M1 MEEF Mathématiques. Le cours Loi faible des grands nombres. Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires réelles

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1 M MEEF Mthémtiques TD6 - Loi des grds ombres - Théorème de De Moivre Lplce - Théorème de covergece de l loi biomile vers l loi de Poisso - Itervlles de fluctutio Le cours Loi fible des grds ombres. Soit X ) N ue suite de vribles létoires réelles défiies sur u même espce probbilisé Ω, F, P), idépedtes, de même loi et itégrbles. Alors X + + X )/ coverge e probbilité vers EX ), i.e., pour tout ε > 0, ) lim P X + + X EX ) ε = 0 Remrque : Ds le cs de vribles létoires de crré itégrble EX 2 ) < + ), ue preuve bsée sur l iéglité de Bieymé-Tchebychev doe ue estimtio de l vitesse de covergece : P X + + X )/ EX ) ε) σ 2 /ε 2 ). Loi forte des grds ombres. O fit les mêmes hypothèses que ci-dessus. Alors, pour presque tout ω Ω, X ω) + + X ω)/ ted vers EX ) qud. Remrque : Ce théorème est plus fort que le précédet. Cepedt, l loi fible des grds ombres est itéresste pour s preuve très simple ds le cs de vribles létoires de crré itégrble, isi que pour l estimtio de l vitesse de covergece ds ce cs. Covergece de l loi biomile vers l loi de Poisso. Soit X ) N ue suite de vribles létoires réelles telles que X B, p ) et telles que lim p = λ. Alors, pour tout k N, lim PX = k) = λk k! e λ. Aplictios umériques : Ds l prtique, o dmet que l pproximtio est stisfiste si 0 et si if{p, p} 0, et if{p, p)} 0. Quelques propriétés de l loi ormle Si X N m, σ), lors X m σ N 0, ). Si X N m, σ), lors P X m σ) 0, 68, P X m 2σ) 0, 954, P X m σ) 0, 997. Si X N m, σ ) et X 2 N m 2, σ 2 ) sot deux vribles létoires ormles idépedtes, lors X + X 2 N m + m 2, σ 2 + σ2 2 ) et X X 2 N m m 2, σ 2 + σ2 2 ). Ces propriétés se géérliset u cs de vribles létoires ormles idépedtes. Théorème de De Moivre-Lplce. Soiet p ]0, [ et X B p), lors PX = k) = e k p) 2 2p p) + O/ )), 2πp p) si k p)/ p p) reste boré. O ussi ) P < X p b = b p p) 2π e z2 /2 dz + O/ )). Aplictios umériques : Ds l prtique, o dmet que l pproximtio est stisfiste si 0 et if{p, p)} 0. Remrque : Ce résultt dmet ue géérlistio u cs de vribles létoires quelcoques. C est le résultt cou sous le om de théorème de l limite cetrle

2 2 Théorème de l limite cetrle. Soiet X i ) i N ue suite de vribles létoires réelles sur u espce probbilisé Ω, F, P), idépedtes, et de même loi. Alors, pour tout < b +, o ) lim P X + X X EX ) σ 2 ) [, b] = b e z2 /2 dz. 2π Remrques : i) Ce théorème est fodmetl e théorie des probbilités. Ds certies pplictios umériques de ce théorème, o cosidère que l différece etre l limite qud ted vers l ifii ds le membre de droite de ) et l vleur pour u doé suffismmet grd, est égligeble. Il reste cepedt clir que le théorème éocé ici e permet ullemet d estimer cette différece. Ds l prtique, o remplce l loi de X +X 2 + +X EX ) pr l loi ormle cetrée réduite lorsque 0. σ 2 ii) Lorsqu o pproxime l loi de X +X 2 + +X EX ) pr l loi ormle cetrée σ 2 réduite, ds le cs où les vribles létoires X i suivet ue loi discrète, o pproxime ue v.. discrète pr ue v.. à desité, ce qui implique ue erreur d pproximtio de plus selo l probbilité à estimer. O peut lors ppliquer ue correctio de cotiuité pour ttéuer cette erreur. U cs typique : Si X i B, /) et U N 0, ), o ) X P +X 2 + +X / = 8 0 lors que PU = 8 ) = 0. O utilise lors 00 / 2/ 2 ue correctio de cotiuité e tet compte du ps etre deux vleurs possibles. Ici, le ps etre deux vleurs possibles de X +X 2 + +X EX ) est de σ Doc o pproxime P +X 2 + +X / ) X = 8 00 / 2/ 2 pr PU [ , ]). iii) Ue des pplictios directes du théorème de l limite cetrle est l dérivtio de l loi d échtilloge de l moyee ou de l fréquece pour des échtillos o exhustifs c.f. exercice 8). iv) Ue utre pplictio du théorème de l limite cetrle est l estimtio pr itervlle de cofice. Ceci ser bordé ultérieuremet. Les exercices Autour de l loi des grds ombres Exercice Méthode de Mote-Crlo). Soit g ue foctio réelle cotiue sur [0, ], et soit {X } N ue suite de vribles létoires idépedtes et idetiquemet distribuées, suivt l loi uiforme sur [0, ]. Expliciter EgX )). Motrer : P [ lim gx k ω)) = k= 0 gx)dx ] =. E quoi cette formule peut-elle être utile pour le clcul de 0 gx)dx? Covergece de l loi biomile vers l loi de Poisso Exercice 2. U hotelier loue ses 56 chmbres à l vce pour le mois d oût. Ayt remrqué que chque ée 6% de ses cliets se décommdet u derier momet, il décide d ccepter 60 réservtios. i) Doer ue vleur prochée de l probbilité que tous les cliets qui se présetet soiet logés. ii) De combie de chmbres devrit-il disposer pour être sûr à 95% de fire fce à ses eggemets toujours ds le cs de 60 réservtios). Exercice Extrit de V. Girrdi, N. Limios, Probbilité, Vribles, Vecteurs et Suites létoires, Vuibert). U idiviu vccié sur mille fit ue réctio llergique. O vccie 2000 persoes. Quelle est l probbilité d observer k réctios. Doer l vleur umérique excte pour k = 2. Doer ue pproximtio umérique de cette probbilité pour k = 2. 2

3 Théorème de l limite cetrle Exercice 4 Svoir lire les tbles de l loi ormle). i) Soit U ue vrible létoire ormle cetrée et réduite. Clculer P[U < 2], P[U > 2], P[U < 2], P[ < U < 0.5] et P[4U ]. Détermier et b tels que P[ U < ] = 0.82 et P[U < b] = 0.6 ii) Ue vrible létoire X suit ue loi de Lplce-Guss de moyee 5 et de vrice σ 2 = 9. Si U = N 0, ), pour doé, exprimer PX ) e foctio de PU b), où b est u réel qui déped de et que l o détermier. Clculer les probbilités des évéemets suivts. X iférieur à 8. X supérieur à 2. X compris etre et. X extérieur à l itervlle [ 4, 4]. Exercice 5. Appliquer le théorème de De Moivre - Lplce) Prmi les pièces produites pr ue chîe de motge, 0% sot défectueuses. Estimer l probbilité que prmi 400 pièces, plus de 50 soiet défectueuses. Exercice 6. Appliquer le théorème de De Moivre - Lplce) U stroome souhite mesurer l distce d, e ées lumière, etre so observtoire et ue étoile loitie. Bie qu il coisse ue techique de mesure, il sit ussi que chque résultt e costitue qu ue vleur pprochée de l distce réelle d, e riso des iflueces tmosphériques et des erreurs des ppreils de mesure. Pr coséquet, otre stroome prévoit d effectuer u ombre N de mesures et d ccepter leur moyee comme estimtio de l distce réelle. Il des risos de peser que les différetes vleurs mesurées sot des vribles létoires idépedtes et idetiquemet distribuées, d espérce commue d d est l distce réelle), et de vrice commue estimée à 4 l uité étt l ée lumière). i) Soit X i l vrible létoire qui décrit l ième mesure. A l ide des X i et de d, écrire l évéemet : L vleur moyee de N observtios est distte de d de 0,5 u plus. ii) A l ide du théorème de l limite cetrle, estimer l vleur N miimle pour que l moyee des N mesures effectuées s écrte de l vleur réelle d u plus de 0,5 ées lumière, vec ue probbilité de 95%. Exercice 7. Appliquer le théorème de De Moivre - Lplce) Ue compgie ériee doe des réservtios sur le vol d u ppreil de 400 plces. L probbilité qu u pssger yt réservé pour ce vol e se présete ps à l embrquemet est de 0, 08 = 8%. i) Si l compgie ccorde 420 réservtios sur ce vol, quel est le risque de surbookig, i.e., quelle est l probbilité que se présetet plus de pssgers que les 400 qui pourrot embrquer? O commecer pr modéliser ce problème à l ide d ue fmille de vribles létoires X i, i =,..., 420, idépedtes et de même loi, et dot o choisir l loi e s idt de l questio )). ii) Quel est le ombre mximum de billet que doit vedre l compgie pour être sûre à 99% que tous les pssgers qui se préseterot à l embrquemet vec u billet iet ue plce ds l vio? Echtilloge - Itervlles de fluctutios Progrmmes Lycée-BTS) Exercice 8 Loi d échtilloge de l fréquece pour des échtillos o exhustifs - F. Roche, F. Bry, Mthémtiques BTS, Hchette)). Ue etreprise fbrique e grd ombre des mpoules électriques. Des études sttistiques ot motré que 5% des mpoules fbriquées sot impropres à l vete. L etreprise effectue des tests de cotrôle : pour cel, elle prélève ds l productio des échtillos o exhustifs

4 4 de mpoules. O désige pr X l vrible létoire qui à tout échtillo létoire ssocie le pourcetge d mpoules impropres à l vete. ) Motrer que l loi suivie pr X peut être pproximée pr N p, p p)/) où p = 0, 05. b) Ds cette questio, o pred = 500 ; o cosidère u ombre d échtillos de 500 mpoules très grd. Quel est le ombre moye d mpoules impropres à l vete ds u échtillo? Détermier l probbilit{e PX 0, 055). c) Détermier l vleur miimle 0 de l tille d u échtillo pour que l probbilité d voir ue fréquece d mpoules impropres à l vete pprtet à l itervlle [0, 049; 0, 05] dépsse 95%. Exercice 9 Échtilloge et itervlle de fluctutio). E clsse de secode, l propriété suivte est dmise : Pour u échtillo de grde tille 0) d ue popultio yt ue proportio p d u crctère comprise etre 0, 2 et 0, 8, l itervlle 2) I 2 de = [p, p + ] est ue boe pproximtio de l itervlle de fluctutio u seuil de 95% de l fréquece f du crctère observée sur l échtillo. ) Qu est ce qu u itervlle de fluctutio? 2) Rppeler l éocé du théorème de De Moivre-Lplce. ) Soit p 0, ). Motrer que p p) 2. 4) O cosidère l fmille de vribles létoires X i ) où X i vut si le crctère est observé sur le i-ème idividu et vut 0 sio. ) Pour p = 0, et = 00, clculer explicitemet i.e. ss utiliser l itervlle I 2 de ci-dessus) u itervlle I 0 cetré e p tel que l fréquece f sur u échtillo de tille pprtiee à cet itervlle I 0 vec probbilité supérieure ou égle à 0,95 Cosidérer l loi biomile et utiliser u tbleur). b) E utilist ) et 2), démotrer que I 2 de est bie u itervlle de fluctutio pproché u seuil de 0, 95. Pour p = 0, et = 00, clculer l itervlle I 2 de doé pr l églité 2) et comprez-le vec I 0. 5) E utilist l défiitio 2) de I 2 de, détermier l tille miimle d u échtillo pour être sûr à 95% que l fréquece mesurée sur l échtillo soit distte de l fréquece du crctère ds l popultio totle de mois de %. Même questio vec 0, %. 6) Pour p = 0,, à l ide d u tbleur, effectuer u tirge d échtillo de tille 00 et doer l fréquece f correspodte. Recommecez l opértio 00 fois et comptez le ombre de fois où vous vez obteu ue fréquece ds l itervlle de cofice. Exercice 0. Voici u extrit d u documet d ccompgemet des progrmmes de premières cf. eduscol.eductio.fr/prog) : L itervlle de fluctutio u seuil de 95% d ue fréquece F, correspodt à l rélistio sur u échtillo létoire de tille, [ de l vrible létoire X égle à F et de loi biomile de prmètres et p, est l itervlle, b ] défii pr le système de coditios suivt : est le plus grd etier tel que PX < ) 0, 025,

5 b est le plus petit etier tel que PX > b) 0, 025. ou ecore pr le système de coditios équivlets : est le plus petit etier tel que PX ) > 0, 025, b est le plus petit etier tel que PX b) 0, 975. Nous repreos les mêmes ottios. O doc X qui suit l loi biomile de prmètre et p. O suppose que 0 < p <. ) Motrer que les deux systèmes de coditios sur et b ci-dessus sot équivlets. 2) Avec et b vérifit les systèmes ci-dessus, motrer soigeusemet que, pour tout N, o peut e déduire ue iéglité etre P X [, b ]) et 0,95? ) Toujours vec les mêmes ombres et b, motrer soigeusemet que pour tout N, o obtiet ue utre iéglité etre P X [ +, b ]) et 0,95. 4) Doer ue expressio de P X [, b]) P X [ +, b ]) e foctio de, b, et p. Exercice Itervlle de fluctutio symptotique u seuil α ; prise de décisio). Ds le documet éduscol : Ressources pour l clsse termile géérle et techologique, Probbilités et sttistique, o trouve l éocé suivt : Théorème : Si l vrible létoire X suit l loi B; p), vec p ]0, [, lors pour tout réel α ds l itervlle ]0, [ o : ) lim P X I = α, [ où I désige l itervlle p p) p p) p u α, p + u α ] P u α Z u α ) = α où Z suit l loi ormle N 0, ). et u α désige l uique réel tel que ) A l ide du théorème de De Moivre - Lplce, démotrer ce résultt. 2) Prise de décisio. Résoudre l exercice joit e documet exe extrit de l ouvrge Odyssée Mthémtique, ère S, Collectio Htier. 5