Introduction: Les Triangulations de la Sphère. Au Commencement...
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- Colette Bonneau
- il y a 6 ans
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1 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement...
2 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
3 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» Tétraèdre
4 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
5 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» Cube
6 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
7 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» Octaèdre
8 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
9 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» Dodécaèdre
10 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
11 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» Icosaèdre
12 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon»
13 Introduction: Les Triangulations de la Sphère Au Commencement... les «solides de Platon» = Les seuls polyèdres réguliers: - toutes les arêtes ont même longueur - tous les angles sont égaux (Connus depuis 1500 av JC au moins)
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15 XVIIIe: Euler observe S A + F =
16 XVIIIe: Euler observe S A + F =
17 S A + F = 2 : Explication Cette formule est due à la forme «sphérique» des solides platoniciens
18 S A + F = 2 : Explication Triangle sur une sphère = Portion de la sphère délimitée par: - 3 sommets - 3 arêtes (+ court chemin sur la sphère entre deux sommets)
19 S A + F = 2 : Explication Triangle sur une sphère = Portion de la sphère délimitée par: - 3 sommets - 3 arêtes (+ court chemin sur la sphère entre deux sommets)
20 S A + F = 2 : Explication Triangle sur une sphère = Triangulation de la sphère = Découpage de la sphère en réunion finie de triangles
21 S A + F = 2 : Explication Triangle sur une sphère = Triangulation de la sphère =
22 S A + F = 2 : Explication Triangle sur une sphère = Triangulation de la sphère = Théorème: Pour toute triangulation T de la sphère, X(T) := S A + F = 2
23 S A + F = 2 : Explication
24 S A + F = 2 : Explication
25 S A + F = 2 : Explication
26 S A + F = 2 : Explication Sphère triangulée (4 triangles) d'après le théorème, S A + F = 2
27 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Sphère
28 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
29 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Le plan
30 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
31 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Le Disque
32 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
33 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Le Cylindre
34 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
35 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Le Tore
36 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
37 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces: Le Tore à deux trous
38 Partie I : Combinatoire des surfaces Exemples de Surfaces:
39 Partie I : Géométrie des surfaces Exemples de Surfaces: Des choses exotiques
40 Partie I : Géométrie des surfaces Exemples de Surfaces:
41 Partie I : Combinatoire des surfaces Propriétés topologiques: Compacte
42 Partie I : Combinatoire des surfaces Propriétés topologiques: Compacte Non compacte
43 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Surface S Compacte
44 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Surface S Compacte Triangulation
45 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Surface S Compacte Triangulée
46 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Surface S Compacte Triangulée Complexe Singulier
47 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Surface S Compacte Triangulée Complexe Singulier Homologie
48 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes:
49 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Théorème (Poincaré, fin XIXe): La dimension des espaces vectoriels d'homologie ne dépend pas de la triangulation
50 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Théorème (Poincaré, fin XIXe): La dimension des espaces vectoriels d'homologie ne dépend pas de la triangulation Moralité: La Combinatoire des triangulations de S ne dépend que de la forme (de la «géométrie») de S
51 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Exemple:
52 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Exemple: Propriété : Si T est une triangulation de S
53 Partie I : Combinatoire des surfaces Homologie des surfaces compactes: Exemple: Propriété : Si T est une triangulation de S Exemple : Si T est une triangulation du Tore, S A + F = 0
54 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables
55 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables
56 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables Cas d'une surface S
57 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables Cas d'une surface S
58 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables Cas d'une surface S
59 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables Cas d'une surface S
60 Partie II : Analyse sur les surfaces Gradient d'une fonction à deux variables Cas d'une surface S
61 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient:
62 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient:
63 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient:
64 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si V est un champ de vecteur sur S, V est-il toujours le gradient d'une fonction?
65 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? CN:
66 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? CN:
67 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? CN:
68 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? CN: Si X est un gradient:
69 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? Opérateur «détecteur de gradient»:
70 Partie II : Analyse sur les surfaces Opérateur Gradient: Question: Si X est un champ de vecteur sur S, X est-il toujours le gradient d'une fonction? Opérateur «détecteur de gradient»:
71 Partie II : Analyse sur les surfaces Complexe de De Rham (vers 1930)
72 Partie II : Analyse sur les surfaces Complexe de De Rham (vers 1930) Cohomologie de De Rham:
73 Partie II : Analyse sur les surfaces Complexe de De Rham (vers 1930) Cohomologie de De Rham: Théorème de De Rham:
74 Partie II : Analyse sur les surfaces Moralité: On peut résoudre l'équadiff dx = 0 en utilisant la combinatoire des triangulations!!
75 Partie II : Analyse sur les surfaces Moralité: On peut résoudre l'équadiff dx = 0 en utilisant la combinatoire des triangulations!! Exemple:
76 Partie II : Analyse sur les surfaces Moralité: On peut résoudre l'équadiff dx = 0 en utilisant la combinatoire des triangulations!! Exemple:
77 Partie II : Analyse sur les surfaces Moralité: On peut résoudre l'équadiff dx = 0 en utilisant la combinatoire des triangulations!! Exemple: Les champs X tels que dx=0 sont de la forme:
78 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Surface = ensemble qui ressemble localement un espace vectoriel de dimension 2
79 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Surface = ensemble qui ressemble localement un espace vectoriel de dimension 2 Variété de dimension n = ensemble qui ressemble localement un espace vectoriel de dimension n
80 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Exemples de variétés de dimension n: Surfaces (dimension 2) Ensembles de niveau de fonctions à n+1 variables, Solutions d'équations Groupes de Matrices Exemples provenant de la géométrie Exemples provenant de la physique: Espaces de configurations en mécanique Espace-temps de la relativité (dimension 4) etc.
81 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Tout ce qui a été dit pour les surfaces se généralise aux variétés de dimension n.
82 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Exemple: V variété de dimension 3 (compacte) Triangulation de V = découpage en tétraèdres Espaces vectoriels d'homologie de V:
83 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Exemple: V variété de dimension 3 (compacte) Triangulation de V = découpage en tétraèdres Espaces vectoriels d'homologie de V: Complexe de De Rham
84 Partie III : Le monde merveilleux des variétés Exemple: V variété de dimension 3 (compacte) Triangulation de V = découpage en tétraèdres Espaces vectoriels d'homologie de V: Complexe de De Rham Espaces vectoriels de cohomologie de V: Théorème de De Rham:
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