Solutions non-classiques de lois de conservation en trafic routier Projet CEMRACS15
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1 Solutions non-classiques de lois de conservation en trafic routier Projet CEMRACS15 M. Fabre, S. Faure, M. Laurière, B. Maury, C. Perrin Groupe de discussion LAMA 24 mars 2015
2 PROJET CEMRACS "Mouvement de foule" proposé par S. Faure et B. Maury (ANR Isotace) objectifs de départ description macroscopique des foules, prise en compte de la congestion effets des conditions aux bords effets Faster is Slower, ondes Stop and Go deux types de modèles étudiés modèle "social" modèle "mécanique" bouchons stables sur un modèle 1d type loi de conservation
3 Embouteillages en trafic routier quels schémas numériques pour la congestion modèle macroscopique / schéma num. pour capturer des bouchons stables? quels comportements microscopiques sous-jacents?
4 1 Modèles classiques pour le trafic routier Modèles microscopiques Follow-The-Leader (FTL) Modèles macroscopiques, lois de conservation, solutions entropiques Passage micro-macro 2 Perturbation du modèle FTL 3 Perturbation locale des schémas numériques macroscopiques
5 Modèles en trafic routier différentes échelles échelle microscopique : positions xi, vitesses v i, (orientation ω i ) échelle cinétique : fonction de distribution f échelle macroscopique : densité ρ, vitesse u ordre en temps du modèle ordre 1 : les agents adaptent instantanément leur vitesse à leur souhait ordre 2 : effets d inertie prise en compte de la congestion modèles de congestion hard : approche type sphères dures modèles de congestion soft : approche relaxée, force d interaction répulsive
6 Modèles discrets "Individus Centrés" en 1d ordre 1 en temps et condition de périodicité (x N+1 = x 1 ) système de N équations différentielles couplées dx i+1 (t) = v(x i (t) x i+1 (t)) dt
7 Modèle Follow-the-Leader d ordre 1 fonction vitesse v ( ) v(δ) = v max 1 δ 1 {δ>δ δ } δ taille des voitures vmax vitesse max autorisée équilibre du système δ eq = 2π ( ) N, v eq = v max 1 δ δ
8 Entropie discrète entropie du système S(δ) = i δ i log δ i S est une fonctionnelle de Lyapunov globale stricte pour le point d équilibre d dt S(δ(t)) < 0 pour δ (δ eq,..., δ eq ) stabilité asymptotique globale de la distribution uniforme
9 Illustrations numériques : bouchon initial
10 Illustrations numériques : convergence vers l équilibre
11 Modèles fluides LWR (1d) conservation de la masse t ρ + x (ρu) = 0 densité ρ, vitesse effective u conditions au bord périodiques, flux en entrée, flux en sortie, loi de comportement u = U des.β(ρ) vitesse désirée Udes = 1 prise en compte de la congestion β(0) = 1, β(1) = 0
12 Loi de conservation scalaire, solutions entropiques t ρ + x f (ρ) = 0 flux concave diagramme fondamental f (ρ) = ρβ(ρ) = ρ(1 ρ) solutions entropiques t η(ρ) + x g(ρ) 0 dans D pour tout η convexe, g t.q. g (s) = η (s)f (s)
13 Schéma numérique, prise en compte de la congestion schéma décentré amont/aval (+ cond. périodiques) ρ n+1 i ρ n i t + 1 [ ρ n x i β(ρ n i+1) ρ n i 1β(ρ n i ) ] = 0 information du transport de ρ décentrement amont information de la congestion décentrement aval propriétés du schéma consistance monotonie sous cond. CFL : t x (1 + max β ) 1 = stabilité L + consistance avec la condition d entropie
14 Illustrations numériques : décongestion
15 Solutions entropiques et mouvement collectif à quelle condition un choc (ρ, ρ + ) vérifie-t-il toutes les inégalités d entropie? on considère les couples entropie / flux d entropie η k (ρ) = ρ k, g k (ρ) = sgn(ρ k)(f (ρ) f (k)) le choc (ρ, ρ + ) est entropique si et seulement si k = aρ + (1 a)ρ + [af (ρ ) + (1 a)f (ρ + ) f (aρ + (1 a)ρ + )] sgn(ρ + ρ ) 0 inégalités d Oleinik
16 Solutions entropiques et mouvement collectif d après le diagramme fondamental ρ f (ρ) est concave son graphe est au-dessus de toutes ses cordes les embouteillages ρ > ρ + ne sont pas admissibles dans le cadre des solutions entropiques! différences d un point de vue physique entre un gaz et une file de voiture
17 Passage micro/macro FTL LWR modèle microscopique FTL : x X N = {x Ω N, x i x i+1 δn } { x 1 = v max x i+1 = v(x i x i+1 ) modèle continu LWR : ρ R m = {ρ L 1 (Ω; [0, 1]) : t ρ + x (ρu(ρ)) = 0 opérateurs micro/macro δ N = m/n, u(ρ) = v(δ N /ρ) Ω ρ(x) dx = m} E N : macro micro C N : micro macro E N : ρ { x 1 = max (supp ρ) x i+1 = max {x : x i ρ(z) dz} x C N : x N 1 i=1 δ N x i x i+1 1 [xi +1,x i ]
18 Preuve formelle (Colombo, Rossi, 2014) hypothèses sur u lipschitz, u (ρ) 0, u(0) = v max > 0, u(1) = 0 soient ρ 0 R m BV, x 0 = E N ρ 0 soit t x(t) la sol. du système FTL pour la donnée init. x 0 on définit ρn (t) = C N x(t) s il existe ρ L ([0, T ], R m) tel que lim ρ N(t, x) = ρ(t, x) N pp alors ρ est une sol. faible de LWR pour la donnée init. ρ 0 preuve rigoureuse : Di Francesco, Rosini (2015) convergence vers l unique sol. entropique de LWR ingrédients : topologie de Wasserstein, condition d Oleinik discrète
19 Perturbation du modèle discret FTL situation réelle accident sur une voie = bouchon persistant sur la voie d en face ces embouteillages ne peuvent pas être décrits par les modèles précédents! modélisation au niveau microscopique comportement perturbé des conducteurs : on "oublie" la voiture précédente introduction d une zone de gel de la vitesse Taille zone de gel = 3 Taille des agents = 3 δ
20 Simulation numérique avec zone de gel
21 Simulation numérique avec zone de gel, évolution en temps
22 Limite grand nombre de voitures δ N = 1 N, x δn i = 1, x i x i+1 ρ N = i δ N x i x i+1 1 [xi +1,x i [ simulation N = 100 on s attend formellement à ce que ρ N converge vers une sol. de t ρ + x (ρ(1 ρ)) = 0
23 Perturbation à l échelle macroscopique du schéma numérique prise en compte dans le schéma d une trace résiduelle de la zone de gel on garde le principe de la discrétisation amont (transport de masse) / aval (information congestion) sauf sur une cellule où le flux est entièrement discrétisé amont pas d anticipation de la congestion sur cette cellule
24 Illustrations numériques : comparaison micro/macro
25
26 Conclusion et perspectives systèmes avec retard bouchons "métastables" étude du passage à la limite micro/macro hors du cadre des sol. entropiques
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