Baccalauréat STI L intégrale de septembre 2008 à juin 2009

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1 Baccalauréat STI 2009 L intégrale de septembre 2008 à juin 2009 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Métropole arts appliqués juin Antilles-Guyane arts appliqués juin Métropole arts appliqués septembre Antilles-Guyane arts appliqués septembre Polynésie génie électronique juin Métropole génie électronique juin Antilles-Guyane génie électronique juin Nouvelle-Calédonie génie électronique nov Métropole génie électronique septembre Antilles-Guyane génie électronique septembre Polynésie génie civil juin Métropole génie civil juin Antilles-Guyane génie civil juin Nouvelle-Calédonie génie civil nov Métropole génie civil septembre Antilles-Guyane génie civil septembre Métropole génie des matériaux juin Antilles Guyane génie des matériaux juin Métropole génie des matériaux septembre

2 2 L intégrale 2009

3 Baccalauréat STI Arts appliqués France 19 juin 2009 EXERCICE 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Recopier pour chaque question le numéro de question suivi de la proposition qui vous semble exacte. Aucune justification n est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte aucun point. 1. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 1 ; + [ par f x)=1+ 1 x+ 1 alors : a. lim x 1 f x)=0 b. lim x 1 f x)= c. lim x 1 f x)=+ 2. Une autre écriture de e ln2) est : a. 2 b. 2 c. 3. Sur l ensemble ]1 ; + [, l équation lnx 1) = 1 admet comme solution : a. 1 b. 1+e c. e 1 4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la conique C d équation 4x 2 + 9y 2 36=0 ; alors : a. C n a pas de foyer ; b. C a pour foyers les points F 1 5 ; 0 ) et F2 5 ; 0 ) ; c. C a pour foyers les points F 1 3 ; 0 ) et F2 3 ; 0 ). 5. Soient A et B deux évènement associés à une expérience aléatoire. Pour tout évènement X, on note px ) sa probabilité. On suppose que : pa)=0,25, pb)=0,6 et pa B)=0,7, alors pa B) est égal à : a. 0, 35 b. 0, 85 c. 0, Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On considère les points E0 ; 1) et F 3 5 ; 1 ). La distance EF est égale à : 1 2 a. 3 5 b. 7 c Soit f la fonction définie sur R par f x)=e 2x +1. Une primitive F de la fonction f est définie sur R par : a. F x)=e 2x + x b. F x)= 2e 2x c. F x)= 1 2 e2x + x 3 8. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; on considère la conique C 1 d équation 5x 2 y 2 25=0 et la droite D 1 d équation y = x. La conique C 1 et la droite D 1 : a. n ont pas de point d intersection

4 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale b. ont deux points d intersection de coordonnées 2 ; 5 ) et ; 5 ). 2 c. ont deux points d intersection de coordonnées 5 ; 0 ) et 5 ; 0 ). PROBLÈME 12 points Le but de ce problème est de calculer la surface d un pendentif en forme de tulipe. Dans tout le problème, le plan est muni d un repère orthogonal O, ı, ) j. On choisit pour unités graphiques : 4 cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle I= [0 ; 3] par : f x)= 1 3 x x2 2x+ 3. La courbe représentative de f dans le repère O, ı, ) j est notée C f et donnée en annexe. Ce graphique sera complété au fur et à mesure du problème. 1. Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle I. 2. Calculer la valeur exacte de l intégrale K= Partie B 3 0 f x) dx. On considère la fonction g définie sur l intervalle I = [0 ; 3] par g x)=3 x)e x. On appelle C g la courbe représentative de g dans le repère O, ı, ) j. 1. Montrer que pour tout x de l intervalle I, on, a g x)=2 x)e x où g désigne la fonction dérivée de la fonction g. 2. Étudier le signe de g et dresser le tableau de variations de la fonction g. a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction g arrondir les valeurs au dixième). x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 g x) 5,4 6,7 b. Compléter le graphique de la feuille annexe en traçant la courbe C g. 3. a. Montrer que la fonction G définie sur R par Gx)=4 x)e x est une primitive de la fonction g. Partie C b. Donner la valeur exacte de l intégrale J= 3 0 g x)dx. 1. Hachurer P 1 la portion de plan comprise entre les courbes C f etc g. 2. Construire les courbes Γ f et Γ g symétriques de C f etc g par rapport à l axe des abscisses. 3. Hachurer P 2 la portion de plan comprise entre Γ f et Γ g. 4. En utilisant les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b., exprimer en unités d aire l aire du motif représenté par les portions de plan P 1 et P 2. En déduire une valeur exacte de l aire en cm 2 puis la valeur arrondie au cm 2. France 4 19 juin 2009

5 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale 2009 ANNEXE à rendre avec la copie 8 y C f 1 O x France 5 19 juin 2009

6 Baccalauréat STI Arts appliqués Antilles-Guyane juin 2009 EXERCICE 1 8 points Parmi les 90 élèves de la section STI Arts appliqués d un lycée : 90 % aiment dessiner 80 % aiment réaliser des maquettes Parmi ceux qui n aiment pas dessiner les 2/3 aiment réaliser des maquettes 1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : Aiment dessiner N aiment pas dessiner Total Aiment réaliser des maquettes N aiment pas réaliser des maquettes Total 90 Dans tout l exercice, donner les probabilités sous forme de fraction irréductible puis en donnr l arrondi à Parmi les 90 élèves de la section on choisit un élève au hasard. On note D l évènement : «l élève choisi aime dessiner». On note M l évènement : «l élève choisi aime réaliser des maquettes». a. Exprimer à l aide d une phrase chacun des évènements D M, D et D M. b. Déterminer la probabilité de chacun de ces trois évènements. 3. Parmi les élèves qui aiment dessiner, on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que cet élève aime réaliser des maquettes? 4. On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu il aime dessiner ou réaliser des maquettes? PROBLÈME 12 points 1. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 2] par f x)=4x+ 1 e x. a. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer l expression de f x) pour x appartenant à l intervalle [0 ; 2]. b. Étudier le signe de f x) pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 2]. c. Déterminer f 0), f ln4)) et f 2) valeurs exactes puis valeurs arrondies à 1O 3 ). d. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 2]. 2. Soit g la fonction définie sur l intervalle [0 ; 2] par g x)= ln2x+ 1).

7 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale 2009 a. On note g la fonction dérivée de la fonction g. Déterminer l expression de g x) pour x appartenant à l intervalle [0 ; 2]. b. Démontrer que g x)>0 pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 2]. c. Déterminer g 0) et g 2), on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à d. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l intervalle [0 ; 2]. 3. Le plan est muni d un repère orthononnal O, ı, ) j d unité graphique 5 cm. L origine de ce repère sera placée dans le coin en bas à gauche de la feuille millimétrée. Tracer sur le même dessin les représentations graphiques C f et C g des fonctions f et g. 4. a. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l intervalle [0 ; 2]. En déduire la valeur exacte de l intégrale I= b. Vérifier que la fonction G définie par Gx) = 2 primitive de la fonction g sur l intervalle [0 ; 2]. En déduire la valeur exacte de l intégrale J= f x) dx. 0 x+ 1 ) ln2x+1) x est une g x) dx. c. On admet que la courbe C f est au dessus de la courbe C g. Donner en unités d aires la valeur exacte de l aire de la portion de plan délimitée par les deux courbes tracées et les droites d équations respectives x = 0 et x = 2, puis en donner la valeur en cm 2 arrondie à Antilles-Guyane 7 juin 2009-

8 Baccalauréat STI Arts appliqués Métropolee septembre 2008 EXERCICE 1 8 points Dans un repère orthonormé O, ı, ) j d unité graphique 1 cm, on considère l ensemble C des points Mx, y) dont les coordonnées vérifient l équation : 1. L ensemble C est-il : x 2 16 y 2 16 = 1. Une parabole? Une hyperbole? Une ellipse? 2. On appelles S et S les deux sommets de C, S ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de S et S. 3. On appelle F et F les deux foyers de C, F ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de F et F. 4. Parmi les relations suivantes, quelle est celle que vérifient les points M de C? MF+MF = ó MF - MF = 8 MF - MF = Déterminer les coordonnées des points C 1 et C 2 de C d abscisse Sur une feuille de papier millimétré, placer le repère O, ı, ) j, les sommets S et S ainsi que les foyers F et F ; placer aussi les points trouvés à la question précédente. Tracer enfin la courbe C on pourra s aider d une symétrie). EXERCICE 2 12 points Soit f la fonction définie sur R par f x)=e x 2x et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé graphique 2 cm. 1. On note f la dérivée de la fonction f a. Calculer f x). O, ı, ) j d unité b. Résoudre dans l ensemble R l inéquation f x) > 0, puis en déduire le signe de f x) sur R. 2. Déterminer la limite de f quand x tend vers. 3. Soit la droite d équation y = 2x. a. Exprimer [ f x) 2x)] en fonction de x. b. Déterminer la limite de [ f x) 2x)] quand x tend vers. c. En déduire l existence d une asymptote oblique à la courbe C. e x ) 4. Vérifier que, pour tout x > 0, f x)= x x 2. En déduire la limite de f quand x tend vers+. 5. Construire le tableau de variations de la fonction f 6. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à C en son point d abscisse 0.

9 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale Recopier et compléter le tableau suivant les valeurs seront arrondies au centième) : x , ,5 f x) 8. Dans le repère représentant la fonction f. 9. Calculer 1 0 O, ı, ) j, tracer la droite, la tangente T puis la courbe C f x) dx on donnera la valeur exacte). 10. a. Hachurer la partie du plan limitée par l axe des abscisses, l axe des ordonnées, la droite d équation x= 1 et la courbe C. b. Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm 2, de l aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième. France 9 septembre 2008

10 Baccalauréat STI Arts appliqués Antilles Guyane septembre 2008 EXERCICE 1 8 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées. 1. La solution de l équation : 2ln x = 3 est : a. 2e 3 2 b. e 3 2 c. ln 3 2 d. 2ln 3 2. On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d obtenir une somme égale à 5 est : a b. 1 9 c. 1 6 d Soit la fonction g définie sur R par g x)=2x 3 6x+1. L équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 2 est : a. y = 6x 7 b. y = 6x+ 5 c. y = 18x 31 d. y = 18x L ensemble des solutions de l inéquation : e x 2 est : a. ]0 ; + [ b. ]0 ; ln 2[ c. [ln 2 ; + [ d. ] ; e 2 [ 5. Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu il pratique au moins l une de ces deux activités est : 11 2 a. b. 0, 6 c. 0, 875 d Dans un repère orthonormé O, ı, ) j du plan, on considère les points F3 ; 0) et F 3 ; 0). On considère l ensemble C des points M du plan tels que MF+ MF = 10. Affirmation 1 : la courbe C est a. une parabole b. une ellipse c. une hyperbole d. un cercle Affirmation 2 : le point M est un sommet de la courbe C a. le point M4 ; 0) b. le point M2 ; 0) c. le point M5 ; 0) d. le point M0 ; 5) Affirmation 3 : une équation cartésienne de la courbe C est a. x y 2 25 = 1 b. x 2 16 y 2 25 = 1 c. 16x2 + 25y 2 = 400 d. 25x 2 16y 2 = 400

11 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale 2009 EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur l intervalle : ]0 ; + [ par 12 points f x)=ln x+ lnx+ 1) On note C sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal O, ı, ) j d unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée. Antilles Guyane 11 septembre 2008

12 Baccalauréat STI Arts appliqués L intégrale 2009 Partie A : 1. a. Calculer lim x 0 f x). Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe C? b. Calculer lim x + f x). 2. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que f x)= 2x+ 1 xx+ 1). 3. a. Étudier, pour tout x de l intervalle ]0 ; + [, le signe de f x). b. En déduire le tableau de variations de f sur l intervalle ]0 ; + [. 4. Recopier et compléter le tableau suivant les valeurs de f x) seront arrondies à 10 1 près.) x 0,1 0,3 0, f x) 0,7 Partie B 1. a. Résoudre dans ]0 ; + [ l équation f x)=0. On vérifiera que f x) s écrit sous la forme f x)=ln[xx+ 1)] et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à 10 1 près). b. Interpréter graphiquement cette réponse. c. Montrer que la fonction f est strictement positive sur l intervalle [1 ; + [. 2. a. Montrer que la fonction F définie sur ]0 ; + [ par F x) = x ln x+ x+ 1) lnx + 1) 2x est une primitive de f sur l intervalle. b. Calculer l aire A exprimée en cm 2 de la partie du plan limitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 1 et x = 12. On donnera d abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm 2. Antilles Guyane 12 septembre 2008

13 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Polynésie juin 2009 Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal O, u, ) v d unité graphique 2 cm. Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 d argument π Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation, d inconnue z : z 2 2z 2+4=0. 2. On considère les points A et B d affixes respectives z A = 2+i 2 et z B = z A. a. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z A et z B. b. Construire le cercle de centre O et de rayon 4 cm, puis placer les points A et B dans le repère O, u, ) v précisé ci-dessus. 3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui, à tout point M d affixe z, fait correspondre le point M d affixe z tel que z = iz. a. Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caraçtéristiques. b. Le point C est l image du point A par la transformation R. Déterminer la forme algébrique de l affixe z C du point C. Placer ce point C dans le repère précédent. c. Montrer que le point C est le symétrique du point B par rapport au point O. Dans cette question, toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l évaluation. 4. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier la réponse. EXERCICE 2 4 points Un sac contient 4 boules indiscernables au toucher : une jaune, une rouge, une verte et une noire notées respectivement : J, R, V et N. Dans une fête foraine, un jeu est organisé de la manière suivante : On tire au hasard une première boule du sac ; on note sa couleur et on la remet dans le sac. On effectue ensuite un deuxième tirage au hasard, indépendant du premier, dont on note également la couleur. Ces tirages sont équiprobables. On appelle résultat un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage et le second élément est celle de la boule obtenue au second tirage. Exemple : Le résultat du tirage de la boule rouge suivie de la boule verte se note R ; V). 1. Déterminer l ensemble des résultats possibles.

14 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale Calculer la probabilité du résultat N ; N). 3. Pour jouer, on doit miser 20 euros. Une boule jaune rapporte 20 euros, une boule rouge 12 euros, une boule verte 5 euros et une boule noire ne rapporte rien. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le bénéfice ou la perte réalisé par le joueur, un bénéfice étant compté positivement et une perte négativement. Exemple Le résultat R ; V) rapporte au joueur 17 euros. Il perd dans ce cas = 3 euros. La valeur de X correspondant à ce cas est donc 3. a. Montrer que pour le résultat J ; R), la variable aléatoire X prend la valeur 12. b. Indiquer dans un tableau les résultats obtenus dans la question 1 en y mentionnant les valeurs prises par la variable aléatoire X. c. Montrer que la probabilité que X prenne la valeur 12 est égale à 1 8. d. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. e. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. PROBLÈME Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par : 11 points f x)=e 2x 5e x + 4. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal O, ı, ) j unités graphiques : 4 cm pour une unité sur l axe des abscisses et 1 cm pour une unité sur l axe des ordonnées). PARTIE A : Étude de la fonction f 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en. En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on précisera une équation. b. Montrer que pour tout nombre réel x : f x)=e x e x 5)+ 4. En déduire la limite de la fonction f en+. 2. a. Soit f la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout nombre réel x, calculer f x). Montrer que pour tout nombre réel x, f x)=e x 2e x 5). b. Résoudre dans l ensemble R des nombres réels l équation 2e x 5=0. Résoudre ensuite dans R l inéquation 2e x 5>0. c. En déduire les variations de la fonction f. Indiquer la valeur exacte de f ln 1 ) Montrer que l équation f x) = 0 a une unique solution sur l intervalle [1 ; 2]. Donner une valeur approchée à 10 2 près de cette solution. 4. a. Montrer que le point O appartient à la courbe C. b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point O. 5. Tracer dans le repère O, ı, ) j l asymptote D la droite et, sur l intervalle [ 2,5 ; 2], la courbe C. Polynésie 14 juin 2009

15 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale 2009 PARTIE B : Calcul d aire 1. Quel est le signe de la fonction f sur l intervalle [ln 12 ] ; 0? 2. Déterminer une primitive de la fonction f sur R. 3. Soit D le domaine du plan délimité par la courbe C, la droite d équation x = ln 1, l axe des abscisses et l axe des ordonnées. 2 a. Hachurer le domaine D sur le graphique précédent. b. Calculer l aire exacte du domaine D en cm 2, puis donner une valeur approchée au centième de cette aire. Polynésie 15 juin 2009

16 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Métropole 23 juin 2009 Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct O, u, ) v. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d argument π Soit A le point d affixe z A = 1+i 3. a. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z A. b. Écrire le nombre complexe z A sous la forme r e iθ où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel compris entre π et π. c. Placer le point A dans le repère O, u, ) v en prenant comme unité graphique 2 cm. 2. Soit B l image du point A par la rotation de centre O et d angle π. On appelle 3 z B l affixe du point B. a. Déterminer l écriture du nombre complexe z B sous la forme r e iθ où r est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel compris entre π et π). b. Écrire le nombre complexe z B sous forme algébrique. c. Placer le point B dans le repère O, u, ) v. 3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral. 4. Soit C le point d affixe z C = z A e i π 4. a. Par quelle transformation géométrique le point C est-il l image du point A? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation. b. Placer le point C dans le repère O, u, ) v. c. Écrire le nombre complexe z C sous forme trigonométrique. ) 2 2 d. Établir que z C = z A 2 + i. 2 En déduire l écriture du nombre complexe z C sous forme algébrique. e. Déduiree des resultats précédents les valeurs exactes cos 7π 7π et de sin EXERCICE 2 5 points On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux. Une bonne réponse rapporte 2 points, une mauvaise réponse enlève 1 point, l absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l exercice est 0. On appelle : A l évènement : «le candidat n a pas répondu à la question» ; B l évènement : «le candidat a donné la bonne réponse à la question» ;

17 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale 2009 C l évènement : «le candidat a donné la mauvaise réponse à la question». Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note B, B, C). Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies : soit il répond au hasard aux trois questions ; soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions. I. Première stratégie : le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse. Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions. 1. Combien de triplets différents peut-on obtenir? On pourra utiliser un arbre.) 2. Calculer la probabilité que le candidat n ait fait aucune faute.. 3. Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à 0, On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l exercice. a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l espérance mathématique EX) de la variable aléatoire X. II. Deuxième stratégie : le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions. 1. Combien de triplets différents peut-on obtenir? 2. On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l exercice. a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y. b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. c. Calculer l espérance mathématique EY) de la variable aléatoire Y. III. Comparaison des stratégies : parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat? PROBLÈME Le plan est muni d un repère orthonormal O, ı, ) j. 10 points On s intéresse dans ce problème à une fonction f définie sur l ensemble des réels R. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, ı, ) j. Partie A : Étude d une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur R par g x)= 2e x + 2x Étudier le sens de variation de la fonction g sur R. Les limites ne sont pas demandées. 2. a. Démontrer que l équation g x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [ 2 ; 1]. b. Donner l arrondi au dixième de α. c. En déduire, selon les valeurs du nombre réel x, le signe de g x). France juin 2009

18 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale 2009 Partie B : Étude de la fonction f Soit f la fonction définie sur R par f x)=2e x + x 2 + 3x. 1. Déterminer la limite de f x) quand x tend vers Déterminer la limite de f x) lorsque x tend vers. 3. Soit P la parabole d équation y = x 2 + 3x. a. Déterminer la limite de f x) x 2 + 3x ) quand x tend vers. b. Que peut-on en déduire graphiquement? c. Étudier la position relative de la courbe C et de la parabole P. 4. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a. Calculer f x) pour tout nombre réel x. b. En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction f. c. Donner une valeur approchée de f α) à 10 1 près. 5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole P dans le repère O, ı, ) j, en prenant comme unité graphique 2 cm. Tracer sur cette feuille annexe la tangente T et la courbe C. Partie C : Calcul d aire 1. Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x = 0 et x = a. Calculer la mesure exacte, en unités d aire, de l aire A de la partie du plan hachurée précédemment. b. En déduire, en cm 2, la mesure arrondie au centième de l aire A. France juin 2009

19 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale 2009 ANNEXE Cette feuille est à rendre avec la copie 6 P j O ı France juin 2009

20 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Antilles Guyane juin 2009 Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. On considère le polynôme P de la variable complexe z défini de la façon suivante : 1. Calculer P1). Pz)= 9z 3 21z z Déterminer les réels a, b et c tels que Pz)=z 1) az 2 + bz+ c ). 3. Résoudre dans l ensemble des complexes l équation : Pz) = 0. O, u, v 4. On munit le plan d un repère direct orthonormal 6 cm. Soient A, B et C les points d affixes respectives : z A = 1, z B = i) et z C= i). ) d unité graphique a. Placer les points A, B et C on utilisera une des feuilles de papier millimétré fournies). b. Calculer les modules suivants : z B z A, z A z C et z B z C ; en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 5. Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC. a. Déterminer l affixe du centre Ω de C et son rayon r en cm. b. Placer Ω et tracer le cercle C sur la figure. EXERCICE 2 5 points Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Partie A - Effet de réponses au hasard à un exercice de type vrai/faux. On imagine un exercice vrai/faux à quatre questions dont la règle de notation serait la suivante : chaque réponse correcte rapporte un point. Chaque réponse incorrecte fait perdre un demi-point. Un total négatif pour ce vrai/faux est ramené à zéro. On suppose qu un élève répond au hasard à chacune des quatre questions par «vrai» ou «faux» et qu il ne laisse aucune question sans réponse. 1. Indiquer dans un tableau tous les totaux de points possibles en fonction du nombre de réponses correctes fournies. 2. Compléter l arbre des choix de la feuille annexe avec les mots «correct» et «incorrect», puis indiquer, dans la dernière colonne, le nombre de points obtenus pour chacune des 16 éventualités.

21 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale On suppose que chacune des 16 éventualités a la même probabilité d être obtenue. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le nombre de points correspondant. a. Quelles sont les valeurs prises par X? b. Présenter dans un tableau la loi de probabilité de X. c. Calculer EX ), l espérance mathématique de X. Partie B - Un exercice de type vrai-faux. Cette partie B est un exercice de type vrai/faux qui doit être traité effectivement par le candidat. La règle de notation est la suivante : à chaque bonne réponse est attribué 0,5 point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25 point. L absence de réponse n enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à cette partie sera 0. Le texte ci-dessous comporte quatre affirmations, numérotées de 1 à 4. Pour chacune d elles, indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification. Soit f la fonction définie sur l ensemble R des réels par f x)=cos 2x π ). 4 Une partie de la courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous : 1 0 π 8 π 1 [ Affirmation 1 : L équation f x)=0 admet une seule solution dans 0 ; π ]. 4 3π 8 Affirmation 2 : 0 f x) dx= Soit g la fonction définie sur R par : g x)=3sin2x). Affirmation 3 : g est une solution de l équation différentielle : y" + 4y = 0. [ Affirmation 4 : La valeur moyenne de g sur 0 ; π ] vaut 12 2 π. PROBLÈME Partie I On considère la fonction g définie sur l ensemble R des nombres réels par : g x)= x 1+e 2x. 11 points On note C g la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal O, ı, ) j du plan. On prend comme unité graphique 2 cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées. Antilles Guyane 21 juin 2009

22 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale Calculer les limites de g en et en Soit D la droite d équation y = x 1. a. Démontrer que D est asymptote à C g en. b. Étudier les positions relatives de D et C g. 3. Soit g la fonction dérivée de g. a. Calculer, pour tout x réel, g x) et montrer que la fonction g est strictement croissante sur R. b. Dresser le tableau de variations de g. 4. Calculer g 0) puis justifier l affirmation suivante : «si x < 0, alors g x)<0 ; si x > 0, alors g x)>0». 5. Construire dans le repère O, ı, ) j la droite D et la courbe C g. On utilisera une feuille de papier millimétré.) Partie II Soit f la fonction définie sur R par : f x)=x 1) 2 + e 2x. 1. Soit f la fonction dérivée de f. Démontrer que, pour tout x réel, f x)=2g x). 2. En utilisant la question I. 4., dresser le tableau de variation de la fonction f les limites ne sont pas demandées). 3. En déduire la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un minimum et déterminer ce minimum. Partie III - Application à un problème de distance minimale On considère la fonction h définie sur R par : hx)=e x. On donne en annexe la courbe représentative C h de la fonction h dans un repère orthonormal d origine Ω. On a également représenté le point P de coordonnées 1 ; 0). On rappelle que, dans un repère orthonormal, le carré de la distance entre les points A x A, y A ) et B xb, y B ) est donné par : AB 2 = x B x A ) 2 + y B y A ) a. Placer, dans le repère donné en annexe, les points A 1 ; e 1) et B1 ; e) b. Calculer PA 2 et PB On considère, pour un réel x, le point M de C h d abscisse x, c est-à-dire le point M x ; e x ). a. Montrer que PM 2 = f x), où f est la fonction étudiée dans la partie II. b. En déduire les coordonnées du point de la courbe C h le plus proche du point P. Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Antilles Guyane 22 juin 2009

23 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique L intégrale 2009 Feuille annexe à rendre agrafée à la copie Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Nombre de points correct correct 4 points correct correct incorrect incorrect incorrect 0 point incorrect Problème : partie II C h Ω P Antilles Guyane 23 juin 2009

24 Durée : 4 heures Baccalauréat STI novembre 2008 Génie électronique, électrotechnique, optique Nouvelle-Calédonie Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal O, u, ) v d unité graphique 1 cm. On désigne par i est le nombre complexe de module 1 et d argument π Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation d inconnue z 2. Pour tout nombre complexe z on pose z 2 10z+ 41=0. Pz)= z 3 7z z a. Calculer P 3). b. Vérifier que Pz)=z+ 3) z 2 10z+ 41 ). c. Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation d inconnue z Pz)=0. 3. Soit I, A, B et C les points d affixes respectives : z I = 2 z A = 3 z B = 5+4i z C = 5 4i Soit C l ensemble des points M d affixe z tels que z 2 =5. a. Montrer que les points A, B et C sont dans l ensemble C. b. Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan. c. Montrer que l ensemble C est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. d. Représenter l ensemble C. 4. Soit R la transformation du plan qui à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z = z e π 4 i. a. Donner les éléments caractéristiques de la transformation R. b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Quelle est la nature de l ensemble C, image du cercle C par la transformation R. Justifier la réponse et représenter l ensemble C sur la figure.

25 Baccalauréat STI Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique L intégrale 2009 EXERCICE 2 4 points Un jeu consiste à miser d abord q euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s allumer. R R R R R R R J B B J R R B V V B R R J B B J R R R R R R R On convient que : R désigne la couleur rouge J la couleur jaune B la couleur blanche V la couleur verte. Si une case rouge s allume, l organisateur du jeu ne rend rien au joueur. Si une case blanche s allume, l organisateur du jeu rend la mise de q euros au joueur. Si une case jaune s allume, l organisateur du jeu donne 5 euros au joueur. Si une case verte s allume, l organisateur du jeu donne 8 euros au joueur. 1. On considère dans cette question que q = 1. Soit X la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale. a. Justifier que les valeurs prises par X sont { 1 ; 0 ; 4 ; 7}. b. Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est : PX = 4)= 2 15 c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X à l aide d un tableau. 2. On considère dans cette question que q est un nombre positif quelconque. Quelle devrait être la mise q pour que le jeu soit équitable? Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l évaluation. PROBLÈME Partie I : étude d une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par 11 points g x)=1 ln x+ 2x Montrer que g 2x+ 1)2x 1) x)=. x 2. Étudier le signe de g x) sur l intervalle ]0 ; + [. ) 1 Calculer g. 2 Dresser le tableau de variation de la fonction g sans les limites). 3. En déduire que, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle ]0 ; + [, g x) est strictement positif. Nouvelle-Calédonie 25 novembre 2008

26 Baccalauréat STI Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique L intégrale 2009 Partie II : étude de la fonction f Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f x)= ln x x + 2x 3. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal O, ı, ) j unités graphiques 2 cm sur l axe des abscisses et 1 cm sur l axe des ordonnées). 1. Étudier la limite de f en 0. En déduire que la courbe C admet une asymptote que l on précisera. 2. Étudier la limite de f en+ et démontrer que la droite d équation y = 2x 3 est asymptote à la courbe C en+. 3. Montrer que pour tout nombre réel x strictement positif, f x)= g x). En déduire le signe de f x) sur l intervalle ]0 ; + [. 4. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5. Soit A le point de C d abscisse e et B le point de C d abscisse e. x 2 a. Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B. b. En déduire que la fonction f est positive sur l intervalle [ e ; e]. 6. Tracer la droite et la courbe C. Placer les points A et B. 7. a. Démontrer qu au point A, la courbe C admet une tangente parallèle à la droite. b. Le point A est-il le seul point de la courbe C admettant une tangente parallèle à la droite? Partie III calcul d aire 1. Soit K la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par K x)= 1 2 ln x)2. On note K la fonction dérivée de la fonction K. Calculer K x) pour tout nombre réel x strictement positif. 2. En déduire une primitive de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. 3. Soit A l aire du domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives x = e et x= e. a. Calculer la valeur exacte de A en unité d aire. b. Donner une valeur approchée au mm 2 près de l aire A. c. Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l aire en mm 2 d un trapèze à préciser. Nouvelle-Calédonie 26 novembre 2008

27 Baccalauréat STI France septembre 2008 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct O, u, ) v d unité graphique 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation : z 2 4z+ 8=0. 2. On considère les points A, B et C du plan d affixes respectives : z A = 2 2i ; z B = 2+2i et z C = 4. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère O, u, v 3. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z A et z B. 4. a. Écrire z A et z B sous la forme r e iθ, où r est un réel strictement positif et θ un réel compris entre π et π. b. Montrer que le point B est l image du point A par une rotation de centre O et d angle que l on précisera. 5. Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle. 6. Déterminer la nature du quadrilatère OACB. ). EXERCICE 2 5 points Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement. Le fabricant propose en option une extension de garantie payante de deux ans, au delà de cette première année gratuite. 1. Une étude est faite sur un échantillon de ordinateurs vendus par ce fabricant. Elle montre que : 10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année on note ce cas R 2 ) ; au cours de la troisième année, 20 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparation on note ce cas R 3 ) dont un qui avait déjà été réparé l année précédente. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre d ordinateurs R 3 se produit R 3 ne se produit pas Total R 2 se produit R 2 ne se produit pas Total On admet que la répartition précédente modélise ce qui se produit pour l ensemble des ordinateurs vendus par ce fabricant. 2. Selon les chiffres du fabricant : pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année, le coût moyen de réparation pour l acheteur au cours de cette deuxième année est 150e.

28 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique L intégrale 2009 pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année, le coût moyen de réparation pour l acheteur au cours de cette troisième année est 200e. On note X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l acheteur, au terme des trois premières années. Ce coût est exprimé en euros. Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont donc 0, 150, 200, 350. a. Justifier que la probabilité de l évènement X = 0) est égale à 0, 971. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l espérance mathématique EX ) de la variable aléatoire X. 3. Le fabricant propose l extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50e. Que peut-on en dire? PROBLÈME 10 points Partie A : Résolution d une équation différentielle On considère l équation différentielle E) : y + 5y = 5x 3 + 3x 2 + 5, où y représente une fonction de la variable x, définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels. 1. Résoudre l équation différentielle E 0 ) : y + 5y = Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction u, définie sur R par ux)=ax 3 + b, soit solution de l équation différentielle E). 3. Soit h la fonction définie sur R par hx) = ke 5x + x où k est un nombre réel. a. Vérifier que h est solution de l équation E). b. Déterminer le réel k tel h0) = 2. Partie B : Étude de la fonction f Soit f la fonction définie sur R par : f x)= 3e 5x + x a. Déterminer la limite de f x) lorsque x tend vers. b. Déterminer la limite de f x) lorsque x tend vers a. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f x) pour tout réel x. b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variations. 3. a. Calculer f 0) et f 1). b. Établir que l équation f x) = 0 admet une solution unique α dans l intervalle [0 ; 1]. c. Donner un encadrement d amplitude 10 2 du nombre réel α. d. Déterminer selon les valeurs du réel x, le signe de f x). France 28 septembre 2008

29 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique L intégrale 2009 Partie C : Courbe représentative de la fonction f Le plan est muni d un repère orthogonal O, ı, ) j d unités graphiques 8 cm sur l axe des abscisses et 2 cm sur l axe des ordonnées. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, ı, ) j. 1. Soit u la fonction définie sur R par : ux)=x La représentation graphique Γ de la fonction u, dans le repère tracée sur la feuille jointe en annexe. a. On pose, pour tout réel x, dx)= f x) ux). Étudier le signe de dx). b. En déduire la position de la courbe C par rapport à la courbe Γ. O, ı, ) j est 2. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième de f x). x 0, 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 f x) 3. Tracer la courbe C dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie. Partie D : Calcul d une aire On appelle P la partie du plan limitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équation x= 1 et x= Hachurer sur la feuille annexe la partie P du plan. 2. Calculer la mesure, en unités d aire, de l aire A de la partie P du plan. Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l évaluation. France 29 septembre 2008

30 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique L intégrale 2009 FEUILLE ANNEXE DU PROBLÈME À REMETTRE AVEC LA COPIE Γ France 30 septembre 2008

31 Baccalauréat STI Antilles Guyane septembre 2008 Génie électronique, électrotechnique et optique EXERCICE 1 5 points Cet exercice est un vrai/faux : il s agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. À chaque bonne réponse est attribuée 0, 5 point. Toute réponse incorrecte e,lève 0,25 point. L absence de réponse n enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l exercice sera 0. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres «vrai» ou «faux». On ne demande aucune justification. Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes. 1. On considère le polynôme P défini pour tout réel x par Px)=x 1)x 3)2x+ 3). a. L équation Px)=0 admet dans R trois solutions qui sont 1, 3 et 3 2. b. Pour tout réel x, Px)=2x 3 5x 2 6x. c. L équation e x 1)e x 3)2e x + 3)=0 admet trois solutions dans R. 2. Dans l ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. On considère les nombres z 1 = 2+i 2 et z 2 = 2 i 2. a. Les nombres z 1 et z 2 sont solutions dans C de l équation z 2 2z 2+4=0. b. Un argument de z 2 est 3π 4. c. Le module de z 1 est Soit l équation différentielle E) : 4y + 49y = 0 dans laquelle l inconnue y est une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivable sur R, et y sa dérivée seconde. a. La fonction f définie pour tout réel x par f x)= A cos 7x 2 + B sin 7x 2, où ) est so- A et B sont deux constantes réelles, est solution de E). 7x b. La fonction h définie pour tout réel x par hx)=3cos 2 3π 4 lution de E). c. La fonction k définie pour tout réel x par kx)= 2cos 7x 2 2sin 7x 2 est la solution de E) qui vérifie k0)= 2 et k 0)=0. EXERCICE 2 5 points

32 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique L intégrale 2009 Une boîte contient 140 tiges métalliques de forme cylindrique, de dimensions variées, issues de la production d un atelier. Le tableau suivant donne leur répartition suivant leur longueur l et leur diamètre d, exprimée en millimètres. d l 15, ,1 16, Par exemple il y a 12 tiges métalliques de longueur 86 mm et de diamètre 16,1 mm. On tire au hasard une tige de la boîte, les tirages étant équiprobables. Dans tout l exercice, les probabilités seront données sous forme de fraction. 1. Calculer les probabilités respectives p 1, p 2 et p 3 des évènements suivants : a. «obtenir une tige de longueur 86 mm et de diamètre 16 mm» ; b. «obtenir une tige de longueur 85 mm» ; c. «obtenir une tige de longueur inférieure ou égale à 86 mm». 2. Selon les normes imposées par la production, une tige métallique est conforme lorsque sa longueur l et son diamètre d exprimés en millimètres, vérifient : 84,5 l 85,5 et 15,9 d 16,2 Calculer la probabilité de l évènement : «obtenir une tige conforme». 3. Soit X la variable aléatoire qui à chacun des tirages possibles, associe la longueur en millimètres de la tige obtenue. a. Quelle est la probabilité de l évènement «X = 84». b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer la probabilité de l évènement «X 85». d. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. En donner un arrondi au centième. PROBLÈME Le plan est rapporté à un repère orthonormal O, ı, ) j On appelle C la courbe représentative dans le repère orthonormal fonction f définie pour tout réel x par 10 points d unité graphique 2 cm. O, ı, j f x)= ax 2 + bx+ c ) e x, où a, b et c désignent trois nombres réels tels que : le point A de coordonnées 0 ; 1) appartient à la courbe C ; la courbe C admet au point A une tangente parallèle à l axe des abscisses ; f 1)=2e. Partie A 1. Démontrer que c = Soit f la fonction dérivée de la fonction f sur R. ) de la a. En remplaçant c par sa valeur, donner pour tout réel x, l expression de f x) en fonction de a et de b. b. Calculer a et b. Partie B On admet que pour tout réel x, f x)= 2x 2 + x 1 ) e x. Antilles Guyane 32 septembre 2008

33 Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique L intégrale a. Déterminer la limite de f en +. b. Déterminer la limite de f en on rappelle que, pour tout entier naturel n, lim x xn e x = 0). Interpréter graphiquement ce résultat 2. a. Vérifier que, pour tout réel x, f x)= x2x+ 5)e x. b. Étudier le signe de f x) selon les valeurs du réel x. c. Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec l axe des abscisses. 4. Tracer la courbe C dans le repère O, ı, ) j. Antilles Guyane 33 septembre 2008

34 Durée : 4 heures Baccalauréat STI Polynésie juin 2009 Génie mécanique, énergétique, civil EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. O, u, v 1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : a. Vérifier que P3)=0. Pz)= z 3 7z z 24. ) 5 points. L unité b. Déterminer deux nombres réels α et β tels que Pz) = z 3) z 2 + αz+ β ). c. Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équation Pz) = On note A, B et C les points du plan, d affixes respectives a = 3, b = 2+2i et c = 2 2i. a. Placer les points A, B et C dans le repère O, u, ) v. b. Déterminer le module et un argument du nombre complexe b. c. Déterminer le module et un argument du nombre complexe c. d. Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle. 3. On considère l ensemble E des points M d affixe z tels que : z 3 = 5. a. Montrer que les points B et C appartiennent à l ensemble E. b. Déterminer la nature de l ensemble E et représenter cet ensemble sur le dessin. EXERCICE 2 4 points On s intéresse au jeu suivant : Une urne urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10. Une deuxième urne urne 2) contient trois boules : une blanche B), une jaune J) et une rouge R). Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l urne 1 puis une boule dans l ume 2. Un résultat possible est par exemple : «la boule 1 porte le n o 5 et la boule 2 est jaune» que l on codera 5 ; J). 1. Dresser la liste de tous les résultats possibles. Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes : le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5 e ; suite au résultat obtenu à l issue des deux tirages il gagne : le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ; le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ;

35 STI génie mécanique, énergétique, civil L intégrale 2009 le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge. Le «gain réel» du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat 5 ; R) est 5 3 5= 10 euros. On note X la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur. 2. Quels sont les différents «gain réels» possibles du joueur? 3. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 4. Déterminer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. 5. S il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt : réponse A : être ruiné? réponse B : devenir riche? réponse C : ni l un ni l"autre? Quelle est ta bonne réponse? Justifier. PROBLÈME 11 points Partie A : Étude sommaire d une fonction g On considère la fonction g définie sur l ensemble R des nombres réels par g x)=e x3 x 5. La courbe représentative de la fonction g est notée C et est représentée sur la feuille annexe. Le dessin suggère que g est croissante sur R. On se propose dans cette partie de confirmer ou d infirmer cette impression. 1. Déterminer g x) pour tout nombre réel x. 2. Étudier selon les valeurs du nombre réel x le signe de Px)=3x Justifier que g x) et Px) sont de même signe pour tout nombre réel x. 4. En déduire le tableau de variations de g. L étude des limites n est pas demandée.) 5. Que penser des variations de g suggérées par le dessin? Partie B : Étude de quelques propriétés d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f x)= x ln x+ 1 x La courbe représentative de f est notée Γ, cette courbe est représentée sur la feuille annexe. 1. Étude des variations de f a. Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle ]0 ; + [, f x)= ln x 2 3. b. Résoudre dans l intervalle ]0 ; + [, l inéquation f x)>0. c. Dresser le tableau de variations de f sur l intervalle ]0 ; + [. On ne demande pas de calculer les limites de f en 0 et en+.) Polynésie 35 juin 2009

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