Mathématiques Statistiques

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1 IUT de Mesures Physiques de Caen DUT 2ème année Mathématiques Statistiques Travaux Dirigés Feuille Sujet Statistiques descriptives : données univariées, échantillonnage, histogramme, diagramme de dispersion. Exercice : Corrélation de données Nous étudions les évolutions conjointes des températures moyennes de Sydney et de Caen. Le tableau suivant recense les températures moyennes mensuelles relevées sous abri, à midi, sur plusieurs années (Source : Météo France). jan. fev. mar. avr. mai jui. jui. aou. sep. oct. nov. dec. x : Sydney ( o C) y : Caen ( o C) Indiquer les valeurs extrêmes, puis l amplitude de variation (plage des valeurs). Calculer ensuite moyenne, variance, écart-type empirique de chaque échantillon x et y de différentes manières. Commenter les résultats. Indication : Attention aux unités! Si besoin, on pourra indiquer aux étudiants que x 2 = o C 2 et que y 2 = o C 2. x = o C et ȳ = 0.5 o C S 2 n(x) = o C 2 et S 2 n(y) = o C 2 S n (x) = o C et S n (y) = o C La température moyenne est plus élevée à Sydney, avec une variabilité plus faible qu à Caen. 2. Calculer la covariance et la corrélation empirique. Commenter et interpréter le résultat. Covariance empirique : S 2 n(x, y) = o C 2 Corrélation de Pearson : ρ(x, y) = Remarque : le coefficient de corrélation est élevé, donc la variance de y peut s expliquer linéairement en fonction de celle de x. Remarque 2 : une forte corrélation n indique pas la causalité!!! Remarque 3 : Coefficient négatif en raison du changement d hémisphère. 3. Calculer les paramètres de régression linéaire d un modèle affine du type : y = ax + b. a = S2 n(x, y) Sn(x) 2 = ρ(x, y) S n(y) S n (x) =.208 b = ȳ a x = o C 4. Tracer le nuage de points (x i, y i ) i puis la droite de régression déterminée à la question précédente. En déduire à quelle température on peut s attendre en partant en voyage à Sydney lorsque qu il fait 0 o C à Caen. Le nuage de point et la droite de régression sont tracés en figure. Si on souhaite prédire la valeur de température moyenne à Sydney en fonction de celle à Caen, il faut inverse le modèle linéaire : x = a (y b). Ainsi, s il fait 0o C, il fait en moyenne o C à Sydney.

2 8 6 regression lineaire nuage de points droite de regression ( = ) 4 2 y x Figure : Représentation des données brutes et régression. Exercice 2 : Analyse de données triées Un relevé de n valeurs est donné dans le tableau suivant, correspondant à la mesure de l impédance de résistances électrique provenant d un même lot et dont le code couleur indique qu elles sont de 00 Ω. Afin de faciliter l analyse, les données ont subi un pré-traitement : on notera que les valeurs sont triées en colonne Calculer la plage des valeurs, l effectif total, les valeurs minimales et maximales ; Indication : Attention aux unités! Plage des valeurs de l échantillon : [min, max] = [95; 04, 93] Ω Effectif total = 00 (pour simplifier les calculs). 2. Calculer les quantiles à : 0%, 25%, 50% et 75%. Médian : Quartiles : med = 2 (x 50 + x 5 ) = Ω Q 0 = 2 (x 0 + x ) = Ω, Q 25 = Ω, Q 50 = Ω, Q 75 = Ω 3. Dessiner la boîte à moustache correspondant aux données à partir des résultats de la question précédente. Dispersion inter-quartile : = Q 75 Q 25 = 4.8 Ω. Rappeler que 50 % des données appartiennent à cet intervalle de valeur, équilibré autour de la médiane. 2

3 Voici la représentation obtenue (Figure 2). Rappelons que sont représentés par ce diagramme : la médiane, les er et 3ème quartiles, puis les moustaches, qui varient selon la définition choisie. Historiquement (Tukey), les moustaches s étendent jusqu aux valeurs extrémales de l échantillon appartenant à l intervalle : [q min ; q max ] avec q max = Q (Q 75 Q 25 ) = Q = et q min = Q 25 3 = Ici, 2 toutes les données sont donc comprises dans l intervalle interquartile symbolisé par les moustaches. Boite a moustache Figure 2: Représentation des données brutes et simplification par boîte à moustache. 4. Dessiner la courbe des effectifs cumulés en utilisant seulement la première ligne du tableau (utiliser une interpolation linéaire). Déterminer graphiquement les quartiles : retrouve-t-on les résultats de la question précédente? Quel résultat obtiendrait-on en utilisant toutes les valeurs de l échantillon? Voici la courbe obtenue avec toutes les valeurs de l échantillon puis partielle (Figure 3). On obtient forcément des résultats différents et moins fiables pour décrire l impédance des résistances. Si on utilise tout l échantillon, on peut également trouver des résultats différents à cause de la méthode graphique (choix de l interpolation et de la définition de quantile). 5. Regrouper les valeurs en 0 classes (ou modalités). Préciser la quantification choisie. Donner le résultat sous forme de tableau. Classe Intervalle Centre Effectifs Proportion Il est naturel de prendre l intervalle de valeurs [95, 05] que l on découpe en 0 intervalles de même taille (quantification uniforme). On peut alors traiter les données comme des données discrètes mais en faisant des erreurs de calculs liées à la quantification. On obtient le tableau des effectifs suivant : classe centre effectif En déduire un calcul approché de la moyenne empirique. De la même manière, estimer ensuite la variance empirique et l écart-type de l échantillon. Donner ensuite estimation de la moyenne et de la variance de la population dont est issu cet échantillon. Comparer avec les résultats obtenus lorsque l on utilise toute les valeurs de l échantillon (voir les indications). Si vous avez le temps, retrouver ces valeurs avec votre calculatrice.

4 effectif (sur 0) effectifs partiels cumules Figure 3: Effectifs cumulés sur tout l échantillon puis partiel Indications : On a i x i = Ω et i x 2 i = Ω 2. On calcule de manière rapide mais approchée la moyenne de l échantillon en utilisant la valeur centrale de chaque classe ˆµ = Ω ˆσ 2 = Ω 2 ˆσ = Ω Sur tout l échantillon, on obtient : moyenne empirique de l échantillon : x = Ω Variance empirique Sn(x) 2 = (x x) 2 = x 2 x 2 = Ω 2 (on obtient en utilisant aucun arrondi intermédiaire de calcul). Moyenne estimée : ˆµ = x (estimateur sans biais et convergent d après la loi des grands nombre) Variance estimée de la population ˆσ = S n (x) 2 = n n S2 n(x) = Ω 2 (estimateur sans biais et convergent d après la loi des grands nombre) 7. Tracer l histogramme normalisé des effectifs et commenter l allure de la courbe. Comment obtient-on la répartition empirique des impédances pour ce modèle de résistance? Quelle est l allure de la courbe? L histogramme des effectifs est tracé en Figure 4. Il est obtenu en traçant en ordonné les effectifs en fonction des classes.

5 Les effectifs cumulés sont ensuite définis en sommant les effectifs sur plusieurs classes en commançant par la première. Différentes interpolations peuvent être utilisées pour représenter ces effectifs cumulés. Ici on a choisi une interpolation linéaire des effectifs entre les centres de chaque classe (qui suppose fondamentalement que les effectifs sont uniformément répartis dans chaque intervalle). 4 Histogramme des effectifs sur 0 classes effectif (sur 00) % Histogramme normalise et cumule sur 0 classes Figure 4: Histogrammes sur données 8. Calculer les paramètres de forme (coefficient d aplatissement et de symétrie) en utilisant les questions précédentes. Indication : On pourra utiliser les fonctions de tableur de sa calculatrice. On calcule de manière rapide mais approchée les coefficients de skewness et de kurtosis avec les données quantifiées (sans unité) : m3 = Ce coefficient est proche de zéro, soit une distribution empirique avec une bonne symétrie comme on peut l observer.

6 m4 =.855 < 3. Ce coefficient est plus faible que le kurtosis d une loi normale (égal à 3) : cela signifie que la décroissante est plus rapide qu une gaussienne, ce que nous permet de vérifier le diagramme de dispersion (boîte à moustache). Pour indication, pour tout l échantillon on obtient : m3 = m4 =.8537