Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances

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1 Suites arithmétiques et suites géométriques Bila et croissaces Exemples cocrets d applicatio des SG ou des SA (Modélisatios d évolutio) I Bila sur les suites arithmétiques et géométriques ) Tableau de formules Défiitio Relatio etre deux termes cosécutifs Calcul d u terme Suite arithmétique : c est ue suite de ombres u, u, u, u où chacu (sauf le premier) s obtiet e ajoutat au précédet u ombre fixe r appelé la raiso Suite géométrique : c est ue suite de ombres u, u, u, u où chacu (sauf le premier) s obtiet e multipliat le précédet par u ombre fixe q appelé la raiso u u r même u u q même u u r même u u r u u q même u u q Pour ue suite arithmétique, si lorsque l o calcule la différece etre deux termes cosécutifs et que pour chaque différece le résultat est le même suite arithmétique Pour ue suite géométrique, si lorsque l o calcule le quotiet de deux termes cosécutifs et que pour chaque quotiet le résultat est le même suite géométrique ) Utilisatios cocrètes des suites arithmétiques et géométriques Les suites arithmétiques et géométriques servet à modéliser de ombreuses situatios : itérêts bacaires, phéomèes d évolutio, etc 3 ) Origie des oms arithmétique et géométrique avec les moyees Das ue suite arithmétique, chaque terme (sauf le premier) est la moyee arithmétique de ceux qui l ecadret Das ue suite géométrique, chaque terme (sauf le premier) est la moyee géométrique de ceux qui l ecadret 4 ) Ue questio de otatio Les parethèses sot obligatoires pour oter ue suite O parle de la suite u Exemples d utilisatio : «La suite u est arithmétique de raiso» «La suite u est géométrique de raiso» II Ses de variatio des suites arithmétiques et géométriques ) Cas d ue suite arithmétique Le ses de variatio de la suite déped du sige de la raiso Règle Ue suite arithmétique est croissate lorsque sa raiso est positive ou ulle Ue suite arithmétique est décroissate lorsque sa raiso est égative ou ulle ) Cas d ue suite géométrique O cosidère ue suite géométrique u telle que u et q (il e sera toujours aisi pour ous cette aée) Règle Si q, alors la suite est croissate Si q, alors la suite est décroissate Les suites arithmétiques servet à modéliser des situatios où l o étudie ue gradeur dot la variatio absolue est costate (cas des itérêts simples) Les suites géométriques servet à modéliser des situatios où l o étudie ue gradeur dot la variatio relative est costate (cas des itérêts composées) : la gradeur dimiue ou augmete tout le temps du même pourcetage

2 III Croissace - décroissace ) Croissace décroissace liéaire Lorsque l évolutio d ue gradeur peut être modélisée par ue suite arithmétique, o parle de croissace ou de décroissace liéaire (suivat le sige de la raiso) La variatio est dite «liéaire» car tous les poits qui représetet la suite sot aligés sur ue même droite (qui e passe pas forcémet par l origie du repère) ) Croissace décroissace expoetielle Lorsque l évolutio d ue gradeur peut être modélisée par ue suite géométrique, o parle de croissace ou de décroissace expoetielle La variatio est dite «expoetielle» car le terme gééral s exprime à l aide d u exposat ( u u q ) Il s agit d évolutios rapides 3 ) Commetaire Ces deux types de croissace sot très importats Ils servet à modéliser de ombreux phéomèes, essetiellemet des suites et des séries chroologiques (voir mauel pages et ) Das de ombreux domaies (géographie, écoomie, statistiques, biologie etc), o cherche à modéliser de ombreux phéomèes par des suites (otio de «modélisatio», de «modèle mathématique») Ils existet d autres types de croissaces ou de décroissaces que ous étudieros pas cette aée IV Itérêts bacaires : itérêts composés, itérêts simples ) Défiitios U capital produit des itérêts simples si les itérêts sot uiquemet calculés sur ce capital U capital produit des itérêts composés si à la fi de chaque période, les itérêts géérés sot ajoutés au capital pour produire de ouveaux itérêts O dit aussi que les itérêts sot capitalisés ) Exemples Exemple Placemet d'u capital de à u taux auel de % d'itérêts simples Chaque aée les itérêts serot de : Les itérêts sot fixes au cours du temps La ère aée la valeur acquise par le capital est égale à La e aée la valeur acquise par le capital est égale à Etc Exemple Placemet d'u capital de à u taux auel de % d'itérêts composés Les itérêts serot de : la ère aée Puis :, la e Etc La ère aée la valeur acquise par le capital est égale à La e aée la valeur acquise par le capital est égale à,, Etc 3 ) Lie avec les suites L évolutio d u capital placé à itérêt simple peut être modélisé par ue suite arithmétique croissate Das ce cas, la valeur acquise par le capital suit ue croissace liéaire L évolutio d u capital placé à itérêt composé peut être modélisé par ue suite géométrique croissate (de t raiso où t désige le taux de placemet) Das ce cas, la valeur acquise par le capital suit ue croissace expoetielle 4 ) Vocabulaire Les placemets d'ue durée iférieure à u a ot gééralemet des itérêts simples Le taux auel est désigé comme le taux omial ou le taux facial Les itérêts des placemets de plus d'u a sot des itérêts composés Le taux auel est appelé taux actuariel ou taux équivalet V Pour aller plus loi O s itéresse toujours à des phéomèes chroologiques ) Croissaces décroissaces liéaires Modèle discret Situatio modélisée par ue suite arithmétique * Exemple : la taille d ue plate est doée e foctio du temps par f (t) = Modèle cotiu Situatio modélisée par ue foctio affie*

3 ) Croissaces décroissaces expoetielles Modèle discret Modèle cotiu Situatio modélisée par ue suite géométrique * * Pas pour ous cette aée (utilise ue foctio qui est pas coue e ère S)

4 Exercices bilas sur les suites arithmétiques et géométriques À la aissace de leur fils e, des parets bloquet ue somme d arget afi de pouvoir fiacer d évetuelles études à sa majorité La baque B leur propose u placemet à itérêts simples à % par a La baque C leur propose u placemet à itérêts composés à 4, % par a Ils décidet de simuler u placemet de das chacue des deux baques O ote B la somme dispoible l aée suite au placemet das la baque B et C la somme dispoible l aée suite au placemet das la baque C ) a) Exprimer B e foctio de B Quelle est la ature de la suite B? Préciser sa raiso b) Exprimer C e foctio de C Quelle est la ature de la suite C? Préciser sa raiso ) Recopier et compléter le tableau ci-dessous Arrodir les résultats au cetième das la coloe de la baque C (à partir du momet où c est écessaire) Aée Baque B Baque C ) a) Calculer pour chaque placemet le taux d évolutio exprimé e pourcetage, arrodi au cetième, du capital à la fi des dix-huit aées b) Quel est le placemet le plus avatageux? c) À la suite à ce costat, les parets déposet sur le placemet le plus avatageux, au lieu de Quelle sera la somme dispoible à la majorité de leur fils (c est-à-dire pour ses as)? Durat l aée 4, le ombre de familles qui ot loué u emplacemet au «campig de la plage» est Le directeur prévoit pour l aveir ue augmetatio auelle de fréquetatio de % O désige par : u le ombre de familles reçues par le campig e 4 ( u ), u le ombre de familles reçues par le campig e, u le ombre de familles reçues par le campig e 6, u le ombre de familles reçues par le campig e 4 ) Calculer u et u Arrodir à l uité les deux résultats ) Exprimer u e foctio de u Quelle est la ature de la suite u? Préciser sa raiso 3 ) E supposat que la tedace se poursuive, combie de familles le directeur peut-il espérer pour l aée? 3 U «petit épargat» place le er août À cette époque, le taux de placemet à itérêts composés est de 3 % l a ) a) Par quel ombre doit-o multiplier afi d obteir la somme que cet épargat aurait pu récupérer u a après? b) Les sommes récupérables chaque aée, les er août, formet ue suite de ombres Est-elle géométrique ou arithmétique? Quelle est sa raiso? c) Cet épargat espérait récupérer au août la somme aisi placée avec ses itérêts Quelle somme A pouvait-il espérer récupérer à cette date (arrodir le résultat à l uité)? Quel aurait été alors le motat des itérêts e euro? ) Mais le er août 3, le gouveremet a décidé de baisser ce taux d itérêts à, % a) Calculer la somme que cet épargat pourra récupérer le er août 4 b) E supposat que ce taux d itérêts composés de, % reste ichagé jusqu au er août, quelle somme B pourra-t-il récupérer aisi à cette date? 3 ) a) Quelle sera au er août la différece A B e euros? b) Que représete e pourcetage cette différece par rapport au motat de l itérêt espéré calculé à la questio ) c)? 4 Mosieur Guillaume, artisa meuisier, désire acquérir la machie e Au er javier, il a placé la somme de 6 euros, à itérêts composés au taux auel de 6, % O ote u le capital, exprimé e euros, dispoible au er javier de l aée ) Calculer u, u et u 3 (arrodir à l uité près) ) Démotrer qu il e disposera pas au er javier de la somme écessaire à l acquisitio de la machie si le prix de celle-ci est estimé à euros Quelle somme lui maquera-t-il? (arrodir à euros près) 3 ) Détermier la somme, exprimée e euros, qu il aurait dû placer au er javier pour disposer du capital écessaire à l achat de la machie au er javier (arrodir la somme à euros près) Le er javier, Reé a placé euros à itérêts composés, au taux auel de 3 % O ote C le capital e euros de Reé au er javier de l'aée ) Exprimer C e foctio de C E déduire la ature de la suite C Exprimer C e foctio de ) Au er javier, Reé aura besoi d'ue somme de euros So capital sera-t-il suffisat pour subveir à cette dépese? Questio facultative : À quel taux miimal aurait-il dû placer so capital le er javier pour disposer d'au mois euros au er javier? Arrodir le résultat au dixième

5 6 Le but de cet exercice est de comparer les tarifs mesuels de locatio de deux appartemets de même type, ommés X et Y, das deux villes de Frace Partie A Étude du tarif de locatio de l'appartemet X O ote u le tarif mesuel de locatio, e euros, de l appartemet X e 99 Aisi u est le tarif mesuel de locatio de l appartemet X e 99 (attetio, il s agit du tarif de locatio durat tous les mois de l aée 99) O défiit aisi la suite u des tarifs mesuels de locatio, e euros, de l'appartemet X E 99, le tarif de locatio est de 43 euros et chaque aée il est augmeté de ) Exprimer u e foctio de u E déduire la ature de la suite u et préciser sa raiso ) Exprimer u e foctio de 3 ) Calculer le tarif mesuel de locatio, e euros, de l appartemet X e 6 ) E quelle aée le tarif mesuel de locatio de l appartemet X deviet-il plus avatageux que celui de l appartemet Y? La période de désitégratio d u élémet radioactif est le temps au bout duquel la masse d u échatillo de cet élémet est divisé par ) U échatillo cotiet g de radium Quelle sera la masse de radium das as sachat que la période de désitégratio du radium est de as? ) La période de désitégratio de l iode 3 est de jours Quelle était, il y a jours, la masse de l iode 3 das u échatillo qui e referme aujourd hui gramme? Das les parties B et C, les résultats serot arrodis au dixième Partie B Étude du tarif de locatio de l'appartemet Y O ote v le tarif mesuel de locatio, e euros, de l appartemet Y e 99 E 99, le tarif mesuel de locatio est de 4 euros et chaque aée il est augmeté de, % ) Exprimer v e foctio de v E déduire la ature de la suite v et préciser sa raiso ) Exprimer v e foctio de 3 ) Calculer le tarif mesuel de locatio, e euros, de l appartemet Y e 6 Partie C Comparaiso des deux tarifs de locatio des appartemets X et Y ) Recopier et compléter le tableau ci-dessous u v

6 Corrigé ) Les parethèses sot obligatoires pour oter ue suite B B soit B B La suite B est ue suite arithmétique de raiso r 3 ) a) VA VD 9 Baque B : 9 % V D VA VD 4 Baque C :,4 % V D b) Le placemet le plus avatageux est la baque C 4, C C soit C, 4 C La suite C est ue suite géométrique de raiso q =,4 c) ) Pour remplir la coloe de la baque B, ce est pas très difficile, o ajoute toujours ( = itérêt auel) au résultat précédet Baque B Baque C Pour remplir la coloe de la baque C, o multiplie chaque fois le résultat précédet par,4 O arrodit les résultats au cetième à partir du momet où c est utile comme le demade l éocé Aée Baque B Baque C Modélisatio discrète 4 Au bout de as,4 (valeur arrodie à l uité) (formule B B r ) (formule C C q ) Modélisatio par ue suite géométrique (car % d augmetatio auelle, cela sigifie que chaque fois le ombre est multiplié par,) % d augmetatio auelle cela sigifie que chaque aée, le ombre de persoe augmete de % par rapport à l aée d avat et o par rapport à l aée de base (4) Il faut doc reteir ce type de formulatio d éocé : «augmetatio auelle %» sigifie «augmetatio chaque aée de % par rapport à l aée d avat» Le coefficiet multiplicateur correspodat à ue augmetatio de % est égal à, ) u, ; u,, ) La suite u est ue suite géométrique de premier terme u et de raiso, 3 ) u u q u, u 3,3 (valeur arrodie)

7 Faire ue phrase de coclusio E, le gérat du campig peut espérer eviro 3 familles 3 3 ) a) O doit multiplier par,3 b) Le placemet est à itérêts composés D après le cours, la suite est géométrique de raiso,3 c) u,3 6 Il peut espérer récupérer Le motat des itérêts est de 6 ) a) De à 3, il récupère eviro 4 De 3 à 4, 4,, b) 4 3 ) a) A B b) 3 6,4 6 % 4 ) Calculos u u 6 u 6,6 u,6 3,9 u3 3,9, ) u4 9463,6 Il maquera 9 3 ) Soit a la somme exprimée e euros qu il faut placer le er javier pour pouvoir acheter la machie e 4 a,6 doc a d où a 3 (valeur arrodie à la dizaie) 4,6 ) Exprimos C e foctio de C 3 Le coefficiet multiplicateur associé à ue augmetatio de 3 % est égal à,3 C,3 C La suite C est ue suite géométrique de premier terme C et de raiso,3 Exprimos C e foctio de C C q C,3 ) Calculos le capital dispoible au er javier c est-à-dire C C,3 C 6334 (arrodi à l uité) Le capital dispoible au er javier sera d eviro 6334 Il e disposera doc pas des dot il a besoi Questio facultative :, 3,3 Reé aurait dû placer so capital à u taux miimal de % pour disposer d au mois euros le er javier 6 Tarifs mesuels Partie A Étude du tarif de locatio de l appartemet X ) tarif de l aée tarif de l aée u u O e déduit que la suite u est arithmétique de raiso ) Exprimos u e foctio de u u r u 43 3 ) Calculos le tarif mesuel de locatio, e euros, de l appartemet X e 6 O calcule u 6 u

8 Partie B Étude du tarif de locatio de l appartemet Y, ) Le coefficiet multiplicateur associé à ue augmetatio de, % est égal à, Chaque aée le tarif mesuel de locatio est augmeté de, % doc est multiplié par, O peut doc écrire v, v O e déduit que la suite v est ue suite géométrique de premier terme v 4 et de raiso q, ) Exprimos v e foctio de v v q v 4, 3 ) Calculos le tarif mesuel de locatio, e euros, de l'appartemet Y e 6 v 6 6 4, v6 63 (valeur arrodie à l uité) E 6, le tarif mesuel de locatio de l appartemet Y s élèvera à 63 Partie C Comparaiso des deux tarifs de locatio des appartemets X et Y ) u v , 43 4, , , ,4 33, 4 36,, ,6 4, 93 96, 6 6 6,6 Doc le tarif mesuel de locatio de l appartemet X deviedra plus avatageux que celui de l appartemet Y à partir de l aée ) Il s agit d ue suite géométrique de raiso puisque la masse est divisée par tous les as Das as le radium se sera désitégré fois : u = g u, g u, g u3, 6 g u4,3 g u,6 g u6, g u, 396 g Coclusio : Das as l échatillo de radium pèsera,396 g ) Il s agit d ue suite géométrique de raiso puisque la masse est divisée par tous les jours désitégratios m g ) O cherche le plus petit etier aturel tel que u v Das le tableau de valeurs, o trouve