Figure 1 : Vues axonométriques de la pièce.

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1 Université de Liège Faculté des sciences appliquées Examen de Communication Graphique Année académique , session de juin. Solution de la question de théorie N 1 : Dessin multivue Soit une pièce dont deux vues axonométriques sont données Figure 1. En plus des arêtes vues et cachées, la vue de droite présente également les arêtes de coupes définies par un plan sur la pièce. On demande : Figure 1 : Vues axonométriques de la pièce. 1. De représenter les trois vues de l objet en suivant la convention européenne. La direction de la vue de face est indiquée par la flèche sur les deux vues de la Figure 1. Les trois vues de l objet sont représentée en suivant la convention européenne et en respectant la vue de face indiquée. 2. D ajouter en trait plein sur ces trois vues les arêtes de coupe dessinées sur la vue de droite de la Figure 1. Les arêtes supplémentaires générées par la coupe sont ajoutées sur chacune des trois vues.

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3 Solution de la question de théorie N 2 : Géométrie de Monge Dans l épure de Monge fournie en annexe, on donne les projections horizontale et verticale d un prisme tronqué. Sa base est horizontale et sa partie supérieure est coupée par un plan (α) contenant les points (A), (B), (C) et (D). On fournit de plus une droite (a). On demande : 1. De déterminer le point de percée de la droite (a) dans le plan (α). Solution : Figure 1i : On commence par déterminer les traces du plan (α). Figure 1ii : Ensuite, on introduit un plan auxiliaire (η) de bout contenant la droite (a). Figure 1iii : Le point de percée de (a) se trouve alors à son intersection avec (i). La droite (i) étant l intersection entre (α) et (η). 2. De calculer la distance minimale entre le point de percée et les arêtes AB et BC du prisme. Solution : Figure 2i : A l aide d un rabattement de la face ABCD dans le plan horizontal, on mesure les distances.

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8 Solution de la question de théorie N 3 : Projection cotée On cherche à creuser une retenue sur le trajet d une rivière s écoulant le long d une vallée. Le fond du bassin sera horizontal, de forme carrée de 4m de coté, orienté dans la direction de la vallée. La pente du déblai sera de 50%. On donne en annexe la projection cotée du point (A) situé au centre du carré formant le fond de la retenue, ainsi que les échelles de pente des plans (α) et (β) représentant les deux versants de la vallée. L unité graphique est u=5mm. On demande : 1. De tracer le fond du bassin dans l épure en projection cotée fournie, puis de dessiner le déblai généré pour la retenue. Solution : Figure 1i : On commence par tracer les lignes de niveau des deux plans (α) et (β), puis l on détermine leur intersection. Figure 1ii : On positionne ensuite le fond du bassin sur l épure. Etant donné l unité graphique utilisée, la longueur des cotés du carré à tracer vaut : 4m u=4m 5mm/m=20mm Figure 1iii : On trace ensuite les échelles de pente et les lignes de niveau des flancs de la retenue d eau. Pour cela on calcule l intervalle graphique associé connaissant la valeur de la pente utilisée de 50% : δ=u/p=5mm/0.5=10mm Figures 1iv à 1v : On recherche ensuite les intersections des flancs du bassin avec les plans (α) et (β). Figure 1vi : On termine par tracer l ensemble du contour et des lignes de niveau de la retenue d eau. 2. Quel est le niveau maximal de l eau dans le bassin par rapport au fond de celui-ci. Solution : Le niveau maximal de l eau dans le bassin correspond au point le plus bas sur le contour de la retenue d eau (le plan d eau est horizontal). Figure 2i : Le point de cote 4 est identifié sur l épure comme le niveau maximal de l eau.

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16 Solution de la question de théorie N 4 : Projection centrale Sur l épure en annexe, une image en projection centrale obtenue dans la cours intérieure d un bâtiment est reproduite. La position du point principal P figure également sur l épure. On demande : 1. De déterminer la distance principale à l échelle associée à la prise de vue, sachant que les deux ailes du bâtiment visibles sur l image sont perpendiculaires. Indications : Utilisez la démarche inverse à celle permettant de mesurer l angle entre deux droites. Déterminez le point de fuite des droites horizontales de la façade de chaque aile. Solution (Figure a) : On prolonge deux horizontales de chaque façade afin de trouver leurs points de fuite (les points F 1 et F 2 ). Connaissant l angle entre les deux façades, dessinez le rabattement qui serait obtenu si on cherchait à mesurer l angle séparant les horizontales des deux façades. Solution (Figure b) : L angle entre les deux façades étant de 90 c est également l angle séparant deux horizontales de chaque façade. Dès lors, l angle entre les droites de point de fuite F 1 et de point de fuite F 2 est de 90. Le rabattement de l angle entre ces droites est donc un triangle rectangle d hypoténuse F 1 F 2 et dont la hauteur issue de l angle droit passe par P. Afin de construire ce triangle rectangle, on trace un cercle de diamètre F 1 F 2. Le sommet de l angle droit est ensuite obtenu à l intersection du cercle avec la perpendiculaire à F 1 F 2 passant par le point principal P. Déduisez de ce rabattement la distance principale à l échelle. Solution (Figure c) : Selon la méthode de rabattement d un angle, le sommet de l angle droit du triangle rectangle correspond au rabattement du point de vue autour de la ligne de fuite F 1 F 2. En reconstruisant de façon inverse le rabattement du point de vue, on identifie une distance principale de 100mm.

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20 Solution de la question de théorie N 5 : Géométrie numérique On s intéresse à la manipulation d un objet par un robot à 3 axes. On souhaite déterminer la position d un point D situé sur cet objet dans le repère d origine A et de base ( x 0, y 0, z 0 ) lié au bâti, connaissant ses coordonnées dans le repère d origine C et de base ( x 3, y 3, z 3 ) lié à la pince, ainsi que les paramètres positionnels angulaires du robot. Données : Coordonnées du point D dans le repère {C,( x 3, y 3, z 3 )} : [ 20, 10, 40 ]. Paramétrage du robot en préhension du solide 4 : α = 60, β = -45, γ = 90. Les dimensions des bras du robot sont reportées sur la figure 2a fournie avec le sujet. On demande : 1. De déterminer la matrice de transformation composée M permettant de passer du repère {C,( x 3, y 3, z 3 )} au repère {A,( x 0, y 0, z 0 )}. Solution : On commence par décrire une à une les transformations successive à appliquer pour passer du repère initial {C,( x 3, y 3, z 3 )} au repère demandé {A,( x 0, y 0, z 0 )}. On commence par effectuer une rotation d axe (C,x 2 ) et d angle -γ afin de se placer dans le repère {C,( x 2, y 2, z 2 )} : , On effectue une translation de vecteur pour ramener l origine du repère au point B. On est alors dans le repère {B,( x 2, y 2, z 2 )} Ensuite, on applique une nouvelle rotation, d axe (B,z 1 ) et d angle -β afin de se placer dans le repère {B,( x 1, y 1, z 1 )} : , On déplace l origine du repère au point A grâce à une seconde translation, de vecteur. Le repère de travail ainsi obtenu est {A,( x 1, y 1, z 1 )} Il ne reste plus qu à appliquer une dernière rotation d axe (A,z 0 ) et d angle α pour se replacer dans le référentiel du bâti {A,( x 0, y 0, z 0 )}.

21 , La matrice de transformation composée M est obtenue par produits successifs de ces matrices élémentaires :,,, ,,, , De calculer la transformation du point D par l opérateur M. Solution : Connaissant les coordonnées du point D dans le repère {C,( x 3, y 3, z 3 )} lié à la pince, on détermine ses coordonnées dans le repère {A,( x 0, y 0, z 0 )} lié au bâti par simple produit matriciel avec l opérateur M

22 Solution de l exercice N 1 : Axonométrie On donne les trois vues d'un objet. 1. Dans un premier temps, tracez en traits fins une isométrie selon la direction d'observation indiquée. Solution : Figure a : L'axonométrie est tracée conformément à la méthode du cours. 2. Dans un second temps, déterminez la trace du plan de coupe suggéré par les trois points (A), (B) et (C). Les arêtes visibles situées en dessous du plan de coupe seront tracées en traits continus forts, les arêtes invisibles en traits pointillés. La trace du plan sera indiquée en traits forts. Les arêtes situées à l'avant du plan (visibles ou non) resteront en traits fins. Solution : Figure b : La droite (AB) (respectivement (BC)) permet de déterminer la direction de coupe des faces verticales parallèles à la vue de face (resp. parallèles à la vue de gauche). Ensuite, on utilise les deux directions de coupe précédemment obtenues afin de déterminer la direction de coupe des faces horizontales. Partant du point (B) et connaissant les coupes des deux faces verticales supportant ce point, on détermine la coupe de la face horizontale directement supérieure au point (B). Le reste de la coupe est obtenu en utilisant successivement ces trois directions de coupe. Finalement, les coupes des faces obliques de la pièce sont obtenues en dernière.

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25 Solution de l exercice N 2 : Construction d'une perspective On donne deux vues d'un bâtiment inspiré de l immeuble CCTV à Pékin représenté à la Figure Tracez la vue en perspective sur l'ébauche fournie correspondant au tableau τ, en respectant le point de vue S dont la position est indiquée sur le dessin. Solution (Figures a à f) : La perspective est construite en suivant la méthode du géométral décrite dans le cours théorique. La position du coin inférieur gauche (dans la projection horizontale de l épure de monge) du bâtiment est obtenue en utilisant la méthode de la droite et du plan. 2. Dans un second temps, dessinez l'ombre visible portée par le solide sur le plan horizontal de référence. Indications : La source lumineuse (située à l'infini derrière l'observateur) est indiquée par les projections horizontale et verticale d'un rayon d. Pour déterminer le point de fuite associé au rayon lumineux, faites passer par le point de vue une droite parallèle au rayon donné et déterminez le point de percée de cette droite dans le plan du tableau. Solution (Figure a) : Soit r la parallèle à d passant par S. Sachant que le plan est vertical, la projection horizontale du point de percée de r est située à l intersection de la trace horizontale du plan avec la projection horizontale de r. La projection verticale du point de percée est obtenue en reportant celui-ci sur la projection verticale de r. (Figure g à i) : On reporte la distance séparant la projection horizontale de P et celle du point de percée dans l épure en perspective horizontalement à partir de P. Ensuite, on reporte verticalement sur l épure en perspective la distance séparant la projection verticale de S et celle du point de percée pour obtenir le point de fuite correspondant à la source lumineuse. L ombre est ensuite obtenue conformément à la méthode du cours théorique.

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