Problème 1 : Moteur de Stirling (CCP MP 2011) Dans le moteur étudié ici, un gaz se déplace entre deux chambres, à travers un

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1 Problème 1 : Moteur de Stirling (CCP MP 2011) Dans le moteur étudié ici, un gaz se déplace entre deux chambres, à travers un régénérateur. Le rôle du régénérateur est primordial pour obtenir une bonne efficacité. Le gaz chaud pénètre dans la partie chaude du régénérateur et est progressivement refroidi pour ressortir par l autre extrémité à une température voisine de celle de la source froide. Inversement, lorsque le gaz repasse de la chambre froide à la chambre chaude, il est progressivement réchauffé dans le régénérateur. Ceci permet d effectuer une partie des transferts thermiques à l intérieur même du moteur. Ce problème permet de comprendre l intérêt du régénérateur dans le calcul de l efficacité. Constante du problème 1 1 Constante des gaz parfaits : R= 8,314 J mol K Données sur le dihydrogène ( H 2) On considèrera dans ce problème que le dihydrogène se comporte comme un gaz parfait. Masse molaire : 3 1 MH = 2, kg mol 2 Cp Rapport des capacités thermiques : γ= = 1, 40 C V Description du cycle de Stirling

2 Le cycle associé à un moteur de Stirling est constitué de 2 isothermes et de 2 isochores. Il est décrit comme suit : 1 2 : isotherme compression mécaniquement réversible à T f = 313 K ; 2 3 : transformation isochore de la température T f= 313 K à la température T = 1173 K ; c 3 4 : détente isotherme mécaniquement réversible à T c = 1173 K ; 4 1 : transformation isochore de la température T c= 1173 K à la température T = 313 K. f Caractéristiques du moteur étudié Température de la source chaude : T c = 1173 K Température de la source froide : T f = 313 K Volume minimum du gaz : V m= 1,0 L Volume maximum du gaz : V M= 2, 0 L Masse de dihydrogène contenue dans le moteur : m= 10 g

3 Dans toutes les questions de ce problème, le volume du régénérateur est nul ( V r = 0) comme indiqué sur la figure 2. Dans un premier temps, on ne prend pas en compte le régénérateur. 1. Déterminer la quantité n de gaz et les pressions p 1, p 2, p 3 et p Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme pv ( ). 3. Exprimer algébriquement la variation d énergie interne Uab et les transferts énergétiques, W ab et Q ab, entre un état a et un état b pour une transformation isotherme mécaniquement réversible. 4. Exprimer algébriquement la variation d énergie interne Ucd et les transferts énergétiques, W cd et Q cd, entre un état c et un état d pour une transformation isochore. 5. Calculer numériquement les travaux W1 2, W2 3, W3 4 et W Calculer numériquement les transferts thermiques Q1 2, Q2 3, Q3 4 et Q Que valent les transferts thermiques Q c et Q f provenant des thermostats chaud et froid si aucun dispositif supplémentaire n intervient (pas de régénérateur) en fonction des transferts thermiques Q1 2, Q2 3, Q3 4 et Q4 1? Effectuer l application numérique. 8. Que vaut le travail W sur le cycle? Effectuer l application numérique.

4 9. En déduire numériquement l efficacité sans régénérateur ( e sr ). On prend maintenant en compte la présence du régénérateur, que l on supposera parfait (volume négligeable, transfert parfait). Les transferts thermiques Q2 3 et Q4 1 sont alors internes. 10. Vérifier que les transferts thermiques Q2 3 et Q4 1 se compensent. W1 2+ W3 4 L efficacité est alors calculée à partir de e=. Q Justifier cette expression. 12. Exprimer l efficacité (e ) en fonction de T c et T f. Effectuer l application numérique. 13. Comparer l efficacité (e ) à l efficacité de Carnot ( e C ). Problème 2 : Modèle d'atmosphère (CCP PSI 2015) On s intéresse à l équilibre de l air dans l atmosphère terrestre. Les valeurs de référence pour la température et la pression seront celles relevées à la surface de la Terre, à savoir P 0 = 1, Pa et T 0 = 300 K. L air sera assimilé à un gaz parfait. On repère ici l espace par le trièdre (O, x, y, z). L axe des z vertical est dirigé vers le haut et son origine O coïncide avec la surface de la Terre. A.l - Equilibre isotherme de l atmosphère On suppose ici que la température de l atmosphère est uniforme et vaut T0 pour tout

5 z. On note p air (z) la masse volumique de l air à l altitude z. 1 ) On note M air la masse molaire de l air. Quels sont les deux principaux constituants physicochimiques de l air? En quelles proportions molaires y sont-ils présents? En ne considérant que ces deux principaux constituants de l air, déterminer la valeur numérique de Mair. 2 ) En écrivant une condition d équilibre mécanique sur un élément infinitésimal d atmosphère situé entre les altitudes z et z + dz, montrer que : dp dz = ρ air g 3 ) Déterminer l expression de la pression P(z) de l air en fonction de l altitude z. 4 ) En déduire un ordre de grandeur de l épaisseur caractéristique de l atmosphère. A.2 - Equilibre de l atmosphère caractérisée par un gradient de température et formation de la base du nuage. La température dans les basses couches de l atmosphère n est pas uniforme mais décroît avec l altitude. Dans cette partie, on admettra que cette température suit une décroissance affine de la forme : T(z) = T 0 -λz avec T 0 = 300 K et λ = 0,007 K.m ) a) a) A partir de la condition d équilibre mécanique d un élément infinitésimal d atmosphère, déterminer l expression littérale de P(z). b) Les applications numériques donnent : Altitude (km) Pression (Pa) 0, l4 600 Jusqu à quelle altitude et avec quelle précision, le modèle de l atmosphère

6 isotherme est-il pertinent? A.3 - Profil de température au sein d une colonne d air humide à toutes les altitudes, formation du nuage D un point de vue thermodynamique, l ascension verticale d une colonne d air humide, depuis la surface de la Terre à la pression P 0, jusqu à l altitude z à la pression P(z), sera assimilée à une détente adiabatique et mécaniquement réversible. Par ailleurs, l air humide contenant une faible quantité de vapeur d eau sera encore assimilable à un gaz parfait de masse molaire Mair. 6 ) Ecrire le système d équations permettant de déterminer le profil de température T(z) au sein d une colonne d air humide, en équilibre mécanique, pour toutes les altitudes. La résolution des équations précédentes aboutit à l expression : z T ( z) = T0.(1 ) avec z 2 z 2 = γ RT ( ) 0 γ M 1 air g 7 ) a) Par extrapolation, évaluer la pression de vapeur saturante de l eau à l altitude z = 500 m. b) En supposant que la fraction molaire de l eau dans la colonne d air humide est de 4 %, montrer que l eau devrait se liquéfier en dessous de 500 m. c) En général, les observations rendent compte d une liquéfaction survenant à des altitudes légèrement supérieures. Expliquer. Ce phénomène de métastabilité existe aussi pour des corps très purs lors du changement d état liquide-solide. Dans ce dernier cas, quel nom lui est associé?

7 A.4 - Stabilité du nuage : pourquoi les gouttelettes d eau de la partie inférieure du nuage ne tombent-elles pas? On supposera dans cette étude sur la stabilité du nuage que l air est immobile dans le référentiel terrestre et a une masse volumique constante ρ air = l,2 kg.m -3. On repère ici l espace par le trièdre (O, x, y, z ). L axe des z vertical est dirigé vers le bas et son origine O coïncide avec la base d un cumulo-nimbus (figure 4) On considère la chute d une fine gouttelette d eau liquide de rayon r = 0,01 mm, située initialement à m au-dessus de la surface de la Terre et dépourvue de vitesse initiale. On suppose que les frottements exercés par l air sur la gouttelette sont modélisables par la force f = 6πη airrv, où ηair correspond à la viscosité de l air et v à la vitesse de la gouttelette. 8 ) a) Faire un bilan des forces exercées sur la gouttelette d eau. b) Pourquoi est-il légitime de ne pas prendre en compte la poussée d Archimède? c) En déduire l équation différentielle vérifiée par la vitesse v de la gouttelette d eau. 9 ) Montrer que la gouttelette d eau tend à atteindre une vitesse limite, notée v lim, dont on précisera l expression ainsi que sa valeur numérique. 10 ) Evaluer un ordre de grandeur de la durée nécessaire pour que la gouttelette

8 d eau atteigne sa vitesse limite. 11 ) A l aide d une approximation que l on justifiera, déterminer la durée de chute d une gouttelette d eau depuis la base d un cumulo-nimbus, initialement située à m au-dessus de la surface de la Terre, jusqu au sol. 12 ) Par ailleurs, quel phénomène thermodynamique peut justifier la stabilité mécanique du nuage, même en l absence de courants ascensionnels suffisants? Problème 3 : Système liquide-vapeur Propriétés thermodynamiques de l eau 1 1 c L = 4,18 kj kg K : capacité thermique massique de l eau liquide α 4 1 = 1, 5 10 K : coefficient de dilatation isobare de l eau liquide Notations

9 θ : température en degré Celsius p s : pression de vapeur saturante v L : volume massique du liquide saturant h L : enthalpie massique du liquide saturant v G : volume massique de la vapeur saturante h G : enthalpie massique de la vapeur saturante x : titre en vapeur du système v m : volume massique du système h m : l enthalpie massique du système l v ( T ) : enthalpie massique de vaporisation à la température T A. Préliminaires 1. Montrer que x = vm vl v v. G L On admettra que de même x = hm hl h h. G L 2. Rappeler la relation reliant l v ( T ) à h ( T ) et ( ) G h T. L B. Détente adiabatique réversible On considère un cylindre indéformable calorifugé. Il est fermé par un piston, également calorifugé. Initialement, le volume du cylindre est V = 10 L. L introduction d une masse m = 10 g d eau dans le cylindre permet d obtenir un système liquidevapeur en équilibre à la température θ= 100 C. L entropie massique du système à la température T, s écrit

10 ( ) l ( ) = + V T x s xt, cl lnt + cste. T 1. Déterminer le titre initial en vapeur x de ce système. 2. Ce système subit une détente adiabatique réversible de la température θ à la température θ = 50 C. Montrer que le titre massique en vapeur x du système liquide-vapeur à la fin de la détente s écrit ( θ) h ( θ) θ θ h G L x = + ( θ) ( θ) cl ln θ x θ. hg hl 3. Quel titre massique en vapeur x aurait-on dû avoir, à la température θ= 100 C, pour qu au cours de la détente définie ci-dessus (B.2.) ce titre reste constant? C. Turbine à vapeur Dans cette partie les calculs concernent une masse m = 1,00 kg de fluide. Dans le circuit secondaire d une centrale nucléaire, le fluide caloporteur traverse un générateur de vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d alimentation.

11 Les transformations subies par l eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit cidessous : A B : compression adiabatique réversible, dans la pompe d alimentation, de la pression p 1 = 0,056 bar à la pression p 2 = 69,200 bar du condenseur à la pression p 1 et à la température T 1 (état A)., du liquide saturant sortant Cette compression entraine une élévation T de la température du liquide. B D : échauffement isobare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène le liquide de l état B à l état de liquide saturant sous la pression p 2 et à la température T 2 (état D). D E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression p 2. E F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p 2 à p 1.

12 F A : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression p 1, de la vapeur présente dans l état F. 1. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron ( pv, ). 2. Que valent les températures T 1 et T 2? En déduire les valeurs des températures T A, T D, T E et T F correspondant respectivement aux états A, D, E et F. 3. La différentielle de l entropie massique du liquide s écrit, en fonction des variables T et p, dt ds= cl αvldp. T On note T = T T l élévation de température du liquide dans la pompe B A d alimentation. Sachant que T T A, calculer T. On supposera, pour ce calcul, que le volume massique v L du liquide reste quasiment constant et égal à 1 10 m kg. On rappelle également que pour ε 1, ( ) ln 1 + ε ε. Dans la suite du problème on négligera T. 4. Calculer le titre x F et l enthalpie massique h mf du système liquide-vapeur sortant de la turbine (état F). 5. Calculer les quantités d énergie Q 1 et Q 2 reçues par 1,00 kg d eau, par transfert thermique, respectivement dans le condenseur et dans le générateur de vapeur. 6. Calculer le travail W reçu, par 1,00 kg de fluide, au cours du cycle.

13 7. Calculer l efficacité ρ (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette efficacité à celle ρ C d un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures extrêmes T 1 et T Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on peut négliger la variation d enthalpie h AB. Montrer, alors, que le travail W peut s exprimer en fonction des enthalpies massiques du fluide à l entrée et à la sortie de la turbine.

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