réels. Alors : (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a+b)(a b)=a 2 b 2 Exemple 4 Ces relations permettent de faire du calcul mental : 51 2 =(50+1) 2 = = =2 601; 39 41=(40 1) (40+1)= = =1599. Elles permettent aussi de développer des expressions telles que (x 3) 2 =[x+( 3)] 2 =x 2 +2 x ( 3)+( 3) 2 =x 2 6x+9; ( 2x+1) 2 =[( 2x)+1] 2 =( 2x) 2 +2 ( 2x) =4x 2 4x+1. P. Flambard Page 4 sur 6 Année scolaire

5 4 Équations 4.1 Règles des équations Définition 8 Uneéquationestuneexpressionconstituéededeuxmembres,unisparunsymbole«égal», et comportant des inconnues. Résoudre une équation, c est trouver toutes les valeurs des inconnues pour lesquelles l égalité est vraie. Un tel nombre est appelé solution de l équation. Exemple 5 (E 1 ):2x+3= x 5est une équation dont l inconnue est x R. Ses membres sont «2x+3» et «x 5». (E 2 ):(z+2) 2 =4z+5 est uneéquation d inconnue z R. Ses membres sont «(z+2) 2» et «4z+5». (0+2) 2 =2 2 =4 0n est pasune solution car et =5 (1+2) 2 =3 2 =9 1 est une solution de cette équation car et le résultat vaut 9 à chaque 4+5=9 fois, donc dansle cas où x=1, les deux membres sont égaux. Cependant,on nepeut affirmer que 1est lasolution de (E 2 ) : il peut y en avoir d autres. Remarque: Par choix ou par nécessité, l inconnue peut ne prendre que certaines valeurs. Dans l équation (E 1 ), il faut que x 0. Propriété 7 On peut transformer les membres d une équation de la façon suivante : on peut additionner partout nombre réel chaque membre de l équation; on peut multiplier par tout nombre réel non nul chaque membre de l équation. Exemple 6 Résoudre l équation d inconnue x : 5x+2=0. En rajoutant 2dans chaque membre : 5x+2+( 2)=0+( 2) d où 5x= 2. En multipliant par 5 1 chaque membre : 5 1 5x= 1 5 ( 2). Puis comme 5 1 5=1, on a : S= 2 5. Dans l exemple précédent, on conclut : S= { 5} 2, où S symbolise l ensemble solution. Après avoir résolu une équation, il faut systématiquement donner cet ensemble solution en utilisant les notations correctes. P. Flambard Page 5 sur 6 Année scolaire

6 4.2 Équations du premier degré Une équation du premier degré est une équation qui, après simplification, ne comporte que des termes en «x» et des constantes (et donc pas determe en x, x 2, x 3, etc.). On doit donc pouvoir la ramener à une expression : «ax+b = 0» où a et b sont des nombres réels. Exemple 7 Considérons l équation suivante : 7x+12=4. On regroupe les termes «en x» d un côté, et les termes numériques de l autre. On obtient : 7x=4 12= 8. On multiplie des deux côtés par l inverse du coefficient situé devant x : 7x 7 = 8 7 D où, au final : x= 8 7. On conclut : S={ } 8 7. Méthodeàsuivre pourleséquationsdupremierdegré: Développer et simplifier les expressions. Regrouper les termes en x d un côté de l équation et les termes constantsde l autre. Simplifier, de sorte àobtenir une égalité du type : «x=...». Conclure en donnant l ensemble des solutions. 4.3 Équationsproduit Propriété 8 On considère Aet Bdeux nombres ou expressions. Si leur produit est nul : A B=0, alors un des facteurs est nul : A=0 ou B=0. Exemple 8 Résoudre l équation 2(x 1)(2x+3)=0. Le membre de gauche se présentecomme un produit detrois facteurs : 2 (x 1) (2x+3). Par suite : 2=0ou x 1=0 ou 2x+3=0. 2=0étant faux, on a : x=1 ou x= 1,5. S={1; 1,5}. P. Flambard Page 6 sur 6 Année scolaire