II : REPRESENTATION DES NOMBRES : II 1 : Nombres BINAIRES :
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- Marie-Josèphe Jeanne Chabot
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1 II : REPRESENTATION DES NOMBRES : II 1 : Nombres BINAIRES : Les ordinateurs numériques utilisent des nombres binaires. Le système de numérotation binaire ou système à base 2 ne comporte que des chiffres 0 et 1. Ces chiffres binaires sont appelés bits ( BIT provient de la contraction (de Binary digit) Définitions : * Mot binaire : est un ensemble d'éléments binaires (eb) Exemple : 1011 un mot de 4 bits appelé quartet un mot de 8 bits appelé octet un mot de 16 bits Physiquement, dans les circuits électroniques numériques, un bit 0 est représenté par une tension LOW (BASSE) et un bit 1, par une tension HIGH (HAUTE). D'habitude, on utilise le système de numérotation décimal. Le système décimal ou système à base 10 comporte 10 chiffres (0 9). Exemple : le décimal 1549 = 1* * *10 + 9*1 Le système binaire possède également une caractéristique de pondération. Exemple : le décimal 9 = 1* * * *2 0 est représenté par son équivalent en binaire (1001) Exercice : représenté le décimal 7 en binaire A connaître par cœur : Puissance de Valeurs de position Binaire Décimal = 182 1
2 Comment convertir le binaire en son équivalent décimal? La procédure de conversion est illustrée par le tableau ci dessus : Comment convertir le décimal 155 en son équivalent binaire? La procédure de conversion est la suivante : Le décimal 155 est divisé par 2, ce qui donne un quotient de 77 et un reste de 1. et ainsi de suite. 155 / 2 = 77 reste 1 77 / 2 = 38 reste 1 38 / 2 = 19 reste 0 19 / 2 = 9 reste 1 9 / 2 = 4 reste 1 4 / 2 = 2 reste 0 2 / 2 = 1 reste 0 1 / 2 = 0 reste II 2 : Nombres HEXADECIMAUX : Une case mémoire de micro typique peut contenir le binaire Cette longue chaîne de 0 et de 1 est difficile à garder en mémoire et lassante à entrer sur clavier. Le nombre , pourrait être converti en décimal, ce qui donnerait =158, mais le processus de conversion prendrait trop de temps. La plupart des systèmes microinformatiques utilisent la notation hexadécimale pour simplifier la mémorisation et la manipulation physique des binaires tels que Le système de numérotation hexadécimale ou hexa (de base 16) utilise les 16 symboles, 0 à 9, A, B, C, D, E et F. 2
3 Décimal Hexadécimal A B C D E F Binaire Remarquons que chaque symbole hexa peut être représenté par une combinaison unique de 4 bits. Ainsi la représentation binaire est l'hexa 9E E Comment convertir le binaire en hexa? Groupe de Groupe de 4 bits 4 bits Binaire Hexadécimal 3 A Comment convertir l'hexa 7F en binaire? Hexadécimal 7 F Binaire
4 Convertissons l'hexa 2C6E en décimal Puissance de Valeurs de position Hexadécimal 2 C 6 E x 2 x 12 x 6 x 14 Décimal = Convertissons le décimal en hexa / 16 = 987 reste 5 décimal 5 décimal 987 / 16 = 61 reste 11 décimal B hexa 61 / 16 = 3 reste 13 décimal D hexa 3 / 16 = 0 reste 3 décimal 3 hexa 3 D B 5 II 3 : Nombres en OCTAL : La notation octale, comme la notation hexa, est utilisée à la représentation des binaires. La numération octale comporte 8 chiffres de 0 à 7. Convertissons le binaire en son équivalent octal. En commençant par le plus petit binaire, nous divisons ce nombre en groupe de 3 bits. Ensuite, nous transformons chaque triplet (groupe de 3 bits) en son chiffre octal équivalent. Binaire Octal Convertissons maintenant l'octal 6521 en son équivalent binaire. 4 Octal Binaire
5 Convertissons, maintenant l'octal 2357 sous sa forme décimale. Puissance de Valeurs de position Octal x 2 x 3 + x 5 + x 7 Décimal = 1263 Convertissons le décimal 3336 en son équivalent octal / 8 = 417 reste 0 décimal 0 octal 417 / 8 = 52 reste 1 décimal 1 octal 52 / 8 = 6 reste 4 décimal 4 octal 6 / 8 = 0 reste 6 décimal 6 octal La plus part des microprocesseurs traitent des groupes de 4, 8 et 16 bits. Par conséquent, c'est la notation hexa qui est utilisée plutôt que la notation octale. II 4 : Nombres DCB (Décimaux Codés Binaires) : A cause de la commodité de conversion, les nombres binaires purs sont représentés soit en octal, soit en hexa. Cependant, la conversion binaire décimal n'est pas une opération simple. Dans le cas de calculateurs, de jeux et d'instruments numériques, où les entrées et sorties utilisateur en décimal sont fréquentes, on utilise un code particulier pour présenter ces décimaux. Ce code est le code BCD (pour Décimal Codé Binaire). 5
6 Décimal Binaire Cette table représente quelques décimaux et les équivalents BCD correspondants. Ecrivons le décimal 3691 en BCD Décimal BCD Convertissons, maintenant, le BCD en son équivalent décimal BCD Décimal Problème posé par le BCD : Exemple : Addition : Résultat faux car 11 en BCD = Solution on ajoute + 6 (0110) si le résultat est supérieur à ( 11 en BCD) 6
7 II 5 : Représentation des nombres algébriques : Il n'est pas question ici, de faire précéder un nombre par un signe (+ ou ) qui ne serait pas compris par un microprocesseur. Il est donc indispensable d'adopter quelques conventions de représentation. Nous raisonnerons sur des mots d'un octet (8 bits).le plus grand nombre qu'on peut représenter su 8 bits est : = = 255 L'élément binaire de rang le plus élevé (poids fort ou MSB) représente le signe du nombre : 0 pour un nombre positif 1 pour un nombre négatif a : Nombre positif : rangs 6 à 0). Il est représenté par son signe (eb de rang 7) suivi de sa valeur absolue (eb de Exemple : signe + valeur absolue L'étendue des nombres positifs que l'on peut écrire sur un octet va de : à soit en décimale : 0 à 127 en hexadécimale : 00 à 7F b : Nombre négatif : Il existe plusieurs façons de représenter les nombres négatifs mais nous ne retiendrons ( dans de ce cours) que deux: * La valeur signée : Consiste à réserver tout simplement 1 bit pour le signe (le bit le plus à gauche = eb de rang 7). 1 pour un nombre négatif Exemple :
8 * Le complément à deux : Il a aussi un bit de signe qui vaut 0 pour un nombre positif 1 pour un nombre négatif On effectue la négation d'un nombre en 2 étapes : 1) on remplace d'abord tous les 1 par 0 et tous les 0 par 1 ( on parle de complémentation à1 2) Puis on additionne 1 au résultat obtenu. Exemple : représenter 6 en complément à deux : (complément à 1) (complément à 2) (on rajoute 6 pour vérifier le résultat) Remarque : si une retenue est engendrée au niveau du bit le plus à gauche, elle est ignorée. L'étendue des nombres négatifs que l'on peut écrire sur un octet va de : à soit en décimale : 1 à 128 en hexadécimale : FF à 80 II 6 : Arithmétique binaire : L'addition, la soustraction ou la multiplication binaire sont exécutées de manière identique à celle de l'arithmétique. II 6 a : Les règles de l'addition binaire : 0 0 (1)
9 Exemple : II 6 b : Les règles de la soustraction binaire : (1) (1) 1 car Exemple : II 6 c : Les règles de la multiplication binaire : x 0 x 1 x 0 x Exemple x 5 x II 7 : Représentation des caractères: Il existe des codes qui décrivent à la fois des nombres et des caractères alphabétiques. Ces codes sont dits alphanumériques. 9
10 Le code alphanumérique le plus répandu est le code standard américain pour l'échange d'information ou code ASCII (code d'ibm). C'est une représentation sur 7 bits des chiffres, des majuscules, des minuscules et les signes de ponctuation (+,,, ;,). Exemples : A a # !
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