Correction Bac ES France juin 2010

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1 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio : l(e x ) = 3 E effet, o sait que pour tout x réel, l(e x ) = x et doc, l(e x ) = 3 x = 3. Questio La limite e + de la foctio défiie sur l itervalle ] 1 ; + [ par (x) = x 3 + 3x (x 1) 3 est 1 4 E effet, o sait que la limite e + d ue foctio ratioelle est égale à la limite du quotiet de ses termes de plus haut degré. Aisi, lim (x) = lim x 3 x + x + 3 (x) = lim x + 8 = 1 4 Questio 3 Soit la foctio défiie et dérivable sur l itervalle ]0 ; + [ par (x) = 3lx x + 5. Das le pla mui d u repère, la tagete à la courbe représetative de la foctio e so poit d abscisse 1 admet pour équatio : y = x + E effet, cette tagete a pour équatio : y = (1)(x 1) + (1) O a : (1) = 3l(1) = 3 et (x) = 3 1 d où, (1) = 3 = 1. x Aisi, la tagete a pour équatio : y = 1(x 1) + 3 soit, y = x +. Questio 4 U jeu cosiste à lacer ue fois u dé cubique o pipé dot les faces sot umérotées de 1 à 6. U joueur doe 3 euros pour participer à ce jeu. Il lace le dé et o lit le uméro iscrit sur la face supérieure de ce dé : si le uméro est 1, le joueur reçoit 10 euros, si le uméro est ou 4, il reçoit 1 euro, sio, il e reçoit rie. À ce jeu, l espérace mathématique du gai algébrique, exprimée e euros, est : 1 E effet, le gai suit la loi de probabilité suivate : Gai Probabilité So espérace est : ( ) 6 + ( 3) 3 6 = 1 ES-Frace-jui10 correctio Page 1 sur 7

2 Exercice (5 poits) (Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité) 1) Comme : 5 % des employés ot u ordiateur Aliet, o a : p(a) = 0,5. 40 % des employés ot u ordiateur Balart, o a : p(b) = 0,4. Comme le reste des employés a u ordiateur Celt, les évéemets A, B et C formet ue partitio et aisi, p(a) + p(b) + p(c) = 1 d où, p(c) = 1 0,5 0,4 = 0,35. Parmi les employés équipés d u ordiateur Aliet, 90 % sot satisfaits du service de maiteace doc, p A (S) = 0,9. Parmi les employés équipés d u ordiateur Balart, 65 % sot satisfaits du service de maiteace doc, p B (S) = 0,65 Parmi les employés équipés d u ordiateur Celt, 80 % sot satisfaits du service de maiteace doc, p C (S) = 0,8. O a doc l arbre podéré suivat : ) O a : p(a S) = p(a) p A (S) = 0,5 0,9 = 0,5. Doc, la probabilité que la fiche choisie soit celle d u employé équipé d u ordiateur Aliet et satisfait du service de maiteace est de 0,5. 3) Comme les évéemets A, B et C formet ue partitio de l uivers, d après la ormule des probabilités totales, o a : p(s) = p(a S) + p(b S) + p(c S) p(s) = 0,5 + 0,4 0,65 + 0,35 0,8 p(s) = 0,765. p(s C) 4) O a : p S (C) = = 0,35 0,8 p(s) 0,765 = 0,366 à 10 3 près. Doc, sachat que la fiche choisie est celle d u employé satisfait du service de maiteace, la probabilité que cet employé soit équipé d u ordiateur de la marque Celt est égale à 0,336. ES-Frace-jui10 correctio Page sur 7

3 Exercice (5 poits) (Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité) Soit x le ombre, exprimé e cetaies, de sièges «luxe» et y le ombre, exprimé e cetaies, de sièges «cofort» produits chaque mois. La foctio coût mesuel de productio est la foctio F défiie pour x et y apparteat à l itervalle [0 ; 3] par : F(x, y) = x x + y 4y + 6. F(x, y) désige le coût mesuel de productio, exprimé e dizaie de milliers d euros, pour x cetaies de sièges «luxe» et pour y cetaies de sièges «cofort». 1) F(1, ; 1,6) = 1, 1, + 1,6 4 1,6 + 6 = 1,. Doc, e javier 010, le coût de productio a été de 1, dizaie de milliers d euros soit de ) Pour tout x et y réels, o a : (x 1) + (y ) + 1 = x Soit, (x 1) + (y ) + 1 = x x + y 4y + 6. De ce qui précède, o déduit que : F(x, y) = (x 1) x y 4y (y ) + 1. Comme u carré est toujours positif, le coût de productio sera miimal quad les carrés serot uls, c'est-à-dire quad x = 1 et y = et F(1 ; ) = 1. Aisi, le coût de productio mesuel est de euros et il est atteit pour ue productio de 100 sièges «luxe» et 00 sièges «cofort». 3) À partir du mois de juillet 010, la productio mesuelle prévue de sièges et exactemet 50. a. La productio mesuelle est de x + y cetaies de sièges. Or, 50 =,5 cetaies. Doc, o a : x + y =,5 soit, y =,5 x. Aisi, le coût peut s écrire : F(x ; y) = x x + (,5 x) 4(,5 x) + 6 F(x ; y) = x x + 6,5 5x + x x + 6 F(x ; y) = x 3x +,5. b. O ote la foctio défiie sur l itervalle [0 ;,5] par (x) = x 3x +,5. La foctio est ue foctio triôme dot la parabole est «tourée vers le haut» car a = > 0 et elle chage de variatio e x = b a = 3 4 = 0,75. O a doc le tableau de variatio suivat : x 0 0,75,5,5 7,5 1,15 c. La foctio atteit so miimum 1,15 pour x = 0,75 et y =,5 x = 1,75. Doc, e juillet 010, l équipemetier doit produire 75 sièges «luxe» et 175 sièges «cofort» pour u coût de productio miimal égal à ES-Frace-jui10 correctio Page 3 sur 7

4 Exercice 3 (5 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour i ombre etier variat de 0 à 8, o défiit le tableau suivat qui doe les valeurs du SMIC horaire brut, exprimé e euros, de 001 à 009 (source INSEE). O se propose d e étudier l évolutio : Aée Rag de l aée : x i SMIC horaire brut (e euros), y i 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,7 8,44 8,71 8,8 Partie A : Observatio des doées 1) O a le uage de poits suivat : 8,8 6,67 ) O a : 100 = 3,3 à 10 6,67 près. Aisi, la valeur du SMIC horaire brut a augmeté de 3,3 % etre 001 et 009. ES-Frace-jui10 correctio Page 4 sur 7

5 3) Soit x le coefficiet multiplicateur associé au taux auel moye d augmetatio etre 001 et Alors, le coefficiet multiplicateur global est : x = 8,03 6,67 Aisi, x = 4 8,03 6,67 = 1,0475 à 10 4 près. Doc, le pourcetage auel moye d augmetatio de la valeur du SMIC horaire brut etre 001 et 005 est bie de 4,75 %. Partie B : Modélisatio de la série statistique (x i ; y i ) 4 i 8 par u ajustemet expoetiel E observat le pourcetage auel moye d augmetatio de la valeur du SMIC horaire brut etre 005 et 009, o estime à 8,03 1,04 la valeur, exprimée e euros, du SMIC horaire brut pour l aée 005+, désigat u etier aturel. O cosidère que ce ouveau modèle reste valable jusqu à l aée ) 01 = et 8,03 1,04 = 9,48 à 10 près. Doc, si ce modèle reste valable, e 016, le SMIC horaire brut serait de 9,48. ) O cherche tel que 8,03 1,04 8,03 1, ,04 Or, l( 10 8,03 ) l(1,04) 9, ,03 l(1,04 ) l( 10 ) car la foctio l est croissate. 8,03 l(1,04) l( 10 8,03 ) l( 10 8,03 ) car l(1,04) > 0. l(1,04) C est doc à partir de l aée 015, , que la valeur du SMIC horaire brut dépassera 10 euros. ES-Frace-jui10 correctio Page 5 sur 7

6 Exercice 4 (6 poits) (Commu à tous les cadidats) U ouveau modèle de mii-ordiateur portable est mis sur le marché. Soit x la quatité d appareils pouvat être vedus, exprimée e milliers. La foctio d offre de cet appareil est la foctio défiie sur l itervalle [0 ; 35] par : (x) = 153 e 0,05x. Le ombre réel (x) désige le prix uitaire e euros d u appareil, proposé par les fourisseurs, e foctio de la quatité x, exprimée e milliers, d appareils pouvat être vedus. La foctio de demade de cet appareil est la foctio g défiie sur l itervalle [0 ; 35] par : g(x) = 116 l(x + 1) Le ombre réel g(x) désige le prix uitaire e euros d u appareil, accepté par les cosommateurs, e foctio de la quatité x, exprimée e milliers, d appareils dispoibles. 1) a. O a : (x) = 153 0,05e 0,05x. Comme pour tout x réel, e 0,05x > 0, (x) > 0 (produit de ombres positifs). Aisi, la foctio est strictemet croissate sur l itervalle [0 ; 35]. b. O a : g(x) = x + 1 Comme pour tout réel x [0 ; 35], x + 1 > 0, g(x) < 0. Aisi, la foctio g est strictemet décroissate sur l itervalle [0 ; 35]. c. Le poit E semble avoir pour coordoées (8,9 ; 40). ) Afi de détermier les coordoées du poit E de faço précise, o est ameé à résoudre das l itervalle [0 ; 35] l équatio (x) = g(x). Pour cela o cosidère la foctio h défiie sur l itervalle [0 ; 35] par h(x) = (x) g(x). a. O a : h (x) = (x) g(x) = (x) + ( g(x)). Pour tout x [0 ; 35], o a : g(x) < 0 doc, g(x) > 0 et o a : (x) > 0 doc, par somme de ombres positifs, h (x) >0 pour x [0 ; 35]. Aisi, la foctio h est strictemet croissate sur [0 ; 35]. b. La foctio h est cotiue et strictemet croissate sur [0 ; 35]. De plus, h(0) = < 0 et h(35) 79 > 0. Doc, d après le théorème de la bijectio, l équatio h(x) = 0 admet ue uique solutio x 0 sur l itervalle [0 ; 35]. c. À l aide de la calculatrice, o trouve : x 0 8,871. d. y 0 = (x 0 ) = (8,871) 38,41. e. De la questio précédete, o déduit que le prix uitaire d équilibre de cet appareil est de 38,41 et pour ce prix, appareils sot dispoibles. ES-Frace-jui10 correctio Page 6 sur 7

7 3) O predra das cette questio x 0 = 8,871 et y 0 = 38,41. a. (x) = 153e 0,05x doc, ue primitive est : F(x) = ,05 e 0,05x = e 0,05x. b. O appelle surplus des fourisseurs le ombre réel S défii par la formule : x S = x 0 y 0 0(x) dx. Voir le graphique pour le domaie du pla dot l aire, e u.a. est le ombre réel S. x O a : 0(x) dx = F(x0 ) F(0) = 3 060e 0,05 x D où, S = 8,871 34, e 0,05 x 0 406, ES-Frace-jui10 correctio Page 7 sur 7

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