remarque : le TVI est plus souvent écrit sous la forme suivante (avec les mêmes hypothèses) : γ [ f (a), f (b) ], c Itq. f (c)=γ

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1 Exposé 64 : Image d un intervalle par une fonction continue, image d un segment. Continuité de la fonction réciproque d une fonction continue strictement monotone sur un intervalle. Prérequis : -Propriété der:toute partie non vide et majorée deradmet une borne supérieure -Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une suite convergente. -Intervalle réel : ce sont les parties de I dertelles que [ (a, b) I, a t b [t I -Bijection, surjection, injection, bijection réciproque, continuité Cadre : dans tout l exposé, I désigne un intervalle derd intérieur non vide, f une fonction réelle définie sur I. Image continue d un intervalle, d un segment. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Théorème : soit I un intervalle der, f : I Rcontinue, si (a, b) I tq. f (a) f (b), alors t R, f (a)<t< f (b) t f (I) remarque : le TVI est plus souvent écrit sous la forme suivante (avec les mêmes hypothèses) : γ [ f (a), f (b), c Itq. f (c)=γ preuve (THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES) : on suppose a<b et f (a)<t< f (b). Soit E :={x [a, b tq. f (x) t} -E Ø car a E -E est majorée par b, donc c= supe existe, c [a, b (c b car E majoré par b, c a car c majorant de E). Il existe donc (x n ) n E tq. lim n x n = c. Or f continue, donc lim n f (x n )= f (c) or n N, f (x n ) t, d où f (c) t On a f (c) t< f (b) d où c<b. D autre part, x c, b[, on a f (x)>t(c= supe), donc à partir d un certain rang, f (c+ )>t. On en n déduit par passage à la limite que f (c) t. Finalement, il existe c [a, b tq. f (c) = t. Corollaire : I intervalle der, f : I R continue, alors f (I) intervalle (ie l image d un intervalle I par une fonction continue f : I R est un intervalle) remarque : le TVI est parfois écrit directement sous cette forme. Corollaire : I intervalle der, f : I R continue, (a, b) I, a<b tq. f (a) f (b)<0 alors c a, b[ tq. f (c)=0. preuve : la preuve de ces deux théorèmes est immédiate par le TVI L exposé a été présenté à Bordeaux() en 004 par Lionel, corrigé par M.Z., tapé par Gwendal. Réalisé avec L A TEX. Mise à jour le 0/06/007.

2 remarques : (a) L image d un intervalle { par une application discontinue n est pas en général un intervalle : 0 si 0 x I= [0;, f : x et f ([0; )={0; } si < x (b) La continuité n est que suffisante (ce n est pas une condition nécessaire) : x si x 0, [ f : x [0, si x=0 transforme [0, en lui-même, mais f non continue 0 si x= sin si x R f : x R x transforme tout intervalle réel en un intervalle réel (si 0 I, 0 si x=0 f (I)=[, ), mais f non continue. (c) Si I n est pas un intervalle, le théorème n est plus vrai : f (x)= x continue sur I= [, [,, f (I)=[ ; [;. On a f ( )<0< f () mais 0 n est pas une valeur atteinte par f ( γ I tq. f (γ)=0) (d) Si I est un intervalle d un ensemble autre quer, le théorème n est plus vrai (il faut la borne sup) : f : x {x Q, 0 x } x continue sur [0, deq, mais 0 f (0), f () [ n est pas atteint par f. (e) Dans la preuve, le point c est la plus grande x [a, b tq. f (x)=y, mais une telle équation en x n a pas à priori une unique solution : I=Ret f (x)= x. y= est atteinte en et. (f) A priori, les intervalles I et f (I) (avec f continue) ne sont pas de même nature : 0, [ [ 0, [ où f : x x (ie ouvert non ouvert) 0, [,+ [ où f : x (ie borné non fermé fermé non borné) x exercices : () Soit f une application continue sur [a, b, (a b) et à valeurs dans [a, b. Alors f admet au moins un point fixe. preuve : On considère g(x)= f (x) x. g est continue et g(a)= f (a) a>0 (car f (a) [a, b), g(b)= f (b) b<0 et g(a).g(b)<0 donc x 0 [a, b tq. g(x 0 )=0, donc tq. f (x 0 )=0 () Toute fonction polynôme à coefficients réels et de degré impair admet au moins une racine réelle. preuve : f (x)=a a n x n + x n+ (quitte à diviser tous les coefs. par a n+ ). Comme lim x + f (x)=+ et lim x f (x)=, on en déduit l existence de (a, b) R tq. f (a)<0< f (b). D où f (a). f (b)<0 et x a, b[ tq. f (x)=0. remarque : on a vu que les intervalles I et f (I) (avec f continue) ne sont pas (forcément) de même nature. Cependant, nous allons voir que dans le cas particulier des segments (intervalles fermé-borné), f conserve la nature de ces segments.. Image d un segment Théorème : Soit f : [a, b Rcontinue, alors : () f est bornée sur [a, b () f atteint ses bornes preuve (IMAGED UNSEGMENT) : () Par l absurde. Si f non bornée sur [a, b, alors (x n ) n [a, b tq. n N, f (x n ) >n. (x n ) n est bornée, donc par Bolzano-Weierstrass, x ϕ(n) [a, b tq. lim n x ϕ(n) = l [a, b. f est continue sur [a, b, donc lim n f (x ϕ(n) )= f (l) n N, f (x ϕ(n) ) >ϕ(n) n(carϕstrictement croissante, etϕ(n) N) ; donc lim f (x ϕ(n) )=+ () Par (), on sait que f est bornée. Soit M=sup x [a,b f (x). Donc n N, x n [a, b tq. M n < f (x n) M. (x n ) n est bornée, donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass, (x ϕ(n) ) [a, b tq.

3 lim n x ϕ(n) = l [a, b (car [a, b fermé). f est continue sur [a, b, donc lim n (x ϕ(n) )= f (l). On a également n N, M ϕ(n) < f (x ϕ(n)) M, donc lim n f (x ϕ(n) )= M donc M= f (l) avec l [a, b. Idem pour l inf. Corollaire 3 : l image d un segment par une fonction continue est un segment. Plus précisément, si f continue sur [a, b où (a, b) R avec a b, alors f ([a, b)=[m, M où m=in f{ f (x) : x [a, b}, M=sup{f (x) : x [a, b}. preuve : le théorème précédent donne f ([a, b) [m, M. Comme ces bornes sont atteintes sur [a, b, le TVI fournit l autre inclusion. remarques : si x 0 (a) Une fonction non continue sur un segment n est à priori pas bornée : f : x [0, x 0 si x=0 (b) Si l intervalle considéré dans le théorème n est pas un segment, on ne peut pas conclure : f : x 0, x n atteint pas sa borne inf. f : x 0, n est pas majorée x f : x [0, [ x n est pas majorée (c) Dans le théorème et le Corollaire, la continuité n est qu une condition suffisante : x si x 0, [ f : x [0, si x=0 0 si x= (d) Notons également que toute fonction monotone sur [a, b est borné et atteint ses bornes, mais l image de [a, b n est plus nécessairement un intervalle. Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle Lemme : soit f : I R où I R. Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f (I), dont la réciproque est strictement monotone sur f (I) et de même sens de variation que f. remarque : ce théorème reste vrai pour f : D R où D pas forcément un intervalle! preuve : montrons que f est injective : soient x y, alors par exemple x<y et si f est croissante, alors f (x)< f (y) d où d où f (x) f (y) donc f injective (ou par l absurde), donc f : I f (I) bijective (clairement surjective). Soit f sa réciproque, et soient a, b f (I), a<b. Il existe x, y I, x<y tq. a= f (x) et b= f (y) ( f supposée croissante). Donc f (a)= x, f (b)=y donc f (a)< f (b), donc f croissante. Lemme : soit f : I R où I R. Si f est monotone sur I, et si f (I) est un intervalle, alors f est continue sur E. remarque : ce théorème reste vrai pour f : D R où D pas forcément un intervalle! preuve : supposons f croissante sur I. S il existait un point x 0 I en lequel f serait discontinue, on aurait lim x x0 <f (x 0 ) (i) ou lim x x0 +<f (x 0 ) (ii). Si on a par exemple (i), soit y lim x x 0 f (x), f (x 0 ) [. L existence de lim x x 0 f (x) implique celle d un réel u I, x 0 [, et alors f (u) lim x x0. f (I) étant un intervalle, y devrait en être un élément (ie y f (I) donc f (u), f (x 0 ) [ I). Mais pour tout x< x 0, on a f (x) lim x x0 f, et pour tout x x 0, on a f (x) f (x 0 ). Finalement, on aurait y f (I) d où la contradiction. 3

4 Théorème : soit I un intervalle réel, et f : I R continue et strictement monotone sur I. Alors : (i) f (I) un intervalle réel (ii) f réalise une bijection de I sur f (I) dont la réciproque f est continue, strictement monotone sur f (I), et de même sens de variation que f. preuve : (i) déjà vu. (ii) Lemme bijection de I sur f (I), f striccteùe,t monotone, de même monotonie et f ( f (I))=I, donc Lemme continue. Théorème : sous les hypothèses du théorème avant, si I est l intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) d extrémité a et b, alors f (I) est l intervalle ouvert (resp. fermé, semi-ouvert) d extrémité lim a f, lim b f preuve : notonsαetβles extrémités de l intervalle f (I), oùα=in f f (I) etβ= sup f (I) (pris dans R {, + }). Envisageons seulement le cas où f croissante sur I. Remarquons que a I sisi α f (I), avec alorsα= f (a), et de même pour b etβ. Lorsque a I, on a lim n a f= lim n a+ f qui n est autre que in f f (I), ieα. De même lorsque b I, lim n b f= lim n b f=β. remarques : (a) Si f est une bijection de D sur E (D R, E R), les courbes représentatives de f et f dans un repère (O, i, j )) sont symétriques par rapport à la droite (O, i+ j )) dans la direction i j (b) Dans le complément, c est la nature topologique qui est conservée, l aspect bornologique ne l étant pas : par exemple la restriction de la fonction tangente à π,π [, [ (c) Si f est continue et strictement monotone sur une partie D qui n est pas un intervalle réel, alors la bijection réciproque g : f (D) D n est pas nécessairement continue. (d) Si f est une bijection de I sur f (I), alors f n est pas nécéssairement strictement monotone sur I. Ainsi : f : x R x+ x si x, si x= est une bijection dersurr( f f= I d) mais f n est pas monotone surr... Par contre si l on rajoute l hypothèse de continuité sur I, la stricte monotonie est acquise. Théorème : si I est un intervalle réel et si f : I R est continue sur I, alors f est injective sisi f est strictement monotone. 3 Exemples : 3. Fonction exponentielle f : 0;+ [ R La fontion est strictement croissante sur 0;+ [, donc réalise une bijection de x ln x 0;+ [ surr. On peut donc définir sa fonction réciproque : Définition : la bijection réciproque de ln s appelle fonction exponentielle exp :R R + Relation fondamentale : (a, b) R, exp(a).exp(b) = exp(a + b) Propriété : r Q, exp(r)=(exp ) r preuve : montrez par récurrence que pour tout n Zet x R, exp(nx)=(exp x) n Notation : exp() est noté e et exp(x) est noté e x 4

5 3. Fonctions trigonométriques [ π [ π f :,π [, f est continue et strictement croissante, donc : [,,π x sin x x arcsin x f : [0;π [, f : [, [0;π est continue et strictement décroissante, donc x cos x x arccos x est continue et strictement décroissante. f : π ;π [ R π x tan x est continue et strictement croissante, donc f : R ;π [ x arctan x 3.3 Fonctions hyperboliques et leurs réciproques Définition : on appelle cosinus hyperbolique (resp. sinus hyperbolique, tangente hyperbolique) la fonction notée ch (resp. sh, th) définie surrpar : chx= ex + e x (resp. shx= ex e x, thx= shx chx ). f : R + [,+ [ est continue et strictement croissante, donc f : [,+ [ R + x chx x Argchx f : R R x shx est continue et strictement croissante, donc f : R R x Argshx f : R ; [ est continue et strictement croissante, donc f : ; [ R x thx x Argthx 5