BAC BLANC. Epreuve de Mathématiques obligatoire. Durée 4 heures

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1 BAC BLANC Terminale S Epreuve de Mathématiques obligatoire Coefficient 7 Durée 4 heures Le sujet comporte 7 pages. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Aucun document n est permis. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 1/7

2 Exercice 1 ( 4 points ) Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel, on note l événement «Amélie est arrêtée par le n ème feu rouge ou orange» et l événement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge. Soit la probabilité de l événement et soit la probabilité de l événement. La probabilité que le premier feu soit rouge ou orange vaut On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées : La probabilité que le (n+1) ème feu tricolore soit rouge ou orange si le n ème feu est rouge ou orange vaut La probabilité que le (n+1) ème feu tricolore soit rouge ou orange si le n ème feu est vert est égale à 1) On s intéresse tout d abord aux deux premiers feux tricolores a. Compléter l arbre pondéré donné en annexe qui sera rendue avec la copie. b. On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de X c. Calculer l espérance mathématique de X 2) On se place maintenant dans le cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles : b. En remarquant que, montrer que pour tout : c. En déduire l expression de en fonction de 3) Soit la suite ( de nombres réels définie pour tout entier naturel par. a. Montrer que la suite est une suite géométrique et déterminer sa raison k b. Exprimer puis en fonction de n c. Déterminer la limite, si elle existe, de, quand n tend vers. Donner une interprétation de ce résultat. 2/7

3 Exercice 2 ( 5 points ) Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle par 1) Etudier les variations de la fonction f. 2) Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n. a) On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d équation y = x et les points de la courbe C d abscisses respectives. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite ( b) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a ( on pourra utiliser la question 1 ) Partie B c) Montrer que la suite ( est décroissante ( on pourra utiliser les questions précédentes ) d) Que peut-on en déduire pour la suite (? On donne l algorithme suivant : Entrée Saisir n Traitement Affecter à u la valeur 5 Pour k allant de 0 à n 1 Affecter à u la valeur ( u / ln u) Fin pour Sortie Afficher u 1) Quel est l affichage en sortie pour n = 10? 2) Modifier l algorithme pour qu il détermine le plus petit entier naturel n à partir duquel : 3/7

4 Exercice 3 ( 5 points ) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct est 2 cm.. L unité graphique On réalisera une figure que l on complétera au fur et à mesure. 1) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équation : Ecrire la solution sous forme algébrique. 2) Résoudre dans l équation :. Ecrire les solutions sous forme exponentielle. 3) Soient A, B, A et D les points du plan complexe d affixes respectives : Quelle est la nature du triangle ODB? 4) Soient E et F les points d affixes respectives. Quelle est la nature du quadrilatère OEAF? 5) Soit C le cercle de centre A et de rayon 2 et soit C le cercle de centre A et de rayon 2 Soit r l application qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z avec. a. On désigne par E l image de E par r. Calculer l affixe e de E. b. Démontrer que E est un point de C c. Vérifier que :. En déduire que les points E, E et D sont alignés. 6) Soit D l image de D par r. Démontrer que EE D est rectangle. 4/7

5 Exercice 4 ( 6 points ) Le plan est rapporté à un repère orthonormal par :. On considère la fonction f définie sur On note C sa courbe représentative 1) a) Résoudre dans l équation f(x) = 0. (On pourra poser X = lnx ) b) Résoudre dans l inéquation f(x) > 0 2) a) Déterminer les limites de f en 0 et en b) Calculer f (x) et montrer que f (x) a le même signe que c) Etudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variations 3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 4) On se propose d étudier la position relative de C par rapport à T. Pour cela, on considère la fonction g définie sur par : a) Montrer que : Puis calculer g (x) b) Etudier les variations de g sur. En déduire que pour tout x de, g (x) c) Calculer. Déterminer le signe de g(x) sur d) En déduire la position de C par rapport à T 5) Tracer la courbe C et la tangente T ( unité graphique 2 cm ) 5/7

6 Annexe exercice 1 6/7

7 Annexe exercice 2 7/7

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