Soit n un entier supérieur ou égal à 0. On note b n la proportion des adhérents ayant un abonnement de type. l année n.

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1 Amérique du Nord Mai 1 Série ES Exercice U club de sport propose à ses adhérets deux types d aboemets : l aboemet de type A qui doe accès à toutes les istallatios sportives et l aboemet de type B qui, e plus de toutes les istallatios sportives, doe accès au saua, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhéret doit choisir u des deux aboemets. La première aée, e 1, 8% des cliets ot choisi l aboemet de type A. O cosidère esuite que 3% des adhérets ayat u aboemet de type A chaget d aboemet pour l aée suivate, tadis que 1% des adhérets ayat u aboemet de type B chaget d aboemet pour l aée suivate. Soit u etier supérieur ou égal à. O ote a la proportio des adhérets ayat u aboemet de type A l aée 1+. O ote b la proportio des adhérets ayat u aboemet de type B l aée 1+. Efi, o ote P= ( a b) la matrice traduisat l état probabiliste de l aée Détermier P.. Représeter cette situatio par u graphe probabiliste. 3. Ecrire la matrice de trasitio M associée à cette situatio. 4. Détermier la matrice P. E déduire la probabilité pour qu e 1 u adhéret choisisse l aboemet de type A. 5. Motrer que pour tout etier supérieur ou égal à, a + 1 =,6a +,1. 6. Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o pose u = 4a 1. Motrer que la suite ( ) u est géométrique de raiso,6. Préciser so premier terme. PaaMaths [ 1-6 ] Jui 1

2 7. Pour tout etier supérieur ou égal à, exprimer u e foctio de. E déduire a e foctio de. 8. Calculer la limite de la suite ( ) a puis iterpréter cocrètemet ce résultat. PaaMaths [ - 6 ] Jui 1

3 Aalyse U exercice assez classique sur u graphe probabiliste simple. Parfait pour s etraîer! Résolutio Questio 1. D après l éocé, e 1, 8% des cliets ot choisi l aboemet de type A. O a doc a = 8% =,8 et, % des cliets ayat choisi l aboemet de type B (les cliets ayat l obligatio de choisir l u ou l autre de ces deux aboemets), b = % =,. O a doc : P = (,8, ) Questio. La situatio proposée peut être représetée à l aide d u graphe probabiliste où o a les probabilités de trasitio suivates : A B :,3 car 3% des cliets ayat u aboemet de type A chaget l aée suivate. A A :,7. Cette valeur découle de la probabilité précédete : 1% 3% = 7% des cliets ayat u aboemet de type A le coservet l aée suivate. B A :,1 car 1% des cliets ayat u aboemet de type A chaget l aée suivate. B B :,9. Cette valeur découle de la probabilité précédete : 1% 1% = 9% des cliets ayat u aboemet de type B le coservet l aée suivate.,7 A,1 B,9,3 Questio 3. Les sommets du graphe état pris das l ordre A, B o a immédiatemet :, 7,3 M =,1,9 PaaMaths [ 3-6 ] Jui 1

4 Questio 4. Pour tout etier aturel, o a : P = PM. D où P, 7,3 Avec M =, o obtiet :,1,9 = PM., 7,3, 7,3 M =,1,9,1,9, 7, 7 +,3,1, 7,3 +,3,9 =,1, 7 +,9,1,1,3 +,9,9,5, 48 =,16,84 Alors : P = PM,5, 48 = (,8, ),16,84 = + + = (,8,5,,16,8, 48,,84) (, 448,55) O e déduit alors la probabilité demadée puisqu il s agit du premier élémet de la matrice P = a b. lige ( ) ( ) P =, 448,55 La probabilité qu u adhéret choisisse l aboemet de type A e 1 vaut,448. Questio 5. O a, pour tout etier aturel : P = + 1 PM, soit :, 7,3,1,9 ( a b ) = ( a b ) = (, 7a +,1b,3a +,9b ) O a doc : a 1 =,7a +,1b. Mais pour tout etier aturel, o a égalemet : a + b = 1, + soit b = 1 a. O e déduit : a = 1, 7a + +,1b ( a ) =,7a +,1 1 =, 7a +,1,1a =, 6a +,1. PaaMaths [ 4-6 ] Jui 1

5 Le résultat est aisi établi. Pour tout etier aturel, o a : a = 1,6a + +,1. Questio 6. Pour tout etier aturel, o a : u = 4a ( a ) = 4,6 +,1 1 = 4,6a +,4 1 =,6 4a,6 ( a ) =,6 4 1 =,6u O a aisi établi que la suite ( u ) était ue suite géométrique de raiso,6. Comme a =,8 il viet immédiatemet : u = 4a 1= 4,8 1= 3, 1=,. La suite ( u ) est ue suite géométrique de raiso q =,6 et de premier terme u =,. Questio 7. D après le résultat précédet, o a immédiatemet : u,,6 =. 1 1 Comme u = 4a 1, il viet : a = ( u + 1) = (,,6 + 1) =,55,6 +, Pour tout etier aturel, o a : u =,,6 et a =,55,6 +, 5 Questio 8. Comme, 6 ] 1;1[, o a immédiatemet lim,6 = puis lim a =, Au bout d u grad ombre d aées, il y aura eviro u quart des adhérets du club qui aura choisi l aboemet A. lim a =, 5 + Au bout d u grad ombre d aées, il y aura eviro u quart des adhérets du club qui aura choisi l aboemet A. PaaMaths [ 5-6 ] Jui 1

6 Remarque : la matrice M e comporte pas de et o sait, das ce cas, que le graphe probabiliste cosidéré admet u état stable uique, solutio de l équatio matricielle : XM = X. X = x y, il viet : E posat ( ) XM = X, 7,3 ( x y) = ( x y),1,9 = + +, 7x+,1y = x,3x+,9 y = y,1y =,3x y = 3x ( x y) (, 7x,1y,3x,9y) E teat compte de x + y = 1, o obtiet facilemet x =, 5 et y =,75. O retrouve aisi la limite de la suite ( a ) sas avoir eu à l expliciter. PaaMaths [ 6-6 ] Jui 1

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