Architecture des ordinateurs. Séance 2 : Représentation des nombres

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1 Séance 2 : Représentation des nombres

2 Programme 2

3 I. Représentation des entiers 3

4 Manipulation des entiers qarithmétique Addition d entiers Soustraction d entiers Multiplication d entiers Þsont aussi des entiers (on parle de fermeture de l arithmétique) En précision finie, la fermeture n est pas applicable : = 1200 (trop grand) = -200 (négatif) 050 x 050 = 2500 (trop grand) 007 / 002 = 3,5 (n est pas un entier) 4

5 q3 types d erreurs en précision finie 1. Dépassement de capacité supérieure ØOverflow 2. Dépassement de capacité inférieure ØUnderflow 3. Nombre hors du domaine de définition - Les types d erreurs 5

6 Algèbre en précision finie (3 digits) qassociativité A + (B - C) = (A + B) - C Exemple : A = 700, B = 400 et C = (1100) qdistributivité - A. (B - C) = A.B A.C Exemple : A = 5, B = 210 et C = 195 5x15 =

7 Les bases qdeux grands systèmes de numération Le système additif ØC est le cas des systèmes de numérations grec, égyptien, gothique. Le système romain ajoute une variante soustractive (IV -> 4 ) Le système positionnel de base n (nombre allant de 0 à n-1) ØDans ce système, la position des nombres indiquent la puissance des poids qui leur est affecté. On retrouve les systèmes chinois, maya, babylonien et nos systèmes de numération binaire, décimale/hexadécimale. Ces systèmes requièrent l invention du zéro positionnel. - 7

8 Systèmes de comptage Base 1 Base 2 Base 5 Base 7 Base 8 Base 10 Base 12 Base 16 Base 20 Base 24 Base 60 Comptage avec les doigts, cailloux Système binaire, logique symbolique, ordinateur Système quinaire, Aztèques Notes musicales, jours de la semaine Système octal, ordinateur Système décimal, adopté aujourd hui par l homme Monnaie et mesure anglaise, mois de l année Système hexadécimal, ordinateur Comptage sur les doigts des mains et pieds, Mayas Heures du jour Degrés, minutes et secondes, Babyloniens 8

9 La base décimale qexemple élémentaire Poids 9

10 Les bases manipulées en informatique qpour une machine, 3 bases sont utilisées La base 2 binaire La base 8 La base 16 octal hexadécimal 10

11 Expression dans une base b qen base b, il faut b symboles pour représenter un nombre En base 2 0,1 En base 8 0,1,2,3,4,5,6,7 En base 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 En base 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F qvaleur représentée en base b, N " = P % b % + P %() b %() + + p ) b ) + p, b, + p () b () + N " = p. b. %./(0 11

12 La base binaire (base 2) qrappel : la base binaire ne prend que 2 valeurs, 0 ou 1 (1bit) N " = P % 2 % + P %() 2 %() + + p ) 2 ) + p, 2, + p () 2 () + N " = p. 2. %./(0 Exemples :

13 La base binaire (base 2) qrappel : la base binaire ne prend que 2 valeurs, 0 ou 1 (1bit) N " = P % 2 % + P %() 2 %() + + p ) 2 ) + p, 2, + p () 2 () + N " = p. 2. %./(0 Exemples : =

14 Connaître ces puissances de 2!!! Puissance Valeur Puissance Valeur

15 La base octale (base 8) qen base 8, N " = P % 8 % + P %() 8 %() + + p ) 8 ) + p, 8, + p () 8 () + N " = %./(0 p. 8. qexemple : (76) 8 = 7.8 ) + 6.8, = = qconversion octal-> binaire (et inversement) : (octal) (binaire) 15

16 La base octale (base 8) qen base 8, N " = P % 8 % + P %() 8 %() + + p ) 8 ) + p, 8, + p () 8 () + N " = %./(0 p. 8. qexemple : (76) 8 = 7.8 ) + 6.8, = = qconversion octal-> binaire (et inversement) : (octal) X (binaire) 16

17 La base hexadécimale (base 16) qen base 16, N " = P % 16 % + P %() 16 %() + + p ) 16 ) + p, 16, + p () 16 () + N " = %./(0 p. 16. qexemple : (9A) 16 = 9.16 ) , = = qconversion hexa -> binaire (et inversement) : F F 1 B C (hexa) (binaire) 17

18 La base hexadécimale (base 16) qen base 16, N " = P % 16 % + P %() 16 %() + + p ) 16 ) + p, 16, + p () 16 () + N " = %./(0 p. 16. qexemple : (9A) 16 = 9.16 ) , = = qconversion hexa -> binaire (et inversement) : 9 E F F 1 B C (hexa) (binaire) 18

19 Autres exemples Hexa Binaire Octal , B , ,

20 Conversion de base qconversion de la base 10 en base 2 Méthode des divisions successives (partie entière) Méthode des multiplications successives (partie fractionnaire) Exemple : (28) 10 en base 2? Lecture des poids fort aux poids faibles (28) 10 -> (11100) 2 (28) 10 ->

21 qautre exemple : Convertir (1492) 10 en base 2 Conversion de base ( ) 2 convertir ( ) 2 en base 8 et en base10? (5667) 8 (2999) 10 21

22 Résumé qreprésentation Formalisme N B = p n 1 2 n p p N B = n 1 k = 0 p k 2 k 22

23 Echelle qechelle des nombres non signés représentables : Soit N, un nombre entier naturel codé sur n bits, la gamme de valeurs représentables en base 2 est : 0 à 2 n -1 ØSoit n = 8 bits 0 à 255 type char Ø n = 16 bits 0 à type short Ø n = 32 bits 0 à type unsigned int Ø n = 64 bits 0 à type unsigned long int 23

24 Les entiers relatifs qreprésentations des entiers relatifs : Entier relatif = entier naturel représenté avec un bit de signe 4 types de représentations : ØSigne-grandeur ØComplément à 1 ØComplément à 2 ØCodage par excédent 24

25 Notation signe-grandeur qreprésentations des entiers relatifs : Le bit de poids fort (par convention le plus à gauche) est le bit de signe ØBit 0 : pour les nombres positifs ØBit 1 : pour les nombres négatifs Les autres bits représentent la valeur du nombre c.-à-d. la grandeur Exemple sur 8 bits : (25) 10 ( ) 2 (-25) 10 ( ) 2 Attention : La somme ne vaut pas 0 ( ) 2 25

26 Notation signe-grandeur qsur 4 bits : Problèmes : 2 représentations du zéro Opérations non cohérentes 26

27 Le complément à 1 qcomplément à 1 Aussi appelé complément à base diminuée Complément d un élément binaire A A + A = 1 En généralisant, le complément à 1 d un nombre codé sur n bits est tel que : N + N = 2 n 1 N = 2 n 1 N Le complément à 1 d un nombre binaire s obtient en changeant chaque bit 0 par un 1 et chaque 1 par un 0 Exemples : (25) 10 = (?) 2 Somme (-1) 10 = (?) 2 27

28 Le complément à 1 qcomplément à 1 Aussi appelé complément à base diminuée Complément d un élément binaire A A + A = 1 En généralisant, le complément à 1 d un nombre codé sur n bits est tel que : N + N = 2 n 1 N = 2 n 1 N Le complément à 1 d un nombre binaire s obtient en changeant chaque bit 0 par un 1 et chaque 1 par un 0 Exemples : (25) 10 = ( ) 2 ( ) 2 = (-25) 10 (-1) 10 = ( ) 2 Somme (23) 10 = 1 ( ) 2 -> Opération non cohérente 28

29 qcomplément à 1 Domaine de représentation : (2 1) N Le complément à 1 2 n 1 n 1 1 Problèmes : 2 représentations du zéro Opérations non cohérentes 29

30 Le complément à 2 qcomplément à 2 Aussi appelé complément à la base Complément à 2 = Complément à n ( N) = (2 1) N + 1 = N + 1 Exemples (25) 10 = (?) 2 (-25) 10 = (?) 2 (25) 10 = (?) 2 + (-25) 10 = (?) 2 (?) 2 30

31 Le complément à 2 qcomplément à 2 Aussi appelé complément à la base Complément à 2 = Complément à n ( N) = (2 1) N + 1 = N + 1 Exemples (25) 10 = ( ) (-25) 10 = ( ) 2 (25) 10 = ( ) 2 + (-25) 10 = ( ) 2 1 ( ) 2 31

32 qcomplément à 2 Sur 4 bits Gamme de représentation: 2 n 1 N 2 n Le complément à représentation du zéro Opérations cohérentes 32

33 Complément à 2 qnombres entiers signés représentables : notation en complément à 2 Exemple : sur 8 bits Représentation 2 n 1 N 2 n 1 8 bits : -128 N 127 (char) 16 bits : N (short) 32 bits : e9 N 2.14 e9 (int) 1 33

34 Résumé qce qu il faut retenir Signe grandeur o2 représentations du zéro o2 étapes : Sommes des poids (grandeur) et détermination du bit de signe Complément à 1 o2 représentations du zéro orequiert une addition supplémentaire si le nombre est négatif Complément à 2 ounique représentation du zéro ocalculs cohérents oc est la notation utilisée dans les processeurs 34

35 II. Opérations arithmétiques sur les entiers 35

36 Entiers signés qsoit A et B, 2 nombres entiers binaires en complément à 2 A = a n 1.2 n 1 + n 2 i= 0 ( a i.2 i ) avec 2 n 1 A 2 n 1 1 B = b n 1.2 n 1 + n 2 i= 0 ( b i.2 i ) avec - 2 n-1 B 2 n

37 Entiers signés qaddition S = A + B = a n 1.2 n 1 + n 2 i= 0 ( a i.2 i ) + b n 1.2 n 1 + n 2 i= 0 ( b i.2 i ) = n 1 i= 0 (( a i + b i ).2 i ) avec 0 S 2 n+ 1 2 Représentabilité du résultat o Si A et B sont de signes différents alors S est représentable dans le format fixé autrement dit : n n-1 si 0 A 2 1et - 2 B -1ou si - 2 n-1 A 1et 0 B 2 o Si A et B sont de même signe, alors il peut se produire un débordement n

38 Entiers signés qaddition : Règles de base =? Somme =? et retenue =? =? Somme =? et retenue =? =? Somme =? et retenue =? =? Somme =? et retenue =? 38

39 Entiers signés qaddition : Règles de base =0 Somme = 0 et retenue = =1 Somme = 1 et retenue = =1 Somme = 1 et retenue = = 10 Somme = 0 et retenue = 1 39

40 Entiers signés qaddition de 2 nombres positifs ou nuls (5) (6) (11) (125) (58) (183) 10 Résultat juste sur 9 bits (-73) 10 Résultat faux sur 8 bits 40

41 Entiers signés qaddition de 2 nombres négatifs (-3) (-4) (-7) (-6) (-4) (-10) 10 Débordement si le signe du résultat interprété sur n bits est de signe contraire Dans les deux cas, le résultat est juste sur n+1 bits (ici 5) 41

42 Entiers signés qaddition de 2 nombres de signes contraires 1010 (-6) (+4) (-2) (+6) (-4) (+2) 10 Il n y a jamais de débordement Dans les deux cas, le résultat est FAUX sur n+1 bits (ici 5) 42

43 qrésumé sur l addition Entiers signés Il y a débordement si et seulement si les nombres sont de même signe et le résultat sur n bits est de signe différent Si les nombres sont de même signe, le résultat est toujours juste sur n+1 bits Si les nombres sont de signes contraires, le résultat doit être lu sur n bits Si il n y a pas de débordement, le résultat est toujours juste sur n bits 43

44 qla soustraction Entiers signés En complément à 2, on se ramène à une opération d addition Þ S = A-B = A + (-B) S n 1 n 1 = A B = ( a.2 i ) ( b.2 i ) = i i i= 0 i= 0 n 1 i= 0 (( a i b i ).2 i ) avec 0 S 2 n 1 44

45 Entiers signés qsoustraction : Règles de base 0-0 =0 1-1 =0 1-0 = =1 emprunt de 1 45

46 qexemple Entiers signés On cherche à calculer S = A B avec A = -127 et B = 127 Résultat juste sur 9 bits Résultat faux sur 8 bits 46

47 Entiers signés qrésumé sur la soustraction Il y a débordement si et seulement si les nombres sont de signes contraires et que le résultat interprété sur n bits est de signe contraire à celui de A Si les nombres sont de signes contraires, le résultat est toujours juste sur n+1 bits Si les nombres sont de même signe, le résultat doit être lu sur n bits 47

48 Entiers signés qla multiplication S = A B = a n 2 2n 2 n 1 n 2 i n 1 j 2n 1 k n ( a.2 ) ( = (.2 )) = i 0 i bn b j p n pk j= 0 k = 0 On raisonne en valeur absolue -On détermine le signe du résultat en fonction du signe des opérandes -On calcule le résultat en valeur absolue -On ajoute le signe Le format maximal du résultat ÞN max = n + m avec n>1 et m>1 (n : taille de A et m : taille de B) 48

49 Entiers signés qdécalage Un des avantages d utiliser un système de numération positionnel, réside dans l opération de décalage ÞUn décalage à droite correspond à une division par la base (en binaire par 2). Dans ce cas, le résultat est la partie entière de la division, le reste de la division est perdu 8/2 = 4 (1000) 2 / 2 = (100) 2 soit (4) 10 7/2 =3,5 (111) 2 / 2 = (11) 2 soit (3) 10 ÞUn décalage à gauche correspond à une multiplication par la base (en binaire par 2). 8x2 = 16 (1000) 2 x 2 = (10000) 2 soit (16) 10 ÞLe décalage de n positions correspond donc à une multiplication/division par 2 n 49

50 III. Les Nombres flottants 50

51 Les nombres flottants qnotation en virgule fixe qnotation en virgule flottante qautres notations 51

52 Les nombres flottants qnotation en virgule fixe ( ) 2 = = 6,875 52

53 qnotation en virgule fixe Les nombres flottants Résolution : différence entre 2 nombres consécutifs Dynamique : différence entre le plus petit nombre et le plus grand Résolution : 2 0 =1 Dynamique : 2 n-1 Résolution : 2 -k Dynamique : 2 n-k 53

54 Les nombres flottants qgamme des nombres représentables en virgule fixe Format Limite négative Limite positive Résolution Q , , E -10 Résolution : 2-31 Q , , Q ,9921 0, Q ,9843 0, Q , ,03125 Q ,9375 0,0625 Q ,875 0,125 Q ,75 0,25 Q ,5 0,5 Q

55 Les nombres flottants qpourquoi et où utiliser la virgule fixe? Avantages -Résolution constante -Arithmétique simple.facilité de l addition : semblable aux entiers.multiplication : nécessité de décalages supplémentaires Utilisation -Dans des circuits spécifiques ou DSP, -Pas dans les ordinateurs 55

56 Les nombres flottants qnotation à virgule flottante Pourquoi? -Codage des nombres réels Nombre flottant N en binaire : -Un bit de signe S -Une mantisse m -Un exposant e Représentations équivalentes : N = ( 1) m s e 56

57 Les nombres flottants qnotation à virgule flottante Normalisation : -Le chiffre le plus significatif (non nul) est placé à l extrême gauche de la mantisse -L objectif est de coder le décalage de la virgule à l aide de l exposant Analogie avec la notation scientifique : 25,44 -> 2,

58 IEEE 754 qla norme IEEE754 Représentations des nombres identiques pour différentes machines Procédures d arrondis Précisions simple et double Traitement des exceptions Principe : -Le bit à 1 de la mantisse avant la virgule n est pas représenté (bit implicite) -on a donc 1<mantisse<2 58

59 IEEE 754 qles deux formats de précision Simple précision 32 bits (10-38 à ) Double précision 64 bits ( à ) 59

60 IEEE 754 qcodage de l exposant L exposant peut être négatif/positif mais n est pas codé en complément à 2 (faciliter la comparaison des flottants) L exposant est biaisé (c.-à-d. décalé) Exposant biaisé (codé) = exposant réel + biais Biais constant = 2 e-1-1 avec e le nombre de bits de l exposant -simple précision : Exposant sur 8 bits -> biais = double précision : Exposant sur 11 bits -> biais =

61 IEEE 754 qprécision : Pour un nombre total de bits constant, il faut faire un compromis entre rang et précision -si la taille de l exposant est augmentée, on gagne en rang mais on perd en précision Ecart non constant entre les nombres 127 -Résolution : 23 E ΔN = 2. 2 Par contre, erreur minimale constante et précision relative constante P = 1, F ,2.10 (Simple précision) 61

62 IEEE 754 qvaleurs particulières (exceptions) Normalisé +/- 0 < exp < max Configuration quelconque de bits Dénormalisé Zéro +/- infini NaN : not a number +/- 0 Configuration quelconque de bits non nuls +/ / / Configuration quelconque de bits 62

63 IEEE 754 qles nombres dénormalisés +/- 0 Configuration quelconque de bits non nuls L exposant est nul La mantisse n est plus normalisée -il n y a plus de bit implicite à 1 -> 0<m<1 -mantisse toujours codée sur 23 ou 52 bits Plus petit nombre dénormalisé représentable est : -22 bits de la mantisse à 0 et le LSB à 1 -mantisse = 2-23, exposant = d ou val = Plus grand nombre dénormalisé représentable est : -23 bits de la mantisse à 1 et exposant = d ou val = 0,

64 IEEE 754 qprécision des nombres dénormalisés Distance dénormalisée entre deux nombres ΔN d ΔN d = = Précision relative P d Précision relative inférieure à celle des flottants normalisés (cas des plus petits nombres) P d = , F 64

65 IEEE 754 qcomparaison Virgule fixe / Virgule flottante Niveau de la dynamique Rappel : Dynamique = différence entre le plus petit nombre et le plus grand 65

66 IV. Implantations matérielles 66

67 Implantations matérielles qquelques problèmes relatifs aux nombres flottants Le missile patriote -Durant la 1ère guerre du Golfe (1991), un missile patriote a loupé l interception d un missile sud irakien -Mauvais calcul du temps de vol du missile patriote. -Le temps estimé en dixième de seconde a été converti en secondes en multipliant par 1/10 Þ L opération a été tronquée sur 24 bits (virgule fixe) et l erreur s est propagée produisant un retard de 0,34s 67

68 Implantations matérielles qquelques problèmes relatifs aux nombres flottants Explosion d Ariane 5 -Problème dans le logiciel de lancement -Conversion d un nombre flottant 64 bits en un entier signé codé sur 16 bits. -La valeur à convertir était supérieure à (2 15-1)!!! 68

69 Implantations matérielles Virgule fixe -Opérateurs arithmétiques plus simples -Implantation Circuits spécifiques Certains DSPs -Applications pour l embarqué Virgule flottante -Implantation Processeurs généralistes Certains DSPs -Applications (filtrage, traitement du signal avec coefficients à large dynamique ) 69

70 Implantations matérielles Avant les années 1990, les unités de calculs flottants étaient des circuits annexes aux microprocesseurs Exemples : TI 8847, Weitek 3364 et MIPS R3010 De nos jours, les unités de calculs flottants sont directement intégrées dans les processeurs Ø Par exemple, l architecture des processeurs SHARC est optimisée et intégrée dans des processeurs DSP d Analog Devices (Horloge max à 450MHz) 70

71 TI 8847 : floating point coprocessor RISC Horloge à 33 MHz 42 Mflops 0,8um CMOS 71

72 MIPS R3010 : coprocesseur RISC à virgule flottante (s.p et d.p) 72

73 Weitek 3364: processeur à virgule flottante simple et double précision 73

74 74

75 V. Opérations arithmétiques en virgule flottante 75

76 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Addition en virgule fixe 76

77 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Addition en virgule flottante Algorithme à suivre 1. Décaler à droite la mantisse du nombre possédant le plus petit exposant jusqu à arriver à l exposant de l autre nombre 2. Additionner les mantisses 3. Normaliser le résultat 4. Arrondir 77

78 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Addition en virgule flottante : Exemple 3+1,5 Format IEEE754 en simple précision a = 3 et b = 1,5 Rappel : Exposant codé = biais + exposant réel Notation scientifique : a= ^1 b= ^0 Représentation au format IEEE 754 sp : 78

79 Opérations arithmétiques en virgule flottante a b a b ) Addition des mantisses Résultat non normalisé car (m>2) Résultat normalisé = ) Décaler à droite la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant 3) Normalisation du résultat 4) Arrondi Arrondi effectué sur les bits de poids faibles qui sont supprimés lors de la normalisation (mantisse sur 23 bits) Résultat final Ne pas oublier d ajouter le décalage à l exposant du résultat 79

80 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Soustraction en virgule flottante: Même principe que pour l addition A+B = A+(-B) via le complément à deux 80

81 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Multiplication en virgule fixe 81

82 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Multiplication/division en virgule flottante Soit AxB ou A/B: p = a b = ( M M q = a b = M M ( ExpA ExpB) ( ExpA+ ExpB) -Les opérations sur les exposants sont effectuées en complément à 2 -Les opérations sur les mantisses sont effectuées en virgule fixe -Ne pas oublier les éventuels dépassements de capacités a b a 2 b ) 2 82

83 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Exercice : Quel est le nombre représenté par : ? 83

84 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Exercice : Quel est le nombre représenté par : ? -1 : Signe négatif Mantisse : = 2-2 = 0,25+1 Exposant biaisé = 129 d où exposant réel = 129-biais = 2 Finalement, le nombre représenté est : -1,25 x 2 2 = -5 84

85 Opérations arithmétiques en virgule flottante q Exercice : Effectuer la multiplication de A et B en simple précision : A = B =

86 Opérations arithmétiques en virgule flottante A = B = Au regard des mantisses, elles sont égales à 1 -> le produit vaudra donc 1. -Au regard des signes, le résultat sera négatif -Pour le calcul des exposants, utiliser la formule suivante exp(a+b) biaisé = exp(a) biaisé + exp(b) biaisé biais Le biais vaut 127 ( ) 2, donc -127 ( ) Après calcul, on obtient l exposant réel = = 7 Le résultat vaut donc

87 Données non numériques Afin de faciliter les échanges entre machines, des codages binaires normalisés ont été établis (BCD, ASCII, Unicode, etc.). Ø Nombre variables de bits : 6, 7, 8, 16, 32 Ø Certains bits sont réservés au contrôle ou à la correction 87

88 Données non numériques q Caractères ASCII : (American Standard Code for Information Interchange) 7 bits (128 caractères) Pas de caractères accentués 1 bit de contrôle (parité) 88

89 q Caractères Unicode 1 à 4 octets ( caractères) Codage unique quel que soit la plateforme, le logiciel, la langue Normalisé ISO /IEC (UTF-8, UTF-16, UTF-32) Données non numériques 89