Cinématique du point

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1 Scences Cnématque du pont Cnématque du pont 1REPERE D'ESPACE ET REPERE DE TEPS2 11L'ESPACE PHYSIQUE2 111 Repésentaton géométque d un espace affne Popétés des espaces vectoels2 113 Repésentaton géométque d un espace affne 3 12LE TEPS Repésentaton géométque de l espace affne «Temps» 3 13DEPLACEENT D'UN SOLIDE DANS L ESPACE PHYSIQUE Le epèe ESPACE TEPS3 132 Remaque lée à la mécanque 3 2LA CINEATIQUE DU POINT4 21LE CHANGEENT DE REPERE4 22ECTEUR ITESSE D'UN POINT PAR RAPPORT A UN REPERE R4 ( R /R 221 Popétés du vecteu vtesse d'entaînement Pemèe popété : ( R /R ) = - /R Seconde popété : Exstence d'un toseu cnématque pou modélse le mouvement d entaînement Pont coïncdant (t) 6 23CHAP DES ECTEURS-ACCELERATION7 231 Changement de epèe ecteu accéléaton d'entaînement / R 8 Page 1 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

2 Scences Industelles Cnématque du pont 1 REPERE D'ESPACE ET REPERE DE TEPS 11 L'espace physque L espace physque est modélsé pa un epèe affne à tos dmensons, noté R ( O, x, y,z ) où O est un pont quelconque mas souvent appelé ogne du epèe affne A ce epèe affne, on assoce un epèe vectoel R (x, y,z de base othonomée decte B = (x, y, z ), c est à de : x = 1, y = 1, z = 1et x y = 0, x z = 0, y z = 0 et pou fn x y = z ) ( 111 Repésentaton géométque d un espace affne Le epèe affne R ( O, x, y, z ) est epésenté géométquement en no su la fgue c-conte Le vecteu = O A = ax + by + c z ou (a,b,c) sont les coodonnées catésennes du vecteu O A dans la base B (x, y, z ) c z Remaque : en penant un vecteu CD tel que CD = O A et CD A = 0 x C O a D A b y ( CD est colnéae à O A ) dans l espace affne ce sont deux vecteus dfféents (vo fgue) Pa conte dans l espace vectoel R (x, y,z, les coodonnées catésennes du vecteu = CD = ax + by + c z, ls sont dentques 112 Popétés des espaces vectoels Un espace vectoel peut ête composé de sous espace vectoels Ans, l espace vectoel R (x, y,z est composé du plan vectoel P1 (x, y ou P2 (y,z et de la dote vectoelle tel que D1 (x ou D2(z z Le cous de mathématques c su les espaces affnes et vectoels monte que l ntesecton de deux sousespaces vectoels de 0 R (x, y,z ne peut jamas ête a vde et content au mnmum l élément neute pou l adon b vectoelle, c est à de le vecteu x y nul noté : 0 Page 2 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

3 Scences Industelles Cnématque du pont 113 Repésentaton géométque d un espace affne Dans l espace vectoel R (x, y,z, l n y a plus de pont, l n y a que des vecteus A tte de epésentaton gaphque, le vecteu nul 0 peut ête dessné pa un pont Ce pont n a pas de poston spatale pécse et tous les vecteus appatenant à l espace vectoel R (x, y,z dovent passe oblgatoement pa la epésentaton ponctuelle du vecteu nul x, y,z et passent donc pa le seul pont de la epésentaton géométque et gaphque de l espace vectoel R (x, y,z ) 12 Le temps Le temps est modélsé pa un espace affne ( τ 0, t) de dmenson 1 Cet espace vectoel T(t) est assocé à τ ( τ 0, t) 121 Repésentaton géométque de l espace affne «Temps» τ 0 est un pont appelé nstant ntal La poston de l nstant τ 0 n a aucune mpotance, sauf pou date des événements pa appot à une ogne du temps fxe Le vecteu τ 1 τ 2 vecteu duée, τ τ 1 2 τ est appelé le vecteu duée, plus communément duée La nome du est expmé en seconde (s) τ 0 τ 1 τ 2 Défnton : La seconde est équvalent à la duée de péodes de la adaton coespondant à la tanston ente deux nveaux hype fns de l état fondamental de l atome de césum Déplacement d'un solde dans l espace physque 131 Le epèe ESPACE TEPS Pou modélse le déplacement d objets ou de pesonnes dans l espace physque, l est utlsé un espace affne de dmenson tos R( O, x, y,z ) assocé à l espace affne temps τ ( τ 0, t) Ces deux espaces affnes sont dstncts, mas pou modélse le déplacement d un pont dans l espace physque, on donne le vecteu O = x(t)x + y(t)y + z(t)z où x(t), y(t) et z(t) sont des coodonnées catésennes du vecteu O pojetées dans le epèe vectoel R (x, y,z ) L ensemble des deux espaces affne R ( O, x, y,z ) et τ ( τ 0, t) fome le epèe ESPACE-TEPS 132 Remaque lée à la mécanque Page 3 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

4 Scences Industelles Cnématque du pont La modélsaton des déplacements d objets ou de pesonnes dans l espace physque est appelée "Etude des mouvements" La théoe nommée "écanque" englobe cette modélsaton En Classe pépaatoe aux gandes écoles d ngéneus (CPGE PSI et P), la mécanque est lmtée à la mécanque newtonenne des soldes Les outls de calculs en écanque du solde sont vectoels C est pouquo, nous tavalleons essentellement dans des epèes vectoels R (x, y,z souvent assmle à leu base b = (x, y, z ) 2 LA CINEATIQUE DU POINT La cnématque du pont se lmte à la echeche du vecteu poston, du vecteu vtesse et du vecteu accéléaton d un pont pa appot à deux epèes R et R 21 Le changement de epèe Sot un pont en mouvement pa appot au epèe affne R ( O, x, y,z ) en mouvement pa appot au epèe affne R ( O, x, y,z ) b = (x, y, z et b = (x, y, z ) sont des bases othonomées dectes R (x, y,z et R (x, y,z ) sont des epèes vectoels assocés espectvement à R O, x, y,z ) et R O, x, y,z ) ( ( z z O y O x x y 22 ecteu vtesse d'un pont pa appot à un epèe R do Pa défnton du vecteu vtesse, nous avons : (/R et R do (/R ) R Le vecteu poston O se calcule gâce à la elaton de CHASLES On a alos O = OO + O d O d O O d O donc : = + R R R La dévaton vectoelle pemet d'éce : Page 4 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

5 Scences Industelles Cnématque du pont Sot d O (/R R = d O O (O/R + Ω R R/R d O + R ( /R ) + Ω / (/R = /R (/R ) = + (O/R /R + Ω R/R avec On emploe communément le langage suvant : ( /R est le vecteu vtesse absolue du pont pou un obsevateu lé au epèe R, z ( /R ) est le vecteu vtesse elatve du pont pou un obsevateu lé au epèe R, O /R ) = (O /R ) +ΩR/R est le vecteu vtesse y x d'entaînement du pont dans le mouvement du epèe R pa appot au epèe R, c est le vecteu vtesse du pont appatenant au epèe R pou un obsevateu lé au epèe R x z O y 221 Popétés du vecteu vtesse d'entaînement ( R /R 2211 Pemèe popété : = - ( R /R ) /R L'antsyméte pa appot aux ndces se démonte asément En effet : (/R /R = +, ( / R ) = + ( / R ) /R ) (/R En adonnant ces deux équatons, on obtent ben : = - ( R /R ) /R Page 5 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

6 Scences Industelles Cnématque du pont 2212 Seconde popété : Exstence d'un toseu cnématque pou modélse le mouvement d entaînement La elaton /R ) = (O /R ) +ΩR/R peut s éce avec plus de pécson Ecvons le vecteu vtesse (O /R en pécsant que le pont O est fxe dans R se met alos sous la fome : (O/R (O R /R O z x z O S y x y Fnalement, +ΩR/R = /R (O/R (O R /R = +ΩR/R /R (O R /R = +ΩR/R Cette denèe elaton vectoelle monte l'exstence d'un champ antsymétque (vo cous outls de la mécanque) De plus, en Cnématque du solde, le solde S est lé au epèe R, le pont appatenant au solde S n'a aucun mouvement pa appot au epèe R, donc : ( S /R ) = ( R /R ) = 0 La elaton de changement de pont donne nassance au toseu suvant : R / R Ω = (O R/R R /R O = /R = Ω R/R (O R /R +Ω R/R ( R /R se lt : "vtesse du pont appatenant au solde S pa appot au epèe R " Ω R/R est appelé taux de otaton nstantanée du epèe R (ou du solde S ) pa appot au epèe R (ou au solde S ) Pont coïncdant (t) Un pont, appatenant au solde S en mouvement pa appot à un epèe R, coïncde à chaque nstant avec un pont du epèe R Ce pont est coïncdant du pont à l'nstant t est appelé pont moble et (t) est appelé pont coïncdant à l'nstant t O z x z O S y Dans le modèle de l espace physque, au pont lé au epèe R, on touve donc les deux ponts dfféents suvants : x y Page 6 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

7 Scences Industelles Cnématque du pont Le pont, modélsé pa un pont matéel, Le pont lé au solde S donc au epèe R 23 Champ des vecteus-accéléaton 231 Changement de epèe (/R En dévant vectoellement temps dans le epèe R, d (/R R et (/R ) d (/R ) R (/R ) = (O /R ) + ΩR/R + (/R ) pa appot au (/R d (/R R d (O /R R dω R/R R d (/R ) R En utlsant la dévaton vectoelle : d Ω R/R (/R ) = (O /R ) + Ω R R/R d O R + (/R ) Ω R/R (/R ) Ω Fnalement : (/R = (/R (O/R R/R = (O/R d Ω (/R ) R/R d Ω + R R/R (/R ) R Ω + Ω R/R R/R + Ω Ω R/R (/R ) R/R Ω R/R + + (/R ) + 2 Ω R/R (/R ) On emploe communément le langage suvant : (/R ) vecteu accéléaton absolue du pont pou un obsevateu lé au epèe R, (/R ) vecteu accéléaton elatve du pont pou un obsevateu lé au epèe R, / R = (O /R dω R/R R + Ω R/R Ω R/R O vecteu accéléaton d'entaînement du pont dans le mouvement du epèe R pa appot au epèe R, x z x y z O y Page 7 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017

8 Scences Industelles Cnématque du pont c est donc l accéléaton du pont appatenant au epèe R pou un obsevateu lé au epèe R, 2 ΩR/R (/R ) est le vecteu accéléaton de CORIOLIS 232 ecteu accéléaton d'entaînement / R En Cnématque du solde, le solde S est lé au epèe R, le pont appatenant au solde S n'a aucun mouvement pa appot au epèe R, donc : ( S /R ) = ( R /R ) = 0 et S = = 0 ( R / R ) ( S / R ) z z O y O x Le champ des vecteus-accéléaton s'éct donc : ( S / R = (O/R d Ω S/R R + Ω S/R Ω S/R Ce champ de vecteus n est pas ant-symétque, l n exste donc pas de toseu d accéléaton pou modélse le mouvement d entaînement x y Page 8 Jacques AÏACHE Jean-ac CHÉREAU EduKlub SA Tous dots de l auteu des œuves ésevés Sauf autosaton, la epoducton ans que toute utlsaton des œuves aute que la consultaton ndvduelle et pvée sont ntees Fche généé pou steu (), le 28/09/2017