1 ère S Exercices sur les suites (3)

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Gaston Chartier
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1 ère S Exercices sr les sites () (Sites arithmétiqes - sites géométriqes) Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Exprimer e foctio de Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Soit la site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q Exprimer e foctio de Exprimer e foctio de Exprimer e foctio de Soit la site géométriqe de premier terme et de raiso q Exprimer e foctio de 6 Soit la site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calcler la somme des dix premiers termes Soit la site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q Calcler S Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calcler S 0 Défiitio por l exercice 0 Exprimer e foctio de Lorsqe l o place capital à itérêts composés, à la fi de chaqe période, les itérêts géérés sot ajotés a capital por prodire de oeax itérêts O dit assi qe les itérêts sot capitalisés Exemple : O placemet capital de 00 à tax ael de % d'itérêts composés La ère aée, les itérêts serot de : La e aée, les itérêts serot de : 0, 00 La ère aée la aler acqise par le capital est égale à 0 La e aée la aler acqise par le capital est égale à 0, 0, Etc 0 O place 000 à itérêts composés a tax ael de % par a Das placemet à itérêts composés, les itérêts prodits chaqe aée sot calclés sr le capital de l aée précédete O ote C la aler acqise par le capital a bot de aées (e ) ) Exprimer C e foctio de C E dédire la atre de la site ) Exprimer C e foctio de ) Calcler C La poplatio d pays agmete de % par a E 99, ce pays compte 000 habitats O ote P la poplatio a bot de aées ) Exprimer P e foctio de P E dédire la atre de la site P ) Exprimer P e foctio de ) Calcler P 0 C Le prix d matériel baisse de % chaqe aée So prix à l état ef était 00 O ote P le prix a bot de aées (e ) ) Exprimer P e foctio de P E dédire la atre de la site P ) Exprimer P e foctio de ) Détermier par essais sccessifs a bot de combie d aées la cote de ce matériel sera ifériere à 0 Soit e site arithmétiqe telle qe 6 et 0 ) Calcler la raiso ) Calcler Soit la site défiie par so premier terme 0 0 et la relatio de récrrece ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, o pose a) Soit etier atrel fixé Exprimer e foctio de pis e foctio de et efi e foctio de b) Qelle est la atre de la site? c) Calcler 0 ; exprimer pis e foctio de Soit la site défiie par so premier terme 0 et la relatio de récrrece ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, o pose a) Soit etier atrel fixé Exprimer e foctio de b) Qelle est la atre de la site? c) Exprimer pis e foctio de

2 6 Soit la site défiie par so premier terme 0 et la relatio de récrrece ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, o pose a) Soit etier atrel fixé Exprimer e foctio de b) Qelle est la atre de la site? c) Exprimer pis e foctio de Calcler la somme S 99 e tilisat e site (il fat rédiger coeablemet) 9 Calcler la somme S 9 Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r 0 Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso r Détermier l etier atrel tel qe la somme des premiers termes de cette site soit égale à 9 Soit la site défiie par Détermier la atre de la site et détermier so ses de ariatio Soit la site défiie par Détermier la atre de la site et détermier so ses de ariatio Soit la site géométriqe telle qe et 9 Calcler 0 et la raiso q Soit a, b, c trois termes coséctifs d e site arithmétiqe tels qe a b c 9 () et a b c 9 () (les dex coditios doiet être érifiées simltaémet) Détermier a, b, c Soit e site arithmétiqe telle qe 0 et 0 0 Détermier la raiso r 6 Soit la site défiie sr par so premier terme 0 et la relatio de récrrece Por tot etier atrel, o pose (o admettra qe por tot etier atrel, o a : 0) ) Détermier la atre de la site ) Exprimer e foctio de Soit la site défiie sr * par so premier terme et la relatio de récrrece ) Calcler et ) Por tot etier atrel o l, o pose Détermier la atre de la site ) Exprimer e foctio de Réposes 9 (cette formle est alable qe por les etiers atrels spériers o égax à car le premier terme de la site est ) S 0 ) C,0 C ) P,0 P 6 09 S 9 S 60 0 C 000,0 ) C, ) ) 000,0 ) P 0, P P ) P 0 6, P 00 0, ) a bot de 9 as ) r ) ) Il s agit de l étde d e site arithmético-géométriqe ) ; 6 ; ) c) Il s agit de l étde d e site arithmético-géométriqe ) 9 ; ; ) a) c) 6 Il s agit de l étde d e site arithmético-géométriqe ) ; ; ) a) 9 c) 9 = S = 00 S = 0 est e site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q ; la site est strictemet croissate à partir de l idice 0 est e site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q ; la site est strictemet décroissate à partir de l idice 0 0 ; q er cas : a ; b ; c ; e cas : a ; b ; c 6 r 6 Ce type d exercice demade de saoir mettre e coexio totes les formles d cors ) est e site arithmétiqe de premier terme 0 et r ) ) ; 6

3 ) est e site géométriqe de premier terme et de raiso q ) 9 : site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r Calclos S 0 Maaise méthode (loge et fastidiese) O calcle tos les termes jsq à 0 Soltios détaillées : site géométriqe de premier terme 0 et de raiso Calclos S 0 0 Maaise méthode (loge et fastidiese) O calcle tos les termes jsq à q S S S 0 Boe méthode : tilisatio de la formle sommatoire por les sites géométriqes S 0 S = S = 6 Boe méthode : tilisatio de la formle sommatoire por les sites arithmétiqes Calclos la somme S 99 Soltio détaillée : Il s agit de la somme de tos les etiers atrels impairs de à 99 Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso r = 0 r soit O a 99 9 (érificatio immédiate) O effecte e réécritre de la somme (à l aide de la site) : S 0 9 O appliqe la formle sommatoire por la somme des termes coséctifs d e site arithmétiqe

4 er derier ombre de termes S Soltio détaillée : 9 Calclos la somme S Remarqe : A la base S est e somme défiie e extesio (présece des trois petits poits) L objectif de l exercice est de calcler simplemet cette somme sas calcler chaqe terme bie éidemmet ère méthode : q O appliqe la formle sommatoire d cors : q q q q O appliqe cette formle aec q et = 9 S e méthode : Soit la site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q 0 q soit O effecte e réécritre de la somme (à l aide de la site) : S 0 9 alable por q 0 Por tot etier atrel, o pose : S (somme des premiers termes) S S 9 S 9 S 0 9 () Cosidéros le polyôme x 9x 90 (x ) So discrimiat est égal à = = 9 = 9 > 0 O e dédit qe le polyôme admet dex racies distictes das : x et x = = O appliqe la formle sommatoire por les sites géométriqes : ombre de termes 0 0 q 0 S 0 0 q (Por calcler le ombre de termes de la somme, o effecte le calcl : selo la formle (derier idice) (premier idice) + ) 9 : site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermios tel qe 09 () () 09 0 = 6 r Or la site est défiie sr doc () Détermios la atre de la site et détermios so ses de ariatio ère méthode : O trasforme l expressio de est e site géométriqe de premier terme 0 et de raiso (o recoaît e expressio de la forme 0 q ) q O a 0 0 et 0 q doc la site est strictemet croissate à partir de l idice 0

5 e méthode : O calcle le qotiet (o appliqe les règles sr les pissaces) Ce qotiet est ombre fixe (idépedat de ) est e site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q NB : Cette e méthode est pls loge qe la ère Il at miex l éiter car les calcls e sot pas très agréables Détermios la atre de la site et so ses de ariatio ère méthode : O trasforme l expressio de D atre part, o a : 0 q soit 0 d où 0 doc 0 6 a, b, c sot trois termes coséctifs d e site arithmétiqe tels qe a b c 9 () et a b c 9 () Détermios a, b, c Méthode : O ote r la raiso de la site O a predre por icoe le ombre b por aoir les calcls les pls simples possibles O a doc a b r et c b r L égalité () doe alors : b r b b r 9 doc b = 9 O obtiet fialemet b = Par site, a = r et c = + r L égalité () doe alors : r r soit 9 6r r d où r 9 r 6 r = o r = 9 9 6r r 9 9 O distige doc cas : er cas : r = est e site géométriqe de premier terme 0 et de raiso q O a 0 0 et 0 q doc la site est strictemet décroissate à partir de l idice 0 e méthode : O calcle le qotiet est e site géométriqe de raiso q : site géométriqe telle qe et 9 Calclos q et 0 O a : q soit 9 q d où q doc q a ; b ; c e cas : r = a ; b ; c : site arithmétiqe telle qe 0 et 0 0 Détermios la raiso r O pose : S 0 O appliqe la formle sommatoire des termes coséctifs d e site arithmétiqe 0 O a doc S 6 soit S Or 0 r d où r 0 Par coséqet, S r 6 r 6 O e dédit qe 6 r 0 d où 6 r 0 doc r

6 6 : site défiie sr par so premier terme 0 et la relatio de récrrece Por tot etier atrel, o pose (o défiit e site axiliaire) ) Détermios la atre de la site O e dédit qe la site est e site arithmétiqe de raiso et de premier terme 0 ) Exprimos e foctio de Or d où O e dédit qe ) Por tot etier atrel o l, o pose Détermios la atre de la site * O e dédit qe est e site géométriqe de premier terme et de raiso q ) Exprimos e foctio de O commece par exprimer e foctio de * q * * Or * Doc * D où * : site défiie sr * par so premier terme et la relatio de récrrece ) Calclos et 6

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