Suites de nombres réels

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1 Suites de nombres réels I Généralités 1.1 propriété vraie à partir d un certain rang Définition 1.1 On dit qu une propriété P (n) est vraie à partir d un certain rang N N si et seulement s il existe un entier N N tel que : n N, la propriété P (n) est vraie 1.2 définition d une suite Définition 1.2 Une suite réelle définie à partir d un certain rang n 0 est une application u de [n 0 ; + [ vers R : [n0 ; + [ R u : n u(n) = u n pour tout entier n n 0, on note u n, l image de n par la suite u. u n est le terme de rang n. la suite u se note généralement sous forme indicielle : (u n ) n n0. l ensemble des suites réelles définies à partir du rang 0 se note R N remarques : quand n 0 = 0 on note la suite plus (u n ) n 0, ou (u n ) N ou plus simplement (u n ). attention à ne pas confondre les notations : u n désigne le terme de rang n (u n ) désigne la suite. 1.3 représentation graphique en cours 1.4 monotonie d une suite Définition 1.3 Une suite réelle (u n ) est croissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n+1 u n décroissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n+1 u n monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante à partir d un certain rang. strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l inégalité correspondante est stricte. Définition 1.4 Une suite réelle (u n ) est constante si et seulement si n 0, u n+1 = u n stationnaire si et seulement elle est constante à partir d un certain rang. 2013/ l. garcia

2 propriété monotonie par différence : (a) Une suite réelle (u n ) est croissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n+1 u n 0 (b) Une suite réelle (u n ) est décroissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n+1 u n 0 2. monotonie par quotient : (a) Une suite réelle (u n ) est croissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n 0 et u n+1 u n 1 (b) Une suite réelle (u n ) est décroissante à partir d un certain rang N si et seulement si n N, u n 0 et u n+1 u n 1 preuves : en cours 1.4 suite majorée, minorée, bornée, Définition 1.6 On dit qu une une suite réelle est : majorée si le sous-ensemble réel u n : n 0} est majorée par un réel M : M R : n 0, u n M minorée si le sous-ensemble réel u n : n 0} est minorée par un réel m : m R : n 0, u n M bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée. propriété 1.7 Une suite réelle (u n ) est bornée si et seulement si la suite ( u n ) est bornée. 1.5 suite extraite Définition 1.8 Soit (u n ) une suite réelle. On dit que la suite (v n ) est une suite extraite de (u n ) si et seulement si il existe une fonction ϕ : N N strictement croissante telle que n 0, v n = u ϕ(n) exemples et contre- En particulier en prenant ϕ : n 2n et ϕ : n 2n + 1 : propriété 1.9 la suite des termes de rang pair (u 2n ) et celle de rang impair (u 2n+1 ) sont des suites extraites de la suite (u n ). 2013/ l. garcia

3 II Convergence des suites 2.1 limite finie d une suite Dire qu une suite a pour limite un réel l signifie que tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. En prenant comme voisinages de l des intervalles du type ]l ε; l + ε[ on obtient la définition suivante : Définition 2.1 On dit que la suite (u n ) a pour limite le réel l si et seulement si ε > 0, N N, n N u n l < ε que l on note lim u n = l ou u n l représentation graphique : en cours propriété 2.2 La limite d une suite, si elle existe, est unique. preuve : en exercice 2.3 limite infinie d une suite Dire qu une suite a pour limite + ou signifie que tout voisinage de ± contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. En prenant comme voisinages de ± des intervalles du type ] ; M[ ou ]M; + [ on obtient les définitions suivantes : Définition On dit que la suite (u n ) a pour limite + si et seulement si que l on note M R, N N, n N u n > M lim u n = + ou u n + 2. On dit que la suite (u n ) a pour limite si et seulement si M R, N N, n N u n < M que l on note lim u n = ou u n représentation graphique : en cours 2.3 unicité de la limite propriété 2.4 La limite d une suite, si elle existe, est unique. preuve : en exercice 2.4 convergence d une suite Définition 2.5 On dit que la suite (u n ) converge vers le réel l si et seulement si (u n ) a pour limite le réel l, sinon on dit qu elle diverge. 2013/ l. garcia

4 propriété 2.6 Toute suite convergente est bornée. 2.5 opérations sur les limites les opérations peuvent être regroupés dans des tableaux. Voir p 430, 431 de votre manuel. 2.5 théorème de la limite monotone Théorème Soit (u n ) une suite croissante à partir d un certain rang. si (u n ) est majorée alors (u n ) converge vers le réel l = supu n : n N} si (u n ) n est pas majorée alors lim (u n) = Soit (u n ) une suite décroissante à partir d un certain rang. si (u n ) est minorée alors (u n ) converge vers le réel l = infu n : n N} si (u n ) n est pas minorée alors lim (u n) =. 2.6 théorème des gendarmes Théorème 2.8 Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que à partir d un certain rang. Alors 1. si (u n ) et (v n ) convergent alors lim v n 2. si lim n = + alors lim n = + 3. si lim n = alors lim n = v n u n w n lim u n 4. si lim (v n) = l R et lim w n = l alors lim u n = l ( théorème des gendarmes) 2.7 suites extraites Théorème 2.9 Soit (u n ) une suite réelle. 1. si lim u n = l R alors toute suite extraite de (u n ) a pour limite l. En particulier toute suite extraite d une suite convergente est aussi convergente. 2. si il existe une suite extraite de la suite (u n ) qui diverge alors(u n ) diverge. 3. si les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) ont une limite commune l R, alors lim u n = l 2013/ l. garcia

5 2.8 suites adjacentes Définition 2.10 Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. On dit que ces deux suites sont adjacentes si et seulement si : (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante. lim u n v n = 0 interprétation graphique : en cours Théorème 2.11 Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles adjacentes.alors : (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel l : l R : lim u n = lim v n = l n N, (u n ) l (v n ). III suites récurrentes 3.1 définition Définition 3.1 Si, pour tout entier n, u n+1 est fonction de u n : f : R R : u n+1 = f(u n ) alors on dit que la suite (u n ) est définie de façon récurrente. attention : Il convient d être prudent lorsqu on définit une suite récurrente. En effet si f est une fonction réelle, pour que la suite récurrente u n+1 = f(u n ) soit bien définie il est nécessaire que pour tout entier n on ait u n D f. On peut pour cela utiliser la propriété suivante propriété 3.2 Soit a un réel et f une fonction réelle définie sur une partie D de R. Si : a D x D, f(x) D f(d) D Alors la suite récurrente est bien définie. u0 = a n N, u n+1 = f(u n ) remarque : en pratique on utilise une récurrence avec cette propriété pour montrer que la suite est bien définie. 3.2 représentation graphique En cours. En s aidant d exemples graphiques on peut remarquer que la monotonie de la suite et le sens de variation de la fonction sont, en général, différents. On a cependant la propriété suivante : 2013/ l. garcia

6 Définition 3.3 Soient f une fonction réelle définie sur un ensemble D et (u n ) la suite récurrente u0 D n N, u n+1 = f(u n ) On suppose que la suite est bien définie. Alors : 1. Si f est croissante sur D, la suite (u n ) est monotone. 2. Si f est décroissante D, les suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones. remarque : en pratique on utilise une récurrence avec cette propriété pour démontrer la monotonie de la suite. 3.3 convergence Il est souvent assez difficile de montrer qu une suite récurrente converge. Une fois la convergence prouvée on dispose alors de la propriété suivante qui permet de déterminer la valeur de la limite : Définition 3.4 Soit f une fonction réelle définie sur un ensemble D. On dit que le réel a D est un point fixe de f si et seulement si a est solution de l équation f(x) = x propriété 3.5 Soient f une fonction réelle définie sur un ensemble D et (u n ) la suite récurrente u0 D n N, u n+1 = f(u n ) On suppose que la suite est bien définie et que : 1. la suite (u n ) converge vers un réel l 2. f est continue en l alors l est un point fixe de f Exemples : en cours Attention : cette propriété ne prouve pas la convergence de la suite, elle permet juste de calculer la valeur de la limite si la suite converge. Remarque : si la fonction f ne possède pas de point fixe alors la suite (u n ) diverge. IV suites usuelles 4.1 suites arithmétiques Définition 4.1 Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si le réel r est alors appelé la raison de la suite. r R : n N, u n+1 = u n + r on dispose de plusieurs propriétés sur les suites arithmétiques : 2013/ l. garcia

7 Propriété 4.2 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r alors et n N, p N n N, p N : p n, u n = u n + (n p)r n k=p u k = (u p + u n ) n p En particulier si p = 0 on obtient : Propriété 4.3 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r alors n N, u n = u 0 + nr et n N, n k=0 u k = (u 0 + u n ) n suites géométriques Définition 4.4 Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si le réel q est alors appelé la raison de la suite. q R : n N, u n+1 = q u n on dispose de plusieurs propriétés sur les suites arithmétiques : Propriété 4.5 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q alors si q 0, n N, p N u n = u n q n p et si q 1, n N, p N : p n, n k=p u k = u p 1 q n p+1 1 q En particulier si p = 0 on obtient : Propriété 4.6 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q alors et n N, si q 1, n N, u n = u 0.q n n k=0 u k = u 0 1 q n 1 q 2013/ l. garcia

8 4.3 suites arithmético-géométriques Définition 4.7 Une suite (u n ) est arithmético-géométrique si et seulement si a R, b R : n N, u n+1 = a u n + b remarques : si a = 0 la suite est arithmétique de raison b. si b = 0 la suite est géométrique de raison a. pour étudier une suite arithmético-géométrique on se ramène à une suite géométrique en utilisant la propriété suivante : Propriété 4.8 Soient : (u n ) une suite arithmético-géométrique : u0 R n N, u n+1 = a u n + b w un point fixe de la fonction f définie sur R par f : x ax + b : w = aw + b Alors la suite (v n ) définie par : est géométrique de raison a. n N, v n = u n w remarques : en pratique on redémontre, lors de l étude de la suite (u n ), que la suite (v n ) est géométrique. on déduit l écriture explicite de la suite (u n ) de celle de la suite géométrique (u n ). 4.4 suites récurrentes linéaires La plus célèbre des suites récurrentes linéaires d ordre 2 est la suite de Fibonacci qui est étudiée en devoir maison. On généralise les résultats obtenus par Fibonnacci de la façon suivante : Définition 4.9 Une suite (u n ) est récurrente linéaire d ordre 2 si et seulement si a R, b R : n N, u n+2 = a u n+1 + b.u n remarques : Pour que la suite soit bien définie il est nécessaire de connaître les deux premiers termes de la suite u 0 et u / l. garcia

9 avec α et β solutions du système α.r β.r 0 2 = u 0 Lycée Henri IV chap 5 : Suites de réels HKBL Pour étudier une suite récurrente linéaire d ordre 2 on dispose du théorème suivant : théorème 4.10 Soit (u n ) une suite récurrente linéaire d ordre 2 : u0 R, u 0 R n N, u n+2 = a u n+1 + b.u n On appelle équation caractéristique associée à la suite l équation x 2 ax b = 0 Alors : 1. Si l équation caractéristique possède deux solutions r 1 et r 2 alors n N, α, β R : u n = α.r n 1 + β.r n 2 α.r β.r 1 2 = u 1 2. Si l équation caractéristique possède une seule solution r alors n N, α, β R : u n = (α.n + β)r n avec α et β solutions du système β.r 0 = u 0 (α + β).r 1 = u 1 remarque : Il reste le cas où l équation caractéristique possède deux racines complexes. Il sera étudié dans le cours sur les complexes. 2013/ l. garcia

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