Systèmes de communications numériques 2

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1 Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes cnrs supélec ups supélec, Plateau de Moulon, Gif-sur-Yvette Université de Marne la Vallée, Équipe syst Lmes de communications esiea, 18 octobre 1999 Systèmes de communications numériques 2 Plan du cours Chapitre I : Introduction aux communications numériques. Chapitre II : Codes en lignes Chapitre III : Transmission, réception et détection en bande de base. Chapitre IV : Modélisation des signaux passe bande. Chapitre V : Modulations sur onde porteuse. Chapitre VI : Transmission sur onde porteuse (bande transposée).

2 Modélisation des signaux passe bande 3 Chapitre IV : Modélisation des signaux passe bande Modélisation des signaux passe bande 4 Signaux déterministes passe bande Définition Un signal x(t) est dit «passe-bande» si X(f) = 0 pour f [f 1, f 2 ], tel que 0 < f 1 < f 2 < +. avec : X(f) = X + (f) + X (f) (1) X + (f) = X(f).U(f) X (f) = X(f).U( f) Rappel : la TF d un signal réel possède la symétrie hermitienne, X (f) = X +(f). x(t) représenté au moyen d une fréquence de référence f 0 (freq. porteuse) Signal analytique x A (t) associé au signal passe-bande x(t) tel que : X A (f) = 2X + (f) (2)

3 Modélisation des signaux passe bande 5 Propriétés du signal analytique X A (f) X A( f) x A (t) C!! Pour x(t) vérifiant (1), le signal analytique admet la décomposition x A (t) = x(t) jx H (t) (3) où x H (t) = H(x(t)) = transformée de Hilbert de x(t), définie par son gain complexe H(f) = jsign (f), encore appelé filtre de Hilbert. Enveloppe complexe x E (t) associée à x(t) passe-bande Motivations Porteuse éliminée : étude ramenée en bande de base ; Toute l étude faite en bande de base pour les systèmes MIA : transmssion, calcul du recepteur optimal, détection va se transposer aisément pour une grande partie des signaux utilisés en bande transposée ( modulations linéaires). En simulation, calculs allégés puisque f e doit vérifier f e 2B au lieu de f e 2(f 0 + B). Modélisation des signaux passe bande 6 Caractérisation spectrale de x E (t) Spectre de l enveloppe complexe x E (t) associée au signal x(t) = Translation spectrale de X A (f) : X E (f) = X A (f + f 0 ), (4) ou : (3) + (5) fournissent la relation entre x(t) et x E (t) : L enveloppe complexe étant mise sous la forme : x E (t) = x A (t) exp ( j2πf 0 t). (5) x(t) = R [x E (t) exp (j2πf 0 t)]. (6) x E (t) = i(t) + jq(t) (7) (6) tout signal passe-bande admet la décompostion : x(t) = i(t) cos (2πf 0 t) q(t) sin (2πf 0 t) (8)

4 Modélisation des signaux passe bande 7 i(t) : composante en phase q(t) : composante en quadrature Remarques : i(t), q(t), et x E (t) sont des signaux en bande de base ; En pratique, f 0 : fréquence d une onde porteuse ; X(f 0 f) = X (f 0 + f) = X E ( f) = X E (f) = q(t) = 0. Modélisation des signaux passe bande 8 Signaux aléatoires stationnaires passe-bande Extension de la modélisation précédente pour les signaux aléatoires x(t) stationnaires de fonction d autocorrélation Γ x (τ), et de dsp γ x (f) à bande étroite. On montre que Γ x (τ) = 1 2 R[Γ x E (τ) exp (j2πf 0 τ)] Éléments de demo. : Notons Γ x (τ) = E [ (x(t)x (t τ)) ], 1 E [ (x E (t)x E (t τ)) ] = 0 2 x(t) = 1 2 [x E(t) exp (j2πf 0 t) + x E (t) exp ( j2πf 0 t)] 3 Prendre les espérances pour obtenir : Γ x (τ) = 1 4 [Γ x E (τ) exp (j2πf 0 τ) + Γ xe ( τ) exp ( j2πf 0 τ)] et Γ xe ( τ) = Γ xe (τ) 1 1

5 Modélisation des signaux passe bande 9 γ XE (f) = 4γ X +(f + f 0 ) (9) Pour x E (t) décomposée suivant (7), x(t) admet encore la décomposition (8) dite décomposition de Rice : x(t) = i(t) cos (2πf 0 t) q(t) sin (2πf 0 t) dsp de i(t) et q(t) ; elles sont égales et valent : γ i (f) = γ q (f) = 1 4 [γ X E (f) + γ XE ( f)] (10) La densité inter-spectrale de puissance des composantes i(t) et q(t) est donnée par : γ iq (f) = 1 4j [γ X E ( f) γ XE (f)] (11) Si γ X (f) paire autour de f 0, alors d après (9) γ XE (f) devient paire. Grâce à (11), γ iq (f) = 0 i(t) et q(t) sont décorrélées. Modélisation des signaux passe bande 10 Bruit blanc gaussien passe-bande Puissance moyenne de x(t) = P x = N 0 B. Compte tenu de (9), la dsp de l enveloppe complexe vaut 2N 0 sur la bande [ B 2, ] B 2. Puissance moyenne de l enveloppe complexe : P xe = 2N 0 B = 2P x. Symétrie paire autour de f 0 de γ x (f) conduit à des composantes en phase et en quadrature décorrélées, de spectre γ i (f) = γ q (f) = γ xe (f)/2. P i = P q = P x. Composantes en phase et en quadrature obtenues par transformation linéaire d un signal gaussien x(t) sont-elles mêmes gaussiennes. décorrélation = indépendance. Enveloppe complexe dont les PR et PI sont gaussiennes : bruit gaussien complexe.

6 x E (t) = i x (t) + jq x (t) h eq (t) = i h (t) + jq h (t) Modélisation des signaux passe bande 11 Filtrage des signaux passe-bande Pour filtrer de tels signaux, on envisage 1 filtrage passe-bande : cas des signaux déterministes H(f) = H + (f f 0 ) + H (f + f 0 ) x(t) : entrée du filtre de transmittance H(f). y(t) : sortie du filtre d EC : y E (t), alors on a : soit : Y E (f) = 2Y + (f + f 0 ) = 2X + (f + f 0 )H + (f + f 0 ) = X E (f)h + (f + f 0 ) Y E (f) = X E (f)h eq (f) (12) où H eq (f) est le gain complexe du filtre passe-bas équivalent appelé aussi filtre bande de base équivalent, défini par : H eq (f) = H + (f + f 0 ). (13) Modélisation des signaux passe bande 12 On peut vérifier avec (6) que le signal passe-bande en sortie du filtre s écrit : cas des signaux aléatoires stationnaires y(t) = R ((x E h eq )(t) exp (j2πf 0 t)) (14) la dsp de l enveloppe complexe en sortie du filtre s exprime à l aide du même concept de filtre passe-bas équivalent : γ ye (f) = γ xe (f) H eq (f) 2 (15) Res : Lorsqu un signal traverse un filtre passe-bande, l enveloppe complexe associée est filtrée par le filtre passe-bas équivalent. Remarque : Le filtrage passe-bande introduit, dans le cas général, une interférence entre les composantes en phase et en quadrature :

7 Modélisation des signaux passe bande 13 y E (t) = (i i h ) (t) (q q h ) (t) + j [(i q h ) (t) (q i h ) (t)]. Pas d interférence entre i et q si la RI du filtre passe-bas équivalent est réelle : q h = 0 : gain complexe du filtre passe-bande à symétrie hermitienne autour de f 0 (courbe de gain paire et courbe de phase impaire à un déphasage près). H(f) = G(f) exp (jφ 0 ) y(t) = R ((x E g eq )(t) exp (j(2πf 0 t + φ 0 )).