C Notice technique K-Réa v4 C. NOTICE TECHNIQUE

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1 C. NOTICE TECHNIQUE C.1. Introducton et grands prncpes... 5 C.1.1. Objet du calcul et champ d applcaton... 5 C.1.2. Introducton aux méthodes de calcul et vérfcatons proposées... 6 C Méthode de calcul de base MISS... 6 C Vérfcatons ELU en len avec l Eurocode C Artculaton des dfférents types de calculs... 6 C.1.3. Conventons de sgnes... 7 C.2. Aspects théorques... 9 C.2.1. Mse en équaton... 9 C Modélsaton du comportement de l écran... 9 C Lo d nteracton sol/écran... 9 C Presson ntersttelle C Prse en compte des ancrages C Résoluton C.2.2. Tratement des ancrages de lason C.2.3. Calcul des sollctatons C.2.4. Effets de 2 nd ordre C.2.5. Geston du phasage C Vs-à-vs de la lo d nteracton sol/écran C Ancrages C Modfcaton de la rgdté de l écran C.3. Mse en œuvre C.3.1. Presson des terres et d eau C Presson au repos C Presson lmte C Presson ntersttelle C Poussée rédute C.3.2. Surcharges sur le sol C Caquot C Surcharge de Boussnesq C Surcharge de Graux C Approche élasto-plastque (à venr) C.3.3. Talus et Rsberme C Méthode des surcharges équvalentes C Modèles ssus de la norme NF P C Recours à la méthode cnématque du calcul à la rupture Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

2 C.3.4. Tratement des combnasons de charge C.3.5. Prse en compte du sésme C Prncpe C Modes de comportement sous sésme C Coeffcents ssmques C Incrément de poussée (lmte) dynamque C Incrément de butée (lmte) dynamque C Effets hydrodynamques C Modfcaton de la radeur apparente des ancrages C.4. Vérfcatons ELU C.4.1. Approches de calcul C Prncpe de pondératon C Approche 2/2* - NF P C Approche C Approches 1.1/ C.4.2. Nveaux de terran C.4.3. Vérfcaton du défaut de butée C Cas général C Cas partculer : phases où l écran est en console C.4.4. Calcul des sollctatons ELU C.4.5. Vérfcaton de l équlbre vertcal C Cas général C Cas d un écran en console C.4.6. Vérfcaton de la stablté du massf d ancrage C Prncpe général C Cas d un seul trant C Cas de pluseurs trants C Prse en compte du sésme C Surface de rupture en arc de sprale C Cas d un projet double écran C.5. Bases théorques utlsées pour les dfférents assstants à la sase de données C.5.1. Assstants relatfs aux caractérstques des sols C Le coeffcent k C Les coeffcents k d et k r C Les coeffcents k a et k p C Les coeffcents k ac et k pc C Le coeffcent k h C.5.2. Assstants relatfs aux caractérstques de l'écran C Assstant rgdté cylndrque C Assstant paro composte C Assstant poussée rédute C.5.3. Assstants relatfs aux caractérstques des ancrages C Assstant trant C Assstant buton C Assstant lerne cylndrque C.5.4. Assstant de recherche du dagramme de presson lmte (à venr) /70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

3 TABLE DES FIGURES Fgure C 1 : Exemples de projets «écran smple»... 5 Fgure C 2 : Exemples de projets «double-écran»... 5 Fgure C 3 : Organgramme de calcul... 7 Fgure C 4 : Conventons de sgne pour les chargements extéreurs... 8 Fgure C 5 : Conventon de sgne pour les efforts nternes... 8 Fgure C 6 : Lo d nteracton sol/écran... 9 Fgure C 7 : Schéma type pour la lo de moblsaton de la réacton des ancrages Fgure C 8 : Schéma type pour la lo de moblsaton de la réacton des ancrages de lason 11 Fgure C 9 : Cas d un double-rdeaux avec nteracton entre cons de poussée/butée Fgure C 10 : Cas d une foulle butonnée avec nteracton entre cons de butée Fgure C 11 : Effet d une modfcaton de la contrante vertcale effectve Fgure C 12 : Effet d une plastfcaton du sol noton de déplacement résduel Fgure C 13 : Cas partculer du décollement du sol Fgure C 14 : Effet d une modfcaton du coeffcent de réacton du sol Fgure C 15 : Fluage des ancrages modfcaton de la lo de moblsaton Fgure C 16 : Augmentaton de la radeur des ancrages Fgure C 17 : Effet d une modfcaton de la précontrante au cours du phasage Fgure C 18 : Processus de décollement/recollement pour un ancrage travallant en mode unlatéral Fgure C 19 : Plastfcaton des ancrages au cours du phasage schéma de prncpe général Fgure C 20 : Modfcaton de la rgdté de l écran Fluage Fgure C 21 : Modfcaton de la rgdté de l écran Rgdfcaton Fgure C 22 : Conventons et notatons pour un écran dscontnu Fgure C 23 : Défnton de la poussée rédute Fgure C 24 : Smulaton d une surcharge sur le terran à l ade du modèle de Boussnesq.. 21 Fgure C 25 : Tratement d une surcharge «de Boussnesq» défne en phase ntale Fgure C 26 : Prncpe de dffuson des contrantes vertcales sous une surcharge de Graux22 Fgure C 27 : Smulaton de l effet d un talus par des surcharges de Boussnesq équvalentes Fgure C 28 : Smulaton de l effet d une rsberme par des surcharges de Boussnesq équvalentes Fgure C 29 : Effet d un talus selon le modèle de Houy Fgure C 30 : Effet d une rsberme selon le modèle de Houy généralsé Fgure C 31 : Approche «Banquette» pour contrôler la butée lmte moblsable sur la hauteur d une Rsberme Fgure C 32 : Utlsaton du calcul à la rupture (Logcel Talren v5) pour détermner la poussée lmte Fgure C 33 : Utlsaton du calcul à la rupture (Logcel Talren v5) pour détermner la butée lmte dans une foulle renforcée par nclusons Fgure C 34 : Prncpe de phasage applqué pour le tratement des combnasons de charge Fgure C 35 : Prse en compte du sésme prncpes de la méthode mplémentée dans K-Réa v Fgure C 36 : Prse en compte d un ncrément dynamque sur le paler de poussée lmte Fgure C 37 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle mécansme de poussée Fgure C 38 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle coeffcents de poussée dynamque Fgure C 39 : Prse en compte d un ncrément dynamque sur le paler de butée lmte Fgure C 40 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle mécansme de butée Fgure C 41 : Prncpe du modèle de Westergaard tel que mplémenté dans K-Réa v Fgure C 42 : Nveaux de terran noton de sur-excavaton Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

4 Fgure C 43 : Noton de hauteur de soutènement effectve Fgure C 44 : Butées moblsée et lmte pour le modèle d équlbre d un écran ancré Fgure C 45 : Prncpe conventonnel du modèle d équlbre lmte (MEL) Fgure C 46 : Notons de fches mnmale f 0 et dsponble f b selon le modèle MEL Fgure C 47 : Vérfcaton de la contre-butée selon l approche D Fgure C 48 : Vérfcaton de la contre-butée selon l approche F Fgure C 49 : Blan des efforts vertcaux s exerçant sur l écran Fgure C 50 : Blan vertcal des efforts pour le cas d un modèle d équlbre lmte (MEL) Fgure C 51 : Approche Kranz smplfée Schéma de prncpe Fgure C 52 : Blan schématque des efforts exercés sur le massf d ancrage Fgure C 53 : Dscrétsaton du massf d ancrage en pluseurs blocs Fgure C 54 : Equlbre local d un bloc blan des efforts Fgure C 55 : Equlbres locaux des blocs tenant compte de l hypothèse smplfcatrce de Bshop Fgure C 56 : Exemple de blan des efforts pour le cas de 3 blocs Fgure C 57 : Généralsaton au cas de pluseurs lts de trants Fgure C 58 : Exemple d applcaton - Stuaton Fgure C 59 : Exemple d applcaton - Stuaton Fgure C 60 : Exemple d applcaton - Stuaton Fgure C 61 : Résultante d un trant fctf Fgure C 62 : Les 3 confguratons possbles pour un trant vs-à-vs du massf d'ancrage Fgure C 63 : Modèle Kranz - Prse en compte du sésme Fgure C 64 : Stablté du massf d ancrage examnée par une surface de rupture en arc de sprale Fgure C 65 : Equlbre lmte du massf d ancrage pour un projet de double écran Fgure C 66 : Equlbre lmte du massf d ancrage pour un projet de double écran à double ancrage Fgure C 67 : Massfs d ancrage consdérés dans le cas d un système de double-écran à double ancrage Fgure C 68 : Données pour la formule de Coulomb Fgure C 69 : Paramètre a pour la formule de Balay Fgure C 70 : Abaques de Chadesson Fgure C 71 : Schéma de dévaton d un écran crculare en paro moulée Fgure C 72 : Confguratons de peux mxtes Fgure C 73 : Schéma d un lt de trants scellés Fgure C 74 : Schéma d un lt de butons Fgure C 75 : Schéma d un lt de butons avec opton bracon Fgure C 76 : Vue en plan et coupe d un écran crculare mun d une lerne Fgure C 77 : Surface de rupture multsprale dans un sol multcouche Fgure C 78 : Cnématque du mécansme en poussée (à gauche) et du mécansme de butée (à drote) Fgure C 79 : Recherche du dagramme de poussée (à gauche) et du dagramme de butée (à drote) Fgure C 80 : Dagrammes de poussée lmte (à gauche) et butée lmte (à drote) obtenus pour un sol multcouche (5 couches) Fgure C 81 : Dagramme de poussée lmte d un sol multcouche avec talus (à gauche) et dagramme de butée lmte d'un sol multcouche avec une rsberme (à drote) TABLE DES TABLEAUX Tableau C 1 : Types de comportement sous sésme Tableau C 2 : Coeffcents partels applqués dans l approche 2/2* Tableau C 3 : Coeffcents partels applqués dans l approche Tableau C 4 : Coeffcents partels applqués dans l approche Tableau C 5 : Coeffcents partels applqués dans l approche Tableau C 6 : Exemple de pondératon applquée pour l approche 2/2* /70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

5 C.1. Introducton et grands prncpes C.1.1. Objet du calcul et champ d applcaton K-Réa permet d étuder le comportement des écrans de soutènement (efforts nternes et déformatons) soums à une sére de phases de constructon. La méthode de calcul utlsée est la méthode de calcul aux coeffcents de réacton (de type MISS-K 1 par référence à la norme d applcaton de l Eurocode 7, qu sera appelée dans ce document smplement MISS, par smplfcaton). Elle est fondée sur la modélsaton des soutènements par des éléments de poutre sur appus contnus élasto-plastques. K-Réa permet d analyser deux types de projets : Projets «Ecran smple» : comprenant un unque soutènement plan ; ou ou Fgure C 1 : Exemples de projets «écran smple» Projets «Double-écran» : comprenant deux soutènements plans, lés ou non par une ou pluseurs nappes d ancrages de lason. Nota : on désgne par doubles-écrans dans ce manuel à la fos les doubles-écrans et les contre-écrans. ou Fgure C 2 : Exemples de projets «double-écran» ou La sére des phases de constructon comprend la phase ntale de mse en place de(s) écrans et est suve de dfférentes phases correspondant chacune à un ensemble d actons telles que la mse en place d un buton ou d un trant, la varaton d un nveau de sol ou d eau, l applcaton de surcharges ou la mse en place d un ancrage de lason (dans le cas d un projet double-écran). Le calcul de base MISS est présenté et détallé dans les chaptres C et C.2. D autre part, en complément du calcul MISS, K-Réa permet également d effectuer 3 types de vérfcatons aux ELU selon les préconsatons de l Eurocode 7 (cf chaptres C et C.4), 1 MISS-K : Modèle d Interacton Sol Structure basé sur la méthode des coeffcents de réacton. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

6 avec en partculer la mse en œuvre d un modèle aux équlbres lmtes (MEL) pour les phases où l écran est auto-stable. L artculaton globale des dfférents types de calcul et vérfcatons est présentée sous la forme d un organgramme dans le chaptre C C.1.2. Introducton aux méthodes de calcul et vérfcatons proposées C Méthode de calcul de base MISS La méthode MISS assoce le modèle d une poutre en flexon représentatve de l écran et celu d une dstrbuton de ressorts juxtaposés élasto-plastques représentatve de l nteracton sol/écran. Les éléments d ancrage de types trants ou butons sont ntroduts moyennant des ressorts élasto-plastques équvalents. Dans K-Réa, la mse en équaton du modèle est tratée à l ade d une formulaton matrcelle globale assocant les deux écrans. Dans cette formulaton, les éléments de lason de type trants ou butons génèrent un couplage entre les degrés de lberté des deux écrans. C Vérfcatons ELU en len avec l Eurocode 7 L Eurocode 7 (complété par ses normes d applcaton) fxe la lste des vérfcatons (ELU) à mener vs-à-vs des prncpaux rsques de rune des écrans de soutènement : Vérfcaton du défaut de butée des terrans (1) ; Vérfcaton de la résstance de la structure de l écran et de ses appus (2) ; Vérfcaton de l équlbre vertcal de l écran (3) ; Vérfcaton de la stablté hydraulque (4) ; Vérfcaton de la stablté du massf d ancrage (5) ; Vérfcaton de la stablté d ensemble (6) ; Le logcel K-Réa offre la possblté de mener, pour chaque phase, les vérfcatons (1), (3) et (5) conformément à la norme NF P Il fournt également les éléments nécessares à la vérfcaton (2). Les vérfcatons (4) et (6) dovent être menées à l ade de programmes de calcul spécfques. Dans K-Réa v4, ces vérfcatons peuvent être menées selon l une des tros approches de l Eurocode 7 (vor C.4.1 pour la descrpton détallée de ces approches et leur mplémentaton dans K-Réa v4). C Artculaton des dfférents types de calculs Dans le cas d un calcul mené sans vérfcatons ELU, toutes les phases sont tratées à l ade du modèle de «base» qu est un modèle aux déplacements basé sur la méthode des coeffcents de réacton (modèle MISS-K, dont l est rappelé qu l est appelé MISS dans ce document par smplfcaton), et réalsé sans pondératons sur les caractérstques des sols n sur les surcharges. Les résultats obtenus comportent les déplacements de l écran, les pressons moblsées ans que les efforts de flexon et de csallement (V, M). Dans le cas d un calcul mené avec vérfcatons ELU, pour chaque phase, deux calculs sont réalsés : Un calcul «ELS» basé sur un modèle MISS réalsé sans pondératon sur les caractérstques des sols et des surcharges. Les résultats de ce calcul sont strctement dentques à ceux d un calcul «sans vérfcatons ELU» : déplacements, pressons moblsées, et efforts (V, M) ; Un calcul «ELU» dont le modèle dffère selon que l écran sot ancré ou non dans la phase consdérée : modèle MISS pour le cas d un écran ancré, modèle MEL pour un 6/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

7 écran en console. Le résultat du calcul ELU est complété par l examen des mécansmes de rune suvants : o Vérfcaton du défaut de butée ; o Vérfcaton de l équlbre vertcal ; o Vérfcaton de la stablté du massf d ancrage La fgure c-dessous résume l organgramme général des calculs effectués par K-Réa et leur artculaton. Calcul sans vérfcaton ELU Calcul avec vérfcatons ELU Calcul de base Calcul ELS Calcul ELU Phase où l écran est ancré Phase où l écran est en console Modèle «MISS» (sans pondératon) Modèle «MISS» (sans pondératon) Modèle «MISS» (pondéré) Modèle «MEL» (pondéré) RÉSULTATS DE BASE Déplacements Pressons moblsées Efforts RÉSULTATS ELS Déplacements Pressons moblsées Efforts RÉSULTATS ELU Déplacements Pressons moblsées Efforts de calcul RÉSULTATS ELU Pressons moblsées Efforts de calcul Modèle Kranz VÉRIFICATIONS ELU Défaut de butée Equlbre vertcal Stablté du massf d ancrage VÉRIFICATIONS ELU Défaut de butée Equlbre vertcal Fgure C 3 : Organgramme de calcul C.1.3. Conventons de sgnes Pour chaque écran, le sol est découpé vertcalement en côté gauche, stué à gauche de l écran et en côté drot, stué à drote. Les déplacements de l écran et les efforts sont postfs vers la drote (cf. Fgure C 4). Nota : l excavaton «prncpale» peut se stuer ndfféremment côté gauche ou côté drot. Les ordonnées sont sot postves vers le haut lorsqu elles servent à défnr des cotes, sot postves vers le bas lorsqu elles servent à défnr des profondeurs. L opton est défne dans le Menu Données, Ttres et Optons. Pour les efforts extéreurs à l écran, les forces (représentées par F sur la fgure c-dessous) sont postves lorsqu elles sont orentées de la gauche vers la drote et les couples (représentés par M sur la fgure c-dessous) sont postfs s ls tournent dans le sens trgonométrque drect. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

8 Les efforts des ancrages sont prs postfs : en tracton dans le cas d un trant (scellé ou de lason); en compresson dans le cas d un buton (solé ou de lason). Côté gauche Côté drot Fgure C 4 : Conventons de sgne pour les chargements extéreurs Par alleurs, pour ce qu concerne les efforts nternes (M, V et N), la fgure c-dessous présente la conventon de sgne retenue dans K-Réa. L effort axal N est prs postf en compresson. Fgure C 5 : Conventon de sgne pour les efforts nternes 8/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

9 C.2. Aspects théorques C.2.1. Mse en équaton C Modélsaton du comportement de l écran Chaque écran est assmlé à une poutre de secton homogène de comportement élastque lnéare. On adopte l hypothèse de poutre mnce ce qu permet de néglger les déformatons dues à l effort tranchant. Le comportement en flexon de la poutre représentatve de l écran peut ans être décrt à l ade de l équaton générale suvante : Avec : d dz 2 2 EI d 2 w 2 dz Rc.w q ext d g a r r r w : flèche (déplacement transversal) de l écran (postve vers la drote) ; EI : produt d nerte de l écran ; Rc : rgdté cylndrque de l écran ; d g a r : densté de la réacton horzontale du sol côté drot de l écran ; r : densté de la réacton horzontale du sol côté gauche de l écran ; r : densté de la réacton horzontale des ancrages connectés à l écran ; ext q : densté horzontale des charges extéreures applquées sur l écran. (1) C Lo d nteracton sol/écran La lo d nteracton sol/écran est décrte, de chaque côté et pour chaque écran, à l ade d une courbe de moblsaton de poussée/butée classque caractérsée à l ade de 4 paramètres : k h : coeffcent de réacton horzontal du sol (ou radeur par unté de surface); p a : presson lmte de poussée horzontale (ou poussée actve) ; p b : presson lmte de butée horzontale (ou poussée passve) ; p 0 : presson de référence horzontale (ou presson dte «ntale» ou au repos). réacton du sol p b butée lmte k p x σ v Poussée au repos k 0 x σ v 1 k h k a x σ v poussée lmte (mnmale) p a déplacement vers le sol Fgure C 6 : Lo d nteracton sol/écran Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

10 Selon les notatons de la fgure c-dessus, la réacton latérale du sol sur une face de l écran s exprme ans : d r α.w β g r α.w β (2) Avec : phase élastque : α kh β p0 état lmte de poussée : 0 β p état lmte de butée : 0 α a α β pb Par défaut, les valeurs de p a /p b /p 0 sont automatquement détermnées par K-Réa en foncton des caractérstques des sols et de la contrante vertcale effectve σ v pour une phase, un écran et un côté donnés (vor C.3.1). C Presson ntersttelle La présence d une presson ntersttelle u(z) non nulle (régme hydrostatque ou écoulement) a pour conséquence de (cf. C.3.1.3) : Modfer l état de contrante effectve dont dépend drectement la lo de moblsaton de la réacton du sol (p a /p b /p 0 sont fonctons de σ v ) ; Moblser une presson horzontale drecte sur l écran égale à u(z), qu vent s addtonner à la densté des charges extéreures sur l écran q ext (z). C Prse en compte des ancrages Les ancrages solés (butons, trants, lernes cylndrque, encastrement), ponctuels ou surfacques, sont supposés suvre une lo de réacton élasto-plastque comme le schématse la fgure c-dessous. réacton réacton maxmale pré-contrante 1 radeur réacton mnmale déplacement de référence déplacement Fgure C 7 : Schéma type pour la lo de moblsaton de la réacton des ancrages La lo de moblsaton de la réacton des ancrages peut ans s exprmer selon la formulaton suvante : a a a r k.w p (3) C Résoluton La résoluton du système d équatons (1) + (2) + (3) peut être menée numérquement en dscrétsant la poutre représentatve de l écran en éléments à deux nœuds et quatre degrés de lberté (deux déplacements et deux rotatons). 10/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

11 Cette dscrétsaton permet d exprmer l équlbre élasto-plastque de l écran sous la forme d un système matrcel de talle 2(n+1) x 2(n+1) où n désgne le nombre total d éléments : e s a ext s a K K K w F P P. (4) Avec, pour l écran : w : vecteur déplacement équvalent consttué par les déplacements et les rotatons en chaque nœud du mallage ; F : vecteur chargement relatf aux charges extéreures (+ la presson d eau); ext s a P : vecteur réacton relatf à la part constante (β) de la réacton du sol ; P : vecteur réacton relatf à la part constante (p a ) de la réacton des ancrages ; K : matrce de rgdté de l écran (en flexon et cylndrque) ; e s a K : matrce de rgdté du sol (part élastque α pour chaque nveau) ; K : matrce de rgdté des ancrages (part élastque k a pour chaque nveau) ; La résoluton de cette équaton permet d obtenr les déplacements et les réactons en tout pont de chaque élément du mallage. C.2.2. Tratement des ancrages de lason On s ntéresse à présent au cas d un double-écran comportant un ou pluseurs ancrages de lason de type trants/butons (ponctuels et/ou surfacques). Ces éléments sont supposés suvre une lo de réacton smlare à celle d un ancrage «solé» (cf. C.2.1.4). La partcularté d un ancrage de lason résde dans le fat que sa réacton est foncton du déplacement relatf entre les deux écrans (et non du déplacement absolu). réacton réacton maxmale pré-contrante 1 radeur réacton mnmale déplacement relatf de référence déplacement relatf Fgure C 8 : Schéma type pour la lo de moblsaton de la réacton des ancrages de lason A l ade de la formulaton matrcelle retenue pour chaque écran, l équlbre des deux écrans en nteracton peut ans être résolu à l ade d un système matrcel unque : Avec : K e 1 K s 1 K K a 1 L K L K e 2 K K s 2 L K a 2 K L w. w 1 2 F F ext 1 ext 2 P s 1 s 2 P L K : matrce de rgdté des ancrages de lason (part élastque) ; L P P a 1 a 2 P P P : vecteur relatf à la part constante de la réacton des ancrages de lason. L L Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

12 La valdté de ce modèle suppose mplctement comme seule nteracton entre les 2 écrans les ancrages de lason s ls exstent. K-Réa ne prend donc en compte aucune nteracton entre les 2 écrans au travers du massf de sol stué entre les deux écrans. En partculer, K- Réa ne procède pas explctement à la vérfcaton de «chevauchement» (fgures cdessous): - des cons de poussée/butée dans le cas d un double rdeau ; - des cons de butée dans le cas d une foulle butonnée. Ces nteractons dovent donc être vérfées par alleurs par l utlsateur. Néanmons, dans le cas d un double rdeau (rdeau ancré par un contre-rdeau moyennant des trants de lason), la vérfcaton de la stablté du massf d ancrage à l ade d un modèle de type Kranz (ce que K-Réa fat automatquement s le calcul ELU est demandé) suggère mplctement que la dstance entre les écrans est suffsante pour néglger toute nteracton entre les deux rdeaux à travers du massf de sol stué entre les deux écrans. Cas de non-nteracton des cons de poussée/butée Cas d nteracton des cons de poussée/butée entre eux et avec l un des écrans Fgure C 9 : Cas d un double-rdeaux avec nteracton entre cons de poussée/butée Cas de non-nteracton des cons de butée Cas d nteracton des cons de butée Fgure C 10 : Cas d une foulle butonnée avec nteracton entre cons de butée C.2.3. Calcul des sollctatons Dans K-Réa, le calcul des sollctatons pour chaque écran se fat par ntégraton des réactons calculées à l étape précédente. dt V 0 z ext d g a - Effort tranchant V z q t r t r t r t Rc t.w t 0 z - Moment fléchssant M z V tdt M 0 - Effort de voûte N z Rc z.w z.r z 0 (+ réacton des encastrements) (postf en compresson) Où R (z) désgne le rayon de l encente à la cote z dans le cas d une paro crculare (Rc 0). 12/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

13 zz K-Réa calcule également un effort axal vertcal N z tenant compte du pods «surfacque» de l écran, la composante vertcale des charges extéreures et des efforts d appu, ans que la projecton vertcale de la presson des terres p v. Cette dernère est estmée à partr de la presson des terres horzontale p h selon le formalsme suvant : p v tanδa p tanδ bp a b p p p p 0 0 h b p p h a p p 0 0 s s p p a 0 p p h h p p 0 b Où, δa et δ b sont les valeurs de l nclnason des efforts des poussée et de butée lmtes par rapport à l horzontale. C.2.4. Effets de 2 nd ordre Il est possble de prendre en compte dans les calculs les effets de second ordre dans l écran. Cela consste à tenr compte des déplacements et efforts complémentares (moments et efforts tranchants) amenés par l effort axal vertcal addtonnel ΔN ad (z) dû aux composantes vertcales des charges lnéares et des efforts dans les trants. Mathématquement, cela équvaut à l applcaton d une charge transversale complémentare de densté Δq ad (z) : 2 d w Δqad ΔNad 2 dz Le tratement de ces effets est mené de façon tératve jusqu à convergence du terme Δq ad (z). A la fn du calcul, l évaluaton des sollctatons addtonnelles (ΔM ad, ΔV ad ) dues aux effets de 2 nd est menée à l ade de la formulaton suvante : dδδ dz ad C.2.5. Geston du phasage ΔN ad dw dz ΔV ad ΔN ad dw dz C Vs-à-vs de la lo d nteracton sol/écran C Effet d une modfcaton de la contrante vertcale effectve La modfcaton de la contrante vertcale effectve du sol σ v dans une phase donnée, sous l effet d une excavaton (Δσ v <0), d un remblaement (Δσ v >0) ou de l applcaton d une surcharge sur le terran (Δσ v >0) a comme conséquence le double effet suvant : Modfcaton de la valeur de la presson p pour un déplacement nul à l ade des coeffcents recompresson k r et de décompresson k d : o o p kr. ' v s Δσ v > 0 p k. ' s Δσ v < 0 d v Actualsaton des deux palers plastques (poussée/butée) à l ade des coeffcents de poussée/butée défns par l utlsateur pour chaque couche : o o p a p b k. ' a p v k. ' v Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

14 réacton du sol p b p b p p 1 k h p a p a déplacement vers le sol Fgure C 11 : Effet d une modfcaton de la contrante vertcale effectve C Effet de la plastfcaton La plastfcaton du sol dans une phase partculère a pour effet, dans la phase suvante, de décaler horzontalement la courbe d nteracton sol/écran d un déplacement résduel δ r. Cela condut à une modfcaton «fctve» de la presson ntale p. La valeur de celle-c ne peut ans plus être relée de manère drecte à l état de contrante vertcale. réacton du sol p b d r p 1 kh p a Nouvelle presson ntale p déplacement vers le sol Fgure C 12 : Effet d une plastfcaton du sol noton de déplacement résduel Cas partculer du décollement : la drote de retour est nchangée et donc la presson ntale est nchangée également. réacton du sol p b 1 k h Presson ntale nchangée p p a = 0 déplacement vers le sol Décollement Fgure C 13 : Cas partculer du décollement du sol 14/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

15 C Modfcaton du coeffcent de réacton C Notce technque K-Réa v4 La modfcaton du coeffcent de réacton condut à une rotaton de la parte élastque autour du pont d équlbre obtenu à la phase précédente, ce qu mplque mplctement une modfcaton de la presson ntale apparente (fgure c-dessous). réacton du sol p b p b p a Nouveau k h p p 1 p a k h Equlbre phase précédente déplacement vers le sol Fgure C 14 : Effet d une modfcaton du coeffcent de réacton du sol Comme le suggère la fgure c-dessus, la seule modfcaton du coeffcent de réacton n mpacte pas l équlbre précédent et aucun déplacement n est généré en l absence de tout autre chargement. C Ancrages C Fluage La modfcaton de la radeur d un ancrage au cours du phasage est tratée de façon dfférente selon qu l s agsse d une réducton (fluage) ou d une augmentaton de la radeur par rapport à sa valeur ntale. Le fat de dmnuer la radeur d un ancrage (fluage) condut à une régénératon de la lo d nteracton autour du pont de référence, condusant ans à un déplacement addtonnel en l absence de toute autre acton pendant la phase étudée. réacton Equlbre phase précédente 1 K ntale 1 K nouvelle pré-contrante déplacement de référence déplacement Fgure C 15 : Fluage des ancrages modfcaton de la lo de moblsaton C Rgdfcaton L augmentaton de la radeur est tratée en applquant une rotaton de la lo de réacton autour du pont d équlbre obtenu à la phase précédente (et non autour du pont de référence comme dans le cas d un fluage). De ce fat, l équlbre précédent n est pas modfé et aucun déplacement n est généré en l absence de tout autre chargement. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

16 réacton K nouvelle 1 1 K ntale pré-contrante Equlbre phase précédente déplacement de référence déplacement Fgure C 16 : Augmentaton de la radeur des ancrages C Modfcaton de la pré-contrante La modfcaton de la précontrante au cours de phasage est tratée en opérant un décalage vertcal de la courbe de moblsaton égal à la dfférence entre la nouvelle précontrante et celle ntale (fgure c-dessous). réacton nouvelle pré-contrante pré-contrante ntale Δ Δ Equlbre phase précédente déplacement de référence déplacement Fgure C 17 : Effet d une modfcaton de la précontrante au cours du phasage C Décollement Les ancrages travallant de façon «unlatérale» suvent une lo de réacton comprenant un paler «mnmal» nul. Le processus de décollement/recollement est schématsé dans la fgure c-dessous. réacton réacton maxmale pré-contrante 1 radeur réacton mnmale = 0 Décollement déplacement de référence déplacement Fgure C 18 : Processus de décollement/recollement pour un ancrage travallant en mode unlatéral 16/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

17 C Plastfcaton Dans le cas général, la geston de la plastfcaton au cours du phasage est menée de façon analogue que pour la lo d nteracton sol/écran en actualsant la lo de moblsaton à chaque phase tenant compte de l accumulaton des déplacements rréversbles. réacton déplacement rréversble paler plastque paler plastque déplacement rréversble déplacement Fgure C 19 : Plastfcaton des ancrages au cours du phasage schéma de prncpe général C Modfcaton de la rgdté de l écran La modfcaton de la rgdté de l écran (produt d nerte EI et/ou rgdté cylndrque) est tratée dfféremment selon qu l s agsse d un fluage (réducton de la rgdté) ou d une augmentaton de la rgdté par rapport à la phase précédente. Cette dfférence de comportement est gérée automatquement par le moteur de calcul de K-Réa, pour chaque secton de l écran. sollctaton rgdté ntale nouvelle rgdté Equlbre phase précédente déformaton Fgure C 20 : Modfcaton de la rgdté de l écran Fluage sollctaton nouvelle rgdté rgdté ntale Equlbre phase précédente déformaton Fgure C 21 : Modfcaton de la rgdté de l écran Rgdfcaton Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

18 C.3. Mse en œuvre C.3.1. Presson des terres et d eau C Presson au repos La presson (horzontale) pour un déplacement nul, fat appel, dans l état ntal du sol, à la noton de poussée au repos caractérsée par le coeffcent de poussée au repos k 0 affecté à la couche de sol consdérée, auquel cas : p p 0 k. ' La valeur de k 0 est foncton de l angle de frottement nter-granulare du sol, de la pente du terran ntal ans que l état de sur-consoldaton (cf. C.5.1.1). La contrante vertcale effectve, au repos, est évaluée comme sut : zw z σ' v0 γdz 0 γ'dz z Avec : γ γ' pods volumque total pods volumque déjaugé z w profondeur du tot de la nappe Comme exposé au C , la modfcaton de cette presson sous l effet d un ncrément de contrante vertcale fat appel à la noton des coeffcents de recompresson/décompresson (k r et k d ) selon le formalsme suvant : o o p kr. ' v s Δσ v > 0 p k. ' s Δσ v < 0 d v La défnton de ces coeffcents est détallée dans le C C Presson lmte Les pressons lmtes de poussée/butée sont relées à la contrante vertcale effectve σ v (au nveau de l écran) moyennant les coeffcents de poussée/butée : - Poussée lmte : pa max k a. ' vkac.c; kamn. ' v - Butée lmte : p mn k. ' k.c; p b p v 0 pc w v0 max Avec : k a coeffcent de poussée des terres (cf. C.5.1.3) k ac coeffcent de poussée lé au terme de cohéson (cf. C.5.1.3) k a mn coeffcent de poussée mnmale, prs par défaut égal à 0,10 (NF P ) k p coeffcent de butée des terres (cf. C.5.1.3) k pc coeffcent de buée lé au terme de cohéson (cf. C.5.1.3) p max presson ultme du sol (valeur applcable pour un écran dscontnu) c cohéson du sol 18/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

19 C Presson ntersttelle C Régme hydrostatque En régme hydrostatque, la presson ntersttelle s exerçant sur l écran est évaluée comme sut : u 0 z w z z w w γ Où γw désgne le pods volumque de l eau. C Gradent hydraulque La présence d un gradent hydraulque est synonyme d un régme hydraulque dfférent de celu hydrostatque. Un tel régme peut être caractérsé par un dagramme de presson ntersttelle défne selon le formalsme suvant : u w z γw z h w z Où h w (z) 2 désgne le potentel hydraulque à la profondeur z. La présence d un gradent hydraulque mplque par alleurs une modfcaton de la contrante vertcale effectve selon la relaton suvante : σ ' v σ Δσu avec Δσu u u z h z ' v0 0 w w w w.γ w En partculer, un gradent hydraulque «ascendant» ( u w u 0 w ) rédut la contrante effectve et par conséquent la résstance dsponble (dmnuton de la butée lmte). C Poussée rédute Le cas d un écran dscontnu nécesste la correcton des pressons de poussée/butée de chaque côté de l écran. Fgure C 22 : Conventons et notatons pour un écran dscontnu Pour un élément solé, nous avons : - moblsaton de la poussée sur une largeur L a supéreure ou égale au damètre équvalent de chaque élément D ; - moblsaton de la butée sur une largeur L b supéreure ou égale à L a (effet d épanoussement). Le calcul est mené en consdérant un «écran» de rgdté équvalente avec : - Une poussée rédute par rapport à celle d un écran contnu : La pa p rédute a e - Une butée rédute par rapport à celle d un écran contnu : Lb pb p rédute b e z Cte z 2 Dans le cas d un régme hydrostatque, nous avons : w w Copyrght K-Réa v Edton Jun /70 h

20 Dans K-Réa, cette réducton est contrôlée moyennant les deux facteurs R et C suvants : Sot : L R e a L C L pa R.p rédute a pb R.C.p rédute b b a zt Fgure C 23 : Défnton de la poussée rédute Usuellement, la largeur de poussée est prse égale au damètre (sot R = D/e), celle de la butée égale à 2 à 3 fos le damètre (sot C = 2 à 3). La norme NF P recommande ce qu sut : - L b = 2 x D pour un sol purement cohérent (sot R x C = 2D/e), L b = 3 x D pour un sol frottant et cohérent (sot R x C = 3D/e) ; - L a = L b (sot C = 1 selon les conventons consdérées dans K-Réa) ; C.3.2. Surcharges sur le sol zb Entre zt et zb : Poussée des terres multplée par R Butée multplée par R.C Poussée de l eau multplée par R C Caquot Il s agt d une surcharge sem-nfne s exerçant sur un côté de l écran, à une profondeur z 0. Son applcaton ndut un ncrément de contrante vertcale unforme sous z 0 : C Surcharge de Boussnesq C Cas général Δσ v (z) = q pour z z 0 Il s agt d une surcharge vertcale localsée, de largeur l et densté S, applquée à une profondeur z 0 et à une dstance x de l écran. Son applcaton ndut un ncrément de contrante horzontale au nveau de l écran estmé par ntégraton de la soluton de Boussnesq (étable à l orgne pour le cas d un sol homogène sem-nfn) : x lh 2 2 x l h S hl xh Δσ h αe atg avec h = z z 2 0 π x x l h x² h² 20/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

21 Le facteur α e désgne un facteur amplfcateur destné à tenr compte de «l effet mror» mplctement ndut par la présence de l écran de soutènement (effet absent par constructon dans la soluton de Boussnesq). La valeur de α e peut être approchée à l ade de la formule suvante (NF P ) : x 2 α e x 1 Dans K-Réa, cet ncrément de contrante horzontal est «transformé» en ncrément équvalent de contrante vertcale à l ade de la relaton : 1 Δσ v Δσ h 0,5 Sur la base de cet ncrément de contrante vertcale (équvalent), la modfcaton des palers de poussée ntale, actve et passve, est ensute menée selon le formalsme décrt en C Fgure C 24 : Smulaton d une surcharge sur le terran à l ade du modèle de Boussnesq C Cas d une surcharge défne en phase ntale Pour les surcharges défnes dans les phases courantes de calcul, l ncrément de contrante qu en résulte n est consdéré que du côté où la surcharge est applquée (effet d écran). En phase ntale, en l absence de l écran, l y a en toute rgueur contnuté des contrantes de part et d autre de l écran et l ncrément qu résulte d une surcharge déclarée en phase ntale est consdéré (ntalement) des deux côtés de l écran. Surcharge exstante σ 1 = σ 2 σ 1 Fgure C 25 : Tratement d une surcharge «de Boussnesq» défne en phase ntale Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

22 Ans, une surcharge de Boussnesq défne en phase ntale (représentatve par exemple d un mmeuble exstant) requert les adaptatons suvantes (applquées automatquement par le moteur de calcul) : - ncrément de contrante dentque (horzontale et vertcal équvalent) des deux côtés de l écran ; - absence d effet mror (α e = 1). Ces adaptatons s applquent à la fos sur les surcharges de Boussnesq et sur les actons qu en dépendent (presson ntale lée aux effets de talus et rsberme cf. C.3.3). C Surcharge de Graux Il s agt d une surcharge localsée sur le terran dont la dffuson en profondeur est supposée obér à un «cône de dffuson» lé aux paramètres de csallement des couches traversées comme le montre la fgure c-dessous. L ncrément de contrante généré à une profondeur z s exprme ans : Δσ z v Où l dff (z) désgne la largeur de dffuson à la profondeur z. Sur la base de cet ncrément de contrante vertcale, la modfcaton des palers de poussée ntale, actve et passve, est ensute menée selon le formalsme décrt en C S l l dff z Fgure C 26 : Prncpe de dffuson des contrantes vertcales sous une surcharge de Graux C Approche élasto-plastque (à venr) 22/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

23 C.3.3. Talus et Rsberme La smulaton des effets de talus et rsberme peut être menée selon tros approches. C Méthode des surcharges équvalentes Dans le cas d un talus, cette méthode consste à assmler le pods du talus à une superposton de surcharges de Boussnesq de densté équvalente S(x) comme le schématse la fgure c-dessous. L actualsaton des palers de poussée/butée (ntal et lmte) se fat alors selon la même démarche que celle décrte dans les C et C S = ϒ.H(x) H σ v Fgure C 27 : Smulaton de l effet d un talus par des surcharges de Boussnesq équvalentes Dans le cas d une rsberme, cette méthode consste à assmler la rsberme à une couche horzontale fctve dont le pods est corrgé par une superposton de surcharges sem-nfnes négatves applquées à dfférents nveaux sur la hauteur de la rsberme comme le schématse la fgure c-dessous. ds = -ϒ.dH(z) H σ v Fgure C 28 : Smulaton de l effet d une rsberme par des surcharges de Boussnesq équvalentes L actualsaton des palers de poussée/butée (ntal et lmte) se fat alors selon la même démarche que celle décrte en C et C L attenton est attrée sur le fat qu une telle approche est susceptble de condure dans certans cas à des résultats exagérément optmstes (cf. NF P ). Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

24 C Modèles ssus de la norme NF P L applcaton des modèles c-dessous vse exclusvement le contrôle des dagrammes de poussée/butée lmtes en len avec les recommandatons de la norme NF P La poussée «ntale» (ou au repos) est, dans tous les cas, évaluée par la méthode des surcharges équvalentes décrte précédemment. C Cas d un talus La norme NF P recommande d évaluer les effets d un talus conformément au modèle de Houy comme le schématse la fgure c-dessous. σ v = ϒ.Z θ σ v = ϒ.Z + ϒ.H Fgure C 29 : Effet d un talus selon le modèle de Houy Selon les notatons de la fgure c-dessus : - pour z z 1 talus non prs en compte - pour z z 2 effet équvalent à celu d une surcharge de Caquot équvalente - pour z 1 z z 2 nterpolaton lnéare des dagrammes de poussée/butée La valeur de θ est prse égale à : pour l évaluaton de la poussée lmte ; pour l évaluaton de la butée lmte ; Le cas d un multcouche nécesste un retratement adapté du modèle, géré automatquement par K-Réa (schéma ntégrant un angle de frottement varable par couche). 24/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

25 C Cas d une Rsberme C Notce technque K-Réa v4 Le prncpe du modèle de Houy présenté précédemment peut être étendu au cas d une Rsberme selon le schéma présenté par la fgure c-dessous. z 1 Rsberme = couche horzontale σ v Zone transton z 2 Rsberme = surcharge équvalente On dstngue ans tros zones : Fgure C 30 : Effet d une rsberme selon le modèle de Houy généralsé - pour z z 1 l effet de la rsberme est celu d une couche horzontale - pour z z 2 effet équvalent à celu d une surcharge équvalente - pour z 1 z z 2 nterpolaton lnéare des dagrammes de poussée/butée Par alleurs, la norme NF P recommande, à défaut d une approche plus élaborée, de contrôler la butée lmte moblsable sur la hauteur H d une rsberme en s assurant que cellec n excède pas le csallement résultant moblsable à la base de la rsberme, sot selon les notatons de la fgure c-dessous : 1 2 Bmax kpγh kpcc.h W.tan c.lr 2 Cela revent à supposer mplctement que le mécansme de rupture par butée est un mécansme plan, horzontal, qu se développe préférentellement à la base de la rsberme. A noter que K-Réa applque cette vérfcaton en tout pont sur la hauteur de la rsberme. Fgure C 31 : Approche «Banquette» pour contrôler la butée lmte moblsable sur la hauteur d une Rsberme Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

26 C Recours à la méthode cnématque du calcul à la rupture Le recours à la méthode cnématque du calcul à la rupture telle que mplémentée dans le logcel Talren v5 consttue un cadre rgoureux dans lequel les dagrammes de poussée/butée peuvent être évalués pour une stratgraphe quelconque comme le schématse la fgure c-dessous (Cura et Smon, 2016). Pour la poussée lmte, on recherche un dagramme de presson stablsant permettant d obtenr l équlbre lmte. Pour la butée lmte, l équlbre lmte est recherché avec un dagramme déstablsant. Mécansme en arcs de sprale (θ = 35) (c u, φ u = 0) Mécansme plan (θ = 0) (c = 0, φ ) (c 0, φ ) Substratum Fgure C 32 : Utlsaton du calcul à la rupture (Logcel Talren v5) pour détermner la poussée lmte Les dagrammes de poussée/butée ans obtenus peuvent être ntroduts drectement dans K- Réa à l ade de l opton «pressons mposées». A noter que le recours au calcul à la rupture rend également asé la prse en compte d éléments de renforcement dans la masse (clous, nclusons, colonnes ballastées ) comme le montre la fgure c-dessous (exemple de calage de la butée lmte dans une foulle renforcée par nclusons rgdes). Fond de foulle Z = ,0 m 1,5 m 1,5 m Sans renforcement Avec renforcement Inclusons Φ500 mm e = 6 mm S235 MPa déformée Z = Moment fléchssant Butée avec renforcement Sans renforcement γ = 10 kn/m3 c = 0, φ = 25 δ/φ=-2/3 Z = Z = - Fgure C 33 : Utlsaton du calcul à la rupture (Logcel Talren v5) pour détermner la butée lmte dans une foulle renforcée par nclusons 26/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

27 C.3.4. Tratement des combnasons de charge Le tratement de projets complexes comportant un grand nombre de cas de charge nécesste une geston automatsée des dfférentes combnasons à étuder en foncton du cadre réglementare applcable au projet. Cela concerne de manère générale toutes les applcatons où la paro communque avec des ouvrages de géne cvl (drectement ou ndrectement va le massf de sol). Cela ntéresse également les ouvrages portuares pour lesquelles le nombre de combnasons à étuder est très élevé et se révèle laboreux à mener par un tratement manuel. Le schéma de phasage usuellement consdéré pour les calculs géne cvl consste à trater les combnasons de charge par l ntermédare de phases complémentares orphelnes émanant de la phase étudée (1 phase par combnason). La valdté d un tel schéma suppose mplctement un comportement «lnéare élastque» et l absence de tout déplacement «rréversble» du système ce qu n est pas le cas d un ouvrage de soutènement pour lequel l est ndspensable d assurer la cohérence du calcul élastoplastque pour une combnason de charge donnée. Cela justfe le recours au prncpe de phase c-dessous qu consste à générer un schéma de phasage «complet» en parallèle pour chacune des combnasons de charge étudées. L nterface n explote ensute que les phases pour lesquelles la combnason a été demandée. Fgure C 34 : Prncpe de phasage applqué pour le tratement des combnasons de charge A noter que pour un calcul ELU, les pondératons défnes dans le cadre des combnasons de charge sont addtonnées à celles propres à l approche de calcul chose pour les vérfcatons ELU : - Calcul ELU sans combnasons de charge Scalcul γq.s - Calcul ELU avec combnasons de charge Scalcul ψcomb.γq.s Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

28 C.3.5. Prse en compte du sésme C Prncpe Les effets ssmques dans K-Réa sont smulés selon une approche pseudo-statque dont les prncpes sont les suvants (fgure c-dessous) : - Réévaluaton des palers lmtes de poussée (p a ) et de butée (p b ) de chaque côté de l écran tenant compte des forces d nerte dans le sol ; - Réévaluaton de la presson d eau s applquant sur l écran tenant compte des effets hydrodynamques dans les nveaux où la nappe est consdérée comme «lbre» sous sésme (sol «ouvert» sous sésme ou absent) ; - Prse en compte des forces d nerte F H = k H x P écran et F V = k V x P écran assocées au pods propre de l écran P écran ; - Réévaluaton de la rgdté apparente des trants ; - Aucune modfcaton du paler élastque (k h ) n de la presson ntale p. Coeffcents ssmques k H k V Radeur des trants dmnuée P écran x k H P écran x (1+k V ) Pressons lmtes augmentées P a + ΔP ad P b + ΔP bd Pressons lmtes dmnuées P a ΔP ad P b ΔP bd Pressons d eau augmentées P w + ΔP wd Pressons d eau dmnuées P w ΔP wd Fgure C 35 : Prse en compte du sésme prncpes de la méthode mplémentée dans K-Réa v4 C Modes de comportement sous sésme La mse en œuvre du modèle pseudo-statque pour la justfcaton des soutènements sous sésme dstngue, au sens de l Eurocode 8 Parte 5, tros types (ou modes) de comportement du sol sous sollctatons ssmques : sol sec, sol «ouvert» et sol «fermé». Pour chaque type de comportement, le tableau c-dessous précse les caractérstques de sol à prendre en compte pour le calcul ssmque. Cas Type de sol Comportement au csallement A Sables et graves hors nappe Frottant B C Sol «ouvert» sous nappe = très perméable sous sésme Sol «fermé» sous nappe = «mperméable» sous sésme Frottant Cohérent Paramètres de csallement Angle de frottement Angle de frottement Cohéson non dranée Pods volumque γ * γ γ * γ' γ * γ' Tableau C 1 : Types de comportement sous sésme 28/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

29 C Coeffcents ssmques C Notce technque K-Réa v4 La mse en œuvre de la méthode pseudo-statque se base sur la noton de coeffcents ssmques défns comme sut : 1 a N 1 kh kv kh r g 2 Où a N désgne l accélératon ssmque nomnale, foncton de la zone de ssmcté, de la classe du sol et de la catégore de l ouvrage. Le paramètre «r» est un coeffcent admensonnel supéreur ou égal à 1, foncton de la sensblté de la structure étudée aux déplacements. Une valeur de r = 1 est à consdérer pour un ouvrage sensble aux déplacements. La noton de coeffcents ssmques permet d ntrodure celle de l nclnason ssmque équvalente θ dont la valeur dépend du type de comportement selon les notatons du tableau précédent : - Cas A (sables et graves hors nappe) kh tanθ 1 kv - Cas B (sol ouvert sous nappe) γd k tanθ. H γ' 1 kv - Cas C (sol fermé sous nappe) γ kh tanθ. γ' 1 kv Où - γ pods volumque total (ou humde) du sol ; - γ' pods volumque déjaugé du sol ; - γ d pods volumque sec du sol (et non déjaugé). C Incrément de poussée (lmte) dynamque Les effets ssmques mplquent une réducton de la résstance (au csallement) dsponble et par conséquent une augmentaton du paler de poussée lmte par un ncrément «dynamque» Δp ad tel que schématsé dans la fgure c-dessous. p b p 1 k h p ad p a Fgure C 36 : Prse en compte d un ncrément dynamque sur le paler de poussée lmte L évaluaton de cet ncrément dynamque est menée à l ade d une forme généralsée du modèle de Mononobé-Okabé (1924), étendu au cas d un terran de cohéson non nulle. Ce modèle, l convent de le rappeler, n est autre que la généralsaton du con de poussée de Coulomb en ntégrant à l équlbre des forces celles relatves aux effets d nerte affectant la masse du con comme le montre la fgure c-après, où P désgne la réacton «stablsatrce» de l écran à l état d équlbre lmte (poussée résultante lmte). Le modèle se lmte à l exploraton de mécansmes de rupture plans formant un angle α par rapport à l écran. Pour chaque valeur de α, la projecton à la vertcale et à l horzontale de Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

30 l équlbre lmte des forces condut à un système à deux équatons et deux nconnues (R f et P), ce qu permet de trer la valeur de P(α). On recherche ensute la valeur de α telle que P sot maxmale. β F H R c W + F V H α telle que P sot maxmale ϕ R f α P δ Fgure C 37 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle mécansme de poussée La mse en applcaton de ce modèle permet d établr l expresson de la résultante de la poussée lmte dynamque selon le formalsme suvant : P ad K ad 1 γ 2 * 2 1 k H K ch Les coeffcents de poussée dynamque K ad et K acd sont fonctons de quatre paramètres : V acd K K ad acd f f 1 2,δ,θ,λ,δ,θ,λ avec γh λ 2c Les fonctons f 1 et f 2 sont obtenues par ntégraton numérque et sont présentées dans la fgure c-dessous dans le cas d une poussée horzontale (δ = 0). K δ = β = 0 et ϕ = 30 ad 1 2c H K acd δ = β = 0 et ϕ = 30 2 K a Fgure C 38 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle coeffcents de poussée dynamque A partr de la varaton de P ad avec la profondeur, on évalue par dfférencaton une densté de poussée dynamque p ad entre les profondeurs z -1 et z depus la tête de l écran : p ad z 1 z z P ad H z P H z z z ad /70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

31 On en dédut ensute l ncrément «dynamque» à consdérer sur la presson lmte de poussée «statque» : Δpad pad k H,kV pad k H 0,kV 0 La presson lmte de poussée prse en compte dans le calcul s écrt ans : a statque dynamque C Incrément de butée (lmte) dynamque p p a statque Δp Les effets ssmques mplquent une réducton de la résstance (au csallement) dsponble et par conséquent une dmnuton du paler de butée lmte par un ncrément «dynamque» Δp bd tel que schématsé dans la fgure c-dessous. ad p b p bd p 1 k h p a Fgure C 39 : Prse en compte d un ncrément dynamque sur le paler de butée lmte L évaluaton de cet ncrément dynamque est menée à l ade d une forme généralsée du modèle de Mononobé-Okabé (1924), étendu au cas d un terran de cohéson non nulle. Ce modèle, l convent de le rappeler, n est autre que la généralsaton du con de butée de Coulomb en ntégrant à l équlbre des forces celles relatves aux effets d nerte affectant la masse du con comme le montre la fgure c-dessous, où P désgne la réacton «déstablsatrce» de l écran à l état d équlbre lmte (butée résultante lmte). Le modèle se lmte à l exploraton de mécansmes de rupture plans formant un angle α par rapport à l écran. Pour un α donné, la projecton à la vertcale et à l horzontale de l équlbre des forces condut à un système à deux équatons et deux nconnues (R f et P), ce qu permet de trer la valeur de P(α). On recherche ensute la valeur de α telle que P sot mnmale. F H H δ P W + F V R c α ϕ R f α telle que P sot mnmale Fgure C 40 : Modèle de Mononobé-Okabé pour un terran de cohéson non nulle mécansme de butée Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

32 La mse en équaton de ce modèle permet d établr l expresson de la résultante de la butée lmte dynamque selon le formalsme suvant : 1 * 2 Pbd Kpd γ 1 kv H KpcdcH 2 Les coeffcents de butée dynamque K pd et K pcd sont fonctons de quatre paramètres : K K pd pcd g g 1 2,δ,θ,λ,δ,θ,λ avec Les fonctons g 1 et g 2 sont obtenues par ntégraton numérque. γh λ 2c A partr de la varaton de P bd avec la profondeur, on évalue par dfférencaton une densté de butée dynamque p bd entre les profondeurs z -1 et z depus la tête de l écran : p bd z 1 z z P bd H z P H z On en dédut ensute l ncrément «dynamque» à consdérer sur la presson lmte de butée «statque» : Δpbd pbdk H 0,kV 0 pbdk H, kv z z La presson lmte de butée prse en compte dans le calcul s écrt ensute : p b statque dynamque XP. p bd 1 b statque Δp Où XP est un facteur multplcateur (nféreur ou égal à 1,00) vsant à rédure la butée prse en compte dans le calcul pour les ouvrages sensbles aux déplacements (pour des nstallatons ndustrelles sensbles, XP est usuellement comprs entre 0,33 et 0,50). C Effets hydrodynamques Les effets hydrodynamques susceptbles de se développer dans les nveaux où la nappe est consdérée comme «lbre» sous sésme (absence de terran ou terran «ouvert») sont smulés à l ade du modèle de Westergaard comme le schématse la fgure c-dessous. bd 1 Presson hydrostatque Coeffcents ssmques k H Sol «ouvert» k V Presson hydrostatque Δu wd Δu wd Sol «ouvert» Sol «fermé» Sol «fermé» Fgure C 41 : Prncpe du modèle de Westergaard tel que mplémenté dans K-Réa v4 32/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

33 La prse en compte du sésme mplque ans une modfcaton de la presson d eau «statque» d un ncrément dynamque tel que (dans les nveaux «ouverts» sous nappe) : u w statque dynamque u w statque Δu Avec : 7 Δuwdz khγw Hz 8 Où : - Z désgne la profondeur du pont de calcul comptée à partr du tot de la nappe ; - H représente la hauteur de la nappe comptée depus la base de l écran. C Modfcaton de la radeur apparente des ancrages Les effets ssmques ndusent une modfcaton de la radeur apparente des trants selon le formalsme suvant : 2 1 cosα θ Kdynamque.Kstatque 11,5kH cosα Où α désgne l nclnason du trant par rapport à l horzontale. wd Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

34 C.4. Vérfcatons ELU C.4.1. Approches de calcul C Prncpe de pondératon Le système de pondératon dans K-Réa s applque à la fos sur les actons (permanentes et varables), les effets des actons (résultats des calculs), les paramètres de résstance (caractérstques de csallement), ans que sur les résstances (butée et ancrages). Tros approches de calcul sont proposées (1, 2 et 3) conformément à l Eurocode 7 et sa norme d applcaton NF P C Pondératon des actons La pondératon des actons est applquée selon le formalsme suvant : A d γa.ak Dans K-Réa, cela concerne les paramètres suvants : - Poussée «actve» du sol pondératon des coeffcents de poussée lmte - Presson d eau pondératon de la presson dfférentelle d eau - Surcharges sur le sol pondératon de la valeur caractérstque de la surcharge - Surcharges sur l écran pondératon de la valeur caractérstque de la surcharge C Pondératon des effets des actons La pondératon des effets des actons est applquée selon le formalsme suvant : E d γe.ek Dans K-Réa, cela s applque sur les «résultats» du calcul et vse à évaluer les valeurs de calcul des sollctatons dans l écran, les ancrages et le sol : - Sollctatons dans l écran pondératon du dagramme des efforts (N, V, M) - Efforts d ancrage pondératon des réactons des butons et trants - Butée moblsée pondératon de la butée moblsée (défaut de butée) La valeur du coeffcent partel γe est dentque pour tous les effets des actons. C Pondératon des paramètres de csallement La pondératon des paramètres de csallement est applquée selon le formalsme suvant : tan tan k d γ M c cd γ Dans K-Réa, cela mplque une réévaluaton des coeffcents de poussée/butée (lmte) sur la base des valeurs de calcul des paramètres de csallement. Il est à noter que coeffcent de presson au repos (k 0 ) ans que le coeffcent de réacton demeurent nchangés. C Pondératon des résstances La pondératon des résstances est applquée selon le formalsme suvant : R Rd γ Dans K-Réa, cela concerne les paramètres suvants : - Butée lmte du sol pondératon de la butée moblsable (en post-tratement) - Structure des ancrages pondératon de la lmte élastque des ancrages - Massf d ancrage pondératon de l effort déstablsant ssu de Kranz k R k M 34/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

35 C Approche 2/2* - NF P C Notce technque K-Réa v4 Au sens de la norme d applcaton de l Eurocode 7 en France (NF P ), l approche 2/2* propose des coeffcents partels qu dffèrent selon le modèle de calcul utlsé (MISS ou MEL) pour l équlbre ELU de l écran : - MISS : pondératon (en post-tratement) des effets des actons et des résstances ; - MEL : pondératon (à la source) des actons et des résstances ; Dans les deux cas, aucune pondératon n est applquée sur les paramètres de résstance. Le tableau c-dessous présente les coeffcents partels proposés par défaut dans K-Réa quand cette approche est utlsée. Approche 2/2* Modèle MISS Modèle MEL Poussée actve du sol Presson d eau Pods propre écran Actons (γ A ) Effet des Actons (γ E ) Paramètres de résstance (γ M ) Surcharges sur le sol Surcharges drectes sur l écran Sollctatons écran Sollctatons ancrages Butée moblsée Angle de frottement Cohéson (effectve) Permanentes Varables Permanente favorable Permanente défavorable Varable défavorable Résstances (γ R ) Phase durable Butée moblsable Phase transtore Résstance des appus Lmte élastque C Approche 3 Massf d ancrage (Kranz) Effort déstablsant Tableau C 2 : Coeffcents partels applqués dans l approche 2/2* L approche 3 propose par défaut des coeffcents partels dentques entre les modèles MISS et MEL. A la dfférence de l approche 2/2*, cette approche se caractérse par l applcaton d une pondératon à la source sur les paramètres de résstance (c et φ), ce qu nécesste une réévaluaton par le moteur de calcul des coeffcents de poussée/butée consdérés dans le calcul ELU : k a,d k a tan k γm k p,d k p tan k γm Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

36 Ensute, à l excepton des surcharges varables (pondérées par 1,30), aucune pondératon n est applquée sur les actons (permanentes d orgne non structurale), les effets des actons ou les résstances. Il convent de noter par alleurs que cette approche ne permet (par défaut) aucune dstncton du nveau de sécurté entre les phases transtore et durable. Le tableau c-dessous présente les coeffcents partels proposés par défaut dans K-Réa quand cette approche est utlsée. Approche 3 Modèle MISS Modèle MEL Poussée actve du sol Presson d eau Pods propre écran Actons (γ A ) Effet des Actons (γ E ) Paramètres de résstance (γ M ) Surcharges sur le sol Surcharges drectes sur l écran Sollctatons écran Sollctatons ancrages Butée moblsée Angle de frottement Cohéson (effectve) Permanentes Varables Permanente favorable Permanente défavorable Varable défavorable Résstances (γ R ) Phase durable Butée moblsable Phase transtore Résstance des appus Lmte élastque C Approches 1.1/1.2 Massf d ancrage (Kranz) Effort déstablsant Tableau C 3 : Coeffcents partels applqués dans l approche 3 L approche 1 comporte deux «varantes» : - une varante 1.1 dont le formalsme est «proche» de celu de l approche 2 (pondératon des actons, aucune pondératon des paramètres de résstance) ; - une varante 1.2 dont le formalsme est «proche» de celu de l approche 3 (pondératon des paramètres de résstance, aucune pondératon sur les actons) ; Dans les pays où cette approche s applque (par exemple en Angleterre), l convent d examner successvement les deux varantes et de retenr celle condusant au dmensonnement le plus défavorable. Les tableaux c-après présentent les coeffcents partels proposés par défaut dans K-Réa quand cette approche est utlsée. 36/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

37 Approche 1.1 Modèle MISS Modèle MEL Poussée actve du sol Presson d eau Pods propre écran Actons (γ A ) Effet des Actons (γ E ) Paramètres de résstance (γ M ) Surcharges sur le sol Surcharges drectes sur l écran Sollctatons écran Sollctatons ancrages Butée moblsée Angle de frottement Cohéson (effectve) Permanentes Varables Permanente favorable Permanente défavorable Varable défavorable Résstances (γ R ) Phase durable Butée moblsable Phase transtore Résstance des appus Lmte élastque Massf d ancrage (Kranz) Effort déstablsant Tableau C 4 : Coeffcents partels applqués dans l approche 1.1 Approche 1.2 Modèle MISS Modèle MEL Poussée actve du sol Presson d eau Pods propre écran Actons (γ A ) Effet des Actons (γ E ) Paramètres de résstance (γ M ) Surcharges sur le sol Surcharges drectes sur l écran Sollctatons écran Sollctatons ancrages Butée moblsée Angle de frottement Cohéson (effectve) Permanentes Varables Permanente favorable Permanente défavorable Varable défavorable Résstances (γ R ) Phase durable Butée moblsable Phase transtore Résstance des appus Lmte élastque Massf d ancrage (Kranz) Effort déstablsant Tableau C 5 : Coeffcents partels applqués dans l approche 1.2 Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

38 C.4.2. Nveaux de terran K-Réa offre la possblté de «pondérer» les nveaux de terran consdérés dans les calculs ELU (modèles MISS ou MEL). Cette «pondératon» est contrôlée par un paramètre de «sur-excavaton» Δa défn par l utlsateur par côté et par phase. Fgure C 42 : Nveaux de terran noton de sur-excavaton En l absence d un contrôle strcte du fond de l excavaton, la norme NF P recommande la valeur suvante : Δa = mn (50 cm, 10%H) Où H désgne la hauteur de soutènement effectve défne selon les ndcatons de la fgure c-dessous. H H C.4.3. Vérfcaton du défaut de butée Fgure C 43 : Noton de hauteur de soutènement effectve L examen du défaut de butée vse à vérfer que la fche dsponble de l écran permet une sécurté suffsante entre la butée moblsable et celle nécessare à l équlbre (ELU) de l écran. C Cas général Pour le cas général des phases où l écran comporte un ou pluseurs nveaux d ancrage, cette vérfcaton est menée sur la base des résultats du modèle MISS, selon le formalsme suvant : B t, d Bm,d Où : B t,d : valeur de calcul de la résultante de la butée moblsée (ssue du modèle MISS) ; B m,d : valeur de calcul de la résultante de la butée lmte (ou moblsable). 38/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

39 Butée lmte Butée moblsée Poussée (moblsée) Fgure C 44 : Butées moblsée et lmte pour le modèle d équlbre d un écran ancré Les valeurs de calcul des butées moblsée et moblsable sont défnes à partr des relatons suvantes : Bm,k Bt, d γe.bt,k Bm,d γr Les valeurs de γ E et γ R sont précsées (pour chaque approche de calcul) dans le C.4.1. En partculer, pour l approche 2/2* (NF P ), les valeurs consdérées par défaut dans K-Réa (modèle MISS) sont les suvantes : Nature de la phase γ E γ R Transtore 1,35 1,10 Durable 1,35 1,40 Tableau C 6 : Exemple de pondératon applquée pour l approche 2/2* C Cas partculer : phases où l écran est en console C Prncpe La norme NF P mpose l utlsaton d un modèle aux équlbres lmtes pour les vérfcatons ELU des phases où l écran est en console. Ce modèle consste, comme son nom l ndque, à examner l équlbre de l écran, supposé parfatement rgde (le calcul ne tent mplctement pas compte de la flexblté propre de l écran) en consdérant que le sol des deux côtés de l écran est à l état lmte de poussée/butée jusqu à un certan pont dt «pont de transton». Au-delà de celu-c, le sol est supposé en état lmte de contre-poussée à l aval de l écran, tands qu à l amont, on s assure que la contre-butée nécessare à l équlbre horzontal de l écran est nféreure, avec une sécurté suffsante, à la contre-butée dsponble sous le pont de transton (vor Fgure C 45). La défnton du «pont de transton» fat l objet des paragraphes C et C Avec les notatons de la Fgure C 45, l équlbre de l écran fat ntervenr le système des efforts suvants : F a : résultante horzontale du dagramme de poussée p a,d F b : résultante horzontale du dagramme de butée p b,d Fc a : résultante horzontale du dagramme de contre-poussée pc a,d Fc b : résultante horzontale du dagramme de contre-butée dsponble pc b,d ΔU : résultante horzontale du dagramme de pressons dfférentelles d eau u a u b Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

40 Poussée F a Butée F ΔU z b n z n : nveau de «transton» Fc a Contre poussée z α.fc b nécessare dsponble Contre butée Fgure C 45 : Prncpe conventonnel du modèle d équlbre lmte (MEL) Le facteur est appelé facteur de «moblsaton» de la contre-butée et est défn comme le rapport entre la contre-butée nécessare à l équlbre horzontal de l écran et celle dsponble (ou lmte). Les dagrammes de pressons ntroduts c-dessus sont exprmés en «valeurs de calcul» selon le système de pondératon détallé dans les C.4.1. L équlbre lmte de l écran prend également en compte les surcharges applquées drectement sur l écran (force lnéque, couple, surcharge trapézoïdale), également exprmées en valeurs de calcul. Sur la base de ce modèle, et selon les dspostons de la norme NF P , on justfe la stablté vs-à-vs du défaut de butée en procédant aux vérfcatons suvantes : Vérfcaton de la fche, qu consste à s assurer que la fche dsponble est supéreure, avec une sécurté suffsante, à la fche mnmale nécessare à l équlbre des moments. Vérfcaton de la contre-butée, qu consste à s assurer que la contre-butée dsponble sous le pont de transton est suffsante pour équlbrer les efforts horzontaux. La mse en œuvre de cette vérfcaton nécesste de détermner la poston du pont de transton. Pour cela, deux modèles de calcul sont proposés dans K-Réa : approche D (applquée par défaut) et approche F. C Vérfcaton de la fche La vérfcaton de la fche de l écran est basée sur la condton suvante (Fgure C 46) : fb 1,20 f 0 Où : f b : fche de l écran «dsponble» sous le pont de presson dfférentelle nulle O ; f 0 : fche mnmale, sous le pont de presson dfférentelle nulle O, nécessare à l obtenton de l équlbre des moments (au-dessus du pont C). Selon les notatons de la Fgure C 46, on a : f b = (z P z O ) et f 0 = (z C z O ). 40/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

41 La presson dfférentelle ans évoquée, notée p d, désgne le dagramme résultant obtenu en superposant les valeurs de calcul des dagrammes de poussée, de butée et de pressons d eau. On a donc, par défnton (pour le cas où la foulle est stuée à gauche) : p d p a,drote p b,gauche u drote u gauche La recherche du pont C est menée en écrvant l équaton générale tradusant l équlbre des moments par rapport à ce même pont : p S Où : p d C 0 d C d : moment par rapport au pont C, de la résultante du dagramme de pressons dfférentelles p d (entre la tête de l écran et le pont C ; : moment par rapport au pont C, de la résultante des surcharges S d C éventuelles applquées drectement sur l écran entre sa tête et le pont C. La résoluton de cette équaton est menée par un processus de recherche dchotomque avec un crtère d arrêt relatf fxé par défaut à Sur la Fgure C 46, l effort R C désgne la résultante (valeur de calcul) des efforts horzontaux applqués sur la hauteur comprse entre la tête de l écran et le pont C : Où : R C R p C d C RS d C R p d C : résultante du dagramme de pressons dfférentelles p d sur la hauteur comprse en la tête de l écran et le pont C ; R : résultante des surcharges applquées (en valeurs de calcul) drectement sur S d C l écran entre sa tête et le pont C. La vérfcaton de la contre-butée a pour objectf de s assurer que la contre-butée dsponble est suffsante pour reprendre l effort R C. Presson dfférentelle O f 0 R C C P f b z Fgure C 46 : Notons de fches mnmale f 0 et dsponble f b selon le modèle MEL Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

42 C Vérfcaton de la contre-butée avec «l approche D» L approche D, applquée par défaut dans K-Réa, permet de s affranchr des hypothèses smplfcatrces mplctement ntrodutes dans les errements usuels, en recherchant rgoureusement le pont de transton z n pour assurer l équlbre global à la fos des efforts et des moments sur toute la hauteur de l écran (fgure c-dessous). Dans ce modèle, la fche (conventonnelle, comptée à partr du pont O) de l écran prse en compte dans le calcul peut être «paramétrée» selon tros optons (fgure c-dessous) : - Opton 1 fche de calcul = fche réelle de l écran (opton par défaut) ; - Opton 2 fche de calcul = 1,2 x f 0 (recommandée s la fche réelle est longue) ; - Opton 3 fche de calcul = valeur mposée par l utlsateur. F a F b ΔU z N : nveau de transton Opton 1 : z B = z P Fc a α.fc α.fc b b z B : base effectve de l écran Opton 2 : z B = z C 0.2 x f 0 B z P : base réelle de l écran Opton 3 : z B mposé par l utlsateur P z Fgure C 47 : Vérfcaton de la contre-butée selon l approche D Selon les notatons de la fgure précédente, l équlbre global de l écran peut être tradut par un système de deux équatons à deux nconnues (α, z n ) : Où : Equlbre des efforts : Fa Fb.Fcb Fca U RS d 0 Equlbre des moments : M F MF.MFc MFc M U MS 0 a b F a, F b, Fc a, Fc b sont respectvement les résultantes des dagrammes de poussée, butée, contre-poussée et contre-butée. Leurs valeurs sont fonctons de la poston du pont de transton z n ; M(F a ), M(F b ), M(Fc a ), M(Fc b ) sont respectvement les moments des efforts F a, F b, Fc a, Fc b par rapport au pont P (ped de l écran). Leurs valeurs sont également fonctons de la poston de z n ; ΔU et M(ΔU) respectvement la résultante du dagramme de pressons dfférentelles d eau et le moment correspondant par rapport au pont P. Leurs valeurs sont ndépendantes de z n ; R(S d ) et M(S d ) respectvement la résultante et le moment par rapport à P des surcharges éventuelles (valeurs de calcul) applquées drectement sur l écran. La résoluton de ce système d équatons est menée par un processus de recherche dchotomque avec un crtère d arrêt relatf fxé à La mse en œuvre de cette approche permet ans d obtenr smultanément la cote de transton z n et le facteur permettant de vérfer la contre-butée à travers la condton : 1. b a d 42/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

43 C Vérfcaton de la contre-butée avec «l approche F» C Notce technque K-Réa v4 L approche F est une méthode smplfée qu consste à assmler la contre-butée moblsée à une presson unforme applquée sur une longueur égale à 0,2f 0 de part et d autre du pont C, comme le montre la fgure c-dessous. F b F a ΔU Méthode MEL F Base de l écran : Z B = Z C 0.2 x f 0 R C C P B αfc b 0.4 x f 0 Fgure C 48 : Vérfcaton de la contre-butée selon l approche F Ans, selon les notatons de la fgure c-dessus, l équlbre des efforts horzontaux se tradut par l égalté : Où : R C.Fc b Fc a ΔU nf R S R S C d : est la résultante des surcharges éventuelles, applquées drectement sur P l écran sous le pont C ; C d P Unf : est la résultante des pressons dfférentelles d eau exercées sur l écran sous le pont C. Le facteur de moblsaton est ans obtenu par la relaton : C.4.4. Calcul des sollctatons ELU R C Fc a ΔU Fc b nf R S Le calcul des sollctatons ELU est mené selon le même modèle ayant serv à la vérfcaton du défaut de butée : MISS pour les phases où l écran est ancré, MEL pour les phases où l écran est consdéré comme en console. La valeur de calcul des sollctatons dans l écran et les ancrages est obtenue selon le formalsme suvant : E d γe.ek Pour rappel, dans le cas de l approche 2/2* (NF P ), la valeur de γe est prse égale à : - γ E =1,35 pour le modèle MISS établ par défaut sans pondératon sur les actons permanentes et les résstances ; - γ E =1,00 pour le modèle MEL établ par défaut avec pondératon à la source des actons permanentes par 1,35 et des résstances par 1/1,10 ou 1/1,40. A noter que dans le cas où l approche 3 est utlsée, nous avons E γ =1,00 pour les modèles MISS et MEL. Ceux-c sont établs avec pondératon à la source des paramètres de csallement par 1,25. d C P Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

44 C.4.5. Vérfcaton de l équlbre vertcal C Cas général La vérfcaton de l équlbre vertcal consste à estmer la résultante vertcale des efforts applqués sur l écran, et à vérfer son orentaton (vers le haut s la résultante est négatve, ou vers le bas s la valeur est postve). La résultante vertcale des efforts, s elle est orentée vers le bas, dot ensute servr de paramètre d entrée pour vérfer la portance de l écran (à l ade de modèles de calcul spécfque non ntégrés à K-Réa). Cette vérfcaton permet également de juger de la pertnence des valeurs consdérées pour les nclnasons de poussée/butée. La valeur de calcul de la résultante vertcale Rv d des efforts applqués sur l écran est donnée par l expresson générale suvante : Rv P Pv Fv Tv d d d d d Où : P d : pods total de l écran ; Pv d : valeur de calcul de la résultante vertcale des pressons des terres sur la hauteur de l écran ; Fv d : valeur de calcul de la résultante vertcale des surcharges extéreures nclnées s exerçant sur l écran ; Tv d : valeur de calcul de la résultante vertcale des efforts dus aux ancrages nclnés connectés à l écran. Fgure C 49 : Blan des efforts vertcaux s exerçant sur l écran Il est à rappeler que K-Réa calcule, à l ELS comme à l ELU, l effort axal (vertcal) en chaque pont de l écran. La résultante vertcale des efforts n est autre que la valeur de cet effort axal au ped de l écran : zz Rv d = N z z ELU base 44/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

45 C Cas d un écran en console Dans le cas d un écran en console, l équlbre ELU de l écran étant traté par un modèle aux équlbres lmtes, la composante vertcale de la presson des terres s obtent drectement par projecton selon les nclnasons «lmtes» (et non ntermédares) de poussée/butée rensegnées par l utlsateur. z 1 : nveau terre Côté «2» Côté «1» z 2 : nveau foulle F av F bv z n F b F a z n : nveau de «transton» Fc a Fc av α.fc bv α.fc b z P : base de l écran P z Fgure C 50 : Blan vertcal des efforts pour le cas d un modèle d équlbre lmte (MEL). Dans le cas où la résultante vertcale obtenue est drgée vers le haut, K-Réa offre la possblté d agr, de façon manuelle ou automatque, sur l nclnason des pressons de contre-butée de façon à obtenr un équlbre vertcal «pertnent» (.e. avec résultante vers le bas). En mode «automatque», cet ajustement est contrôlé par un facteur «Xcb» défn comme sut : (δ/φ) contre-butée = Xcb x (δ/φ) butée Le facteur Xcb a une valeur ntale de 1,00 pus est dmnué automatquement (s nécessare) jusqu à l obtenton d une résultante vertcale vers le bas. Le processus s arrête dans tous les cas quand Xcb attent la valeur de -1,00. A noter que la modfcaton de l nclnason de la contre-butée mplque celle des coeffcents de contre-butée k p,cb et k pc,cb qu ntervennent dans le calcul de la contre-butée dsponble sous le pont de transton z n. Ces coeffcents sont re-calculés automatquement par le programme selon la méthode de calcul «de référence» désgnée par l utlsateur (par défaut «Kérsel et Abs»). Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

46 C.4.6. Vérfcaton de la stablté du massf d ancrage C Prncpe général Le prncpe général de la vérfcaton est de s assurer que les efforts d ancrage (correspondant aux trants d ancrage unquement) peuvent être transférés au massf de sol en toute sécurté, en vérfant la stablté de la surface de rupture à la base du massf de sol, et de montrer ans que la longueur de chaque trant d ancrage est suffsante. Cette vérfcaton est menée par défaut dans K-Réa selon l approche «Kranz» smplfée évoquée dans l annexe G de la norme NF P Le caractère smplfé de la méthode (Cura et al. 2014) résde dans l adopton d une surface de rupture plane (CD) comme le montre la Fgure C 51. Il est également possble de mener la vérfcaton en consdérant une surface en arc de sprale ( C.4.6.5). Selon les notatons de la Fgure C 51, le modèle de Kranz (1953) consste à justfer la stablté du massf ABCDA en s assurant que l effort d ancrage dans le trant demeure nféreur à une valeur lmte correspondant à l équlbre ultme du massf, appelée «effort déstablsant». Parte lbre Trant (parte lbre) A A B B Ecran écran Massf d ancrage Massf d ancrage C C Scellement scellement D D C Cas d un seul trant C Défnton du massf d ancrage Fgure C 51 : Approche Kranz smplfée Schéma de prncpe Le massf d ancrage ABCDA objet de la vérfcaton est délmté par les ponts suvants : A : tête de l écran ou ntersecton de l écran avec le tot de la premère couche ; D : pont d effort tranchant nul (prs sous le fond de l excavaton) ; C : pont d ancrage effectf du trant correspondant à la longueur utle du trant L u ; B : projecton vertcale du pont C sur l axe (AX) ; 46/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

47 C Blan des efforts extéreurs La Fgure C 52 récaptule le blan des efforts applqués sur le massf ABCDA : T u : effort d ancrage du trant ; P 1 : réacton de l écran, prse égale à la résultante des pressons de terres sur [AD] P 2 : effort de poussée exercé à l amont du massf sur [BC] ; W : pods du massf (humde au-dessus de la nappe, et déjaugé en-dessous). La nappe est supposée horzontale ; F e : résultante des surcharges (permanentes) applquées sur ou dans le massf ; R c : résstance lmte due à la cohéson moblsable le long de [CD] ; R f : résstance lmte due au frottement moblsable le long de [CD]. L équlbre lmte du massf se tradut ans par l équaton vectorelle (fgure c-dessous) : Rc Rf WFe P1 P2 Cet équlbre appelle pluseurs commentares : T 0 L effort F e ntègre unquement la résultante des surcharges «permanentes». Les surcharges varables s applquant entre A et B ne sont pas comptablsées dans ce modèle étant donné leur caractère favorable vs-à-vs de la stablté du massf ; L effort de frottement R f est nclné d un angle égal à φ par rapport à la normale ; La composante horzontale de P 1, notée P 1H, est calculée drectement par ntégraton des pressons horzontales moblsées, résultat du calcul d équlbre horzontal de l écran. Sa composante vertcale, notée P 1V est calculée avec la même démarche que celle consdérée pour la vérfcaton de l équlbre vertcal de l écran (vor C.4.5) ; L effort de poussée amont P 2 est supposé horzontal (P 2V = 0, approche sécurtare). Sa composante horzontale P 2H est calculée drectement à partr des caractérstques des couches rencontrées entre B et C, et tenant compte des surcharges applquées à l amont du massf d ancrage (permanentes et varables) ; Le calcul de l effort R c se fat par smple ntégraton de la cohéson du sol le long du segment [CD] tenant compte de sa varaton éventuelle avec la profondeur. Pour toute la sute, on désgne par T dsb la valeur de T permettant de vérfer l équaton d équlbre c-dessus et d attendre donc l équlbre lmte du massf (effort d ancrage déstablsant). A B F e W P 2 θ 2 P 1 θ 1 R c T α C D β R f φ Fgure C 52 : Blan schématque des efforts exercés sur le massf d ancrage Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

48 C Dscrétsaton du massf d ancrage On se place dans le cas général où la surface de rupture supposée [CD] traverse pluseurs couches de sol. Dans ce cas, la résoluton de l équlbre lmte du massf nécesste de dscrétser le massf (ABCDA) en autant de blocs que de couches traversées, de sorte que la «base» d un bloc donné sot «homogène». A Bloc 1 Bloc 2... Bloc n B Couche 1 X Couche 2... C Couche 0 Couche D Couche 0 +n Z Fgure C 53 : Dscrétsaton du massf d ancrage en pluseurs blocs L équlbre local d un bloc «k» est rég par le système d efforts suvants (fgure c-dessous) : H (k) (k) 1 et V 1 réactons extéreures moblsées sur la frontère vertcale gauche ; H (k) (k) 2 et V 2 réactons extéreures moblsées sur la frontère vertcale drote ; W (k) pods propre déjaugé ; (k) F e résultante des surcharges extéreures applquées dans le bloc k ; (k) R c résstance due à la cohéson moblsable le long du segment D (k) C (k) ; (k) R f résstance due au frottement moblsable le long du segment D (k) C (k). Bloc k F e (k) V 1 (k) V 2 (k) W (k) H 2 (k) H 1 (k) R c (k) C k D k R f (k) φ k Fgure C 54 : Equlbre local d un bloc blan des efforts Dans la fgure c-dessus, φ k désgne l angle de frottement de la couche de sol rencontrée à la base du bloc «k». 48/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

49 Par souc de smplfcaton, on adopte l hypothèse dte de Bshop qu consste à supposer que les réactons «nter blocs» sont horzontales, ce qu revent à consdérer, selon les notatons de la Fgure C 54 que : V 1 (k) = 0 et V 2 (k) = 0 Cette condton est valable unquement le long des frontères «nter blocs», une excepton est donc à consdérer pour le premer (k = 1) et le derner bloc (k = n). On aboutt ans au schéma général de la fgure c-dessous : Bloc 1 Bloc k 1 < k < n Bloc n F e (1) F e (k) F e (n) P 2V P 1H W (1) H 2 (1) H 1 (k) W (k) H 2 (k) H 1 (n) W (n) T dsb P 2H P 1V R c (1) C (1) R c (k) C (k) C R c (n) D R f (1) φ 1 D (k) R f (k) φ k D (n) R f (n) φ n Fgure C 55 : Equlbres locaux des blocs tenant compte de l hypothèse smplfcatrce de Bshop Il est à noter que du fat des coupures successves, l effort d ancrage T dsb est prs en compte unquement dans l équlbre du derner bloc (n). En réalté, comme la lgne d acton est unque, l affectaton de cet effort à l un quelconque des blocs s avère sans ncdence. C Résoluton de l équlbre général Pour une dscrétsaton en «n» blocs, la mse en équaton des équlbres locaux condut à un système de 3n 1 équatons à 3n 1 nconnues. Plus précsément, le système d équatons est obtenu en projetant l équlbre local de chaque bloc selon Ox et Oz (sot 2 équatons par bloc) et en écrvant le prncpe d acton/réacton entre deux blocs jontfs se tradusant par : H 1 (k) = H 2 (k-1). P2 T dst Fe 3 +W 3 Rc 3 +Rf 3 H 2/2 =H 1/3 Fe 2 +W 2 Rc 2 +Rf 2 H 2/1 =H 1/2 Fe 1 +W 1 Rc 1 +Rf 1 P1 Fgure C 56 : Exemple de blan des efforts pour le cas de 3 blocs La résoluton de ce système permet d obtenr les valeurs de H 1 (k), H 2 (k), R f (k) et T dsb. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

50 C Vérfcaton L obtenton de la valeur caractérstque de l effort déstablsant T dsb permet de condure la vérfcaton de la stablté du massf d ancrage à l ELU : T réf,d γ E.T réf T dsb,d T γ dsb R Dans le cas de l approche 2/2* au sens de la norme NF P : C Cas de pluseurs trants C Prncpe général γ R = 1,10 et γ E = 1,35. On consdère le cas d un écran ancré par pluseurs lts de trants comme le schématse la fgure c-dessous. La vérfcaton de la stablté du massf d ancrage est menée en examnant successvement la stablté des massfs «assocés» à chaque trant tel que cela a été défn pour le cas d un trant unque. Ans pour chaque trant «j», on examne la stablté du massf AB j C j DA tenant compte des efforts d ancrage de tous les trants stués à l ntéreur de ce massf. A B 1 B 2 B 3 écran α 1 α 2 α 3 C 2 C 1 C 3 D Fgure C 57 : Généralsaton au cas de pluseurs lts de trants A ttre d exemple, pour le cas schématsé dans la fgure c-dessus, la vérfcaton de la stablté du massf d ancrage consste à examner tros stuatons : 50/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

51 Stuaton 1 : on sole le massf d ancrage AB 1 C 1 DA assocé au trant «1». Les ponts d ancrage C 2 et C 3 sont stués à l ntéreur du massf, par conséquent les tros trants sont prs en compte ; A B 1 α 1 Stuaton 1 α 2 T 2 T 1 α 3 C 2 T 3 C 1 C 3 D Fgure C 58 : Exemple d applcaton - Stuaton 01 Stuaton 2 : on sole le massf d ancrage AB 2 C 2 DA assocé au trant «2». Les ponts d ancrage C 1 et C 3 sont stués à l extéreur du massf, par conséquent seul le trant «2» est prs en compte ; A B 2 α 1 Stuaton 2 α 2 T 2 α 3 C 2 C 1 C 3 D Fgure C 59 : Exemple d applcaton - Stuaton 02 Stuaton 3 : on sole le massf d ancrage AB 3 C 3 DA assocé au trant «3». Le pont d ancrage C 2 est stué à l ntéreur du massf, tands que C 1 est stué à l extéreur. Les trants 2 et 3 sont donc prs en compte. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

52 A B 3 α 1 Stuaton 3 α 2 T 2 α 3 C 2 T 3 C 1 C 3 D Fgure C 60 : Exemple d applcaton - Stuaton 03 Pour une stuaton donnée, la prse en compte ou non d un trant d ancrage est contrôlée par la poston relatve de son pont d ancrage par rapport aux frontères du massf d ancrage étudé. L attenton est attrée sur le cas où ce pont d ancrage, ben qu l sot stué géométrquement en dehors du massf, se trouve à proxmté des frontères BC ou CD, et auquel cas son nfluence ne peut être néglgée. Le recours à l opton complémentare présentée dans le paragraphe C permet de surmonter cette lmtaton. C Blan des efforts Pour une stuaton donnée, on calcule la résultante équvalente T eq des efforts T reprs par tous les trants prs en compte dans cette stuaton. On désgne par α eq l nclnason de cet effort résultant par rapport à l horzontale. Pour l examen de la stablté du massf d ancrage assocé à la stuaton consdérée, on se ramène donc à un système d équlbre smlare à celu consdéré pour un seul trant (fgure c-dessous), avec un trant «fctf» nclné α eq par rapport à l horzontale et reprenant un effort égal à T eq. k T k eq T eq j T j C Résoluton Fgure C 61 : Résultante d un trant fctf Pour chaque stuaton, la mse en équaton se fat selon une démarche dentque à celle suve pour le cas d un seul trant. Pour une stuaton donnée, la résoluton du système d équlbre fournt la valeur caractérstque de l effort déstablsant T dsb,k du massf d ancrage assocé. Sa valeur de calcul T dsb,d prse égale à T dsb / R est ensute comparée à la valeur de calcul de l effort d ancrage de référence équvalent T réf,d = E x T eq. La stablté du massf d ancrage est justfée s pour toutes les stuatons, on a : T T. réf, d dsb, d 52/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

53 C Prse en compte de la longueur de scellement C Notce technque K-Réa v4 En complément de la démarche présentée c-dessus, l est possble de «matéralser» la longueur de scellement «L s» de chaque trant dans la geston des trants à prendre en compte pour le calcul de l effort d ancrage de référence. Ans, pour un massf d ancrage donné, on dstngue, pour chaque trant, tros confguratons (Fgure C 62) : Confguraton 1 : le pont d ancrage C (= mleu du scellement) est stué à l ntéreur du massf, dans ce cas l effort du trant est ntégralement prs en compte ; Confguraton 2 : la tête du scellement S est stuée à l extéreur du massf, dans ce cas le trant n est pas prs en compte ; Confguraton 3 : cas ntermédare, S à l ntéreur, C à l extéreur du massf. L effort du trant est alors partellement prs en compte au prorata du rapport S R /S C, où R désgne le pont d ntersecton du scellement avec la frontère extéreure du massf. A B k A B k α k Confguraton 1 α k Confguraton 2 α α C k C k L s /2 C L s /2 S D D L s /2 C A B k α k Confguraton 3 α S C k R L s /2 C D Fgure C 62 : Les 3 confguratons possbles pour un trant vs-à-vs du massf d'ancrage Avec les notatons c-dessus, l effort d ancrage de référence prs en compte dans une stuaton donnée est calculé selon la formule suvante : T réf S R SC mn ;1.T mn 2S R ; L L s s. T Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

54 C Prse en compte du sésme Le modèle décrt précédemment peut être asément adapté en ntrodusant les forces d nerte qu résultent d une acton ssmque affectant le massf du sol. A x(b) B z(b) W tot (+Fe) P 2V k H.W P 2H +ΔP d P 1H k V.W T réf α réf C z(c) P 1V z(d) R H D R V Fgure C 63 : Modèle Kranz - Prse en compte du sésme Avec les notatons de la fgure c-dessus, ces forces d nerte mpacte l équlbre comme sut : - Prse en compte d un ncrément dynamque dans l évaluaton des forces de poussée à l amont (P 2H et P 2V ), ce qu modfe le blan du derner bloc ; - Introducton des forces d nerte vertcale et horzontale (proportonnelles au pods) dans l équlbre élémentare de chaque bloc. La résoluton de l équlbre lmte met en évdence un effet exclusvement défavorable du sésme avec une réducton systématque de la sécurté dsponble entre l effort d ancrage déstablsant et celu nécessare à l équlbre de l écran. C Surface de rupture en arc de sprale Le modèle de calcul présenté précédemment peut être perfectonné par une exploraton de surfaces de rupture en arc de sprale à concavté vers le bas comme le schématse la fgure c-dessous. A x(b) B z(b) W tot (+Fe) P 2V P 2H P 1H T réf α réf C z(c) P 1V R H z(d) R V D θ réf Ω Fgure C 64 : Stablté du massf d ancrage examnée par une surface de rupture en arc de sprale 54/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

55 Pour chaque surface de rupture, l équlbre lmte est examné par décomposton en tranches vertcales avec les hypothèses smplfcatrces de Bshop. La forme courbe de la surface de rupture mpose une décomposton fne du massf d ancrage : par défaut, K-Réa applque un découpage en 100 blocs et un balayage des surfaces de rupture selon un pas Δθ réf = 5. Le processus exploratore retent la surface (assocée à un angle θ réf donné) condusant à l effort déstablsant le plus fable. Une valeur de θ réf = 0 correspond à une surface plane. C Cas d un projet double écran C Système de type «rdeau ancré sur contre-rdeau» Le modèle Kranz, tel que détallé dans les paragraphes précédents pour le cas d un écran ancré par un ou pluseurs trants scellés, peut être adapté au cas d un système d écran prncpal ancré sur un écran secondare comme le schématse la fgure c-dessous. B q A P w,dff T réf F H P 2,sol G + F V P 1 C R Fgure C 65 : Equlbre lmte du massf d ancrage pour un projet de double écran D Le cas d un double écran requert les adaptatons suvantes : Géométre du massf : la frontère amont du massf correspond à la face arrère du contre rdeau. Le pont C est confondu avec le ped du contre-rdeau s celu-c est court et plus généralement avec le pont d effort tranchant nul du contre-rdeau ; La force d ancrage de référence (T réf ) correspond à la somme vectorelle de l ensemble des efforts d ancrage moblsés dans les trants de lasons (lnéques et surfacques) et ceux dont le scellement est stué (au mons partellement) à l ntéreur du massf d ancrage ABCD ; L effort de poussée amont (P2) représente la résultante des forces extéreures au massf s applquant sur le contre-rdeau. Cela nclut d une part la poussée du sol à l arrère du massf ans que la presson dfférentelle d eau entre les deux côtés de l écran. P 2 P 2,sol P w,dff Ces adaptatons sont applquées automatquement par le moteur de calcul de K-Réa. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

56 C Cas d un double ancrage K-Réa permet également de trater les projets de double-écran à «double ancrage» comme le schématse la fgure c-dessous : un écran prncpal (1) ancré sur un écran secondare (2), lu-même ancré par un trant scellé. Les ponts «C» et «D» désgnent les ponts d effort tranchant nul respectvement au nveau des écrans 1 et 2. B B A Trant 2 Trant 1 C Ecran 2 C Ecran 1 D Fgure C 66 : Equlbre lmte du massf d ancrage pour un projet de double écran à double ancrage Dans ce cas, K-Réa examne (au mons) deux confguratons correspondant chacune à un massf d ancrage : Massf d ancrage ABCD assocé à l écran prncpal, dont l effort déstablsant est comparé (après pondératon) à l effort reprs par le trant de lason (trant 1). Pour cette confguraton, l effort moblsé par le trant «2» scellé est dédut de l effort de poussée amont (P2) s applquant à arrère du massf ; P 2 P 2,sol T 2 Massf d ancrage BCC B assocé à l écran secondare, dont l effort déstablsant est comparé (après pondératon) à l effort reprs par le trant scellé (2). B B B A P 2 Massf 2 Massf 1 C T 2 G P 1 + T 1 P 2,sol P 1 G R C C R D Fgure C 67 : Massfs d ancrage consdérés dans le cas d un système de double-écran à double ancrage 56/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

57 C.5. Bases théorques utlsées pour les dfférents assstants à la sase de données Ce chaptre décrt les bases théorques utlsées pour les dfférents assstants proposés à l utlsateur. La manpulaton de ces assstants est décrte dans la parte B du manuel (manuel d utlsaton). ATTENTION : LES ASSISTANTS SONT UNE AIDE APPORTEE A L UTILISATEUR MAIS LEUR UTILISATION RESTE DE LA RESPONSABILITE DE L UTILISATEUR. C.5.1. Assstants relatfs aux caractérstques des sols C Le coeffcent k 0 L assstant k0 (Jaky) calcule la valeur du coeffcent des terres au repos k 0 par la formule suvante : k 0 (1 sn )(1 sn ) Avec : : nclnason du terran [ ] ; : angle de frottement du sol [ ] ; OCR : rapport de surconsoldaton. OCR C Les coeffcents k d et k r Les coeffcents de décompresson k d et de recompresson k r permettent de prendre en compte les varatons des contrantes horzontales que le sol exerce sur l écran dues aux chargements et déchargements de ce sol, en modfant la presson ntale à déplacement nul et les valeurs des palers de plastcté. Dans le cas général, pour un sol normalement consoldé, de comportement drané, on peut prendre kd kr k0. Dans le cas d un sol surconsoldé, dont le comportement peut être assmlé à celu d un ur matérau élastque, on peut prendre kd kr k0 1 Dans le cas d un sol normalement consoldé de comportement non drané (sollctatons trop rapdes vs-à-vs de la perméablté du sol), on a alors kd kr 1 k0 ( ur ~ 0,5). ur L artcle référencé en [6] propose une formule de calcul pour le coeffcent k d en foncton de la valeur du paramètre OCR. L attenton est attrée sur l nfluence mportante que peuvent avor les valeurs attrbuées à ces paramètres pour le dmensonnement (notamment pour le cas de structures très hyperstatques). Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

58 C Les coeffcents k a et k p 3 assstants sont proposés dans K-Réa pour la détermnaton des coeffcents k a et k p de poussée et butée des terres. C Assstant «Tables de poussée et de butée des terres de Kersel et Abs» Cet assstant est la reproducton fdèle des tables étables par Kersel et Abs, édtées par les Presses de l Ecole Natonale des Ponts et Chaussées, sous le ttre «Tables de poussée et butée des terres de Kersel et Abs» [1]. C'est l'assstant utlsé en «mode automatque"». C Assstant «Poussée et butée des terres selon la formule de Coulomb» Cet assstant affche le résultat du calcul des formules de Coulomb extrates des Technques de l ngéneur - Constructon - C242 - «Ouvrages de soutènement, poussée et butée» rédgé par F. Schlosser [2] : k k a, d p, d cos d 1 cos cos 2 sn cos 2 d.sn d.cos d.sn d.cos sn cos d 1 cos avec : - φ angle de frottement [ ] ; - nclnason de la surface lbre par rapport à l horzontale [ ] ; - angle de l écran avec la vertcale (par défaut 0) [ ] ; - d/φ rapport de l oblquté des contrantes sur l angle de frottement. 2 2 Fgure C 68 : Données pour la formule de Coulomb Les coeffcents k a,d et k p,d correspondent aux valeurs des coeffcents de poussée et butée nclnées de d a et d p. L assstant fournt ensute les valeurs k a et k p des coeffcents de poussée et butée horzontales. 58/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

59 C Assstant «Poussée et butée des terres selon la formule de Rankne» Cet assstant est dsponble sous 2 formes dfférentes : - L assstant Rankne smplfé correspondant au bouton «Rankne» sur la boîte de dalogue prncpale de sase des caractérstques des sols : cet assstant calcule les valeurs de k a et k p par la formule de Rankne avec une surface lbre horzontale et transfère automatquement les valeurs dans la case correspondante telle que : 2 2 ka tan et kp tan Avec φ l angle de frottement ( ). - L assstant Rankne permettant de prendre en compte l nclnason du talus, accessble par le bouton «ka/kp» sur la boîte de dalogue prncpale de sase des caractérstques des sols, pus le chox «Rankne» : cet assstant affche le résultat des formules de Rankne pour un mur de soutènement avec un talus nclné en tête extrates des Technques de l ngéneur - Constructon - C242 - «Ouvrages de soutènement, poussée et butée» rédgé par F. Schlosser [2] et rappelées cdessous : 2 2 cos cos cos ka cos 2 2 cos cos cos 2 2 cos cos cos kp cos 2 2 cos cos cos Avec : φ : angle de frottement [ ] ; : nclnason de la surface lbre par rapport à l horzontale [ ]. C Les coeffcents k ac et k pc Il s agt des coeffcents de poussée/butée applqués sur le terme de cohéson : - Poussée lmte - Butée lmte sn d Avec sn. sn k k ac pc 1 cosda sn cos e tan 1 sn 1 cosdp sn cos e tan 1sn d d p a tan tan cosda 1 cosdp 1 C Le coeffcent k h C La formule de Balay La formule de Balay [4] repose sur la formule suvante : Em kh.a 0, a 2 avec : E m : module pressométrque [kn/m 2 ] ; : paramètre rhéologque (vor auss le chaptre B.3.2.4) ; a : paramètre dmensonnel [m]. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

60 Fgure C 69 : Paramètre a pour la formule de Balay C La formule de Schmtt La méthode de calcul de Schmtt [5] repose sur la formule smplfée suvante : Em 2,0. k h 1 EI3 avec : E m : module pressométrque [kn/m 2 ] ; : paramètre rhéologque (vor auss le chaptre B.3.2.4). 4 3 C Les abaques de Chadesson Les abaques de Chadesson [6] fournssent la valeur de k h en foncton de l angle de frottement du sol et de sa cohéson. Fgure C 70 : Abaques de Chadesson 60/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

61 C.5.2. Assstants relatfs aux caractérstques de l'écran C Notce technque K-Réa v4 C Assstant rgdté cylndrque Cet assstant permet d évaluer la rgdté cylndrque d une paro contnue crculare et sa varaton éventuelle avec la profondeur. Il est accessble depus la fenêtre de défnton de l écran s l opton «encente cylndrque» est cochée. La rgdté cylndrque d une paro crculare contnue est donnée par la formule suvante : E.t Rc 2 R Avec : E module de déformaton du matérau consttutf de la paro [kn/m 2 ] ; t son épasseur [m] ; R son rayon moyen [m]. En général, une paro contnue crculare est consttuée d une sute d éléments vertcaux (sot des panneaux rectangulares de paro moulée, sot des peux sécants) réalsés selon une tolérance maxmale de vertcalté, ce qu lasse la possblté d une dévaton relatve entre deux éléments vertcaux consécutfs. L épasseur «résduelle» de contact entre ces éléments peut donc dmnuer avec la profondeur, ce qu mplque une réducton vore une annulaton de la rgdté cylndrque comme le schématse la fgure c-dessous. t Largeur de contact (t*) t* = t R moy, écran 1 d (%) t* = 0 Rc* 0 Panneaux R moy, écran Rc* = 0 t* = 0 Poston théorque Poston réelle (dévaton) Fgure C 71 : Schéma de dévaton d un écran crculare en paro moulée L écran est dvsé en pluseurs sectons chacune caractérsée par une rgdté cylndrque «effectve» égale à R z C Assstant paro composte * c t-2.d.z R t 0 c s z snon Cet assstant propose le calcul du produt d'nerte EI par mètre lnéare (ou par Ft) d'une paro composte composée de peux et d'un parement entre les peux : EI paro composte EI peux EI t 2.d parement Cette formule suppose mplctement que le parement et les peux ont le même plan neutre. L'assstant permet la prse en compte de dfférents types de peux. Le calcul du produt EI équvalent des peux par mètre lnéare (ou par Ft) est détallé dans les sous-chaptres suvants. Le produt d'nerte EI du parement par ml (ou par Ft) est calculé comme sut : Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

62 3 Eh EIparement 12 avec : E : module d Young du parement (kn/m², KsF) ; h : épasseur de l écran (en m, Ft). C Peux crculares de secton plene Le produt d'nerte EI des peux par ml (ou par Ft) est calculé comme sut : 4 EI π D EIpeux avec I eh 64 avec : E : module d Young du peu (kn/m², KsF) ; E h : entraxe entre les peux prncpaux (m, Ft) ; D : damètre de chaque peu (en m, Ft). C Proflés métallques Le produt d'nerte EI des peux (proflés) par ml (ou par Ft) est calculé comme sut : Eacer Iproflé EI peux eh avec : I proflé : nerte du proflé sélectonné (m 4 ) ; E acer : module d Young de l'acer (kn/m², KsF) ; e h : entraxe entre les proflés (m, Ft). C Peux mxtes La sélecton de l'assstant "peux mxtes" permet la prse en compte pour le calcul du produt EI à la fos du proflé et de la secton plene autour du proflé. Le calculé est mené par applcaton du prncpe de superposton : + - = + - = Fgure C 72 : Confguratons de peux mxtes Le produt d'nerte EI des peux mxtes par ml (ou par Ft) est calculé comme sut : 4 1 πd EI peux E béton Iproflé Eacer Iproflé e h 64 avec : E béton : module d Young du peu (kn/m², KsF) ; e h : entraxe entre les peux (m, Ft) ; D : damètre de chaque peu (sas en m, Ft) ; I proflé : nerte du proflé sélectonné (m 4 ) ; E acer : module d Young de l'acer (kn/m², KsF). 62/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

63 C Assstant poussée rédute C Notce technque K-Réa v4 Cet assstant permet de défnr les coeffcents R et C à utlser dans le cas d un écran dscontnu. S l utlsateur le souhate, l est possble de défnr pluseurs valeurs de R et C à des profondeurs dfférentes du sol. Pour cela, l sufft de leur attrbuer les nveaux d applcaton supéreur (z t ) et nféreur (z b ) entre lesquels on souhate les applquer. Deux modes de calcul sont dsponbles : Mode «classque» Mode «Norme NF P Annexe B» Le mode classque nécesste la défnton de : e : espacement des éléments prncpaux [m] ; L a : largeur de calcul de la poussée lmte [m] ; L b : largeur de calcul de la butée lmte [m]. A partr de ces données, on obtent : R : coeffcent réducteur de la poussée R = L a / e C : facteur d épanoussement applqué sur la butée C = L b / L a Le mode «Norme NF P Annexe B» nécesste la défnton de : Type de sol vsé, chox entre : o Sol purement cohérent (Sol_Type_1) o Sol frottant et cohérent (Sol_Type_2) Géométre de l élément prncpal : o S l élément prncpal est rectangulare (EP_Type_1) : L1 : longueur (m) L2 : largeur (m) o S l élément prncpal est crculare (EP_Type_2) : D : damètre (m) e : espacement entre les éléments prncpaux (m) L assstant met à jour automatquement la fgure d ade en foncton des chox et des valeurs défns par l utlsateur. Conformément à la norme NF P Annexe B, les valeurs de La, Lb, R et C sont calculés comme ndqué c-dessous en foncton du cas examné : - Cas 1 : Sol_Type_1 + EP_Type_1 La = Lb = mn (L1 + L2 ; e) R = La / e C = 1 - Cas 2 : Sol_Type_1 + EP_Type_2 La = Lb = mn (2 x D ; e) R = La / e C = 1 - Cas 3 : Sol_Type_2 + EP_Type_1 La = Lb = mn (L1 + 2 x L2 ; e) R = La / e C = 1 - Cas 4 : Sol_Type_2 + EP_Type_2 La = Lb = mn (3 x D ; e) R = La / e C = 1 Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

64 C.5.3. Assstants relatfs aux caractérstques des ancrages C Assstant trant Cet assstant permet de défnr la radeur et la précontrante par unté de longueur d un lt de trants scellés. P L utle L lbre L scellée e h, E, S, P, L l et L s Fgure C 73 : Schéma d un lt de trants scellés Un lt de trants est assmlé à un ressort équvalent caractérsé par : Une radeur axale par unté de longueur : ES Kaxale Lueh Une précontrante (axale) par unté de longueur : P P t axale eh Avec : e h : espacement horzontal des trants (m) ; E : module d Young du trant (kn/m²) ; S : secton du trant (m²) ; P t : précontrante applquée sur un trant (kn) ; L u : longueur utle du trant (m). La longueur utle d un lt de trants scellés est défne conventonnellement comme sut : L L L scellée u lbre 2 Le comportement élasto-plastque permet de plafonner l effort de tracton moblsé dans le trant à une valeur F adm,tr. qu peut être relée à la contrante admssble du matérau consttutf du trant comme sut : σadms Fadm,tr eh Il est à noter que pour un trant nclné de α par rapport l horzontale, la projecton de la radeur axale condut à une radeur horzontale équvalente égale à : K 2 cos axale horz.k C est cette radeur qu est prse en compte dans l équlbre (horzontal) de l écran. 64/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

65 C Assstant buton C Cas général Cet assstant permet de calculer la radeur et la précontrante par unté de longueur d un lt de butons. L utle P Fgure C 74 : Schéma d un lt de butons Un lt de butons est assmlé à un ressort équvalent caractérsé par : Une radeur (axale) par unté de longueur : ES Kb Lueh Une précontrante (axale) par unté de longueur : P P b eh Avec : E : module d Young du buton [kn/m²] ; S : secton du buton [m²] ; e h : espacement horzontal des butons [m] ; P b : précontrante applquée sur un buton [kn] ; L u : longueur utle [m]. C Opton «bracon» L opton «bracon» permet de consdérer un lt de butons appuyé sur une semelle horzontale qu repose sur le sol. La radeur équvalente dans l axe du buton fat ntervenr d une part la radeur axale propre du buton et d autre part la radeur lée au tassement de la semelle. Fgure C 75 : Schéma d un lt de butons avec opton bracon Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

66 K La radeur axale «propre» du buton est : b Lueh La radeur vertcale de la semelle est évaluée à l ade de la méthode pressométrque pour une semelle rectangulare : K E 9L sem M B 0 B c 2 d B B0 Avec : B 0 : largeur de référence = 0.60 m B, L : largeur et longueur de la semelle avec B L [m] ; E M : module pressométrque [kn/m²] ; α : coeffcent rhéologque [-] ; c, d : coeffcents de forme relatfs aux tassements volumque et dévatorque. La radeur équvalente dans l axe du buton retenue par longueur d étude est : K axe,eq 1 e h KbK K K b sem ES 2 snα snα 2 Avec : K,b : radeur axale propre du buton [kn/m] ; K sem : radeur vertcale de la semelle [kn/m] ; α : nclnason du buton par rapport à l horzontale [ ] ; e h : espacement horzontal des butons [m]. A noter que pour un buton nclné de α par rapport à l horzontale, la radeur horzontale prse en compte dans l équlbre de l écran est : 2 Khorz cos.kaxe, eq C Assstant lerne cylndrque Cet assstant permet de défnr la rgdté apparente d une lerne cylndrque supportant un écran crculare. sem Coupe A-A Lerne Ecran Lernes A A Fgure C 76 : Vue en plan et coupe d un R moy, écran lerne crculare mun d une lerne La rgdté apparente (cylndrque) de la lerne est calculée à partr de l expresson suvante : R moy, écran 1 R c ES R² Avec - ES : rgdté axale de la lerne (module d Young x Secton) ; - R : rayon moyen de la lerne [m]. 66/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

67 C.5.4. Assstant de recherche du dagramme de presson lmte (à venr) Cet assstant permet le calage des dagrammes de poussée lmte (Pa) et de butée lmte (Pb) sur chaque côté d un écran vertcal. Le cas général vsé est celu d un sol multcouche avec une géométre de terran de type talus ou rsberme, soums à des charges externes et sous sollctatons ssmques. La méthode de calcul utlsée est ssue de la théore générale de calcul à la rupture développée et formalsée par J. Salençon. Il s agt d une approche par l extéreur qu consste à examner le terran avec un évental de surfaces de rupture de type sprale logarthmque (l allure de la sprale dépende de l angle de frottement de la couche de sol). Dans le cas d un sol multcouche, les surfaces devennent de type multsprale logarthmque avec un pôle unque. Fgure C 77 : Surface de rupture multsprale dans un sol multcouche Prncpe de la méthode de recherche des dagrammes de pressons lmtes : La méthode de recherche du dagramme de Pa consste à trouver, en tout pont sur la hauteur de l écran, la presson stablsatrce maxmale à l état d équlbre lmte ; La méthode de recherche du dagramme de Pb consste à trouver, en tout pont sur la hauteur de l écran, la presson déstablsatrce mnmale à l état d équlbre lmte ; Fgure C 78 : Cnématque du mécansme en poussée (à gauche) et du mécansme de butée (à drote) Les données d entrée du calcul sont les suvantes : Pas maxmal de l ntervalle de sorte en étape de recherche n 1 et n 2 ; Pas de balayage de l angle au pôle des sprales ; Valeur mnmale de l angle au pôle des sprales ; Incrément mnmal de l angle au pôle des sprales ; Nombre maxmal de dvsons de l angle au pôle des sprales. Copyrght K-Réa v Edton Jun /70

68 Fgure C 79 : Recherche du dagramme de poussée (à gauche) et du dagramme de butée (à drote) La recherche de la surface de rupture la plus défavorable est abordée comme sut : Etape 1 : exploraton ntale de toutes les surfaces (étape 1) en fasant varer le pont d entrée, le pont de sorte et l angle au pôle. Etape 2 : exploraton plus fne en raffnant l ntervalle de sorte, pour un même pont d entrée, tout en fasant varer l angle au pôle. Les dagrammes de presson lmtes obtenus dépendent de la stuaton examnée, c-dessous quelques exemples : Poussée (Pa) Butée (Pb) Profl TN Stratgraphe Pressons Pa Pa - Sprales retenues Fgure C 80 : Dagrammes de poussée lmte (à gauche) et butée lmte (à drote) obtenus pour un sol multcouche (5 couches) 68/70 Copyrght K-Réa v Edton Jun 2016

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