Chapitre 5 La fonction exponentielle

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1 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill Chpitr 5 L fonction ponntill A) Définition ) Rppl t définition L fonction logrithm népérin ln() st un fonction strictmnt croissnt, défini sur l'intrvll ] ; [, dont l img prcourt R tout ntir, soit ]- ; [. C st donc un ijction ntr cs du nsmls t on put définir s fonction réciproqu, qu on ppllr ponntill, t qu on notr p(). Autrmnt dit : y = p() <=> = ln(y) 2) Propriétés Touts ls propriétés d ln() vont mnr lurs propriétés réciproqus dns p(), soit : ) Pour tout, p() > En fft pour qu on it y = p(), il fut ln(y) =, c qui impos y >. ) ln (p()) = pour tout rél En fft, si y = p(), ln(y) = t ln(y) = ln(p()) c) p(ln()) = pour tout > Cr y = p() t = ln(y) d où y = p (ln(y)) d) p( ) = p () p() En fft, ln(p() p()) = ln(p()) ln(p()) = t ln(p( ) = D où l résultt puisqu ln étnt croissnt, ln() = ln(y) ==> = y. ) p() = t p() = En fft ln() = donc p() = p(ln()) = Et ln() = donc p(ln()) = = p() f) p(n) = n pour tout ntir n En fft, ln(p(n)) = n = n ln() = ln(n). 3) Nottion Compt tnu du 2f), on convindr d notr pour tout rél : p= C st un tnsion u rél (= p()) d l définition ds puissncs ntièrs d un nomr. On écrir donc (propriétés du 2)) : > pour tout ℝ ln * = pour tout ℝ (c.à.d rél strictmnt positif) ln = pour tout ℝ* =, = t = pour tout coupl d réls (, ). Pg /8

2 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill 4) Applictions ) Soit y = -ln() Alors y = ln(/) = / ) Soit y = ()n Alors ln(y) = ln(()n) = n ln() = n Donc y = n c) Soit y= Alors ln y =ln = ln = D où y = -. d) Soit y= z Alors y= z z = = z ) Résumé n = n = y= y 4) Empls ) Simplifir y= ) Résoudr =2 3 c) Résoudr B) Étud d l fonction ) Ensml d définition p() étnt l réciproqu d ln(), son domin d définition st ℝ t son img ℝ 2) Dérivé () =, donc l dérivé st > sur ℝ. 3) Limits ) En - ln = On sit qu Pg 2/8

3 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill = Donc on ur On put ussi dir qu t ln() étnt du fonctions réciproqus, lurs cours sont symétriqus pr rpport à l droit y = ("on intrvrtit y t "). ) En ln =, donc réciproqumnt En résumé : = = ussi. = t 4) Tlu d vrition f '() f() 5) Cours comprés t ln() On voit qu ls du cours sont symétriqus pr rpport à l droit d'éqution y =. C'st l cs prc qu cs du fonctions sont réciproqus l'un d l'utr. Pg 3/8

4 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill C) Dérivés t Primitivs ) Dérivtion (u) = u' u pour tout fonction u() (Ercics pour ls vcncs : Prolèms: 39 t 4 pg 23 rcics à 6 pg 2) Empls : Dérivr ls fonctions suivnts : ) 3 ) 2 c) 3² - 2 d) 2) Primitivs Primitivs d f() = u u : F() = u c Empls : Trouvr ls primitivs d : ) 3 ) 4- c) 2²5 d) 3²2 D) Etnsion d l notion d puissnc : vc t réls qulconqus ) Approch On sit clculr n qund n st un ntir nturl. n On y rriv ussi si n st négtif n posnt =. n D mêm on put clculr ½ cr si on suit ls règls ds posnts, on (½ )² = ½*2 = =, donc ½ st tout simplmnt l rcin crré d,. On put llr plus loin n clculnt ls rcins nièms d, pr mpl si y= 5 32, c st qu y 5=32, c st à dir qu y = 2 cr 2*2*2*2*2 = 32. p D mêm, on put générlisr l puissnc à tout nomr rtionnl n posnt : q =( q ) p. 2) Générlistion d l puissnc Mis il y in plus simpl : pour étndr cs définitions à vc rél qulconqu, on put utilisr l Pg 4/8

5 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill fit qu ln() =, soit : =( ln ) = ln. Cci n fonctionn cpndnt qu pour positif puisqu on doit utilisr ln(). Ls puissncs non ntièrs d'un nomr négtif n'istnt donc ps. 3) Croissncs comprés, its Pour tous t tls qu < <, ls cours qui croissnt d plus n plus vit sont, dns l'ordr du plus rpid u plus lnt :,,, t ln(). Autrmnt dit, ) ) c) ln Démonstrtion ) ln = = ln = donc ln, or ln = (voir Chpitr 5) ln =. = d où = = ln Or > donc > t comm ln() lorsqu, l it st in ussi. ) c) On pos y =. Lorsqu, on ur ussi y cr >. y y y = = = On lors ln y ln y ln y y y ln y t qu st positif. Cr on sit qu ln Rmrqu : L fonction croît ncor plus vit qu : prouvr qu Empls d ppliction : Trouvr l it qund d : I) f() = 2 II) f() = 3 ln 3 III) f() = ln 4 Dvoir : rcic 63 pg 27 DS : rcic 62 pg 27 Pg 5/8 =.

6 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill 4) Étud d l fonction f() = ) Domin d définition Comm il st dit plus hut, doit êtr positif, donc Df = ] ; [. ) Dérivé On (u) = u u. On ur donc : ( ) '=( ln) '= ln= ln() ln ()= lln ln= ( )ln ()= soit : ( ) = (on rconnît l ( n ) =n n déjà vu pour n ntir). Ercic : rtrouvr ls dérivés d = n t d n = 2 à l id d l formul ci-dssus. Prnons l form ln() pour fcilitr l étud (on sit qu l ponntill st toujours positiv) : ( ) ln( ) ( )'= L sign d ctt dérivé v êtr clui d, puisqu l ponntill st toujours positiv. D où : Pour tout, si <, f () < t si >, f () >. c) Limits u orns du domin ( t ) Prnons l form ln() pour fcilitr l étud (on sit qu l ponntill st toujours positiv) :. Lorsqu tnd vrs zéro : (ln )= donc : ( ln )= c qui impliqu ( ln () )=, - Si >, ( )=. donc Si >, ( ln )= c qui impliqu ( ln () )=, donc Si >, ( )=. - Si <,. Lorsqu tnd vrs : (ln )= donc : ( ln )= c qui impliqu - Si >, - Si <, ( ln )= c qui impliqu ( ln() )=, =. donc Si >, ( ln() )=, =.. donc Si >, d) Tlu d vrition On ur donc ls tlu d vrition suivnts, slon l sign d : Si > : - Si < : Pg 6/8

7 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill ) Rprésnttions grphiqus : Pg 7/8

8 Cours d Mthémtiqus Trminl STI Chpitr 5 - L fonction ponntill L fonction ponntill Fich d révision Définition y = p() = <=> = ln(y) Propriétés = = 2,7828 ln ( ) = ln = = = ( ) = = = y =ln ( y) n prticulir ln = y = Dérivés t = 2 y Primitivs ( ) '= ( u ) '=u ' u ( ) '= Si f ( )=, F ( )= c Si f ( )=u ' u, F ( )= u c Si f ( )=, F = c Puissncs rélls d un rél Définition : = ln Propriétés : n = n n t n = Limits t its comprés ( )= t Avc > : = ( ) = (vc ntir) l mport sur qui l mport sur qui l mport sur ln() ( ) = = = Pg 8/8 ln ln( ) = ( ln ) =

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