2. Simplification d un rapport de nombres complexes.

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1 chaptre. Calcul du module et de l argument d une pussance d un nombre complexe.. Smplfcaton d un rapport de nombres complexes. 3. Pour montrer qu un nombre complexe est réel. 4. Pour montrer qu un nombre complexe est magnare pur. 5. Racnes carrées d un nombre complexe. 6. Racnes n -èmes d un nombre complexe. 7. Factorsaton d un polynôme réel. 8. Lnéarsaton des expressons de la forme m n cos x sn x où m, n N. 9. Calcul de cos( n ) et de sn( n) en foncton de pussances de cos( ) et de sn( ). 0. Écrture de e et de e ( R ) sous la forme r e avec (, r ) R.. Smplfcaton de sommes de cosnus (resp. snus).

2 méthode Calcul du module et de l argument d une pussance d un nombre complexe Pour calculer le module et l argument d une pussance d un nombre complexe, on calcule d abord le module et l argument de ce nombre, pus on l élève à la pussance voulue. 0 Calculer le module et l argument du nombre complexe ( 3). Comme donc d où et par sute 3 ( 3) e 3 3 et arg( 3) [ ] ( 3) e () e (8) e e ( 3) 0 0 et arg [ ]. 3 Exercce Calculer le module et l argument de chacun des nombres complexes suvants : a. 4 c b. 3 d

3 Smplfcaton d un rapport de nombres complexes méthode Pour smplfer un rapport de nombres complexes, on multple le numérateur et le dénomnateur par l expresson conjuguée du dénomnateur. Smplfer le nombre complexe. (4 )( 3) Comme l expresson conjuguée du dénomnateur est (4 )(3), (4)(3) (4 )( 3) (4 )(3)(4 )(3) (4 )( 3) (4 )( 3 ) (4 3) Exercce Smplfer les nombres complexes suvants : a f. (5 )(3) (3)(34) b. g. 7 c. ( )(3 ) 4 h. 3 d e. 5 3 (4 )(3) j. 3. 5

4 méthode 3 Pour montrer qu un nombre complexe est réel Pour montrer qu un nombre complexe est réel, on montre que : sot sa parte magnare est nulle, sot qu l est égal à son conjugué, sot son argument est congru à 0 modulo. e Sot e avec Z. Montrer que est un nombre réel. On a : Donc e e e e e e e e e e et par sute est un nombre réel. Exercces Ex.. À tout pont M d affxe, on assoce le pont M ' d affxe ' que est réel. '. Établr Ex.. Démontrer que, quels que soent les nombres complexes, ' de module et ' vérfant ' 0, le nombre Z est réel. ' Ex. 3. Détermner l ensemble des nombres complexes tels que réel. sot un nombre 6

5 Pour montrer qu un nombre complexe non nul est magnare pur Pour montrer qu un nombre complexe non nul est magnare pur, on montre que : sot sa parte réelle est nulle, sot qu l est égal à l opposé de son conjugué, sot son argument est congru à modulo. 4 méthode Sot. Montrer que est un magnare pur. On a : donc est un magnare pur. Exercces Ex.. Détermner l ensemble des nombres complexes tels que pur. Ex.. Détermner l ensemble des nombres complexes tels que pur. sot magnare sot magnare Ex. 3. À tout pont M d affxe, on assoce le pont M ' d affxe ' complexe est-l magnare pur? '. Le nombre Ex. 4. Détermner l ensemble des nombres complexes tels que sot magnare pur. 3 7

6 méthode 5 Racnes carrées d un nombre complexe Pour détermner les racnes carrées de ab, l est préférable de procéder par dentfcaton, c est-à-dre chercher les nombres réels xy, tels que : ( x y) ab. L égalté des partes réelles, des partes magnares et des modules permettent d écrre le système suvant : x y a xy b x y a b d où x et y pus xy, en utlsant le fat que xy est du sgne de b. Calculer les racnes carrées de 3 4. On résout le système suvant : x y 3 () ( S): xy 4 () x y 3 ( 4) 5 (3) Or (S) est équvalent au système : x 8 () (3) xy 4 () y (3) () x y xy 0 ou encore x et y ( S) ou x et y Les racnes carrées de sont donc : et. Exercces Détermner les racnes carrées des nombres complexes suvants : Ex.. Ex.. 4 Ex. 3. Ex

7 Racnes n-èmes d un nombre complexe non nul 6 méthode Pour trouver l ensemble des racnes n -èmes d un nombre complexe non nul, on commence d abord par le mettre sous forme trgonométrque e, ensute on cherche une racne n -ème de, pus on multple par les racnes n -èmes k n de l unté u e avec k 0,,,..., n. k Trouver les racnes 5 e de (). 4 Comme : () e, donc une racne 5 e de est : 0 5 e 5 4 d où les racnes 5 e de sont : k 0 0 e u 0 k k 0 e 0 5 avec k 0,,,3,4. Exercces Ex.. Détermner les racnes cubques de 4 (). Ex.. Détermner les racnes cubques de 4 (). Ex. 3. Détermner les racnes cubques de tan où R \ (k ), k Z. tan Ex. 4. Calculer les racnes 4 e du nombre complexe 8( 3). Ex. 5. Calculer les racnes 5 e du nombre complexe 3. Ex. 6. Détermner les racnes 4 e du nombre complexe

8 méthode 7 Factorsaton d un polynôme réel Quand on cherche à factorser un polynôme réel P et qu on a trouvé une racne magnare, on sat que est auss racne de P. s. Factorser le polynôme : Comme donc 3 P. est une racne de P, est auss racne de P et par sute P ( )( )( ).. Factorser le polynôme : P 3. Comme donc est une racne de P, est auss racne de P et par sute P ( )( )( ). Remarque Toute foncton polynôme de degré n, à coefcents dans C admet n racnes dstnctes ou non. En partculer, s on a trouvé par exemple n racnes grâce à des relatons sur les arguments, on obtendra toutes les racnes. Exercce Factorser les polynômes suvants : a. P 3 b. P 3 c. P d. P e. P 6 4 f. P 4 g. P h. P. 0

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