DEFORMEES DES POUTRES ISOSTATIQUES
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- Jules Carbonneau
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1 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h DEFOREES DES OUTRES ISOSTTIQUES I) Généralités : 1.1) ut de l étude : orsque les structures reçoivent des charges, elles se déforment. Il est nécessaire de limiter leurs déplacements pour des raisons d eploitation des constructions. En effet, un changement de position trop important peut engendrer, entre autre, des contrepentes, des fissurations dans certains éléments (cloisons), des vibrations sous les charges variables telles que le vent e présent chapitre à donc pour but de quantifier les déformées des structures. Remarque : les règlements au états limites bornent généralement les translations à des portions forfaitaires de la portée (eemple : /00). 1.) Rappels mathématiques : Dans cette partie de cours, nous aurons besoins de maîtriser les intégrales. es fonctions étudiées sont généralement assimilées à des polnômes. n intégration d une fonction polnomiale du tpe est : n+ 1 n d = + n ) Définitions : a) Déformée : a déformée d une structure correspond à l allure de celle-ci lorsqu elle reçoit un chargement. Elle est intimement liée au actions qu elle subit (si l intensité, le tpe de chargement change, la déformée changera). Remarque : il est très important de ne pas confondre «déformée» et «déformations». En effet, la déformation est un allongement par unité de longueur, alors qu une déformée est la combinaison entre une translation [m] et une rotation [rad]. b) Flèche : orsqu une structure est soumise à un moment de fleion, on observe la translation des sections droites perpendiculairement à la ligne moenne de la poutre. Cette translation s appelle «flèche» : q (S) (S) flèche de (S) c) Rotation : Certaines sections subissent une rotation. Cette rotation est naturellement la même que celle de la ligne moenne : q ω (S) (S) ω : rotation de (S), rotation de la ligne moenne en (S) ω age n 1/11
2 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h d) Raon de courbure : + Considérons deu sections (S ) et (S - ) infiniment proches. Une fois la structure déformée, les aes de ces sections se croisent à une distance de la ligne moenne. Cette distance s appelle «raon de courbure». q (S - ) (S + ) II) Hpothèses : De nombreuses hpothèses doivent être posées : - les structures sont composées de poutres (c.f. théorie des poutres) ; - les charges sont appliquées de manière très lente et progressive ; - les déplacements et rotations sont petits ; - la structure reste dans le domaine élastique ; - les appuis et liaisons internes sont parfaits ; - nous négligerons les effets dus à l effort normal et à l effort tranchant ; - nous nous limiterons à l étude des poutres homogènes (1 seul matériau). III) Notations : Nous poserons : - la longueur d un tronçon infiniment petit de la poutre : d ; - l équation de la rotation en fonction de l abscisse de la section : ω() ; - l équation de la flèche : f() ; - le raon de courbure : () ; - la rigidité de la poutre : EI () (si celle-ci est variable) et EI (si elle est constante) ; IV) Etude de la déformée : 4.1) Relation entre la flèche et la rotation : renons un tronçon d infiniment q petit de la poutre : a variation de la flèche vaut df a déformée de cet élément peut être assimilée à un segment droit : d Nous démontrons donc que : df tan( ω ( ) ) = ω ( ) osition initiale d de la structure ω ( ) = f '( ) Structure déformée d f() ω() df f()+df Remarque : la rotation ω peut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment petite. age n /11
3 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques 4.) Relation entre la rotation et le raon de courbure : Soient deu sections infiniment proches dont la variation d abscisse vaut d. a variation de la rotation de la section en à la section en + d vaut dω. dω On démontre donc que : d tan( dω) = dω q d donc = dω (S - ) (S + ) 1 =ω' ( ) d h Remarque : la rotation dω peut être assimilée à sa tangente car elle est infiniment faible. 4.) Relation entre le moment et le raon de courbure : Soit un tronçon d infiniment petit de la poutre : Considérons une fibre à l ordonnée. Sous l action du moment de fleion, cette fibre de dω longueur initiale d s allonge d une valeur de Δd. Remarque : dans le schéma de droite, la valeur de Δd est négative. Nous savons que : Δd =ε (c.f. contraintes). d Δd ( ) 1 ( ) =ε = σ = d E E I ( ) Dans le schéma de droite : d d +Δd tan ( dω ) = = d +Δd Δd = 1 = 1+ d d Δd Donc : = d Δd u final : = = d EI ( ) ( ) d + Δd d igne moenne 4.4) Relation entre la flèche et le moment : En combinant les différentes relations démontrées : 1 ω ( ) = f '( ) =ω' ( ) On montre que : 1 ( ) f ''( ) =ω '( ) = = EI ( ) Δd d = = EI age n /11
4 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h En conclusion : ( ) f ( ) = d EI ( ) ( ) ω ( ) = f '( ) = d EI ( ) apparaissent. 4.5) Conditions limites : En intégrant deu fois l epression EI ( ), des constantes d intégration ( ) Remarque : le nombre de constantes d intégration est égal à le nombre de tronçons. fin de déterminer leurs valeurs, il est nécessaire de connaître la flèche ou la rotation en certains points particuliers. a) Conditions au appuis : Nous savons que les appuis bloquent des mouvements : ppui liaison eterne encastrement articulation appui simple ω f f f Nous allons donc appliquer les équations au niveau des appuis et ainsi déterminer certaines constantes d intégration. b) Conditions de continuité : e reste des constantes d intégration peut être résolu à l aide des conditions de continuité. En effet, lorsque l équation du moment change, nouvelles constantes d intégration apparaissent. On regardera ainsi s il a continuité de la flèche et de la rotation au droit de ce changement d équation : iaison interne encastrement relâchement ω relative - continuité de la rotation f - continuité de la flèche relative f relative - continuité de la flèche Remarque : - lorsqu il a continuité de la flèche en, on a f( - ) = f( + ) ; lorsqu il a continuité de la rotation en, on a ω( ) = ω ( ). age n 4/11
5 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h V) Eemples : 5.1) Eemple 1 1 tronçon : Soit la poutre suivante à rigidité constante : a) Nature (décomposition minimale) : = structure isostatique e = E, I X Y b) Inconnues de liaison : F = X E, I F = Y = = + / 0 E, I c) Sollicitation : N V - N ( ) V ( ) = ( ) ( ) = = + d) Déformée : d. ) llure de la déformée : E, I d. ) Intégrations : = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ω ( ) = d = + d EI = + EI EI 1 1 f ( ) ( ) d d = ω = + = + + EI EI 6 d. ) Conditions limites : Conditions au appuis (C) : - encastrement en ω ( 0) age n 5/11
6 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h d. ) Constantes d intégrations : ω ( 0) EIω ( 0) = =0 EI 0 + =0 6 d. ) Equations : 1 ω ( ) = EI 1 f ( ) = EI 6 d. ) Flèche maimale : Rotation nulle : 1 ( ) ω = EI ( ) 0 ω = = EI 1 = 0 solutions : = 1 Nous ne pouvons retenir que, ce qui donne = 0 0 = 0 EI 6 Etrémité de tronçon : 1 = 0 0 = 0 EI 6 1 f ( ) = = EI 6 EI On en conclue que pour cette poutre : f ma = f ( ) EI age n 6/11
7 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h 5.) Eemple tronçons : Soit la poutre suivante à rigidité constante : E, I a) Nature (décomposition minimale) : = structure isostatique e = / C X Y b) Inconnues de liaison : Y / F = X F = Y + Y / = + Y E, I E, I C c) Sollicitation : 0 < < V < < V N ( ) V ( ) = ( ) = N N N ( ) V ( ) = ( ) = + d) Déformée : d. ) llure de la déformée : E, I / age n 7/11
8 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h d. ) Intégrations : 0 < < 1 1 ω ( ) = d = + EI EI 4 ( ) = ( ) 1 f ( ) = + d EI 4 1 = + + EI 1 < < = + 1 ω ( ) = + d EI 1 = + + EI C 1 f ( ) = + + C d EI 1 = EI 4 6 C D d. ) Conditions limites : Conditions au appuis (C) : f ( ) Conditions de continuité (CC) : u limites : f f + + ( ) = ( ) ω ( ) =ω ( ) d. ) Constantes d intégrations : 1 = EI 1 1 f ( ) = + = EI ω ( ) =ω ( ) = + = + + C C = EI 4 1 EI f ( ) f + = ( ) = D D + = = EI 1 1 EI d. ) Equations : 0 < < 1 ω ( ) = + EI f ( ) = + EI 1 1 < < 1 5 ω ( ) = + + EI ( ) f = + + EI age n 8/11
9 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h d. ) Flèche maimale : Rotation nulle : 0 < < 1 ω ( ) = + = 0 EI 4 1 =± seule solution à retenir : = 1 f = + EI 1 1 = 18 EI Etrémité de tronçon : 0 < < 1 = EI f ( ) = + EI 1 1 < < 1 5 ω ( ) = + + EI 6 7 Δ= b 4ac= = = aucune solution à retenir! < < 1 5 f ( ) = + + EI f 4 6 = EI = 8EI u final, la flèche maimale vaut : fma = a ;0; 8EI 18 EI f ma = EI 8 age n 9/11
10 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h VI) Résumé : 6.1) Démarche de résolution : 1) Nature de la structure ; ) Inconnues de liaison ; ) Sollicitations ; Remarque : la déformée s étudie à l «état limite de service». Il est donc nécessaire de connaître les équations du moment au combinaisons ES. 4) Etude de la déformée ; 4.1) llure de la déformée ; Remarque 1 : la déformée se dessine sur la structure avec ses appuis. Remarque : le tracé a pour but de déterminer plus facilement les conditions limites et de continuité. Il faut donc impérativement respecter les relations et valeurs des flèches et rotations particulières sur appuis et à l intersection de tronçons : ppui liaison eterne iaison interne encastrement articulation appui simple encastrement relâchement 4.) Intégrations ; Remarque : on n oubliera pas les constantes d intégrations : nouvelles (différentes) à chaque tronçon. 4.) Conditions limites ; Remarque : on regardera l allure de la déformée pour connaître : - la valeur des flèches et rotations particulières sur appuis (C : conditions au appuis) ; - ainsi que la continuité au droit des changements d équations (CC : conditions de continuité) ; - on peut aussi facultativement ajouter des conditions de smétrie (CS dans le cas ou la structure est smétrique smétriquement chargée). 4.4) Constantes d intégrations ; Remarque 1 : les constantes d intégrations se déterminent en remplaçant les conditions limites dans les équations de flèche et de rotation. Remarque : attention au conclusions trop hâtives : il faut remplacer dans l équation par sa valeur avant de dire qu une constante est nulle! 4.5) Equations ; Remarque : on récapitulera ici les équations trouvées (sans oublier le 1/EI ). 4.6) Vérification ; Remarque 1 : comme les règlements limitent généralement la flèche, il faudra trouver la valeur maimale de cette flèche et contrôler qu elle reste inférieure à la valeur réglementaire. Dans le cas contraire, il faudra redimensionner cette poutre. Remarque : la flèche maimale se trouve : - où la dérivée est nulle (rotation nulle etremum de la flèche) ; - en etrémité de tronçon ttention : elle n est que très rarement maimale sous la charge ou au milieu de la poutre! 6.) Formules : ( ) f ( ) = d EI ( ) ( ) ω ( ) = f '( ) = d EI ( ) age n 10/11
11 IUT éthune Génie Civil écanique des structures S partie : Déformées des poutres isostatiques h DEFOREES DES OUTRES ISOSTTIQUES... 1 I) Généralités : ) ut de l étude : ) Rappels mathématiques : ) Définitions :... 1 a) Déformée :... 1 b) Flèche :... 1 c) Rotation :... 1 d) Raon de courbure :... II) Hpothèses :... III) Notations :... IV) Etude de la déformée : ) Relation entre la flèche et la rotation :... 4.) Relation entre la rotation et le raon de courbure :... 4.) Relation entre le moment et le raon de courbure : ) Relation entre la flèche et le moment : ) Conditions limites :...4 a) Conditions au appuis :... 4 b) Conditions de continuité :... 4 V) Eemples : ) Eemple 1 1 tronçon :... 5 a) Nature (décomposition minimale) :... 5 b) Inconnues de liaison :... 5 c) Sollicitation :... 5 d) Déformée : ) Eemple tronçons :... 7 a) Nature (décomposition minimale) :... 7 b) Inconnues de liaison :... 7 c) Sollicitation :... 7 d) Déformée :... 7 VI) Résumé : ) Démarche de résolution : ) Formules : age n 11/11
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