Intégration. Hors Sujet. Chapitre 10

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1 Chpitre Intégrtion Hors Sujet Document rélisé à l ide de L A TEX Auteur : D. Zncnro Site : wick-mth.fr.nf Lcée : Jen Durnd (Cstelnudr) Titre : «Inglourious Bsterds» Auteur : Quentin Trntino Présenttion succinte de l uteur : Inglourious Bsterds (Le Commndo des âtrds u Quéec) est un film méricin uchronique rélisé pr Quentin Trntino, sorti le 9 oût 9 en Frnce. Il été présenté en compétition officielle u Festivl de Cnnes 9. Dns l Frnce occupée, Shosnn Drefus (Mélnie Lurent) ssiste à l eécution de s fmille juive pr le colonel de l SS Hns Lnd (Christoph Wltz). Shosnn prvient à s échpper et se retrouve à Pris où elle se construit une nouvelle identité en tnt que gérnte d un ciném. Ailleurs en Europe, le lieutennt Aldo Rine (Brd Pitt) forme un groupe de soldts juifs spécilisés dns des ctions cilées et risquées. Connus sous le nom de «The Bsterds», Rine et ses hommes font équipe vec l ctrice llemnde et gent doule Bridget von Hmmersmrk (Dine Kruger) pour tenter d ssssiner les dirigents du Troisième Reich. Ils croisent lors l route de Shosnn qui mène s propre vendett. «Les films sur l holocuste montrent toujours les juifs en tnt que victimes... je veu montrer quelque chose de différent» TS 5 février 4 zncnro.mth@gmil.com

2 Tle des mtières I. Introduction - L nottion f ()d II. Définition 3 II.. Unité d ire et domine délimité pr une coure II.. Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment [;] II.3. Premiers eemples II.3.. Cs d une fonction constnte positive II.3.. Cs d une fonction ffine II.3.c. Cs d une fonction en esclier II.3.d. Qudrture de l prole II.4. Vleur Moenne II.5. Etension u fonctions de signe quelconque III. Propriétés de l intégrle d une fonction f sur le segment [;]. III.. Propriétés lgériques III.. Intégrles et inéglités IV.Primitive d une fonction et théorème fondmentl du clcul intégrl 4 IV.. De l ire sur une coure à l recherche de primitive IV.. Notion de primitive IV.3. Ensemle des primitives d une fonction IV.4. Primitive vérifint une «condition initile» IV.5. Tleu de primitives IV.6. Théorème fondmentl du clcul intégrl V. Intégrtion pr prties 4 VI.Clcul d ires et de volumes 4 VI.. Aire entre deu coures VI.. Volumes VII.Compléments 8

3 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion L essentiel : Connitre le sens de vrition, l dérivée, les limites et l représenttion grphique de l fonction ln Déterminer des primitives des fonctions usuelles pr lecture inverse du tleu des dérivées. En prticulier connître les primitives de u e u, u u et u u Clculer une intégrle. Utiliser le clcul intégrl pour clculer une ire. Encdrer une intégrle. Pour une fonction monotone positive, mettre en oeuvre un lgorithme pour déterminer un encdrement d une intégrle. «Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous» Thurston Moore (Sonic Youth) D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

4 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Leçon Intégrtion Résumé Le clcul intégrle est l outil permettnt de déterminer l ire de forme géométrique nouvelle. On verr que l ire sous l coure d une fonction est lié à l notion de dérivée, il s git en quelque sorte du prolème inverse puisqu on est rmené à l recherche de primitive pour clculer cette ire. Le rpport vec l dérivée n est ps des plus étonnnts, puisqu il mesure le degré de coure de l coure en tout point, informtion qui prit nécessire pour clculer l ire sous cette coure. Dns tout le chpitre on considère un pln P muni dun repère orthogonl (O; i, j ). I. Introduction - L nottion f ()d = f() Domine I But : Clculer l ire du domine On cherche donc un moen pour déterminer l ire du domine D définit pr : D = {M(; ) P tel que et f ()} L idée de Riemnn est lors l suivnte, pprochée cette ire en clculnt l ire de rectngle comme-suit : D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

5 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion = f() f ξ i i ξi i Somme de Riemnn Affinons encore un peu plus l démrche de Riemnn, en considérnt en divisnt l intervlle [;] en 3 sudivisions identiques : = f() Somme de Riemnn (sudivision à ps constnt) Avec une telle sudivision, l somme des ires de chcun des rectngles vert est «visilement»très proche de l ire du domine D que l on note On lors : f ()d (on verr pourquoi on dopte une telle nottion peu près). f ()d 3 i= 3 f (ζ i ) En effet l longueur d une sudivision est, et elle correspond à l lrgeur de chcun des rectngles, l 3 longueur étnt donné pr l imge du réel f (ζ i ). Riemnn s perçoit que si l on divise l intervlle [; ] en n sudivision vec n très grnd lors on lors une D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

6 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion vleur pprochée de l ire du domine D plus précise, insi on est mené à écrire l églité suivnte : f ()d = lim n n + i= n f (ζ i ) Remrque : On peut mintennt comprendre l nottion choisit pr les mthémticiens : lorsque n tend vers + chque sudivision sur l e des scisses est infiniment petite est vut n, pour le smoliser on note d. lorsque n tend vers + on considère donc une somme infinie, que l on note Comme chque sudivision est infiniment petite, on considère f (ζ i ) où ζ i prend toutes les vleurs entre et. Ainsi on écrit logiquement : lim n n + i= n f (ζ i )= f ()d. II. II.. Définition Unité d ire et domine délimité pr une coure Définition : Dns le pln P muni d un repère orthogonl (O; i, j ), on considère les points I, J et K définis pr : OI= i OJ= j L ire du rectngle OIKJ représente une unité d ire, on note : et A (OIKJ)= u. OK= i + j J K j u.. O i I Remrques : Lorsque le repère est orthonorml le rectngle OIKJ est un crré. D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 3/ 9

7 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Si pr eemple i = cm et j = 3 cm lors une unité d ire correspond à 6 cm i.e u.=6 cm II.. Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment [;] Définition : On considère une fonction f continue et positive sur le segment [;]. On ppelle intégrle de f de à l ire, eprimé en u., du domine D suivnt : D = {M(; ) P tel que et f ()} D est le domine délimité pr l coure de f, l e des scisses et les deu droites verticles d éqution = et = On note A (D)= f ()d Les réels et s ppellent les ornes de l intégrle.. Un segment est un intervlle fermé orné = f() ( )= f()d Intégrle de f, fonction continue et positive, sur le segment[; ] I Remrques : L vrile figurnt dns l intégrle est «muette»; on urit pu tout ussi ien l noter pr n importe quelle utre lettre i.e f ()d = f (t )d t L ire de D est de mesure finie. En effet, f est continue sur le segment [;] donc mjorée. Il eiste donc un rectngle contennt D D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 4/ 9

8 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion II.3. II.3.. Premiers eemples Cs d une fonction constnte positive On considère une fonction f constnte égle à k. Si le repère est orthonorml vec i = j = cm, lors : = f() f()= k= f()d= k( ) u. Intégrle de f, constnte et positive, sur le segment[; ] I On simplement ppliqué l formule donnnt l ire d un rectngle : l L. Si k =, on : Si k =, on : f ()d = u. f ()d = = longueur du segment [;] II.3.. Cs d une fonction ffine On considère une fonction ffine f positive sur le segment [; ] et définie pr f () = m + p = m+ p E D A f()d= (ABCD)+ (DCE) u. I B Intégrle de f, ffine et positive, sur le segment [; ] C D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 5/ 9

9 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion On décompose l ire du trpèze ABED comme l somme des ires du rectngle ABCD et CDE, on lors : f ()+ f () f ()d =A (ABCD)+A (CDE)= f () ( )+ u. Appliction : 8 Clculons + 3 d. On f ()= et f (8)=5,5, pr conséquent : d = 6+ +5,5 = = = 63 4 = 5,75 u. Si de plus, le repère est orthogonl vec i = cm et j = lors u.= cm et donc : d = 5,75 = 3,5 cm II.3.c. Cs d une fonction en esclier Il s git des fonctions pour lesquelles il eiste des réels,,..., n vérifint : = < < < n = tels que f soit constnte sur chcun des intervlles ouverts ] i ; i+ [ ( i n ). L ensemle { ; ;... ; n ) est ppelé une sudivision dptée à f. λ n λ λ n λ n n En notnt λ i l vleur constnte de f sur ] i ; i+ [, on lors : Eercice. Soit f l fonction définie sur [ ;] pr : i=n f ()d = ( i+ i )λ i i= f ()= D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 6/ 9

10 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Vérifier que l coure C f représentnt f est le demi-cercle de centre O et de ron qui est situé dns le demi-pln des ordonnées positives. En déduire que d = π 4 Solutions :.. L ire d un cercle de ron vlnt π, celle du qurt de cercle vut elle π 4 d où d = π 4 II.3.d. Qudrture de l prole On se propose de déterminer d. Découpons le segment [;] en n intervlle égu et considérons les deu suites de rectngles comme dns le schém suivnt (une qui minore l ire sous l coure et une qui mjore l ire sous l coure) : Clcul de d = D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Qudrture de l prole Lcée Jen Durnd 7/ 9

11 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion lors : Notons s n l ire des rectngles minornt s n d et S n l ire des rectngles mjornt l ire d S n. Démontrer que pour tout n N on : s n = ( n (n ) ) = n n 3. Démontrer que pour tout n N on : S n = s n + n = n 3 n 3. Démontrer, pr récurrence, que : n k n(n+ )(n+ ) = 6 k= 4. En déduire l limite de l suite (s n ) puis celle de (S n ). 5. En déduire que d = 3 k k= k k= d. On II.4. Vleur Moenne Définition 3 : Soit f une fonction continue et positive sur le segment [;]. L vleur moenne de f sur [;] est le réel µ : µ= f ()d M f(t) dt = f() m Vleur moenne d une fonction intégrle. Comme µd = µ( ) (en effet il s git de l ire du rectngle de huteur µ et de lrgeur. Compte tenu de l définition de µ on lors µd = µ( )= f ()d ( )= f ()d Ainsi l ire sous l coure de f entre [;] est égle à l ire du rectngle dont les dimensions sont et µ (vleur moenne de f ). D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 8/ 9

12 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion D. Zncnro zncnro. gmil. com Lcée Jen Durnd 9/ 9

13 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion II.5. Etension u fonctions de signe quelconque Définition 4 : On considère une fonction f continue sur le segment [;]. On ppelle intégrle de f de à le nomre insi défini :. Si f est négtive sur [; ] : f ()d = A (D)= f () d Intégrle de f, fonction continue et négtive, sur le segment[; ] f()d= ( ) = f(). Si f est de signe quelconque sur [;], on définit deu nouvelles fonctions : f + ()= { f () si sinon Ainsi définit f + est positive et f est négtive et et f ()= { si f () sinon f ()d = f + ()d + f ()d En d utres termes f ()d se clcule en comptnt positivement l ire des domines où f négtivement l ire des domines où f est négtive. est postive et = f () f ()d = A (D + ) A (D ) D + D D + I D Intégrle d une fonction f de signe quelconque sur le segment [ ;] D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

14 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Eemple : Clculons : 4 3 3, pr conséquent : 3 d 4 3 d = 3 3 d d = 3 3 = 4 Remrques : L définition de l vleur moenne reste inchngée. L intégrle d une fonction continue est donc l ire lgérique. L ojectif de l suite de l leçon est d étlir un moen simple de clculer cette intégrle, on verr que l on peut effectuer ce clcul à l ide des primitives. III. Propriétés de l intégrle d une fonction f sur le segment [;]. D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

15 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion III.. Propriétés lgériques Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Alors : Pour tout I on f ()d = Pour tous, et c de I tels que < c < : c f ()d + f ()d = f ()d c Il s git de l reltion de Chsles Preuve. L ire d un domine de lrgeur nulle vut, d où le résultt.. En dditionnnt les deu ires lgériques représentés pr f ()d, comme dns le représenttion ci-dessous c f ()d et pr c f ()d, on otient = f() O c Remrque : Les deu reltions précédentes nous utorisent à étendre encore l définition de l intégrle à des ornes quelconques ; en effet pour rester vlle, de fçon formelle, l reltion de Chsles, nous devons voir : f ()d + f ()d = f ()d = f ()d = f ()d D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

16 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Définition 5 : Soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt et. Si on pose : f ()d = f ()d Propriété : Admis. Reltion de Chsles (ornes quelconques) Soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt, et c. Alors : c f ()d + f ()d = f ()d c. Linérité de l intégrle Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I contennt et. Alors, pour tous réels α et β : [αf ()+βg ()]d = α f ()+β g ()d Eemple : Déterminons : 5 + 3d D près l propriété précédente on : 5 + 3d = 5 d + 3d = d = = 9 6 u. On vu en déut de leçon que d = 3 D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 3/ 9

17 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion III.. Intégrles et inéglités Théorème : Soit f et g deu fonctions continues sur un segment [;] :. Positivité : Si f sur [;] lors. Ordre : Si f g sur [;] lors : f ()d. f ()d 3. Inéglité de l moenne Si, pour tout de [;] m f () M, lors : g ()d m( ) f ()d M( ) 4. Inéglité tringulire On : f ()d f () d Preuve. Comme f est positive sur le segment [;], l intégrle de f entre et représente une ire et est donc positive ou nulle.. On f g g f et grâce à l propriété précédente on donc : Comme l intégrle est linéire on : 3. En utilisnt. comme m f () on : g () f ()d g ()d f ()d f ()d De même comme f () M on : Ainsi g ()d md f ()d m( ) f ()d f ()d Md = M( ) m( ) f ()d M( ) 4. Rppel : M f () M f () M On pour tout [;] : f () f () f () et donc : f () d f ()d f () d f ()d f () d D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 4/ 9

18 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Eemple : Etudions l limite de l suite (u n ), vec u n = On pour tout [n;n+ ] : d où n+ n e d. e e n u n e n (n+ n)=e n On en déduit, pr le théorème des gendrmes que lim n + u n = puisque lim n + e n = IV. IV.. Primitive d une fonction et théorème fondmentl du clcul intégrl De l ire sur une coure à l recherche de primitive A () + h On considère une fonction continue, positive et croissnte sur l intervlle [; ], dns ce cs notons A () = f (t )d t. Ojectif : Montrons que A ()= f (). Pour cel considérons un réel h>, et intéressons nous à l ire sous l coure entre et + h, on : +h f (t )d t = A (+ h) A () Cette ire est comprise entre deu rectngles de lrgeur h et de huteur f () et f (+ h), d où : A (+ h) A () h f () A (+ h) A () hf (+ h) f () f (+ h) h On otient lors lorsque h tend vers : f () A () f () f ()=A () De plus A ()=. Ainsi on est mené à rechercher une fonction dont l dérivée est f () et qui s nnule en. D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 5/ 9

19 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Appliction : A ()= On otient A ()= 3 3 Pr conséquent : Ainsi 4 t d t. On recherche une fonction qui vérifie A ()= et A ()=. + k vec A ()= k = 3 3. t d t = = 64 8 = A ()= IV.. Notion de primitive Définition 6 : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I telle que F = f sur I Eemple : On considère l fonction f définie sur R pr : f ()= + cos Déterminons (mentlement) une primitive F de f sur R. L fonction F définie pr : F()= sin convient ; en effet pour tout R, l fonction F est dérivle (comme somme de fonctions qui le sont) et F ()= 3 3 Remrquons que l fonction G définie sur R pr + cos = f () G()= sin + convient ussi puisque l dérivée d une constnte est nulle. Pr conséquent si f dmet une primitive, lors elle en dmet une infinité. D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 6/ 9

20 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion IV.3. Ensemle des primitives d une fonction Théorème : Soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I. Soient F et G deu primitives d une fonction f sur un intervlle I. Alors F et G diffèrent d une constnte : F()=G()+c (c R) pour tout I Preuve Puisque F et G sont des primitives de f sur I lors F = G = f sur I. Pr conséquent F G = sur I (F G) = sur I Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constntes, donc on, sur I : F G=c où c est une constnte = f() = f()± kε k entier ε ε Ensemle des primitives d une fonction D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 7/ 9

21 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion IV.4. Primitive vérifint une «condition initile» Théorème 3 : Soit f une fonction définie sur un intervlle I dmettnt des primitives sur I. Soit et deu réels. Il eiste une unique primitive F de f sur I stisfisnt l condition initile F( )= Preuve Soit G une primitive de f sur I. Alors toutes les primitives de l fonction f sont de l forme I F()=G()+c où c R On lors F( )=G( )+c. En choisissnt pour c = G( ) on otient l eistence d une primitive F telle que F( )= et pour c G( ) on ur lors F( ), insi il eiste une unique primitive stisfisnt l condition F( )=. Eemple : Soit f l fonction définie sur R pr : f ()= + Trouvons l unique primitive F de f sur R telle que F() =. Notons que ( u ) = u u, utrement dit u est une primitive de u u. Ici u()= + et donc u ()=, en réécrivnt f ()=, on trouve que + F définie sur R pr F ()= + est une primitive de f sur R. Pr conséquent les primitives de f sur R sont de l forme F()= + +c où c est une constnte Comme F()= on + +c = +c = c = Ainsi l primitive cherchée est l fonction F définie sur R pr F()= + + Remrques : Trouver une primitive d une fonction f se fit à l ide des formules de l dérivée que l on utilise «dns l utre sens». Le tleu suivnt éclircir ce point. Une question nturelle se pose, une fonction dmet-elle toujours des primitives? L réponse est non en générl, en revnche si cette fonction est continue, eh ien c est l ojet de l suite du cours... D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 8/ 9

22 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion IV.5. Tleu de primitives Les résultts de ce tleu s étlissent en vérifint simplement que l on ien F ()= f () sur l intervlle considéré. Fonction f Primitive F, c R Intervlle I f ()=k (constnte) F()=k + c R f ()= F()= + c R f ()= + ( et réel) F()= + + c R f ()= n (n Z et n ) F()= n+ n+ R si n> et R sinon f ()= F()= + c R + f ()= F()= + c R f ()=cos F()=sin + c R f ()=sin F()= cos + c R f ()=+tn F()=tn R {k π ;k Z} f ()=e F()=e + c R f ()= F()=ln + c ];+ [ Eercice : Déterminer pour chcune des fonctions suivntes une primitive :. f définie sur R pr f ()= g définie sur R pr g ()=7(3 + 5) h définie sur ]; + [ pr h() = D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 9/ 9

23 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Opértion sur les primitives lorsque u et v sont des fonctions dérivles sur un intervlle I Fonction Une Primitive Conditions u + v u+ v ku (k constnte) ku u u n u n+ n+ u sur I si n u u u u> sur I v v v v sur I u e u e u u u ln( u ) si u sur I u (v u) v u Eemple : Trouvons une primitive F de l fonction f définie sur ];+ [ pr : f ()= ln L fonction f est de l forme u u. Donc F est de l forme u u : F()= ln + c Eercice : Soit F l fonction définie sur ];+ [ pr F()= 3. Clculer F (). Qu -t-on démontré? Eercice 3 : Clculer une primitive de f i dns les cs suivnts : +. f ()= ( + + ). f ()= ln 3. f 3 ()=tn 4. f 4 ()= ln D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

24 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion IV.6. Théorème fondmentl du clcul intégrl Nous llons voir mintennt le théorème fondmentl du clcul intégrl qui ur pour conséquent que toute fonction continue dmet des primitives, et qui nous permettr de clculer l intégrle d une fonction continue D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

25 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion sur un segment dès lors que l on connit l une de ses primitives. Théorème 4 : Soit f une fonction continue sur un intervlle I et I. L fonction F définie sur I pr : F()= f (t )d t est l unique primitive de f sur I s nnulnt en. Autrement dit : F( )= et F est une fonction dérivle sur I et pour tout réel I on F ()= f (). Preuve Le fit que F( ) soit nul est évident. Il s git de démontrer que F est dérivle sur I et que F = f sur I i.e on veut montrer que le tu d ccroissement de F qui vut F() F( ) dmet une limite lorsque tend vers et que cette limite est précisément f ( ). C est prti : F() F( ) f ( ) = f (t )d t f (t )d t ( )f ( ) Or, ( )f ( )= f ( )d t et pr l reltion de Chsles on f (t )d t f (t )d t = f (t )d t d où : F() F( ) f ( ) = f (t )d t f ( )d t D près l linérité de l intégrle on : f ()d f ( )d = (f () f ( ))d Ainsi : Et d près l inéglité tringulire : F() F( ) f ( ) = (f () f ( ))d F() F( ) f ( ) f (t ) f ( ) d t Or, f est continue en donc dmet une limite finie en i.e lim f ()= f ( ). Cel signifie que tout intervlle ouvert et centré en f ( ) contient toutes les vleurs f (t ) pour t ssez proche de. Ainsi pour ǫ> et I=]f ( ) ǫ; f ( )+ǫ[ dès lors que t estsuffisment proche de f (t ) I i.e : Ce qui prouve que : F() F( ) f ( ) f (t ) f ( ) ǫ ǫd t = ǫ = ǫ F() F( ) Comme ǫ peut-être choisi ussi petit que l on veut lors lim = f ( ). Pr conséquent F est dérivle en et F ( )= f ( ), et comme ce risonnement est vlle quelque soit I, F est ien l unique primitive de f sur I D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd / 9

26 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Corollire : Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I Preuve D près le théorème précédent, si f est continue sur I lors F définie sur I pr F()= primitive de f sur I f (t )d t est une Corollire : Formule de Newton-Leiniz Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, lors pour tous et de I on : Preuve f (t )d t = F() F() Soit G l primitive de f sur I telle que G()= f (t )d t vec I. On sit que deu primitives F et G diffèrent d une constnte, donc il eiste une constnte k R telle que pour tout I on : F()=G()+k On lors : F() F()=G() G()= f (t )d t f (t )d t = f (t )d t+ f (t )d t = f (t )d t Remrque : On note dns l prtique [F(t )] Eemple : Le corollire précédent est un résultt puissnt qui nous permet de clculer les intégrles (et donc les ires) suivntes vec une grnde isnce :.. 3. π π Remrques : [ d = ] = + = π cos t d t = [sin t ] = sin π e t d t = [e t ] = e ( π ) sin ( π ) = e t d t = [e t ] = e e t d t = [ln t ] = ln ln=ln [ n n+ ] d = = n+ n+ Le choi de l primitive F choisie n influe ps sur le résultt de l intégrle. En effet si F et G sont deu primitives diffèrentes de f, lors les quntités F() F() et G() G() sont identiques. On vient de voir dns l eemple précédent que t d t = [ln t ] = ln = ln. On peut insi définir l fonction logrithme népérien de mnière géométrique, comme étnt l ire sous l coure de l fonction inverse lorsque > ou comme l opposé de l ire sous l coure de l fonction inverse lorsque < < : D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 3/ 9

27 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion ln = ( ) si < < = O ln = ( ) si > = O D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 4/ 9

28 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion V. Intégrtion pr prties Remrque : On dit qu une fonction est de clsse C sur un intervlle I si et seulement si elle est dérivle sur I et s dérivée f est continue sur I. Théorème 5 : Soient u et v deu fonctions de clsse C sur un intervlle I lors : u(t )v (t )d t = [u(t )v(t )] u (t )v(t )d t Preuve On sit que pour tout t [;] on : (uv) (t )=u (t )v(t )+u(t )v (t ) En intégrnt memre à memre, sur le segment [;], on otient : Ainsi : i.e : (uv) (t )d t = u (t )v(t )+u(t )v (t )d t = [u(t )v(t )] = u (t )v(t )d t+ u (t )v(t )d t+ u(t )v (t )d t u(t )v (t )d t = [u(t )v(t )] u (t )v(t )d t u(t )v (t )d t Eemple : Clculer I= t e t d t et J= ln t d t. Commencons pr le clcul de I, pour cel posons u(t )= t et v (t ) = e t, dns ce cs on u (t ) = et v(t )=e t et donc : I=[t e t ] e t d t = e [e t ] = e e+ = Pour le clcul de J, posons u(t )= ln t lors u (t )= t et v (t )= lors v(t )= t et donc : J= [t lnt] t t d t = ln ln d t = ln ( )= ln + VI. Clcul d ires et de volumes D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 5/ 9

29 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion VI.. Aire entre deu coures Propriété 3 : Clcul de l ire située entre deu coures Soient f et g deu fonctions continues sur un segment [;]. On suppose que g f sur [;], lors l ire du domine D défini pr : D = {M(; ) P tels que et g () f () est donnée, en u., pr : f ()d g ()d = f () g ()d Preuve Cs où f et g sont positives : = f() =g() O Si les fonctions f et g sont positives le résultt est élémentire, l différence des ires des domines délimités pr f et g donne ien l ire entre les deu coures et vut : f ()d g ()d = f () g ()d D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 6/ 9

30 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion Preuve Cs où f et g sont de signes quelconques : O = f() =g() Pr définition Et de l même mnière Notons F = f ()d et F = f ()d = f + ()d + f ()d g ()d = g + ()d + g ()d f + ()d, dns ce cs F représente l ire entre l e des scisses, l coure C f et les droites d équtions = et = pour l prtie de l coure située sous l e des scisses, inversement F représente l ire entre l e des scisses, l coure C f et les droites d équtions = et = pour l prtie de l coure située u dessus de l e des scisses. On définit de même G = on lors : De plus : f ()d Pr conséquent : Eemple : g ()d et G = g + ()d. Notons A l ire située entre les deu coures, A = G F + F G g ()d = f + ()d + f ()d g + ()d f () g ()d =A Soit f et g définie sur [;] pr f ()= et g ()=. Notons que sur [;] on. L ire A entre C g et C f sur le segment [;] est : A = g () f ()d = [ ( ] )d = 3 = 3 3 = 6 u. g ()d = F F G +G = G F +F G D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 7/ 9

31 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion A ( ) j O (C f ) i D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 8/ 9

32 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion VI.. Volumes Théorème 6 : Dns l espce munit d un repère (O; i, j, k) on considère un solide déliminté pr des plns prllèles d éqution z = et z =. Si l fonction S qui toute cote z ssocie l ire de l section contenue dns le pln perpendiculire à l e (O; k) est continue sur [;] lors le volume V du solide est donné pr l formule : V= S(z)d z u.v L unité de volume est le volume du prllélépipède rectngle unité z z S(z) O Eemple : Volume d une sphère de ron R. On IM = R OI = R z, insi : ) V= π (R 3 R3 = πr3 u.v S(z)=π(R z ) On en déduit : R V= π R z d z= π [R z z3 R 3 ) = π (R 3 R3 R 3 + R3 R3 3 ] R n n D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com Lcée Jen Durnd 9/ 9

33 Chpitre wick-mth.fr.nf Intégrtion VII. Compléments Intégrles de Wllis Il s git, pour n N des intégrles suivntes : I n = π Clcul de I n pr IPP (cos t ) n d t J n = π (sin t ) n d t K n = On imméditement : I = π π et I = cos t d t =. Pour tout n, on pr IPP : (u(t )=(cos t ) n+ et v (t )=cos t ). : I n+ = π ( t ) n d t L n = (cos t ) n+ cos t d t = [ (cos t ) n+ sin t ] π + (n+ ) I n+ = (n+ )(I n I n+ ) I n+ = n+ n+ I n Il en résulte imméditement : I = I = π 4 ; I 3= 3 I = 3 ; I 4= 3 4 I = 3π 6. D où l formule générle : π (t ) n d t (cos t ) n (sin t ) d t Si n est pir (n= p) I p = p p p 3 p I.Si n est impir (n= p+ ) Clcul de J n en se rmennt à I n En posnt u= π t, on otient : J n = π (sin t ) n d t = (sin π ( π u ) n ( du)= π I p = (p)!π p+ (p!) I p+ = p p+ p p 3 I I p+ = p (p!) π (p+ )! ((cos u) n du= I n Clcul de K n en se rmennt à I n+ [ π En posnt u= sin t (fonction de [ ;] à vleurs dns ; π ] ). On donc t = sin u. π K n = i nt (t ) n d t = (cos u) n cos udu= I n+ = n+ (n!) π (n+ )! Clcul de L n en se rmennt à K n D. Zncnro zncnro. mth@ gmil. com L n = (t ) n d t = ( ) n K n = ( )n n+ (n!) Lcée Jen Durnd (n+ )! 3/ 9