Les suites. Suite définie par une fonction (= Suites définies en fonction du rang n (du type ;

Transcription

1 Les sites Rappel : désige l esemble des etiers atrels, ;;;; UNE SUITE DE NOMBRES REELS EST UNE LISTE ORDONNEE DE NOMBRES REELS, FINIE OU INFINIE I ) Gééralités Notio de site Défiitio : Ue site est e foctio de ers, i à ombre associe so image, appelé terme gééral de la site, état l idice de la site La otatio o désige la site e tat objet mathématie, et désige l image de l etier est assi appelé le terme d idice de la site Il existe doc dex otatios por les sites : et Exemple : Soit la site défiie par = + ; ; = ; s appelle le premier terme de la site o le terme iitial, = + s appelle le terme gééral de la site Exemple : Soit la site défiie par ; ; = ; = = Site défiie par e foctio (= Sites défiies e foctio d rag (d type Soit f la foctio défiie par f x x O cosidère la site défiie par f Compléter : ; ; = ; f ) ) = Site défiie par e relatio de récrrece (= défiie e foctio d (o des) terme(s) précédet(s)) A reteir : Lorse l o doe le terme iitial d e site aisi e l expressio d terme e foctio d précédet, o dit e l o défiit cette site «par récrrece» Exemple : O cosidère la site défiie par : por tot etier atrel + Compléter : 7 ; 7 ; = Exemple : O cosidère la site défiie par : ; 6 ; por tot etier atrel =

2 II ) Représetatio graphie d e site Défiitio : La représetatio graphie d e site das repère, est l esemble des poits isolés de coordoées ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6 Soit la site U défiie par Représeter la site à l aide de ses premiers termes 6 6 A ; 6 6, A ;, A ; A ; A ; III ) Ses de ariatio d e site Défiitio : ) O dit e la site est strictemet croissate si chae terme de la site est strictemet iférier a terme i le sit : por tot etier : ) O dit e la site est strictemet décroissate si si chae terme de la site est strictemet spérier a terme i le sit : por tot etier : Graphiemet, o costate e la site défiie das l exemple précédet est : Commet étdier les ariatios d e site Méthodes : O étdie le sige de : Si por tote aler de, alors la site est Si por tote aler de, alors la site est Por e site défiie à l aide d e foctio, d type f de la foctio f sr ; : Si f est croissate sr ;, alors la site, o étdie le ses de ariatio est Si f est décroissate sr ;, alors la site est

3 Por e site à termes strictemet positifs, o compare à : Si, alors la site est Si, alors la site est Exemples : Soit la site défiie par : et la site défiie par por tot etier Etdier le ses de ariatio de ces sites Première méthode : si or doc si : est croissate à partir d rag Dexième méthode : Soit la foctio f x x x défiie sr Sa dériée est : : cette dériée est positie si f ' x x x x, soit si x Si x, la dériée est positie, doc por x la foctio f est croissate Comme la site est défiie par : f, alors la site est croissate à partir d rag Troisième méthode : : ce est pas très élégat : Aisi :, (doc por tot etier ) doc la site est décroissate IV) Sites arithméties Défiitio : O appelle site arithmétie tote site mérie dot chae terme s obtiet e ajotat ombre costat r appelé raiso de la site Elle est doc défiie par récrrece par : +r 7 + ; ; ; 9 ; La site de ombres ;8;;; pet être décrite par e site arithmétie U : aec premier terme et de raiso r =

4 Gééralemet por e site arithmétie de premier terme r r r r r r et de raiso r : O pet se représeter la sitatio a moye d schéma comme celi-ci : r r r r r r Propriété : «Calcl des termes d e site arithmétie» Soit ( ) e site arithmétie de terme iitial et de raiso r ) r por tot etier ) m p m pr por tos etiers m et p e site arithmétie est etièremet défiie par so premier terme et sa raiso Soit la site arithmétie de raiso r = et telle e r r doc r 8 = Calclez et Propriété : «Somme des premiers etiers atrels o l» La somme (où est etier atrel o l) est : S = Démostratio : C est e astce d écritre : S S S soit : S et S = 7 Propriété : «Somme de termes coséctifs d e site arithmétie» Soit S la somme de + premiers termes d e site arithmétie, alors : S Démostratio : S r r r Soit : or : S r r r r

5 doc : S r r r S r r soit : Soit e site arithmétie de raiso et de terme iitial = 7 Calcler S La site ( ) s écrit : r 7, doc : O pet calcler la somme des premiers termes de la site ( ) : Or : Doc : S V ) Représetatios graphies d e site arithmétie Soit ( ) la site arithmétie de terme iitial = et de raiso r = Calclez,,,, r r r ; A ; A ; Exprimez e foctio de Représetez les poits de coordoées ;, por, das le repère ci-cotre Qe remarez-os? Propriété: Les termes d e site arithmétie se représetet graphiemet par des poits aligés Propriété : Si le terme gééral,, d e site s écrit : a b, alors est e site arithmétie de terme iitial b et de raiso a

6 VI ) Sites géométries Soit la site des pissaces de d exposat etier atrel Aisi : est la site géométrie de terme iitial et de raiso = Défiitio : O appelle site géométrie tote site mérie dot chae terme s obtiet e mltipliat par ombre costat appelé raiso de la site Elle est doc défiie par récrrece par : Gééralemet por e site géométrie de premier terme et de raiso : O pet se représeter la sitatio a moye d schéma comme celi-ci : Propriété : «Calcl des termes d e site géométrie» Soit e site géométrie de terme iitial et de raiso ) por tot etier m p ) m p por tos etiers m et p est e site géométrie de terme iitial = et de raiso = Calclez et doc 8 o bie Propriété : «Somme des + premières pissaces d ombre» Soit ombre différet de, alors : = + Démostratio : C est e astce d écritre : S S S S car

7 S d où : S soit : Propriété : «Somme de termes coséctifs d e site géométrie» Soit S la somme de + termes coséctifs d e site géométrie de raiso, si premier terme de cette somme, alors : S (car il y a + termes) Démostratio : S Soit : S Soit la site géométrie de raiso = et de terme iitial = Calclez S 6 7 La site s écrit :, doc : O pet calcler la somme des premiers termes de la site : Or : Doc : S VII) Représetatio graphie d e site géométrie Soit la site géométrie de terme iitial = et de raiso = Calclez,,, Représetez graphiemet les poits de coordoées ; por premiers termes de cette site Exprimez e foctio de est le Propriété : Si le terme gééral,, d e site s écrit : a b alors est e site géométrie de terme iitial a et de raiso b