TD 3 : Logique, Ensembles et Applications

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1 Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique, Physique et Chimie - S1 TD 3 : Logique, Ensembles et Applications Exercice 1 Soit E = {a, b, c} un ensemble. Peut-on écrire : a) a E b) a E c) {a} E d) E e) E f) { } E? Solutions. On supposera ici que a = 0, b = 1 et c =. 1) 0 E ) 0 E n a pas de sens puisque 0 n est pas un ensemble. 3) {0} E est vrai. Cela affirme que 0 E. 4) L ensemble vide n est pas un élément de E. 5) E est vrai. L ensemble vide est inclu dans tous les ensembles. 6) Faux, l ensemble vide n est pas un élément de E. Exercice Soient A =], 3], B =], 7[ et C =] 5, + [ trois parties de R. Déterminer A B, A B, B C, B C, A c, A \ B, A c B c, (A B) c, (A B) (A C) et A (B C). Solutions. On trouve A B =], 3] A B =], 7[ B C = B B C = C A \ B =], ] A c B c = [7, + [ (A B) c = [7, + [ (A B) (A C) =] 5, 3] A (B C) =] 5, 3] Exercice 3 1) Vrai ou faux? Pour tout sous-ensemble A, B et C de E on a : i) [(A B) C] B = B (A C), ii) C [(A B C c ) (A c B)] = A c B C, iii) A (B C) = (A B) C. ) Si A B = A B que peut-on dire des ensembles A et B? Solution. 1.i) C est vrai. On a [(A B) C] B = (A B B) C B = (B A) (B C) = B (A C) 1

2 .ii) C est vrai. On a C [(A B C c ) (A c B)] = (C A B C c ) (C A c B) }{{} = = C A c B = A c B C 3.iii) C est faux. On peut prendre par exemple les sous-ensembles suivants de N : Alors A (B C) = {0} et (A B) C =. A = {0}, B = {0} et C = {1}.. Si A B = A B alors A = B. En effet, si x A alors x A B = A B et donc x B. Ceci montre que A B. On montre de la même manière que B A. Ainsi A = B. Exercice 4 Représenter les sous-ensembles suivants de R. Peuvent-ils s écrire comme le produit cartésien de deux sous-ensembles de R? i) {(x, y) R x est un entier } ; ii) {(x, y) R x 4 et 0 < y 1} ; iii) {(x, y) R x +y 1}. Exercice 5 Compléter par, ou. 1) x R, x = 4... x =. ) x R, x Z... x Z. 3) x R, x = π... e ix = 1. 4) x, y R, e x < e y... x < y. Solution. On a 1) x R, x = 4 = x =. ) x R, x Z = x Z. 3) x R, x = π = e ix = 1. 4) x, y R, e x < e y x < y. Exercice 6 1. Montrer par l absurde que 0 n a pas d inverse dans C.. Montrer par contraposition : n pair n pair. 3. Montrer par l absurde que est irrationnel. Exercice 7 Soit I un intervalle de R et f : I R une application. Exprimer à l aide de quantificateurs les assertions suivantes, puis donner leurs négations : a) f s annule b) f est l application nulle c) f ne prend jamais deux fois la même valeur d) f possède un maximum e) f prend des valeurs arbitrairement grandes f) f est une application croissante. Solution.

3 a) x I, f(x) = 0 b) x I, f(x) = 0 c) (x, x ) I, (f(x) = f(x ) = x = x ) d) x 0 I, x I, f(x) f(x 0 ) e) M R, x I, f(x) M f) (x, y) I, (x y = f(x) f(y)) Pour les négations on trouve a) x I, f(x) 0 b) x I, f(x) 0 c) (x, x ) I, x x et f(x) = f(x ) d) x 0 I, x I, f(x) > f(x 0 ) e) M R, x I, f(x) < M f) (x, y) I, x < y et f(x) > f(y). Exercice 8 Soit I un intervalle de R et f : I R une application. Donner la signification des assertions suivantes ainsi que leurs négations : a) c R, x I, f(x) = c b) x I, f(x) = 0 x = 0 c) y R, x I, f(x) = y d) x, y I, x y f(x) f(y) e) x, y I, f(x) = f(y) x = y Solution. a) La fonction f est constante égale à c sur R. b) f ne peut s annuler qu en 0. c) f est surjective. d) f est décroissante e) f est injective. Exercice 9 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? 1) f : N N définie par f(n) = n 1, ) g : R R définie par g(x) = x 1, 3) l application partie entière E : R Z qui à x R associe l unique entier relatif n tel que n x < n + 1. Solutions. 1. Montrons que f est injective. Soit (n, n ) N. On a Ainsi f est injective. f(n) = f(n ) = n 1 = n 1 = n = n. Montrons que f n est pas surjective. Soit n N. On cherche à résoudre l équation f(n ) = n d inconnue n. On a f(n ) = n n 1 = n n = n + 1 3

4 Cette dernière équation n admet pas de solution dans N lorsque n = (par exemple) puisque n + 1 est impair dans ce cas. Ainsi n admet pas d antécédent par f et f n est pas surjective.. Première méthode. Montrons que g est injective. Soit (x, x ) N. On a Ainsi g est injective. g(x) = g(x ) = x 1 = x 1 = x = x. Montrons que g est surjective. Soit y R. On cherche à résoudre l équation g(x) = y d inconnue x. On a On a g( y + 1 ) = y et g est surjective. g(x) = y x 1 = y x = y + 1 Deuxième méthode. Soit y R. On cherche à résoudre l équation g(x) = y d inconnue x. On a g(x) = y x 1 = y x = y + 1. Ainsi, pour tout y R, l équation g(x) = y admet une unique solution x = y + 1. L application g est donc bijective et sa bijection réciproque est g 1 : R R x x L application E n est pas injective puisque on a, par exemple E(1/) = E(0) = 0 mais 0 1/. Montrons que E : R Z est surjective. Soit n Z. On a alors E(n) = n et E est bien surjective. Exercice 10 L application f : R \ { } R définie par f(x) = x 1 est-elle injective, surjective? Quelle restriction doit-on faire sur l ensemble d arrivée pour que f devienne une bijection? Dans ce cas, expliciter x + l application réciproque. Solutions. Montrons que f est injective. Soit (x, x ) R \ { } tel que f(x) = f(x ). On a Ainsi f est injective. f(x) = f(x ) = x 1 x + = x 1 x + = (x 1)(x + ) = (x 1)(x + ) = x + x = x + x = 3x = 3x = x = x. Soit y R. On cherche à résoudre l équation f(x) = y d inconnue x. On a f(x) = y x 1 x + = y x 1 = yx + y x(1 y) = y 1. 4

5 Or cette dernière équation n a pas de solution lorsque y = 1, ainsi y = 1 n a pas d antécédent par f et f n est pas surjective. On remarque que si l on restreint l espace d arrivée à R \ {1} alors pour tout y R \ {1}, l équation f(x) = y d inconnue x admet une unique solution x = y 1 1 y. Ainsi, f est bijective et son application réciproque f 1 est donnée par Exercice 11 f 1 : R \ {1} R \ { } x x 1 1 x. 1) Soit f : R R définie par f(x) = x. Déterminer les ensembles suivants : i) f(], 1]) ii) f({, 1}) iii) f([, 1] [1, ]) iv) f([, 1]) f([1, ]) v) f 1 ({4}) vi) f 1 ([0, 1]) vii) f 1 ([ 1, 1]) viii)f 1 ({ 1}). ) Soit E : R R l application partie entière. Déterminer les ensembles suivants : i) E(], 1]) ii) E({ 1, }) iii) E 1 ([ 1, ]) iv) E 1 ({, 1}) v) E 1 ({ }). Solution. 1. On trouve f(], 1]) = [0, 4] f({, 1}) = {1, 4} f([, 1] [1, ]) = f({1}) = {1} f([, 1]) f([1, ]) = [0, 4] [1, 4] = [1, 4] f 1 ({4}) = {, } f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1] f 1 ([ 1, 1]) = [ 1, 1] f 1 ({ 1}) = Attention, ici contrairement à l exercice 9, l application E est définie de R dans R. En particulier, elle n est pas surjective. On trouve E(], 1]) = {, 1, 0, 1} E({ 1, }) = { 1, 1} E 1 ([ 1, ]) = [ 1, [ E 1 ({, 1}) = [, 1[ [1, [ E 1 ({ }) = 5

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