Recherche des solutions de l équation de Boltzmann stationnaire

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1 Recherche des solutions de l équation de Boltzmann stationnaire J. Tavernier To cite this version: J. Tavernier. Recherche des solutions de l équation de Boltzmann stationnaire. Journal de Physique, 1963, 24 (4), pp < /jphys: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1963 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 A En From LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 24, AVRIL 1963, 241. RECHERCHE DES SOLUTIONS DE L ÉQUATION DE BOLTZMANN STATIONNAIRE Par J. TAVERNIER, Laboratoire Central des Industries Électriques, FontenayauxRoses (Seine) Résumé. partir d une interprétation physique de la solution proposée par Chambers, l auteur développe une méthode de résolution de l équation de Boltzmann pour les états stationnaires. La solution obtenue dans l approximation d un temps de relaxation est valable à tous les ordres par rapport au champ électrique, gradient de température et champ magnétique Abstract.. a physical interpretation of the solution proposed by Chambers, the author develops a method of solving Boltzmann s equation for stationary states. The solution, within the relaxation time approximation, is valid for all magnitudes of the electric fields, thermal gradients and magnetic fields. 1. Introduction. 1952, R. Chambers [1] proposa une solution de l équation de Boltzmann pour les régimes stationnaires. Dans un récent article H. Budd [2] montre que cette solution vérifie bien l équation de Boltzmann dans l hypothèse de l existence d un temps de relaxation et d une fonction de~répartition maxwellienne à l équilibre thermique. La fonction de Chambers ignore l existence d un champ magnétique et d un gradient de température. Dans le présent article, nous proposons une interprétation de la solution de Chambers permettant d obtenir une méthode de résolution de l équation de Boltzmann en régime, stationnaire. La méthode décrite est ensuite utilisée pour calculer la fonction de répartition solution de l équation de Boltzmann en présence d un champ électrique et d un champ magnétique. Nous donnons le résultat dans le cas où la fonction de répartition dépendrait des coordonnées d espace. 2. Résolution de l équation de Boltzmann stationnaire. à résoudre est : où F L équation est la force due au champ électrique et supposée constante (F qe), = 00 le vecteur pulsation cyclotron (w qb/m) = P la quantité de mouvement, r(p) le temps de relaxation, f o (P) la fonction de répartition à l équilibre thermique, et f (p) la fonction de répartition des particules en présence d un champ électrique et d une induction magnétique. L étude de la solution proposée par Chambers nous a conduits à montrer (annexe I) que la fonction de répartition soluton de l équation (1) peut s écrire : où ~1 (p, y) et f 2 (p, y) sont respective ment solutions des équations suivantes : Il est intéressant de vérifier que l expression (2) pour est bien identique à celle donnée par Chambers en l absence de champ magnétique. En effet, l équation (31) a pour solution : (l opérateur exp représente la translation ~ yf à effectuer sur la variable p). Or, f o ne dépend de la quantité de mouvement p que par l intermédiaire de l énergie E = p2/2m. Donc il (p, y) peut s écrire : est l énergie gagnée au champ électrique pendant l intervalle de temps y. Quant à l équation (32), si l on utilise l évolution de la quantité de mouvement : Article published online by EDP Sciences and available at

3 t. +. : Par 242 elle s intègre immédiatement sous la forme : L opérateur exp explicité peut être en utilisant la relation suivante : Les relations (4) et (6) permettent alors d expliciter la fonction f(p) définie par (2) : Oll Cette expression est identique à celle de Chambers dans laquelle on a posé : y = t Notons que ce résultat est valable quelle que soit la fonction d équilibre 1,(E). Par ailleurs, l expression que nous proposons pour la solution de l équation de Boltzmann stationnaire est susceptible de l interprétation physique suivante. Si un ensemble d électrons initialement en équi T est soumis à un libre thermique à la température champ électrique et un champ magnétique, leur fonction de répartition variera, d une part, sous l action des forces (électriques et magnétiques) et, d autre part, sous l influence des collisions. Les deux causes sont indépendantes l une de l autre. Dans ces conditions, f 1 (p, y) représente la densité des particules qui, après un intervalle de temps y, auront la quantité de mouvement p ; la cause de la variation de la fonction de répartition étant uniquement les forces extérieures. La quantité y représente p la fraction des particules p subis 03B4y sant des collisions dans l intervalle de temps dy. Par suite d y représente P la fraction des particules ayant la quantité de mouvement p pendant le temps dy. Pour tenir compte de toutes les collisions, que l on considère comme des processus indépendants, il faut faire la somme sur toutes les valeurs de y et par suite 3. Fonction de répartition stationnaire en présence d un champ magnétique RECHERCHE DE LA SOLUTION DE L ÉQUA TION (31). Dans le but de simplifier l écriture, nous définissons un opérateur sans dimension, ~,.tel que : Il est évident que cet opérateur est antisymétrique et qu il vérifie l équation algébrique : La solution de l équation (31) s écrit alors : (A x est l opérateur associé à A, tel que ~~=[~~]). Un calcul reproduit en annexe II montre que il (p, y) s écrit : Le résultat de l action des trois derniers opérateurs sur f o est la translation A effectuée sur la variable p. D où : La définition de l opérateur ~ permet d écrire : Sous la dernière forme, on reconnaît l opérateur représentant la rotation des vecteurs p d angle (DY et ayant 8 pour axe. L eflet de cet opérateur sur les vecteurs p s écrit : exp suite :. 7 1 fi. 1 f r n.. A Il est intéressant de remarquer que l argument de la fonction ~o est la quantité de mouvement que posséderait à l instant y, une particule se déplaçant sous l action de la force F de mouvement à l instant t 0 est p. = l équation d évolution : a pour solution :*. et par suite : et dont la quantité En effet Si la fonction de répartition à l équilibre tiller

4 Formellement, La 243 mique ne dépend que de l énergie E == f 1 (p, y) s écrit : ou en posant y u = s, on obtient : où Le calcul développé en annexe 4 permet d écrire : La propriété d antisymétrie de l opérateur p et la relation (8) conduisent à : 3.3. SOLUTION DE L ÉQUZ TION DE BOLTZMANN. La relation (2) conduit à : ou en changeant y en y : L action de l opérateur exp invariant E AE, donc : laisse Si on se limite au premier ordre par rapport au champ électrique, il est intéressant de remarquer que la variation d énergie AE(p, y) égale l énergie 8E gagnée par la particule au champ électrique pendant l intervalle de temps y. En effet, nous montrons en annexe 3 que où 8, E(F, y) et ~2 E(F, y) représentent les gains d énergie du premier et du second ordre par rapport au champ électrique RECHERCIIE DE LA SOLUTION DE L ÉOUA. TION (32). la solution de l équation (32) 1 étant la solution du mouvement telle que p(0) _ p. La solution ainsi obtenue est valable quelle que soit la fonction d équilibre thermique f ~ (p) et à tous les ordres par rapport au champ électrique et au champ magnétique. La seule hypothèse est celle de l existence d un temps de relaxation dépendant de la quantité de mouvement. 4. Conclusions. méthode développée dans les paragraphes précédents montre que l équation de Boltzmann stationnaire peut être résolue par l intermédiaire de deux équations de Boltzmann dépendant du temps dont les solutions ont une interprétation physique très simple. Notons que la méthode proposée est encore valable lorsque les électrons sont soumis à un gradient de température. Des calculs semblables à ceux donnés précédemment permettent de montrer que dans ce cas : où est une fonction indépendante de y et égale à 1 quel que soit p. La formule (9) dans laquelle on pose : et où p(y) et r(y) sont définis par Inéquation du mouvement : et permet d expliciter (15) sous la forme : rn étant la masse des particules. De plus, nous devons préciser que la méthode proposée résoud le problème de la recherche des solutions de l équation stationnaire vérifiée par l opérateur densité, lorsque la thermalisation peut être décrite par un temps de relaxation. 6

5 En Opérateur y(f Nous F 244 Annexe I. intégrant Inéquation (2) par parties et remarquant que /2 (p, + 00) 0, = on obtient : En posant F = F + p /B c~, le premier membre de l équation (1) s écrit : Les relations (3) permettent de transformer l expression cidessus sous la forme : Les trois opérateurs figurant dans la seconde exponentielle commutent entre eux et par suite elle peut être décomposée en un produit de trois exponentielles. Cette factorisation conduit à la formule (10). Annexe III. Pendant l intervalle de temps y, la particule gagne au champ électrique, l énergie :. L intégration par parties du second terme montre que les trois premiers termes s annulent mutuellement et que, par suite f (p) est solution de l équation de Boltzmann stationnaire : L opérateur se développe en : Par suite : Annexe II. exp Nous utilisons la formule (9) en posant. Il faut évaluer les opérateurs peut s effectuer par récurrence. En effet : ~ copp).vp. B. Ce calcul Nous voyons alors que : Annexe IV. Il. U,I!l4 U,I montrons que : Dans ce but, nous remarquons que s exprimer sous la forme suivante : peut Il est alors immédiat que : La définition (9) de B(t) permet d écrire : et la propriété (8) de l opérateur 03B2 conduit à : Nous avons alors en tenant compte de la relation (8) : + == 2013 x(i y(i + P2) F + ll/ [1 Co + F = Llp (x + y). L argument du temps de relaxation r figurant dans l équation (16) s écrit donc : BIBLIOGRAPHIE [1] CHAMBERS (B.), Proc. Roy. Soc., London, 1952, A 65, 458. [2] BUDD (H.), Phys. Rev., 1962, 127, 4.