N o XIF au catalogue. Techniques d'enquête. Juin 2005

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1 N o -00-IF au caaloue Technques d'enquêe Jun 005

2 Commen obenr d aures rensenemens Toue demande de rensenemens au sue du présen produ ou au sue de sasques ou de servces connexes do êre adressée à : Dvson des méhodes d enquêes auprès des enreprses, Sasque Canada, Oawa, Onaro, KA 0T6 (éléphone : ). Pour obenr des rensenemens sur l ensemble des données de Sasque Canada qu son dsponbles, veullez composer l un des numéros sans fras suvans. Vous pouvez éalemen communquer avec nous par courrel ou vser nore se Web. Servce naonal de rensenemens Servce naonal d apparels de élécommuncaons pour les malenendans Rensenemens concernan le Proramme des servces de dépô Télécopeur pour le Proramme des servces de dépô Rensenemens par courrel nfosas@sacan.ca Se Web Rensenemens pour accéder au produ Le produ n o -00-IF au caaloue es dsponble rauemen. Pour obenr un exemplare, l suff de vser nore se Web à e de chosr la rubrque Nos produs e servces. Normes de servce à la clenèle Sasque Canada s enae à fournr à ses clens des servces rapdes, fables e couros, e ce, dans la lanue offcelle de leur chox. À ce éard, nore oransme s es doé de normes de servce à la clenèle qu doven êre observées par les employés lorsqu ls offren des servces à la clenèle. Pour obenr une cope de ces normes de servce, veullez communquer avec Sasque Canada au numéro sans fras Les normes de servce son auss publées dans le se sous À propos de Sasque Canada > Offrr des servces aux Canadens.

3 Sasque Canada Dvson des méhodes d enquêes auprès des enreprses Technques d'enquêe Jun 005 Publcaon auorsée par le mnsre responsable de Sasque Canada Mnsre de l Indusre, 006 Tous dros réservés. Le conenu de la présene publcaon élecronque peu êre reprodu en ou ou en pare, e par quelque moyen que ce so, sans aure permsson de Sasque Canada, sous réserve que la reproducon so effecuée unquemen à des fns d éude prvée, de recherche, de crque, de compe rendu ou en vue d en préparer un résumé desné aux ournaux e/ou à des fns non commercales. Sasque Canada do êre cé comme su : Source (ou «Adapé de», s l y a leu) : Sasque Canada, année de publcaon, nom du produ, numéro au caaloue, volume e numéro, pérode de référence e pae(s). Auremen, l es nerd de reprodure le conenu de la présene publcaon, ou de l emmaasner dans un sysème d exracon, ou de le ransmere sous quelque forme ou par quelque moyen que ce so, reproducon élecronque, mécanque, phooraphque, pour quelque fn que ce so, sans l auorsaon écre préalable des Servces d ocro de lcences, Dvson des servces à la clenèle, Sasque Canada, Oawa, Onaro, Canada KA 0T6. Ma 006 N o -00-IF au caaloue ISSN Pérodcé : semesrel Oawa Ths publcaon s avalable n Enlsh upon reques (caaloue no. -00-IE) Noe de reconnassance Le succès du sysème sasque du Canada repose sur un parenara ben éabl enre Sasque Canada e la populaon, les enreprses, les admnsraons canadennes e les aures oransmes. Sans cee collaboraon e cee bonne voloné, l sera mpossble de produre des sasques précses e acuelles.

4 4 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes Vol. 3, N o, pp Sasque Canada, N o -00 au caaloue Vérfcaon des erreurs sysémaques d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes Marco D Zo, Uo Guarnera e Orea Luz Résumé Dans le domane de la sasque offcelle, le processus de vérfcaon des données oue un rôle mporan dans la rapdé de producon, l exacude des données e les coûs d enquêe. Les echnques adopées pour déceler e élmner les erreurs que conennen les données doven essenellemen enr compe smulanémen de ous ces aspecs. L une des erreurs sysémaques que l on observe fréquemmen dans les enquêes vsan à recuellr des données numérques es celle de l uné de mesure. Cee erreur a une fore ncdence sur la rapdé de producon, l exacude des données e le coû de la phase de vérfcaon e d mpuaon. Dans le présen arcle, nous proposons une formalsaon probablse du problème basée sur des modèles de mélanes fns. Ce cadre nous perme de raer le problème dans un conexe mulvaré e fourn en oure pluseurs danoscs ules pour éablr la proré des cas qu doven êre examnés plus en profondeur par examen manuel. Le classemen des unés par ordre de proré es mporan s l on veu accroîre l exacude des données, ou en évan de perdre du emps en fasan le suv d unés qu ne son pas vramen crques. Mos clés : Vérfcaon; erreur aléaore; erreur sysémaque; vérfcaon sélecve; classfcaon fondée sur un modèle.. Inroducon Les élémens qu déermnen la qualé d un processus de vérfcaon e d mpuaon (V e I) son mulples e on éé décrs en déal dans la léraure (Granqus 995). Nous nous néressons à une erreur non due à l échanllonnae parculère qu a une fore ncdence sur deux dmensons concurrenes mporanes de la qualé, à savor la rapdé de producon e l exacude des données. En ce qu concerne l exacude, nous adopons la défnon proposée dans l Encyclopeda of Sascal Scences (999) : [raducon] «L exacude s enend de la concordance enre les sasques e les caracérsques cbles». Un ceran nombre de faceurs peuven causer des nexacudes ou au lon du processus d enquêe sasque. L nexacude peu êre rédue duran la phase de vérfcaon e d mpuaon, qu on peu consdérer comme un «oul d améloraon de l exacude râce auquel les données erronées ou rès suspeces son découveres e, au beson, corrées (mpuées)» (Federal Commee on Sascal Mehodoloy 990). Éan donné la complexé des phénomènes éudés e l exsence de pluseurs ypes d erreur non due à l échanllonnae, la phase de vérfcaon e d mpuaon peu êre rès lonue e complexe (Granqus 996). Dans la léraure spécalsée, une classfcaon courane des erreurs repose sur la défnon de deux caéores d erreur, à savor l erreur sysémaque e l erreur aléaore. La premère caéore comprend les erreurs qu son oues de même sne e produsen un bas en sasque, ands que la seconde enlobe les erreurs qu son répares aléaoremen auour de zéro e on une ncdence sur la varance des esmaons (Encyclopeda of Sascal Scences 999). Comprendre la naure des erreurs ade non seulemen à en déermner la source e en évaluer les effes sur les esmaons, mas auss à adoper la méhode convenan le meux pour les correr (D Zo e Luz 00). Alors que l approche de Felle Hol (Felle e Hol 976) es un modèle reconnu pour s occuper des erreurs aléaores, des soluons poncuelles son énéralemen adopées pour raer les erreurs sysémaques (vor, par exemple, Eured 003, vol., chapre 5). Habuellemen, les erreurs sysémaques son raées avan les erreurs aléaores, parculèremen s ces dernères le son au moyen d un locel auomasé, comme le Sysème énéralsé de vérfcaon e d mpuaon (SGVI) (Kovar, Mac Mllan e Whrde 988) e, plus récemmen, De Waal (003). Dans la famlle des erreurs sysémaques, l une don l ncdence sur les esmaons fnales es mporane e qu affece fréquemmen les données des enquêes sasques vsan à évaluer des caracérsques quanaves (par exemple, enquêes auprès des enreprses) es l erreur d uné de mesure mulplée par une consane (par exemple, 00 ou 000). Cee erreur es due au fa que cerans répondans chosssen ncorrecemen l uné de mesure lors de la déclaraon de la quané de cerans ems du quesonnare. À re d exemples d enquêes souffran de ce enre d erreur, nous avons chos deux enquêes réalsées par ISTAT, c es-à-dre l Enquêe alenne sur le coû de la. Marco D Zo, Uo Guarnera e Orea Luz, Ialan Naonal Sascal Insue, Va Cesare Balbo 6, 0084 Roma, Iale.

5 Technques d enquêe, un man-d œuvre (CMO) de 997 e le Sysème d enquêes sur l eau (SEE) de l Iale de 999. La CMO es une enquêe par sondae pérodque conçue pour recuellr des rensenemens sur l emplo, le nombre d heures ravallées, les raemens e salares, e le coû de la man-d œuvre auprès d envron 000 enreprses compan plus de dx employés. La fure représene le loarhme du coû de la man-d œuvre (LCOST), du nombre d employés (LEMPLOY) e du nombre d heures ravallées (LWORKEDH) dans une marce de darammes de dsperson. Noons qu à l éape de la vérfcaon, la varable d emplo es sans erreur, en rason d une vérfcaon prélmnare de l nformaon provenan des resres des enreprses (Crann, D Zo, Luz e Seeber 000). L analyse de la fure monre que le coû de la man-d œuvre es affecé par deux ypes d erreur d uné de mesure (c es-à-dre faceurs de mllon e de 000), ands que le nombre d heures ravallées ne présene que l erreur du faceur 000. Ces erreurs donnen leu à la formaon de dverses rappes dans la fure. Il conven de soulner, que, dans chaque daramme de dsperson, les rappes qu se rouven dans le con nféreur auche représenen les données non erronées. LCOSTS LEMPLOY LWORKEDH Fure. Daramme de dsperson mulple du coû oal de la man-d œuvre, du nombre d employés e du nombre d heures ravallées (échelle loarhmque). L exemple du SEE sera décr en déal à la sous-secon 4., où nous présenerons une applcaon de la méhode proposée dans le présen arcle en vue de repérer e de raer les erreurs d uné de mesure. Dans le cas de l erreur d uné de mesure, l élémen essenel es la localsaon des ems erronés pluô que leur raemen. En fa, une fos qu un em es classé comme éan erroné, le raemen opmal es déermné de façon unque e consse à prendre une mesure déermnse de correcon de la valeur ornale par une opéraon nverse (par exemple, dvson par 000) qu neuralse l effe de l erreur. En énéral, on s aaque à l erreur d uné de mesure par des procédures poncuelles s appuyan essenellemen sur la représenaon raphque de dsrbuons marnales ou bvarées, e sur des vérfcaons de rappor. Une vérfcaon de rappor es une rèle énonçan que la valeur d un rappor donné enre deux varables do êre comprse dans un nervalle prédéfn. Les bornes de l nervalle son énéralemen déermnées d après des rensenemens a pror ou râce à une analyse exploraore des données, en ulsan évenuellemen des données auxlares fables. Pour le enre d erreur susmenonné, les vérfcaons de rappor son effcaces s les données sur l une des deux varables ne conennen pas d erreur. En oure, elles ne permeen de enr compe que des relaons bvarées enre varables e, même s l on recour à l nspecon raphque neracve (par exemple, marce de darammes de dsperson), on do se lmer à une analyse par pare, e ne pas enr compe des neracons plus complexes enre les varables. Enfn, l fau soulner que le recours à l analyse par pare mplque que les varables doven êre raées selon une hérarche prédéermnée, ce qu accroî la complexé de la méhode de localsaon de l erreur. S l on s en en aux approches classques, le problème de localsaon de l erreur es non seulemen complexe, mas éalemen lon e coûeux. La durée e le coû dépenden prncpalemen : ) de la complexé de la concepon e de la mse en œuvre de procédures déermnses auomasées poncuelles e ) des ressources consacrées à la vérfcaon manuelle des observaons don la probablé d êre erronées es fable e(ou) don l effe sur les esmaons cbles es fable (survérfcaon). Dans le présen arcle, nous proposons une formalsaon probablse du problème au moyen de modèles de mélanes fns (McLachlan e Basford 988; McLachlan e Peel 000). Cee modélsaon peu offrr une approche sasque dscplnée, permean d esmer la probablé condonnelle qu une observaon so affecée par une erreur d uné de mesure. L avanae de l approche proposée es qu elle représene une méhode énérale permean de fare une analyse mulvarée des données e fournssan des élémens qu peuven êre ulsés pour opmser l équlbre enre les composanes auomaques e neracves de la procédure de vérfcaon, c es-à-dre enre la durée e l exacude (Granqus e Kovar 997). La présenaon de l arcle es la suvane. À la secon, nous décrvons le modèle proposé, ans que l alorhme EM ulsé pour esmer les paramères. À la secon 3, nous décrvons les danoscs pour la vérfcaon sélecve. À la secon 4, nous llusrons les résulas de l applcaon de la méhode proposée à des données smulées, ans que des Sasque Canada, N o -00 au caaloue

6 6 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes données réelles. Enfn, à la secon 5, nous présenons nos conclusons e les fuures ravaux de recherche.. Le modèle Il es dffcle de donner une formalsaon complèe des erreurs aléaores e sysémaques. Dans le présen conexe, nous fournssons une défnon qu, ben qu elle ne so pas exhausve, nclu un rand nombre de suaons couranes. * So le veceur de varables cbles de l enquêe e * ( μ, ) le veceur de moyennes correspondan e la marce des covarances. Supposons que le processus de mesure so affecé par un mécansme d erreur aléaore R ayan un effe sur la srucure de covarance de *, mas lassan le veceur de moyennes nchané e, conséquemmen, représenons par la varable «conamnée» correspondane, avec E ( ) = E ( ) = μ, Var( ) =. En oure, * nous supposons que peu, à son our, êre affecée par un mécansme d erreur sysémaque S assan unquemen sur son espérance mahémaque μ ϕ S ( μ) pour une cerane foncon ϕ (par exemple, s l on suppose que le mécansme d erreur es addf, ϕ (μ) = μ + consane). En rason des deux mécansmes d erreur, que nous supposons êre ndépendans l un de l aure, nous pouvons décrre les données observées au moyen d un veceur aléaore Y don la lo de probablé, sachan, dépend unquemen du mécansme d erreur sysémaque. Nore façon d aborder le raemen des erreurs sysémaques consse à consrure pour Y un modèle axé unquemen sur la déecon des erreurs sysémaques, donc vsan à récupérer les données aléaoremen conamnées représenées par le veceur aléaore. Cee approche es celle énéralemen adopée dans les procédures de vérfcaon où les erreurs sysémaques e les erreurs aléaores son raées séparémen e hérarchquemen. La défnon donnée plus hau de l erreur sysémaque comprend l erreur d uné de mesure, une fos que les données on éé ransformées en échelle loarhmque. En fa, l erreur d uné de mesure a habuellemen l effe de mulpler les varables par un faceur consan. Donc, sur une échelle loarhmque, les données erronées apparassen comme la ranslaon d un veceur de consanes qu dépend des ems qu son erronés («paron d erreur»), ands que la srucure de covarance es la même pour chaque paron d erreur. Qu plus es, en fa, les varables des enquêes-enreprses son fréquemmen consdérées comme suvan une lo lo-normale. Donc, en échelle loarhmque, nous pouvons adoper les paramères aussens. Paran de la formalsaon exposée usqu à présen, nore bu es manenan d affecer chaque observaon à un «paron d erreur» parculer, ce qu reven à localser les ems enachés d une erreur. S nous nerpréons chaque paron d erreur comme éan une «rappe», le problème de localsaon de l erreur deven un problème de classfcaon (cluser analyss) e nous pouvons profer des ensenemens de la héore de la classfcaon basée sur un modèle (Fraley e Rafery 00). Plus précsémen, supposons que nous ayons n observaons ndépendanes Y = ( Y,..., Yq ), =,..., n, correspondan aux veceurs de dmenson q représenés par = (,..., q ) avec la f.d.p. f ( x,..., x q ; θ), elle que E (,..., q ) = ( μ,..., μ q ) = μ, e Var(,..., q ) =. S nous supposons que le seul effe des erreurs sysémaques sur le veceur aléaore es la ransformaon de q q son espérance μ en ϕ (μ), où ϕ ( ) : R R, pour =,..., h, es un ensemble de foncons connues, les foncons ϕ caracérsen de façon unvoque h rappes (parons d erreur) dsnces, qu ne dffèren l une de l aure que par le paramère d emplacemen. Par exemple, s l erreur sysémaque affeca oues les varables s, pour s =,..., q, de la même façon en ransforman leur espérance μ s conformémen à μ s μ s + C, où C es une consane connue, le nombre de rappes sera h = q, c es-à-dre le nombre de combnasons dfférenes de l occurrence de l erreur sur les q varables (y comprs le cas où l n y a pas d erreur). Dans ce cas, chaque foncon ϕ e chaque rappe correspondane sera assocée à l un des q sous-ensembles possbles de varables affecées par l erreur; par exemple, le roupe G caracérsé par le veceur de moyennes μ G = ( μ, μ + C, μ 3, μ 4,..., μ q ) es une rappe d unés présenan une erreur n affecan que la varable. Soulnons que nous supposons qu l exse un marce des covarances commune, parce que nous émeons l hypohèse que l erreur aléaore possble a de la même façon sur oues les données. Aux fns de la localsaon de l erreur, nous suvons une approche par modèle basée sur des modèles de mélanes fns de los où chaque composane du mélane G, =,..., h, représene un paron d erreur parculer. Formellemen, nous supposons que les Y = ( Y,..., Yq ), pour =,..., n, son..d. par rappor à h = π f ( ; θ ), où π = e π 0. Les paramères de mélane π représenen la probablé qu une observaon apparenne à e la composane du mélane. Afn de classer une observaon y dans l un des h roupes, nous calculons la probablé a poseror e τ ( y ; θ, π) = pr ( observaon G y; θ, π), c es-àdre τ ( y ; θ, π ) = π f ( y ; θ ) h = π f ( y ; θ ) =,..., h. La e observaon es assnée à la rappe G s () Sasque Canada, N o -00 au caaloue

7 Technques d enquêe, un τ ( y ; θ, π) > τ ( y ; θ, π) =,..., h;. La rèle d affecaon qu précède es la soluon opmale du problème de classfcaon, en ce sens qu elle mnmse le aux lobal d erreur (Anderson 984, chapre 6). Pusque, au leu des paramères ( θ, π), énéralemen nconnus, nous ulsons les esmaons du maxmum de vrasemblance ( θ ˆ, πˆ ), la rèle de classfcaon deven : τ ( y ; θˆ, πˆ) > τ ( y ; θˆ, πˆ) =,..., h;. () Nous supposons que la foncon f ( y ; θ ) es une foncon de densé mulvarée MN ( μ, ) e que chaque foncon ϕ ( ) a sur le veceur de moyennes μ comme une ranslaon : ϕ ( μ ) = μ + C, où C représene le e veceur de ranslaon pour la moyenne de la rappe que nous supposons êre connue. Ce cadre, comme nous l avons déà soulné, conven pour le raemen de l erreur d uné de mesure. Afn de calculer les esmaons de vrasemblance, nous ulsons l alorhme EM, el que proposé dans McLachlan e Basford (988). Néanmons, un effor supplémenare es nécessare pour adaper l alorhme à nore suaon parculère, où les veceurs moyens des composanes du mélane son lés par une relaon fonconnelle connue. Donc, alors que dans le cas sans conrane (McLachlan e Basford 988), un veceur de moyennes dsnc do êre esmé pour chaque composane du mélane, dans nore suaon conrane, l suff d en esmer un seul. L alorhme EM modfé résulan consse à défnr une valeur nale esmée au ué pour les paramères à (0) (0) esmer π ˆ pour =,..., h, ( μ ˆ, ˆ (0) ) e à applquer usqu à la converence le schéma récursf suvan : ) calculer les probablés a poseror τ = (k ) τ ( y; θ, π ) sous les esmaons couranes π ˆ, (k ) ( ) μˆ, ˆ k (k es l ndce supéreur désnan le k e cycle) τˆ = πˆ h = πˆ ( k exp ) exp ' ( y μˆ ) ( y μˆ ) (k ) ' ( y μˆ ) ( y μˆ ) ) calculer les nouvelles esmaons au moyen des équaons récursves suvanes : μ ˆ ( k+ ) = h π ˆ = ˆ ˆ n ( k+ ) = τˆ / = n = τˆ y / n n h = C πˆ ( k + ) ˆ ( k+ ) h = τˆ = = ( k + ) ( k + ) ' ( k + ) ( y μ )( y μ ) / nπˆ. n Soulnons que μ ˆ représene μ ˆ + C. Dans les applcaons praques, le chox des pons de dépar s avère essenel, comme d habude dans les alorhmes EM (vor Bernack, Celeux e Govaer 003). Pour surmoner ce problème, nous ulsons une sraée d nalsaon, nsprée de Bernack e coll. (003), qu consse en pluseurs exécuons brèves, en ce qu concerne le nombre d éraons, de l alorhme provenan des nalsaons aléaores, suves par une lonue exécuon de l alorhme EM provenan de la soluon qu maxmse la lo-vrasemblance observée. Il mére d êre menonné qu à cause des conranes d emplacemen, les paramères qu doven êre esmés son sensblemen mons nombreux que ceux d un problème de mélane de los habuel. En fa, cee dfférence es d auan plus mporane que le nombre de varables à analyser es rand; par exemple, dans le cas de 3 varables e de 8 rappes, nous devons esmer 6 paramères au leu de 37. Ce aspec es parculèremen mporan quand nous avons affare à de pes échanllons. De surcroî, les conranes sur les emplacemens des rappes permeen de repérer plus faclemen les «rappes rares». En fa, les dsances relaves enre les veceurs de moyennes éan fxes, le problème d esmaon se rédu à esmer l emplacemen du polyèdre convexe don les sommes son les cenroïdes des rappes. Auremen d, pusque l emplacemen d un cenroïde déermne sans ambuïé les posons de ous les aures, les paramères des pees rappes son esmés plus faclemen que s l n exsa pas de conrane. Pusque la modélsaon présenée es fondée sur l hypohèse que les observaons suven une lo normale, la valdaon du modèle es une queson don l fau enr compe. Le problème de l évaluaon de la normalé dans les modèles de mélanes de los es ben décr dans McLachlan e Basford (988). Il es essenellemen fondé sur les quanés â décres plus bas. So y pour =,..., mˆ les observaons assnées à la e rappe pour =,..., h, conformémen au modèle esmé. So pˆ la valeur calculée en se servan des paramères esmés, au moyen de la formule : ( ˆ / ), ˆ ; ˆ νm q D y μ pˆ =, (3) ( )( ˆ ) ˆ, ˆ ; ˆ ν + q m m D y μ où D(, ; M ) es le carré de la dsance de Mahalanobs basée sur la mesure M, e ν = n h q. Nous défnssons Sasque Canada, N o -00 au caaloue

8 8 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes â comme éan l are à la droe de la valeur pˆ sous la dsrbuon F q, ν (pour des précsons, consuler McLachlan e Basford 988, chapre ). Sous l hypohèse de normalé, â pour =,..., mˆ es approxmavemen unformémen dsrbué sur l nervalle (0,). Hawkns (98) propose d ulser la sasque d Anderson-Darln pour évaluer la dsrbuon unforme de â. Les â son éalemen ules pour déceler les valeurs exrêmes, c es-à-dre les observaons aberranes par rappor au modèle. Dans McLachlan e Basford (988), la probablé que y so aypque es d auan plus élevée que â es fable, s ben que oues les observaons avec a ˆ < α, où α es un seul spécfé, peuven êre consdérées comme éan aypques. Les valeurs proposées du seul varen de α = 0, 05 à α = 0,005, selon les observaons aberranes (valeurs plus ou mons exrêmes) qu l fau séleconner. 3. Danoscs pour la vérfcaon sélecve Une fos que les paramères du mélane son esmés, nous pouvons classer les données dans les dverses rappes; auremen d, pour chaque observaon, nous pouvons déermner s l s a d une erreur ou non, e sur quelle varable l erreur pore. Cependan, dvers ypes d observaons crques peuven êre défns après la phase de modélsaon, à savor les unés classées dans une rappe, mas ayan une probablé non néleable d apparenr à une aure rappe, e les observaons qu son des valeurs aberranes par rappor au modèle. Afn d accroîre l exacude des données, l sera ule de procéder à une double vérfcaon des observaons crques (par examen manuel, ou, dans les cas les plus dffcles, par un suv). Par alleurs, afn de rédure la survérfcaon évenuelle e les coûs de vérfcaon, l conven de concenrer l examen manuel e(ou) le suv sur les observaons les plus crques. Le modèle de mélanes proposé fourn des danoscs drecs que l on peu ulser à cee fn. Un premer ype d unés crques es représené par les observaons évenuellemen classées ncorrecemen. Afn de déermner le deré de confance dans la classe arbuée à une observaon y, nous pouvons consdérer la probablé correspondane résulan de (). Les observaons pour lesquelles cee probablé n es pas rès proche de l uné on une probablé non néleable d apparenr à une aure rappe. Ces observaons son celles suées dans la réon où les composanes du mélane se superposen. En plus du ype susmenonné d unés crques, l exse d aures observaons qu son élonées de oues les rappes (oues les composanes du mélane), c es-à-dre les valeurs aberranes par rappor au modèle. Ces observaons représenen auss des suaons crques. Afn de repérer ce enre de valeur aberrane, nous nous servons des quanés â décres à la secon précédene. La probablé de classfcaon e l ndce d aypcalé â devraen êre ulsés, conformémen à une approche de vérfcaon sélecve/selon l mporance (Laouche e Berhelo 99; Lawrence e McKenze 000), pour consrure des foncons de score approprées afn de déermner l ordre de proré des unés crques. Nous donnons un exemple d ulsaon de ces danoscs dans ce bu à la sous-secon Exemples Nous décrvons c ceranes expérences réalsées en vue d éuder les parcularés de la méhode proposée. En premer leu, râce à une éude en smulaon, nous analysons les propréés du modèle proposé lorsqu l es applqué à des données qu s écaren de la normalé. Deuxèmemen, au moyen de données réelles, nous décrvons commen l approche peu êre applquée dans le domane de la sasque offcelle. Toues les expérences son réalsées dans l envronnemen R pour calcul sasque (hp:// 4. Exemple smulé : Dévaon par rappor à la lo normale Dans cee expérence, nous décrvons les résulas obenus en applquan la méhode du mélane de los aux ros populaons dsnces llusrées à la premère lne de la fure. La premère dsrbuon es une lo normale bvarée (MN), qu représene donc le cas où le modèle es spécfé correcemen. La deuxème correspond à une lo bvarés (MT), c es-à-dre qu elle mme la suaon où la dévaon par rappor à la lo normale se résume essenellemen à des queues plus lourdes. La dernère es une lo asymérque bvarée (ST) (Azzaln e Capano 003; Azzaln, Dal Cappello e Koz 003), qu représene une populaon dsrbuée conformémen à une lo asymérque à queues lourdes. Pour ces dsrbuons, nous consrusons un modèle de mélanes à quare composanes en aouan à chaque uné l un des quare veceurs de ranslaon C = (0, 0), C = (0, lo( 000)), C = (lo( 000), 0) ou = 3 C 4 ( lo( 000), lo( 000)), avec les probablés π = 0,5, π = 0,, π = 0, e π = 0, 3 3 4, respecvemen. Ces paramères représenen les proporons de mélane du modèle e on ra, respecvemen, aux probablés de l absence de ranslaon dans les varables, d une ranslaon dans une des deux varables seulemen e d une ranslaon dans les deux varables, respecvemen. À parr de chaque mélane, nous rons 00 échanllons de 000 observaons. À la deuxème lne de la fure nous présenons l un de ces échanllons (MN Mx, MT Mx e Sasque Canada, N o -00 au caaloue

9 Technques d enquêe, un ST Mx), correspondan aux ros populaons dsnces MN, MT e ST, respecvemen. Pour chaque échanllon, nous calculons le nombre de classfcaons correces obenues en ulsan le modèle de mélanes décr à la secon. Le nombre moyen de classfcaons correces sur les 00 échanllons es présené au ableau. L examen du ableau monre que la fréquence des classfcaons correces dmnue lorsque la dévaon par rappor à la lo normale aumene. Cependan, elle semble accepable même dans le cas crque ST où la populaon es caracérsée par une dsrbuon à la fos asymérque e à queues lourdes. Tableau Fréquence des classfcaons correces MN MT ST % correcemen classée 98,5 97,5 95,6 Comme nous en avons dscué à la secon 3, l approche du modèle de mélanes fourn des élémens (els que le deré d aypcalé e la probablé de classfcaon) qu peuven êre ulsés pour déermner l ordre de proré des unés pour l examen manuel. Par conséquen, une évaluaon lobale de la procédure devra auss enr compe des résulas d une approche de vérfcaon sélecve fondée sur ces danoscs du modèle. Afn d analyser les caracérsques de l ndce d aypcalé e de la probablé de classfcaon, nous examnons un seul échanllon de 000 observaons ré à parr des ros populaons présenées usqu à présen. La fure 3 llusre les ros échanllons MN Mx(a), MT Mx(a) e ST Mx(a), où les unés classées ncorrecemen son représenées par une crox sur le même raphque. Le nombre d unés classées ncorrecemen es 9 pour MN Mx, 0 pour MT Mx e 36 pour ST Mx. Pour ce échanllon, nous nous concenrons sur l effe de dvers seuls pour l aypcalé (α) e la probablé de classfcaon (β). Pour chaque seul, nous présenons aux ableaux e 3 le nombre d unés suées sous le seul, c es-à-dre le nombre d observaons crques (Ayp. OC, Pr. class. OC), e parm ces observaons, le nombre d unés mal classées (Ayp. MC, Pr. class. MC). MN MT ST MN Mx MT Mx ST Mx Fure. Tracés de conours des ros dsrbuons bvarées : mulnormale (MN), de Suden (MT), asymérque (ST), e darammes de dsperson des mélanes correspondan MN Mx, MT Mx e ST Mx. Sasque Canada, N o -00 au caaloue

10 0 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes En ce qu concerne l aypcalé, nous consaons que, s le modèle es spécfé correcemen, le rôle de l ndce d aypcalé dans la correcon des unés mal classées es néleable, ands que les probablés de classfcaon donnen de melleurs résulas. Par alleurs, l ndce d aypcalé es mporan s le modèle déve de la normalé. Il es clar que le nombre d observaons séleconnées pour une combnason de seuls α e β n es pas éal à la somme des fréquences obenues dans les ableaux e 3. Donc, afn d évaluer l effe collecf des deux ndces, nous chosssons les deux seuls suvans α = 0, 005 e β = 0,975. Nous présenons à la fure 3 (deuxème lne) les unés séleconnées pour la valeur d aypcalé seulemen (carrés), pour la probablé de classfcaon seulemen (ranles) e pour les deux seuls conuués (crox). L examen de ces fures monre que l aypcalé a surou une ncdence sur la déecon des valeurs aberranes, ands que la probablé de classfcaon oue sur les réons chevauchanes. Le ableau 4 donne le nombre d unés crques séleconnées e, parm celles-c, le nombre d unés mal classées. Nous noons que, pour la populaon MN Mx, à par une observaon, oues les unés mal classées son séleconnées. Pour MT Mx, nous arrvons à séleconner 4 des 0 unés mal classées e, dans l échanllon le plus crque ST Mx, nous séleconnons 4 des 36 unés mal classées. MN Mx (a) MT Mx (a) ST Mx (a) MN Mx (b) MT Mx (b) ST Mx (b) Fure 3. Unés mal classées (crox) dans MN Mx(a), MT Mx(a) e ST Mx(a). Unés crques pour l aypcalé (carrés), pour la probablé de classfcaon (ranles) e pour les deux (crox) dans MN Mx(b), MT Mx(b) e ST Mx(b). Tableau Nombres d observaons crques (OC) e d unés mal classées (MC) pour ros seuls dsncs d aypcalé MN Mx MT Mx ST Mx α Ayp OC Ayp MC Ayp OC Ayp MC Ayp OC Ayp MC 0, , , , Sasque Canada, N o -00 au caaloue

11 Technques d enquêe, un 005 Tableau 3 Nombres d observaons crques (OC) e d unés mal classées (MC) pour ros seuls dsncs de probablé de classfcaon MN Mx MT Mx ST Mx β Pr. Class OC Pr. Class MC Pr. Class OC Pr. Class MC Pr. Class OC Pr. Class MC 0, , , Tableau 4 Nombres d observaons crques (OC) e d unés mal classées (MC) pour l aypcalé e la probablé de classfcaon MN Mx MT Mx ST Mx Seuls OC MC OC MC OC MC α = 0,005, β =0, Appplcaon à des données réelles : Le Sysème d enquêes sur l eau de Iale de 999 À la présene secon, nous décrvons une applcaon de l approche du modèle de mélanes à des données d enquêe réelles. Ces données son rées du Sysème d enquêes sur l eau (SEE) de l Iale de 999. Le SEE es un recensemen vsan à recuellr des rensenemens sur le prélèvemen, la fournure e la consommaon d eau dans les 8 00 muncpalés alennes. Nous lmons l analyse aux muncpalés apparenan à l un des domanes de données défns par almére ( 04 observaons) e aux varables prncpales Toal de l eau facurée (TI) e Toal de l eau fourne (TS). Ces varables on ra oues deux à des volumes d eau e l es demandé aux répondans de déclarer ces volumes en mllers de mères cubes. Le daramme de dsperson en échelle loarhmque de la quané d eau facurée par haban (WI) en foncon de la quané d eau fourne par haban (WS) (fure 4) monre l exsence de quare rappes correspondan à une erreur d uné de mesure dans l une, les deux ou n l une n l aure des deux varables cbles. Ces erreurs son probablemen dues à un malenendu chez cerans répondans qu on exprmé les volume en lres ou en mères cubes pluô qu en mllers de mères cubes, comme l l éa demandé. Comme l falla s y aendre, les deux rappes don la populaon es la plus nombreuse son celles correspondan aux unés non erronées e aux unés où les deux varables son erronées. Néanmons, nous observons la présence de deux rappes rares correspondan aux observaons où l erreur d uné de mesure a ra unquemen à TI ou à TS, respecvemen. Dans le ableau 5, une équee es arbuée à chaque rappe assocée à un paron d erreur parculer. Par souc de smplcé, nous nrodusons deux drapeaux E TS e E TI don la valeur es éale à ou 0, selon que la varable correspondane es affecée ou non par l erreur d uné de mesure ou non. Afn de dépser e de correr les erreurs d uné de mesure, nous applquons la procédure décre aux secons e 3. Nous classons chaque observaon en foncon d un paron d erreur parculer, auremen d nous affecons chaque uné à l une des rappes G, pour =,..., 4. Les résulas son présenés au ableau 6. Pour chaque uné, nous calculons auss l ndce d aypcalé e nous chosssons le seul α = 0, 005 afn de repérer les unés aypques. Pour ce seul, 7 observaons son séleconnées comme éan aypques, e marquées par des «crox» dans la fure 7. Après avor calculé les valeurs â conformémen à la formule (3), nous pouvons fare un es pour évaluer l hypohèse de normalé. En fa, à l nsar de McLachlan e Basford (988, chapre ), nous applquons le es d Anderson-Darln de l unformé de â à chaque rappe esmée ndvduelle. La valeur p es nféreure à 0,00 pour les deux plus randes rappes. Pusque le es es fondé sur des approxmaon asympoques, nous ne enons pas compe des résulas obenus pour les deux aures populaons rares. À la fure 5, nous donnons les quanles emprques d échanllon en foncon des quanles normaux des varables lo(wi) e lo(ws), en nous concenran unquemen sur le sous-ensemble de données classées comme éan non erronées. Nous consaons que l écar par rappor à la lo normale es dû prncpalemen à des queues lourdes. Compe enu des résulas obenus à la secon 4., où la méhode a donné des résulas sasfasans éalemen dans des condons non aussennes, nous nous aendons à ce que l approche du mélane de los donne de bons résulas pour les données d enquêe. Les résulas de l applcaon llusrés c-après confrmen ce comporemen. Sasque Canada, N o -00 au caaloue

12 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes Fure 4. Daramme de dsperson de lo(wi) en foncon de lo(ws). Lo(WS) Lo(WI) Quanles d échanllon Quanles d échanllon Lo(WI) Lo(WS) Quanles normaux Quanles normaux Fure 5. Graphque QQ normal de lo(ws) e lo(wi). Tableau 5 Parons d erreur e équees de rappe E Paron d erreur TS = 0 E TS = 0 E TS = E TI = 0 E TI = E TI = 0 E TS = E TI = Équee de rappe G G G3 G4 Tableau 6 Nombre d unés assnées à chaque rappe Équee de rappe G G G3 G4 N. d unés % 88, 0,8 0,5 0,5 Dans la dernère pare de cee secon, nous monrons commen ulser les probablés a poseror afn d accorder la proré, pour l examen, aux unés qu, en prncpe, offrron le plus rand avanae de vérfcaon, compe enu de l effe évenuel de la vérfcaon manuelle sur les esmaons. À cee fn, noons que la classfcaon erronée d une observaon a pour conséquence que les valeurs fnales d au mons une varable dffèren par un faceur de mulplcaon des valeurs réelles correspondanes. Ces écars peuven affecer séreusemen l exacude des Sasque Canada, N o -00 au caaloue

13 Technques d enquêe, un esmaons e causer un bas mporan. Afn de séleconner les unés évenuellemen erronées qu son les plus suscepbles d avor un effe mporan sur le esmaons cbles, nous adopons l approche de la vérfcaon sélecve. So, les varables TS e TI, respecvemen. Pour chaque uné u, =,..., n, e pour chaque varable, =,, défnssons : : données dépourvues d erreur sysémaque; Y : données observées; ~ : données après le raemen de l erreur sysémaque d après la classfcaon au moyen d un modèle de ~ ~ mélanes (c es-à-dre = Y ou = Y / 000 selon la rappe à laquelle l uné u es assnée). Supposons que les esmaons cbles soen les oaux de populaon T ( ) =. En oure, représenons par E ( ) ξ l espérance sur la dsrbuon de la varable aléaore, sachan les données observées Y e les données après ~ correcon. Alors, l découle de l néalé ~ ~ E ( ) ξ E ξ que la quané dans le deuxème membre peu êre consdérée comme une borne supéreure du bas probable de l esmaon du oal pour la varable fondée sur les valeurs corrées ~. La dernère consdéraon donne à penser à une méhode pour séleconner les unés les plus «nfluenes» en ce qu concerne l esmaon T ( ) : afn de aranr le nveau requs d exacude e de rédure au mnmum les coûs de la vérfcaon manuelle, nous défnssons une foncon de ~ score local S = ( Eξ ) / Tˆ( ), où T ˆ( ) es une esmaon de référence pour T ( ), par exemple l esmaon provenan d une enquêe anéreure, ou une esmaon robuse. Dans nore cas, afn de rendre robuse l esmaon prélmnare, nous commençons par exclure des données les observaons aypques, pus nous calculons la valeur moyenne sur ce sous-ensemble, e nous la mulplons par le nombre oal d unés. Le score local S mesure l effe de l erreur d uné de mesure évenuellemen assocée à l uné u sur l esmaon cble T ( ). Alors, nous pouvons rer les unés en foncon de leur score S e, en commençan par les valeurs les plus élevées, séleconner les premères unés usqu à ce que la somme des valeurs S resanes soen nféreures à un seul prééabl. S nous consdérons smulanémen les deux varables TS e TI, nous pouvons obenr un score lobal S, pour =,..., n, en combnan comme l conven les foncons de score local S, =,. Les chox possbles son S ( ) = S + S, ou S = max =, S. Par exemple, la dernère foncon assure que l effe de l erreur d uné de mesure évenuellemen assocée à u sur chaque esmaon ne so pas supéreur à S. Afn de calculer les scores S, nous devons esmer l espérance condonnelle E ~ ξ pour chaque uné u, =,..., n, e pour chaque varable pour =,, ce qu peu se fare faclemen au moyen des probablés a poseror. Par exemple, supposons que l uné u a éé assnée à la rappe G. Cela snfe que, pour cee uné, la valeur observée de TS ( Y ) a éé consdérée correce, ands que la valeur observée de TI ( Y ) a éé consdérée comme éan affecée d une erreur d uné de mesure (c es-à-dre mulplée par 000). La correcon consse à dvser par 000 la valeur observée de TI, ~ ~ c es-à-dre ( = Y, = Y / 000). L espérance condonnelle E ~ ξ peu êre calculée comme su : ~ E = Y Y Pr ( u G G ) E ξ ξ ~ Y + Y Pr ( u = Y (ˆ τ3 + τˆ 4 ) 000 Y Y = Pr ( u Y + Y Pr ( u = Y (ˆ τ + τˆ 3 ), 000 G G ) G 3 G ) G G ) où τˆ es la probablé esmée que l uné u apparenne à la rappe G. De façon semblable, nous pouvons calculer les foncons de score pour oues les unés. En praque, dans nore applcaon, nous rons les unés en foncon de leur score lobal S, max =, S (ordre ascendan). Pus, nous excluons de l examen manuel oues les premères observaons, de sore que la somme cumulave de leurs S so nféreure à δ, où δ es un seul de olérance spécfé pour l effe sur les esmaons des erreurs encore présenes dans les données. À la fure 6, nous présenons le comporemen de la somme cumulave de S, S( ) = k Sk, pour les 0 premères observaons les plus crques. Il conven de soulner que, par souc de claré, nous n avons pas présené oues les observaons, parce, pour la plupar d enre elles, S () es proche de zéro, ce qu produ une mae llsble en ce qu concerne les dfférences de randeur. Noons que nous prévoyons une erreur relave résduelle nféreure à δ = 0, 00 en séleconnan unquemen les deux premères unés (représenées par des crox). Sasque Canada, N o -00 au caaloue

14 4 D Zo, Guarnera e Luz : Vérfcaon des erreurs d uné de mesure au moyen de la modélsaon par mélanes À la fure 7, nous représenons oues les unés séleconnées parce qu elles éaen aypques (7) e(ou) à cause de l effe relaf de leur erreur poenelle sur les esmaons () : les crox corresponden aux observaons qu son crques du pon de vue de l aypcalé, ands que les carrés ndquen les deux aures ypes d unés crques. Nous avons comparé ces résulas à ceux obenus par la procédure offcelle. Sur les 968 unés non séleconnées pour un examen manuel, 9 observaons son sans erreur ou enachées d une erreur d uné de mesure unquemen. Pour oues, la classfcaon donnée par le modèle de mélanes es correce. Parm les 57 unés caracérsées par d aures ypoloes d erreur, 45 son classées dans la caéore des unés non affecées par l erreur d uné de mesure, ands que son classées dans la caéore de l erreur par un faceur 000 dans les deux varables. Cee dernère erreur de classfcaon peu êre explquée par l exsence d aures erreurs sysémaques (faceurs 00 e 0 000) qu ne son pas prses en compe dans le modèle ulsé pour nore exemple. comparason plus drece, nous remplaçons pour ces unés les valeurs ncorreces par les valeurs «vraes» e obenons B ( ) = B( ) = 0. Ce deré de performance parculèremen élevé du modèle s explque par le fable deré de superposon des rappes, comme le monre claremen la fure 7. lo (WI) S() cumulaf 0,005 0,000 0,0005 0, Obs. Fure 6. Tracé du score cumulaf S () pour les 0 premères observaons les plus crques. Une aure comparason a ra à l esmaon des oaux. Sous l hypohèse que les valeurs séleconnées pour un examen manuel des valeurs crques son roupées convenablemen, les écars relafs enre la valeur réelle du oal d après la procédure offcelle T ( ) e l esmaon du modèle T ˆ( ) sous la forme B ( ) = ( Tˆ( ) T ( ) )/ T ( ), pour =,, son B( ) = 0, 005 e B ( ) = 0,00. Ces valeurs ne son pas drecemen comparables au seul de olérance de δ = 0, 00; en fa, ce seul a ra unquemen à l effe des erreurs d uné de mesure encore présenes, ands que B ( ) es éalemen affecé par d aures formes d erreurs. Donc, pour une Lo(WS) Fure 7. Daramme de dsperson de lo(wi) par rappor à lo(ws). Les crox ndquen les unés crques pour l aypcalé e les carrés, les unés crques pour l effe de leur erreur évenuelle. 5. Mo de la fn e fuurs ravaux Dans le présen arcle, nous proposons un modèle de mélanes fns pour raer un ype parculer d erreur sysémaque qu enache fréquemmen les données d enquêe numérques connues. L approche proposée a les avanaes, comparavemen aux approches classques, d énoncer formellemen le problème dans un conexe mulvaré, d êre faclemen mplanée dans un locel énéralsé e de fournr naurellemen des danoscs ules pour éablr l ordre de proré des unés doueuses conenan évenuellemen des erreurs nfluenes. Cee dernère caracérsque es parculèremen mporane quand la suaon es crque, c es-à-dre quand dfférens parons d erreur se superposen ou, auremen d, quand les erreurs d uné de mesure se suen parm les observaons plausbles. Dans ces crconsances, un examen manuel es nécessare. Par conséquen, l es mporan d opmser la sélecon des observaons crques afn de aner du emps e d économser de l aren. Tous ces avanaes son dus à l adopon d une approche basée sur un modèle. Par alleurs, l es évden qu une elle approche sous-enend des problèmes assocés aux hypohèses sous-acenes. Cependan, s l on s en en aux expérences décres dans l arcle, l semble que la Sasque Canada, N o -00 au caaloue

15 Technques d enquêe, un echnque proposée donne éalemen des résulas sasfasans dans les cas de dévaon par rappor à l hypohèse de normalé. Néanmons, l fau menonner qu en cas d écar exrême par rappor à la lo normale, c es-à-dre quand la dsrbuon n es pas unmodale, la méhode échouera vrasemblablemen. Cela peu se produre dans des suaons réelles, lorsque les données conennen dverses rappes; par exemple, les dfférences enre le revenu des hommes e des femmes pourraen donner leu à une dsrbuon bmodale du revenu propremen d. Dans cerans cas, le problème peu êre surmoné en srafan les données d après ceranes varables explcaves, comme le sexe dans l exemple précéden. Un aure moyen d aborder ce enre de problème conssera à modélser à leur our chaque rappe par un mélane de aussennes, donc obenr un «mélane de modèles de mélanes» (McLachlan e Peel 000; D Zo, Guarnera e Rocc 004). Enfn, une dernère préoccupaon a ra au nombre de varables qu peuven êre raées smulanémen. En réalé, le nombre de rappes e, donc, le nombre de paramères de mélane π peuven croîre exponenellemen relavemen au nombre de varables, ce qu rend l esmaon des paramères ardue. Cependan, nous menonnerons que le nombre de paramères relés au veceur de moyennes e à la marce des covarances aumene neemen plus lenemen, à cause des conranes caracérsques de nore modèle. Remercemens Nous remercons les examnaeurs e le rédaceur assocé de leurs commenares consrucfs. Bbloraphe Anderson, T.W. (984). An nroducon o Mulvarae Sascal Analyss. Deuxème édon. New York: John Wley & Sons, Inc. Azzaln, A., e Capano, A. (003). Dsrbuons eneraed by perurbaon of symmery wh emphass on a mulvarae skew dsrbuon. Journal of he Royal Sascal Socey (B), 65, Azzaln, A., Dal Cappello, T. e Koz, S. (003). Lo-skew-normal and lo-skew dsrbuons as models for famly ncome daa. Journal of Income Dsrbuon,, 3-. Bernack, C., Celeux, G. e Govaer, G. (003). Choosn sarn values for he EM alorhm for en he hhes lkelhood n mulvarae Gaussan mxure models. Compuaonal Sascs & Daa Analyss, 4, Crann, A., D Zo M., Luz O. e Seeber, A.C. (000). The new neraed daa edn procedure for he Ialan Labour Cos survey: Measurn he effecs on daa of combned echnques. Proceedns of he Inernaonal Conference on Esablshmen Surveys II, Buffalo, 7-. De Waal, T. (003). Résoluon du problème de localsaon des erreurs par la énéraon de sommes. Technques d enquêe, 9,, D Zo, M., Guarnera, U. e Rocc, R. (004). A mxure of mxure models o deec uny measure error. Proceedns n Compuaonal Sascs, (Éd. Anoch Jaromr), 99-97, Physca Verla, Praue, Auus 3-8. D Zo, M., e Luz, O. (00). Combnn mehodoloes n a daa edn procedure: an expermen on he survey of Balance Shees of Arculural Frms. Ialan Journal of Appled Sascs, 4,, Encyclopeda of Sascal Scences (999). New York: John Wley & Sons, Inc. Mse à our. 3, Eured (003). Towards Effecve Sascal Edn and Impuaon Sraees Fndns of he Eured proec,,. À paraîre. Manenan dsponble à hp:// Federal Commee on Sascal Mehodoloy (990). Daa Edn n Federal Sascal Aences. Sascal Polcy Workn Paper 8. Felle, I.P., e Hol, D. (976). A sysemac approach o ed and mpuaon. Journal of he Amercan Sascal Assocaon, 7, Fraley, C., e Rafery, A. (00). Model-Based clusern, dscrmnan analyss, and densy esmaon. Journal of he Amercan Sascal Assocaon, 97, Granqus, L. (995). Improvn he radonal edn process. Dans Busness Survey Mehods, (Éds. B.G. Cox e D.A. Bnder). Granqus, L. (996). The new vew on edn. Revue Inernaonale de Sasque, 65, 3, Granqus, L., e Kovar, J. (997). Edn of survey daa: How much s enouh? Dans Survey Measuremen and Process Qualy, (Éds. L. Lyber, P. Bemer, M. Collns, E. de Leeuw, C. Dppo, N. Schwarz e D. Trewn), New York: John Wley & Sons, Inc., Hawkns, D.M. (98). A new es for mulvarae normaly and homoscedascy. Technomercs, 3, Kovar, J.G., Mac Mllan, I.H. e Whrde, P. (988). Overvew and sraey for he eneralzed ed and mpuaon sysem, (ms à our févrer 99). Sasque Canada, documen de raval, drecon de la méhodoloe, BSMD E/F. Laouche, M., e Berhelo, J.M. (99). Use of a score funcon o prorse and lm reconacs n busness surveys. Journal of Offcal Sascs, 8, Lawrence, D., e McKenze, R. (000). The eneral applcaon of snfcance edn. Journal of Offcal Sascs, 6, McLachlan, G.J., e Basford, K.E. (988). Mxure Models: Inference and Applcaons o Clusern. Marcel Dekker. McLachlan G.J., e Peel D. (000). Fne Mxure Models. New York: John Wley & Sons, Inc. Sasque Canada, N o -00 au caaloue