Bac blanc TS mars 2014 (enseignement de spécialité)

Transcription

1 Bac lanc TS mars enseignement de spécialité Exercice Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée Un joueur doit tirer successivement au hasard, une une oule puis une autre sans remettre la première dans une urne contenant oules vertes et oules jaunes Si le joueur otient deux oules de couleurs différentes, il a perdu Si le joueur otient deux oules jaunes, il est remoursé de sa participation m Si le joueur otient oules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : sur 8 de la roue le gain est de e, sur de la roue le gain est de e, sur le reste le joueur est remoursé de sa participation m On appelle: V l évènement le joueur a otenu une oule verte au premier tirage V l évènement le joueur a otenu une oule verte au second tirage J l évènement le joueur a otenu une oule jaune au premier tirage J l évènement le joueur a otenu une oule jaune au second tirage V l évènement le joueur a otenu oules vertes J l évènement le joueur a otenu oules jaunes R l évènement le joueur est remoursé de sa participation et ne gagne rien Quelques calculs On pourra utiliser des arres pondérés a Calculer les proailités PV et PJ des évènements respectifs V et J On note P V R la proailité pour le joueur d être remoursé sachant qu il a otenu deux oules vertes Déterminer P V R puis PR V c Calculer PR d Le joueur a été remoursé, quelle est la proailité qu il ait otenu oules vertes? e Calculer la proailité de gagner les e, puis la proailité de gagner les e de la roue Dans cette question le joueur fait parties indépendantes quelle est la proailité qu il y ait au moins une partie où il soit remoursé sans gagner? On appelle X la variale aléatoire donnant le gain algérique du joueur c est- à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m a Donner les valeurs prises par la variale aléatoire X Donner la loi de proailité de la variale aléatoire X et vérifier que px m est,6 c Démontrer que l espérance mathématique de la variale aléatoire X est EX m 8 d L organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l organisateur puisse espérer ne pas perdre d argent? On voudrait qu un joueur ait plus d une chance sur deux d être remoursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois On note G cet évènement Pour cela on garde deux oules vertes dans l urne mais on modifie le nomre de oules jaunes On appelle n le nomre de oules jaunes, on suppose n Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée

2 Exercice Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, u, v d unité graphique cm Partie A : On note P le point d affixe p i, Q le point d affixe q i, et K le point d affixe a Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon Faire une figure et construire les points P et Q a Déterminer l ensemle D des points M d affixe z tels que z z Représenter cet ensemle sur la figure Montrer que P et Q sont les points d intersection de l ensemle D et du cercle Γ Partie B : On considère trois nomres complexes non nuls a, et c On note A, B et C les points d affixes respectives a, et c On suppose que l origine O du repère O, u, v est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC a Montrer que a c En déduire que a c a Montrer que ac c Montrer que a a d En utilisant la partie A, en déduire que a p ou a q Dans cette question, on admet que a p et c a q a Montrer que q p c a a Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation Déterminer la nature du triangle ABC Exercice Soit f une fonction définie et dérivale sur ; ] telle que : fx On ne cherchera pas à déterminer f Partie A x tdt pour tout x de ; ] Déterminer le sens de variation de f sur ; ] ] Soit g la fonction définie sur ; par gx f tanx a Justifier que g est dérivale sur ; Montrer que, pour tout x de ; Montrer que, pour tout x de ; ], fx ], puis que, pour tout x de ; ], gx x, en déduire que f ], g x Partie B Soit I n la suite définie par I fx dx et, pour tout entier naturel n non nul, I n xn fx dx

3 Soit h la fonction définie sur,] par hx xfx, donner h x en fonction de fx; puis montrer que a Donner le sens de variation de I n I ln Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n c Montre que la suite I n est convergente d Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n e En déduire la limite de la suite I n Exercice n Dans une ville, une enseigne de anque nationale possède deux agences, appelées X et Y D une année sur l autre, une partie des fonds de l agence X est transférée à l agence Y, et réciproquement De plus, chaque année, le siège de la anque transfère une certaine somme à chaque agence Soit n un entier naturel On note x n la quantité de fonds détenue par l agence X, et y n la quantité de fonds détenue par l agence Y au er janvier de l année n, exprimées en millions d euros xn On note U n la matrice et on note I y n On suppose que le er er janvier de l année, l agence X possède millions d euros et l agence Y possède millions d euros L évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : U n AU n B, où A,6,,, et B Interpréter dans le contexte de l exercice le coefficient,6 de la matrice A et le coefficient de la matrice B Donner la matrice U puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en, exprimée en millions d euros,,,7 On note D, P et Q,7,, a Donner sans détailler le calcul, la matrice PDQ Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel QP Dans la suite, on admettra que QP I On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul n, A n PD n Q On pose pour tout entier naturel n, V n U n / a Démontrer que pour tout entier naturel n, V n AV n Déterminer V puis pour tout entier naturel n, donner l expression de V n en fonction de A, n et V Soit n un entier naturel On admet que A n,, n,7,7 n,7, n,7 n,, n,7 n,7, n,,7 n a Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice V n en détaillant les calculs En déduire l expression de x n en fonction de n c Déterminer la limite de x n quand n tend vers et interpréter ce résultat dans le cadre du prolème

4 Correction du ac lanc TS mars enseignement spécifique Exercice Asie juin Représentons le jeu à l aide d un arre de proailité: V V J J V J a On a en suivant la ranche supérieure pv PV V PV P V V De même pj En tournant la roue, la proailité de gagner eest, celle de gagner eest donc 8 ; par différence la proailité d être remoursée est 8 8 On a donc p V R 8 Or p V R pv R pv On peut aussi refaire un arre: 8 pv R V pv R 8 8 V J 8 8 R c On a pr pjpv R d On demande p R V pv R pr e p 8 8 ; p 9 J f La proailité de ne pas être remoursé pour une partie est p Or être remoursé au moins une fois est l événement contraire de ne jamais être remoursé et comme les parties sont indépendantes le fait de ne pas être remoursé a pour proailité ; 8 la proailité cherchée est donc 8 8 a X peut prendre les valeurs : m ; m ; m ; V J

5 c On a EX i x i m m m px x i p i x i 6m m m 8 m 8 d L organisateur ne perdra pas d argent si EX < m 8 il faut que m soit au moins fixé à euros On otient un nouvel arre de proailités : < m > Donc n V n n n V J n n J n n n V J On doit avoir n nn n nn Le trinôme n n a pour racines n 7 Il faut donc qu il y ait plus de oules jaunes Partie A : n nn n n,6 et n 7 Exercice Antilles septemre, a On a p OP, donc p OP Comme q p, OQ OP Les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon Voir à la fin Les points P et Q ont tous les deux une partie réelle égale à : ils appartiennent donc à la droite d équation x et au cercle Γ Voir à la fin de l exercice a Soit le point K d affixe On a : z z z z OM KM, donc les points M sont équidistants de O et de K L ensemle D des points M d affixe z tels que z z est donc la médiatrice du segment OK] On peut remarquer que la médiatrice de OK] a pour équation x, or x P x Q donc ces deux points sont ien sur D Autre dém: On sait déjà que OP ; calculons KP, donc KP et P D De même OQ et KQ, donc KQ et Q D Conclusion : les points P et Q sont les deux points communs au cercle Γ et à la médiatrice D

6 Partie B : a O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC, donc OA OB OC ou encore a c On a a ; même démonstration pour a a O est le centre de gravité du triangle ABC ou encore l isoarycentre des trois points A, B, C ce qui signifie que ac c De la question précédente on déduit : c a d où pour les modules c a a On a donc c a a a a a a a a Finalement a a d On a vu dans la partie A que les seuls complexes z tels que z z étaient les complexes p et q Donc on a a p ou a q a q c p a a c a a a a c a a q p i i i i i i i i 9 6i i i 9 66i i cos isin ei c Les deux résultats précédents montrent : - en termes de modules que c a a q e p i On a donc c a c a a c a a AC AB, donc le triangle a ABC est isocèle en A c a q - en termes d arguments que arg arg arg e i a p On a donc AB, AC L angle au sommet du triangle ABC mesure, donc les deux autres angles aussi : le triangle ABC est donc équilatéral P v K O Q u Exercice Amérique du nord Partie A Comme la fonction définie sur R par gx est continue sur R, on sait que f est définie, dérivale x sur R et que f x x Pour tout x ; ], >, donc f x > On en déduit que f est strictement croissante sur x ; ]

7 a g est la composée des fonctions f et u : x tanx qui sont dérivales, donc g est dérivale et g x f ux u x tan x tan x Pour tout x de ; ], g x, donc pour tout x de ; ] : gx xc avec c R une constante D autre part, c g f tan f On en déduit que c On a donc gx x pour tout x de ; ] g f tan f, donc f f est croissante sur ; ] f et f donc, pour tout x ; ], fx Partie B h est dérivale comme produit de fonctions dérivales et h x fxxf x fx x x Ces fonctions sont continues on peut donc intégrer entre et : h x en utilisant la linéarité; on a donc: fx x x dx fxdx x x dx ] hx] I lnx f I ln d où : I ln a Pour tout x de ; ], x n et fx, donc x n fx d après la positivité de l intégrale, on a xn fxdx, donc I n Pour tout x de ; ], x n et fx, donc xn fx xn d après la croissance de l intégrale, on a xn fxdx xn dx xn n c On a I n n et lim n n suites, I n converge et sa limite est ] n, donc I n n, d après le théorème des comparaisons des limites de Exercice Antilles Dans une ville, une enseigne de anque nationale possède deux agences, appelées X et Y D une année sur l autre, une partie des fonds de l agence X est transférée à l agence Y, et réciproquement De plus, chaque année, le siège de la anque transfère une certaine somme à chaque agence Soit n un entier naturel On note x n la quantité de fonds détenue par l agence X, et y n la quantité de fonds détenue par l agence Y au er janvier de l année n, exprimées en millions d euros xn On note U n la matrice et on note I y n On suppose que le er janvier de l année, l agence X possède millions d euros et l agence Y possède millions d euros,6, L évolution de la quantité de fonds est régie par la relation U n AU n B, oùa et B,,

8 U n AU n B xn y n,6,,, xn y n { xn,6x n,y n y n,x n,y n Le coefficient,6 de la matrice A correspond au pourcentage de la somme qui reste d une année sur l autre à l agence X Le coefficient de la matrice B correspond à la somme en millions d euros qui est rajoutée chaque année à l agence Y D après le texte, U La quantité de fonds dans chaque agence en est donnée par la matrice U AU B: x,6,,6,,,,,, 7 y En, il y a donc, millions d euros dans l agence X et 7 millions d euros dans l agence Y,,,7 On note D, P et Q,7,,,6, a À la calculatrice, on trouve que PDQ donc que PDQ A,,,,7 QP,, Le coefficient situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matrice QP est donc:,,7,7,7 Dans la suite, on admettra que QP I On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul n, A n PD n Q Ce résultat est assez facile à démontrer par récurrence en considérant les résultats des questions précédentes; l hérédité se démontre ainsi: A p A A p PDQ PD p Q PDD p Q PD p Q car Q P I On pose pour tout entier naturel n, V n U n a V n U n AU n B A,6, AV n,, AV n AV n V U ; donc U n V n V n,6, AV n,, On peut dire que, pour tout n, V n A n V On peut considérer ce résultat comme classique; en cas de doute, on peut le démontrer par récurrence en se rappelant que A I,, Soitnun entier naturel On admet quea n n,7,7 n,7, n,7 n,, n,7 n,7, n,,7 n a D après les questions précédentes, V n A n V donc le coefficient de la première ligne de V n est:,, n,7,7 n,7, n,7 n,, n,7,7 n,, n,7 n,, n,7,7 n,, n,,7 n, n,7 n U n V n et U n xn y n Donc x n, n,7 n

9 c La suite, n est une suite géométrique de raison,; or <, < donc lim x,n Pour la même raison, on peut dire que lim x,7n D après les théorèmes sur les limites de suites, on peut déduire que lim x x n Cela signifie que la quantité de fonds disponiles dans l agence X va tendre vers millions d euros