Devoil libre N 6 2ème TSI 1 Correction

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1 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Correcton Mathématques Exercce 1 : Un compact de R est une parte bornée fermée 1

2 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Mathématques Exercce S U sut la lo géométrque de paramètre p, on a, UΩ N, et N, P U pq 1 1. Sot n N, P Z > n. X + Y Ω [, + [, n+1 P Z n+1 pq 1 p qn p qn n1 n1 n, P X + Y n P X P Y n p q 1 q n1 n 1p q n 1 X + Y + ZΩ [3, + [, n3 n3 n 3, P X + Y + Z n P X + Y P Z n 1p q pq n1 donc n3 p 3 q n3 1 n 1n p3 q n Foncton de répartton de X + Y : n, F X+Y n P X + Y n n P X + Y p 1 + q + 3q n 1q n n1 on a fx x 1 xn 1 x on obtent en dérvant f, la valeur f q 1 + q + 3q n 1q n 1 qn nq n1 1 q 1 q, donc F X+Y n 1 q n npq n1 { F X+Y x 0 s x < F X+Y x 1 q n npq n1 s x avec n Ex 4. on utlse le fat X et Y sont ndépendantes et la somme d une sére géométrque, + P X Y P X P Y pq 1 p q q p 1 + q 1 1 on a : P X > Y + P X < Y + P X Y 1 et P X < Y P Y < X et P X Y P X < Y + P Y X ; donc P X Y P X Y 1 + q 5. P X + Y Z n1 P X + Y n, Z n et Z sont ndépendantes. P X + Y Z n1 n1 n1 1 P X + Y np Z n car X + y n 1p q n pq n1 p 3 n1 nq 3n3 q 3n3 par dérvaton de une sére géométrque, on obtent P X +Y Z p3 1 + q 3 1 q 3 q 6. Calcul P Z X +Y 1P Z > X +Y 1 P Z > np X +Y n q n1 ndépendance de X + Y et Z, et somme de de la dérvée dune sére géométrque Problème 1. Sot a un nombre réel non nul et P un élément de R N [X]. S P est un polynôme de degré n alors P a X avec a n 0. Donc P ax + 1 a a ax + 1 a dont le terme de plus haut degré est a n ax n avec a n a 0 Donc P ax + 1 a est ben un polynôme de même degré que P. S P est nul, P ax + 1 a le sera auss. Dans toute la sute de l exercce, pour tout réel a non nul, on note f a l applcaton de R N [X] dans R N [X] qu à un polynôme P assoce le polynôme P ax + 1 a

3 3 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Mathématques. Soent a et b des nombres réels non nuls. a Pour tout polynôme P : f a P x P ax + 1 a donc f b f a P x P a bx + 1 b + 1 a P abx + a ab + 1 a P abx + 1 ab f ab P x Concluson : f b f a f ab b On remarque que a 1 on a f 1 P x P 1x P x alors f 1 P P Donc f a f 1/a f 1 Id et f 1/a f a Id. Donc f a admet pour récproque f 1/a. Concluson : f a est donc bjectve de récproque f a 1 f 1/a c On pose : f a 0 f Id et, pour tout enter naturel n : f a n+1 f a n f a. Pr récurrence : f a 0 f Id f 1 f a 0. Sot n N tel que f a n f a n ; alors f a n+1 f a n f a f a n f a f a n+1 Concluson : Pour tout enter naturel n : f a n f a n. 3. Pour tout réel a non nul, on note M a la matrce de f a dans la base canonque 1, X,..., X N de R N [X]. a Explcter M a dans le cas N 3. On calcule les mages des vecteurs de la base pus leurs coordonnées dans la base canonque : f a 1 x 1 1 coordonnées : 1, 0, 0, 0 f a X x X ax + 1 a ax + 1 a coordonnées 1 a, a, 0, 0 f a X x ax + 1 a a x + 1 a ax+1 a coordonnées 1 a, a 1 a, a, 0 et f a X 3 x ax + 1 a 3 a 3 x a a x a ax + 1 a 3 coordonnées 1 a 3, 3a 1 a, 3a 1 a, a a 1 a 1 a 3 Donc la matrce de f a dans la base canonque est : 0 a a 1 a 3a 1 a 0 0 a 3a 1 a a 3 Dans le cas général, les coeffcent de la j+1 éme colonne sont les coordonnées de f a X j avec f a X j x ax + 1 a j j 0 j 1 a j a x Concluson : On trouve donc en j + 1ème colonne et + 1ème lgne : 0 s > j et j 1 a j a j s j b n désgnant un enter naturel, M a n est la matrce assocée à f a n f a n dont la matrce est M a n. Concluson : M a n M a n. Pour n négatf, f a n a pour récproque f 1/a n f a n donc la matrce assocée à la récproque est d une part, l nverse de la matrce assocée à f a n, et d autre part la matrce assocée à f a n. Concluson : [M a n ] 1 M a n et la formule reste vrae pour n négatf. 4. Précser l ensemble des valeurs propres de f a Comme la matrce de f a est trangulare, ses valeurs propres sont sur.la dagonale { 1, a, a, a 3,, a N}, qu ne sont dstnctes que s a 1 et a 1 et a 0. Pour tout enter comprs au sens large entre 0 et N,

4 4 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Mathématques f a X 1 x ax + 1 a 1 a x 1 f a X 1 a X 1 Les X 1 sont donc des vecteurs propres de f a. Comme 1, X 1,, X 1 N est échelonnée donc lbre à N + 1 vecteurs donc une base de R N [X] de vecteurs propres. Concluson : f a est dagonalsable II. Etude d une expérence aléatore On dspose de N pèces de monnae, chacune ayant la probablté p d amener ple 0 < p < 1 et d amener face. On pourra poser : q. On s ntéresse à l expérence aléatore qu consste à effectuer des lancers successfs selon le protocole suvant : à l étape 1, on lance les N pèces ; à l étape, on lance les pèces ayant amené ple à l étape 1 s l en exste ; à l étape 3, on lance les pèces ayant amené ple à l étape s l en exste, et ans de sute. À chaque étape, les lancers des pèces sont supposés ndépendants. On consdère les varables aléatores suvantes : X 0 est la varable aléatore certane égale à N, pour tout enter naturel n non nul, X n est le nombre de côtés ple apparassant à l étape n, avec la conventon que, s à une certane étape n 0 aucun côté ple n apparaît, on consdère que pour tous les enters n supéreurs ou égaux à n 0 l événement X n 0 est réalsé. 1. Etude des varables aléatores X n Sot n un enter naturel, soent et j des enters comprs au sens large entre 0 et N. a Sachant que l événement X n j, la n ème expérence consste à lancer j pèces, ndépendamment, ayant toutes la même probablté p de donner ple. Concluson : X n+1 /X n j B j, p D après la formule des probabltés totales, avec le système complet d événements X n [[0,N]] on a alors P X n+1 N P Xnj X n+1 P X n j j0 1 N j 0 + p j P X n j j0 j découpage nécessare car les valeurs possbles pour B j, 1 sont les j c.a.d. j Concluson : P X n+1 N j j p j P X n j b On a : P X n+1 0 P X n+1 1. P X n+1 N N j0 N j1 j p j P X n j j p j P X n j.. N j jn p j P X n j P X n+1 0 P X n+1 1 M p. P X n+1 N Concluson : U n+1 M p U n Sute géométrque matrcelle de rason M p donc U n M p n U 0 M p nu 0. Concluson : pour tout n N : U n M p nu 0

5 5 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Mathématques Et comme P X 0 N 1 et P X 0 0 pour les autres valeurs,, le produt a pour résultat la dernère colonne de la matrce M p n. Donc P X n N p n n N et donc Concluson : X n B N, p n On avat trouvé que X 0 état la varable certane égale à N et pour pour n 0 : p 0 1 ce qu est cohérent. Pour X 1 sachant que X 0 N, on avat une lo bnomale de paramètres N et p, tout comme c. Au cours des n premères étapes, on lance X 0 + X X n1 pèces à l étape n on lance autant de pèces que de ple à l étape n 1 Le nombre moyen de pèces lancées en n étapes est donc : Concluson : m n N n E X E X n1 N p p n1 N n. Etude d un temps d attente On suppose les N pèces numérotées de 1 à N, et on note T 1,..., T N les varables aléatores donnant le temps d attente de la premère apparton de face respectvement pour la premère, deuxème,..., Nème pèce. De plus, on pose : T supt 1,..., T N. a Tant qu une pèce n a pas donné face, elle est relancée, et la probablté de donner face reste la même. Donc le nombre de lancer pour obtenr le premer face est sans mémore et sut une lo géométrque. Concluson : pour tout [[1, N]] : T G et E T 1 1p Pour tout, la pèce est lancée en moyenne 1 1p fos. Concluson : Donc le nombre total moyen de lancers est N Et lorsque l on fat tendre le nombre d étape vers l nfn, le nombre moyen de lancer tend vers cette même moyenne. N 1pn 1p b T est le plus grand des nombres de lancers nécessare pour obtenr face. c Concluson : T est le nombre d étape nécessare pour que toutes les pèces aent donné face Comme 0 T T T N et chacun des T ayant une espérance, alors T en admet une également. c est bref, mas ce n est pas un théorème du cours d T est l événement le plus grand es nféreur à sot encore, ls sont tous nféreurs à. T N 1 T ndépendants. Comme T > pas de face jusqu au ème a pour probablté P T > p alors P T et Concluson : P T N pour tout N On a alors P T donc P T P T P T 1 N 1 N pour et 1 N ; formule qu est encore vrae pour 1. Concluson : P T N 1 N pour tout N

6 6 CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Mathématques e On rappelle que + p 1 1. car p < 1 1 Dans le cas N, la lo de T est donnée par : pour tout N, et on a alors P T 1 M P T 1 p + p + p 1 p 1 p 1 + p 1 p 1 M 1 p 1 p 1 [ p 1 p 1 + p 1 p 1] M p 1 + p 1 M 1 1 p p 1 1 donc ET p p 1 + p, Et pour N quelconque, on développe par le bnôme : N 1 N N N p N N p N N p N N p N N [p p 1 ] 0 M P T 1 [ M N N [p p 1 ]] que l on nverse 1 0 N M N [p p 1 ] 0 1 N 1 N M [ p + p ] N [ ] 1 N p 1 M + 0 et en rédusant au même dénomnateur, on trouve ben fnalement : ET N N.