Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES

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1 Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES I Compléments sur les suites ) Comparaison de suites réelles a) Suite négligeable devant une suite Définition : On dit que la suite ( ) est négligeable devant la suite ( ) au voisinage de + (ou plus simplement négligeable devant la suite ( )) s il existe une suite ( ) convergeant vers 0 telle que = (à partir d un certain rang). On note : = () ou plus simplement = ( ) et on lit est un "petit o" de. Exemple : = ( ) en effet,= et lim =0 Théorème :(caractérisation pratique de la négligeabilité) Si 0 (à partir d un certain rang), alors : = ( ) lim Remarque : =0 = () signiie que converge vers 0. Propriété : (Transitivité) Si = ( ) et = ( ) alors = ( ) Propriété : (Combinaison linéaire) Si = ( ) et = ( ) alors, pour tous réels et, + = ( ) Théorème : (négligeabilités usuelles) Pour tout réel >0 : ln = ( )et = ( ) Exemple : On déduit de la propriété et du théorème que : ln = ( ) ln = ( ln ) ce qui se traduit par lim =0 3 = ce qui se traduit par lim =0 ou encore lim =0

2 b) Suites équivalentes Définition : On dit que les suites et sont équivalentes au voisinage de + (ou plus simplement équivalentes) s il existe une suite convergeant vers telle que = (à partir d un certain rang). On note : ~ ou plus simplement ~ et on lit est équivalent à. Théorème 3 : (caractérisation pratique de l équivalence) ~ = + Si de plus 0 (à partir d un certain rang), alors : ~ lim Exemple 3 : = ln = ( ) donc ln+ ~ Ou encore ln+ ~ ln+ car lim = lim = peut se traduire par + ~ ln += Propriété 3 : (Opérations sur les équivalents) Soient trois suites, et ( ) Si ~ alors ~ Si ~ et si 0 et 0 (à partir d un certain rang) alors ~ 3 Si ~ alors, pour tout entier naturel, ~ Remarque : Il n existe aucune règle d addition et de composition d équivalents. Théorème 4 : (équivalents usuels) Pour toute suite ( ) telle que lim =0,on a les équivalents suivants ln(+ ) ~ et ~ ~ + si 0) Exemple 4 : Étudier les limites des suites à l aide d équivalents : =ln+ et =

3 Théorème 5 : Soient deux suites et ( ). Si ~ et si ( ) converge vers un réel l alors ( ) converge aussi vers l. Si ( ) converge vers un réel l alors ~ l. Remarque 3 : On n écrit jamais ~ 0!!! ) Suites récurrentes de la forme = Propriété 4 : Soit une partie de R, une application de vers et. Il existe une unique suite définie par = et =. Remarque 4 : Si l on considère une application de vers R et non vers, la donnée et la relation de récurrence ne suffisent pas à définir une suite : il faut que, c est-à-dire que soit stable par l application. Exemple 5 : ) Considérons la fonction :. On ne peut définir une suite en posant = et =. En effet, =,=, = et n est pas défini ) Considérons la fonction : définie sur ;. Pour définir une suite, il faut au moins deux conditions : mais aussi. Cette deuxième condition se traduit par 0;. On vérifie que 0; est stable par : donc, pour toute valeur 0;, la suite = est bien définie. Définition 3 : Soit une partie de R et une application définie sur. On appelle point fixe de tout réel tel que =. Théorème 6 : Théorème du point fixe Soit un intervalle de R et une application définie sur à valeurs dans. Soit définie par et =, pour tout N. Si converge vers un re el l et si est continue en l alors l est un point ixe de. Autrement dit l=l. Remarque 5 : Ce théorème permet de déterminer la limite d une suite récurrente dans le cas où l on sait déjà qu elle converge. Il ne permet pas de justifier la convergence d une suite. Exemple 6 : Reprenons la suite définie par 0; et =, pour tout N. On a vu que 0; est stable par :, on démontre facilement par récurrence que, pour tout N, 0;. Si la suite est convergente, alors sa limite l appartient à 0;. Comme est continue sur 0;, alors est continue en l et donc, d après la théorème 6, l est un point fixe de. = = = 0 + =0 0 = + 5 ou = 5 = + 5 Conclusion : la suite est convergente,alors sa limite est

4 II Compléments sur les séries ) Rappels de séries usuelles a) Série de terme général Pour tout N, = = La série de terme général se traduit donc par la suite Théorème 7 : b) Séries géométriques Les séries, et convergent si et seulement si <. Dans le cas de convergence, les sommes de ces séries sont : = = se rie ge ome trique de rive e d ordre = se rie ge ome trique de rive e d ordre c) Série exponentielle Théorème 8 : R,! converge et! = ) Séries de Riemann Définition 4 : On appelle é toute série de terme général Théorème 9 : La série de Riemann converge si,et seulement si, >. Exemple 7 : où est une constante réelle. Les séries et convergent => pour la première et =3 > pour la seconde. La série diverge car = elle est appelée série harmonique. 4

5 3) Critère de comparaison de séries à termes positifs a) Cas où Théorème 0 : Soient et deux suites telles que, à partir d un certain rang, 0. Si la série converge, alors la série converge. Si la série diverge, alors la série diverge. Exemple 8 : Étudier la nature des séries ln et ln b) Cas où = Théorème : Soient et deux suites dont les termes sont positifs (au moins à partir d un certain rang). Si = et si la série converge, alors la série converge. Si = et si la série diverge, alors la série diverge. Remarque 6 : Ce critère de comparaison s utilise en général avec les séries de Riemann : Si l on démontre que lim =0,alors = Si de plus,>,alors converge et donc la série converge aussi. Exemple 9 : Étudier la nature des séries ln()+ et c) Cas où ~ Théorème : Soient et deux suites dont les termes sont positifs (au moins à partir d un certain rang). Si ~ alors les séries et sont de même nature si l une converge, l autre converge et si l une diverge, l autre aussi). Exemple 0 : Étudier la nature des séries ++ln et

6 4) Exemples de séries à termes de signe quelconque Définition 5 : On dit que la série est lorsque la série converge. Théorème 3 : Toute série absolument convergente est convergente. Exemple : La série est absolument convergente en effet = est le terme général d une série convergente. Remarque 7 : Il existe des séries qui ne sont pas absolument convergentes mais qui convergent malgré tout : on les appelle des séries semi-convergentes. Exemple : La série n est pas absolument convergente mais converge étude en exercice). Elle est donc semi convergente. 6