CHAPITRE II Modélisation cinématique inverse des manipulateurs robotiques

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1 CHAPITRE II Modéliation inématiue invee de maniulateu obotiue. Intodution Au haite I, nou avon vu omment obteni la oition et l oientation de l etémité ou de etémité d un tème obotiue dan l eae de tavail en fontion de atiulation. Nou avon vu ue ette elation ontitue la inématiue du obot. Nou avon également vu omment modélie de haîne inématiue femée et de maniulateu en ontat ave un objet ou une ufae. Dan e haite, nou veon omment obteni la inématiue invee du tème; et à die la elation ente la oition et l oientation d une etémité du maniulateu en fontion de e atiulation. Nou veon également ue le méthode ou obteni la inématiue invee euvent evi à éoude de éuation de ontainte de façon à éduie le nombe de oodonnée généaliée du tème.. Stème à haîne ouvete Dan ette etion, nou allon d abod onidée le a de maniulateu à haîne ouvete à une eule etémité ui, le a de maniulateu à luieu etémité... Stème à une etémité Pou un maniulateu en haîne ouvete à une eule etémité omme elui eéenté a la Figue., la inématiue invee et la olution de la elation uivante : T,,, T T,,, T T. n T n n n T où T,,, et la inématiue du maniulateu, T et la matie de tanfomation n n du eèe de l outil à elui du denie membe, T et la matie de tanfomation n T

2 SYS-87 Stème obotiue en ontat 9 homogène du eèe de la bae à elui de la tation de tavail et T et la matie de tanfomation ui eéente la oition et l oientation de l etémité. Cette elation et éuivalente à la uivante : T,,, T T T n n n T où l invee de matie n TT et T eitent toujou et euvent ête obtenue à l aide de l éuation A.. Dan ette elation, la matie de tanfomation éultant du oduit T T T eéente la oition et l oientation du denie eèe du maniulateu n T elui ui et attahé au denie membe a aot à la bae. San ete de généalité, on eut don défini la inématiue invee omme étant la olution de l éuation uivante : n T,,, T. où T et la matie de tanfomation ui eéente la oition et l oientation du eèe du denie membe du maniulateu. égalité. eéente en généal un tème d au lu éuation à n inonnu. Pae ue la inématiue d un maniulateu eut également eime ou la fome omate donnée a la elation., la inématiue invee eut eime ou la fome omate uivante : n H χ. où H - et la fontion invee de la inématiue donnée a la fontion H, χ et la oe et et le veteu de oodonnée généaliée. e tème déit a la elation. et fomé d éuation tigonométiue fotement non linéaie. Il et en généal tè diffiile à éoude d autant lu u il n eite a toujou de olution. Il eite eendant de hothèe ui eteignent ette lae de oblème de façon à emette de touve une olution lu failement. À tite d eemle, l hothèe uivante et ouamment enontée. Hothèe. : e toi denièe atiulation de atiulation du maniulateu à degé de libeté ont otoïde et ont la même oigine. Si l hothèe. et véifiée, le oblème de inématiue invee e déomoe en deu ou-oblème [Song & Vidiaaga,989]: ou-oblème d obteni la olution de éuation de oition et ou oblème d obteni la olution de éuation d oientation. En effet, elon le elation. et., la inématiue invee onite à éoude la elation

3 SYS-87 Stème obotiue en ontat uivante : R,..., P,..., R og Si on onidèe ue l hothèe. et véifiée, il et lai ue P P og,..., Pog,..., Pui, elon le elation.7 et.9, il aaaît ue l oigine du eèe {} déend uniuement de atiulation, et. Aini, P og,..., Pog,..., e oblème e déomoe alo en deu. a elation de oition uivante doit d abod ête olutionnée : P og,..., P. Ce ui emet d obteni, et. a elation d oientation uivante doit enuite ête olutionnée : R,..., R Selon le elation. et.7, ette eeion eut ête ééite ou la fome uivante : R,..., R,..., R Pae ue, et ont onnue, la oiété. nou emet de ééie le oblème ou la fome uivante : T R,..., R,..., R. a elation. eut alo ête olutionnée de façon à obteni, et.... Solution de éuation de oition e éuation de oition déite a une elation de la fome de. euvent ête olutionnée de toi façon : algébiue[caig, 989], géométiue [Song & Vidaaga, 989] et numéiue [Wang & Chen, 99]. Nou allon maintenant onidée la méthode algébiue ui aliue à la majoité de obot indutiel. a méthode algébiue onite imlement à éoude le tème d éuation non linéaie en utiliant inialement de identité tigonométiue. Pae ue la méthode n et a tématiue, nou allon l eliue à l aide d un eemle.

4 SYS-87 Stème obotiue en ontat Eemle.. Soit le maniulateu obotiue déit a la Figue.. Ce maniulateu lan oède toi atiulation otoïde. Pae ue l outil du maniulateu et ontaint à e délae dan un lan, il a eulement deu degé de libeté oible en oition et un eul en otation. Hothèe. onite alo à uoe ue la denièe atiulation et otoïde. Cette hothèe étant véifiée, on eut éae le oblème de inématiue invee en deu atie. Conidéon don le oblème ui onite à olutionne le éuation de oition. a inématiue diete de e maniulateu a déjà été obtenue à l eemle.. et et donnée a la elation uivante : T. {T} t outil t membe atiulation {} {}, bae {} membe {} membe atiulation atiulation Figue. : Maniulateu de l eemle...

5 SYS-87 Stème obotiue en ontat éuation de oition et don P Ce ui e éume à deu éuation à deu inonnue : a omme de aé de, et emet tè ouvent d obteni la olution ou une de vaiable d atiulation. En faiant ette oéation, nou obtenon : En utiliant le identité tigonométiue A. et A. donnée en Annee A, on obtient : On déduit alo ue.7 Pui, elon l identité A., nou déduion également ue ±.8 a vaiable d atiulation et alo donnée a la elation uivante :, atan.9 où atan et une fontion tangente invee ui tient omte de uate uadant. Remaue u il eite deu olution ou. En effet, eut ête alulé ave un igne lu ou un igne moin en avant du adial. e deu olution oible ont illutée a la

6 SYS-87 Stème obotiue en ontat Figue. : la olution loue et donnée a tandi ue elle loue et donnée a. Remaue également ue i et uéieu à ou inféieu à, il n a a de olution. Dan e a, la olution n eite a ae ue le oint, et à l etéieu de l enveloe de tavail du obot; et-à-die ue ette oition ne eut ête atteinte a l etémité du maniulateu. - - Figue. : e deu olution oible. Maintenant ue et onnu, on eut obteni en ubtituant dan le elation de et de. En effet, e elation euvent ête ééite en utiliant le identité A.: En faiant la ubtitution uivante : o φ in φ

7 SYS-87 Stème obotiue en ontat on obtient o φ o in φin o φ in in φo En utiliant le identité tigonométiue A., nou avon : d où o φ in φ atan, φ atan, atan,. a olution et don obtenue ou et.... Solution de éuation d oientation e éuation d oientation déite a une elation de la fome de. ont généalement olutionnée gâe à la méthode algébiue. e même tu ue dan le a de la olution de éuation de oition ont don utilié. Eemle.. Pou illute la méthode, nou allon eende l eemle.. en onidéant maintenant le oblème de l oientation. Comme nou l avon déjà mentionné dan l eemle.., ae ue l outil du maniulateu et ontaint à e délae dan un lan, il a eulement deu degé de libeté oible en oition et un eul en otation. Hothèe. onite alo à uoe ue la denièe atiulation et otoïde. Cette hothèe étant véifiée, on eut éae le oblème de inématiue invee en deu atie. a atie oition a été éolue à l eemle.. e ui nou a emi d obteni et en fontion de la oition de l oigine du eèe {} et. e oblème onite maintenant à éoude le oblème de

8 SYS-87 Stème obotiue en ontat l oientation. Pae ue l hothèe. et véifiée dan un lan, la elation. end la fome uivante : R T R R Remaue ue ae ue le maniulateu et ontaint dan un lan, il a une eule otation oible elon l ae. Aini, elon le éultat de l eemle.., la elation A. et le identité tigonométiue A., ette elation end la fome uivante : o in in o T Il et lai ue la olution de ette éuation et. a inématiue invee du maniulateu de la Figue. et don donnée a le elation.7 à.. Comme nou l avon eliué au début de e haite, ou teni omte de la oition et de l oientation de l outil dan le alul de la inématiue invee, il uffit de tanfome a oition et on oientation dan le eèe {} et d utilie e donnée lo du alul de elation.7 à.. Dan e a, elon l eemle.., t t t t t t T Selon la elation A., ette éuation eut ête ééite omme uit : t t t t t t T

9 SYS-87 Stème obotiue en ontat d où t t t t t t t t T où t, t et la oition de l outil dan l eae de tavail et t et on oientation. avantage de onidée ette tanfomation aè le alul de la inématiue invee et de ouvoi failement hange d outil en ealulant imlement ette tanfomation an efaie le alul de la inématiue invee. Eemle.. Soit le maniulateu obotiue déit a la Figue.. a inématiue de e maniulateu ationné a toi atiulation otoïde a été obtenue à l eemle.. et et donnée a la matie de tanfomation homogène uivante: T On emaue ue ette matie omote uniuement une matie de otation. En effet, le iège ationné a le maniulateu ne ubit auune tanlation. e oblème de inématiue invee ne omote don ue la atie otation. e oblème déit a la elation. end don la fome uivante : R R,, où R et la matie de otation ui eéente l oientation du denie membe du maniulateu a aot à a bae. Cette elation eut ête ééite ou la fome lu eliite uivante : Il faut don éoude un tème de 9 éuation à inonnue. Évidemment, il a luieu éuation ui ont déendante le une de aute. Nou ne omme don a foé d utilie toute le éuation. e lu ouvent, on tente d utilie le éuation le lu

10 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 imle; elle ui nou emettent de touve lu failement la olution. Baé u e inie, du teme, on obtient de ote ue ± Remaue u on doit faie un hoi ente la olution oitive et la olution négative de. a olution de la inématiue invee ou la deuième oodonnée généaliée et don -, ± atan Connaiant, on eut failement déduie et à ati de teme,,,,, et, à ondition ue. En effet, dan e a, atan, et atan, Remaue ue loue, le obot et dan une onfiguation ingulièe. Dan e a, π/ de ote ue le ae de atiulation et ont aligné. e mouvement de l atiulation ne eut alo lu ête ditingué de elui de l atiulation. En généal, on eaie d évite ette onfiguation lo de la lanifiation de la tajetoie.

11 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 Atiulation Atiulation Atiulation Figue. : Maniulateu de l eemle Maniulateu edondant Il et oible d obteni la inématiue invee d un maniulateu edondant en augmentant l eae de a tâhe. a oition et/ou l oientation d un ou de luieu membe aute ue l etémité eut a eemle ête utiliée omme augmentation.

12 SYS-87 Stème obotiue en ontat 9 Eemle.. Conidéon le maniulateu edondant illuté a la Figue.., bae Figue. : Maniulateu edondant. a oe du eèe de l etémité de e maniulateu et donnée a le veteu uivant : χ [ θ ] T Étant donné ue l eae de la tâhe omote degé de libeté et ue elui du maniulateu en omote, on doit augmente l eae de la tâhe de oodonnée indéendante. On eut hoii d augmente l eae de la tâhe à l aide de la oe d un aute membe du maniulateu. e oodonnée ajoutée doivent eendant ête indéendante non eulement ente elle mai également a aot à, et θ. Si on onidèe la oe d un aute membe, la eule oibilité et elle du membe noté a χ N [ θ ] T N N N où N et N eéente la oition du eèe {} a aot à la bae tandi ue θ N eéente on oientation autou de l ae.

13 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 Selon la inématiue obtenue à l eemle.., le oblème de inématiue invee onite à éoude le deu elation uivante : o in in o θ θ θ θ o in in o N N N N N N θ θ θ θ a deuième elation inématiue et de la même fome ue elle éolue à l eemle... a olution de ette elation et a onéuent donnée a le éuation uivante :, atan, atan N N, atan N θ où et ± a atie onenant la oition de la emièe elation inématiue eut ête ééite ou la fome uivante : En enant la omme de e deu elation élevée au aé tout en utiliant le identité tigonométiue A. et A., on obtient

14 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 d où de ote ue ± a olution ou et alo donnée a la elation uivante : atan, En utiliant le identité A., le deu elation de oition déite lu haut euvent ête ééite ou la fome uivante : En onidéant le hangement de vaiable uivant : o φ in φ Selon l identité tigonométiue A., le deu elation euvent alo ête ééite ou la fome uivante : o φ in φ a oodonnée et alo donnée a la elation uivante : atan atan,, a atie otation de la emièe éuation inématiue nou emet enuite de déduie ue θ d où θ

15 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7.. Stème obotiue multi-etémité a inématiue invee de tème obotiue à luieu etémité obtient eatement de la même façon ue ou le tème à une eule etémité à l eetion u il a lu d éuation à éoude. En effet, ou le tème à une etémité, nou avon vu ue le oblème de la inématiue invee et d obteni la olution de l éuation.. Pou le tème multi-etémité, l éuation à éoude end lutôt la fome uivante : n j T,,, n T, j,,...nombe d'etémité - j où T j et la matie de tanfomation ui eéente la oition et l oientation du eèe du denie membe de la haîne j. Eemle.. Soit le maniulateu obotiue illuté a la Figue.. a inématiue diete de e maniulateu à deu etémité a été obtenue à l eemle... a inématiue de la haîne iniale était donnée a la elation uivante : T tandi ue elle de la haîne eondaie était donnée a la elation uivante : T

16 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 bae o o o o o o o Figue. : Maniulateu obotiue de l eemle... Étant donné ue le maniulateu et dan un lan, la oition ne eut ête ue elon le ae et tandi ue la otation ne eut ête ue elon l ae. a inématiue invee onite don à éoude le deu tème d éuation uivante : o in in o o in in o Commençon a le emie tème d éuation; elui de la haîne iniale. D abod, l égalité de matie de otation ombinée à l identité tigonométiue A. nou emet d obteni l éuation uivante : π

17 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 Remaue maintenant ue la oition de l etémité doite déend de, et tandi ue on oientation déend de, et. Étant donné ue le maniulateu et dan un lan, le oodonnée généaliée, et ont uffiante ou eime la oition et l oientation de l etémité. a oodonnée et don edondante. Il eite don une olution ou haue valeu de. Pou ette aion, on onidèe le hangement de vaiable uivante : et on éout le tème en fontion de. a emièe éuation à éoude et don la uivante : π En emlaçant ette elation dan le éuation de oition et en utiliant le identité tigonométiue A., on obtient et En élevant e deu éuation au aé, on obtient la olution ou : a olution ou eut enuite ête obtenue : atan, a olution ou et alo donnée a la elation uivante : π

18 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 Paon maintenant au deuième tème d éuation; elui de la haîne eondaie. De façon identiue à e ui a été fait ou le emie tème d éuation, nou avon π Il faut maintenant emaue ue la oition de l etémité déend de oodonnée, et tandi ue on oientation déend de, et. e oodonnée et ont déjà été touvée lo de la olution du emie tème d éuation. Il ne ete don ue le oodonnée et à touve. Étant donné u il ne ete u une oodonnée ou olutionne le éuation de oition, on et foé de hoii ente imoe la oition en ou en. En effet, on ne eut a imoe le deu. Abitaiement, on hoiit de olutionne ou la oition elon. d où, a olution ou la oodonnée et donnée a la elation uivante : ± atan, De la elation d oientation on obtient finalement π e maniulateu de la Figue. n et a tè intéeant lou il et utilié en haîne ouvete uiue la haîne iniale et edondante to de oodonnée ou imoe le mouvement dan un lan tandi ue la haîne eondaie et défiiente a uffiamment de oodonnée ou imoe le mouvement dan un lan. On vea eendant dan la

19 SYS-87 Stème obotiue en ontat 7 ohaine etion ue e maniulateu et lu intéeant lou il et utilié en haîne femée.. Stème à haîne femée a inématiue invee de tème obotiue à haîne femée eut e éoude de deu façon [Khalil & Dombe, 999]:. On eut d abod faie la inématiue invee en onidéant une eule haîne a etémité ui en éolvant enuite le éuation de ontainte.. On eut obteni dietement le modèle inématiue invee de haune de haîne. Dan ette etion, nou veon d abod omment éoude de éuation de ontainte ui omment obteni le inématiue invee elon la emièe méthode et finalement elon la eonde méthode... Solution de éuation de ontainte Comme nou l avon eliué au haite éédent, un tème obotiue à haîne femée e modélie généalement à l aide d un tème à haîne ouvete et d éuation de ontainte de la fome de la elation.. Cette fome de elation omote luieu éuation ui déendent le une de aute. Pou ette aion, la ontainte et ouvent ééite ou la fome de l éuation. ui et un veteu d éuation indéendante. Selon le théoème de la fontion imliite, la elation. eut ête ééite ou la fome eliite donnée a la elation.. Cette elation et utiliée ou éduie le nombe de oodonnée généaliée du tème uiu elle eime laiement la déendane de etaine oodonnée a aot à etaine aute. Cette elation néeite eendant la éolution de la elation.. Cette olution aaente de tè è à la olution d un oblème de inématiue invee. Elle eut don ête obtenue à l aide de atue eliuée dan le etion éédente. Eemle.. Reenon le maniulateu de l eemle.. illuté a la Figue.. À l eemle.., nou avon obtenu la inématiue de e maniulateu en haîne femée. Nou avion touvé

20 SYS-87 Stème obotiue en ontat 77 ue le éuation de ontainte aoiée à la femetue de la boule étaient donnée a la elation uivante : g,,, g g,,, g,,, Nou allon maintenant tanfome ette elation ou une fome eliite., Figue. : Maniulateu de l'eemle... Pou e faie, il uffit de éoude ette elation de façon à eime de oodonnée du tème en fontion de toi aute. e éuation de ontainte et euvent ête ééite ou la fome uivante : et g g En élevant e deu elation au aé et en le additionnant, on obtient

21 SYS-87 Stème obotiue en ontat 78 d où Ce ui imliue ue En emlaçant dan le ontainte, on obtient Ce ui imliue ue Finalement, en emlaçant et dan la denièe elation de ontainte, on obtient a fome eliite de l eeion de la ontainte et don la uivante b g b a.. Méthode ave éolution de ontainte ou un maniulateu et à haîne femée, il a luieu haîne ui onduient à la même etémité. a méthode ave éolution de ontainte onite alo à olutionne le oblème de inématiue invee obtenu en onidéant une eule haîne inématiue a etémité. Cette oédue emetta d obteni une atie de oodonnée du maniulateu en fontion de la oe de etémité. e aute oodonnée ouont enuite ête obtenue en olutionnant le éuation de ontainte. Ce ui emetta de éduie le modèle. Eemle.. Reenon de nouveau le maniulateu de la Figue.. a définition de l ouvetue de haîne aini ue le modèle inématiue en haîne ouvete ont été obtenu au eemle.. et.. du haite I. a inématiue invee de e maniulateu onite d abod à éoude le oblème de inématiue invee ou une eule haîne du maniulateu. Si on onidèe ue l etémité et eéentée a le eèe {}, on eut hoii de faie la inématiue invee de la haîne fomée a le o,,, et ou de la haîne fomée

22 SYS-87 Stème obotiue en ontat 79 a le o,,,, et. Nou hoiion la haîne,,, et. a inématiue invee de ette haîne a été obtenue à l eemle... Il uffit don de emlae la olution de éuation de ontainte dan e elation inématiue invee. e éuation de ontainte ont été éolue à l eemle... a olution et don donnée a le elation uivante : atan, π et.. Méthode diete a méthode ou obteni dietement la inématiue invee de maniulateu à haîne femée onite à alule la inématiue invee de haue haîne en onidéant une oe ommune ou haue etémité ui ont liée. Cette méthode et ouvent beauou lu imle loue le haîne inématiue n ont a de o en ommun aute ue la bae et l etémité. e maniulateu aallèle ont ette aatéitiue. En fait, dan le a atiulie de maniulateu en ontat ave un objet et de maniulateu aallèle, la inématiue invee eut ête obtenue dietement en olutionnant l éuation de ontainte donnée a la elation.. a olution de ette éuation eime ou la fome de l éuation. ui eime en effet le atiulation du maniulateu en fontion de la oe de l objet. Eemle..

23 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 Reenon l eemle de la Figue.. Pou obteni la inématiue invee a la méthode diete, on doit d abod hoii une oe ommune au deu etémité. Comme l indiue la Figue. 7, nou avon hoii le eèe {} omme oe ommune de etémité eéentée a le eèe {} et {}. a inématiue de e maniulateu a déjà été obtenue à l eemle... Cette inématiue avait eendant été obtenue ou le etémité eéentée a le eèe {} et {}. Il faut don ajoute la tanfomation homogène ou eime le deu etémité dan le eèe {}. Selon la Figue. 7, ette tanfomation et donnée a la elation uivante : T Aini, elon e ui a été obtenue à l eemle.., le oblème de inématiue invee onite à éoude le deu éuation uivante : o in in o et o in in o éuation de la emièe haîne a été olutionnée à l eemle... Sa olution et la uivante :

24 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 atan, π Dan ette olution, la oodonnée et libe ou edondante. On onidèe maintenant le elation de oition de la emièe haîne moin elle de la deuième, on obtient alo le deu elation uivante : En élevant e deu eeion au aé ui en additionnant le éultat tout en utiliant le identité A. et A., nou obtenon d où Ce ui imliue ue En emlaçant a dan le eeion obtenue lu haut, on obtient d où

25 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 De l égalité de la atie otation de deu haîne, on obtient finalement Puiue et, il enuit ue Figue. 7 : Maniulateu de l eemle... Eemle.. Soit le maniulateu aallèle de l eemle..8 illuté a la Figue.. éuation de ontainte de e maniulateu a été obtenue à l eemle..7. Cette elation et donnée a la elation

26 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 uivante : χ g g χ g, 7 a olution de ette elation de ontainte donne dietement la inématiue invee de e maniulateu. Pou imlifie l éitue de la olution de e tème d éuation, il eut ête ééit ou la fome uivante : g g g g g g 7 χ χ χ χ χ χ En élevant le deu emièe ligne au aé et en le additionnant tout en utiliant le identité A. et A., on obtient : χ χ g g d où g g χ χ et ± e ui imliue ue, atan Connaiant, l identité A. eut ête utiliée ou ééie le deu emièe ligne de l éuation de ontainte ou la fome uivante : χ g φ φ χ g φ φ

27 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 où Aini, elon l identité A., d où φ φ φ g χ φ g χ atan g χ, g χ ϕ atan g χ, g χ atan, o o o bae Figue. 8 : Maniulateu aallèle.

28 SYS-87 Stème obotiue en ontat 8 Cette méthode de olution eut ête éétée ou le ligne et aini ue ou le ligne et de l éuation de ontainte. e oodonnée,, et ont alo donnée a le elation uivante : atan, où g χ g χ et Pui, Aui, où et ± atan-g χ, g χ atan, atan, g χ g χ 7 ± Finalement, atan g χ, g χ 7 atan, atan / 7