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1 CHAPITRE 12. RÉSISTANCES PASSIVES Intoduction Fottement de gliement de cop non lubiié Diection et intenité de la oce de ottement Coeicient de ottement Angle et cône de ottement Fottement dan le aticulation cylindique A) 1 èe hypothèe : Contact uivant une généatice B) 2 ième hypothèe : Contact uivant une uace emi cylindique : peion contante C) 3 ième hypothèe : Contact uivant une uace emi cylindique : peion coinuoïdale D) En éumé Fottement de cop lexible Fottement de gliement de cop lubiié Fottement de oulement Eieu poteu Eieu moteu A) Ca 1 : an chage à tacte B) Ca 2 : avec chage à tacte Veion du 27 octobe 2016 (14h22)

2 CHAPITRE 12. RÉSISTANCES PASSIVES Intoduction On obeve toujou le phénomène de ottement quand de cop quelconque, olide, liquide ou gazeux, en contact ont en mouvement l un pa appot à l aute, ou bien quand il ont oumi à l action de oce uceptible de povoque leu mouvement elati. Dan ce qui uit, nou auon en vue uniquement le ottement de uace de cop olide en contact. L expéience monte que pendant le mouvement elati de deux cop olide en contact, peé l un conte l aute pa une cetaine oce, une oce oppoant au mouvement elati agit u le uace en contact. Cette oce appelle oce de ottement. Pendant le mouvement elati de deux cop olide en contact, il peut y avoi gliement ou oulement d un cop pa appot à l aute, en onction de quoi il e cée oit le ottement de gliement, oit le ottement de oulement, ou oit encoe imultanément ce deux type de ottement. L expéience monte également que la oce de ottement de gliement diminue i la uace de contact de cop olide et lubiiée. Si le deux uace en contact ont complètement épaée pa une couche de lubiiant, le ottement appelle alo ottement luide; en l abence totale de lubiiant, le ottement appelle alo ottement ec. Si le deux uace en contact ont pa complètement épaée pa une couche de lubiiant, le ottement appelle alo emiluide ou emiec en onction du type du ottement pédominant Fottement de gliement de cop non lubiié Diection et intenité de la oce de ottement Coeicient de ottement L expéience monte que la oce de ottement u la uace de contact de deux cop olide et contamment diigée dan le en oppoé à la vitee elative du mouvement ou, i le deux cop e touvent au epo, dan le en oppoé de la oce qui tend à mette en mouvement un de cop en contact. La gandeu de la oce de ottement dépend de nombeux acteu, dont l étude epéente cetaine diiculté. Dan de nombeux ca et avec une péciion uiante pou la patique, pou détemine la gandeu de la oce de ottement, on a ecou à la omule établie pa Coulomb (1) : q (éq ) Notation : q μ oce de ottement oce nomale à la uace de contact avec laquelle le cop 1 et peé conte le cop 2 coeicient de popotionnalité appelé coeicient de ottement de gliement N N Aini, i le cop 1 et animé d un mouvement pa appot au cop 2 de vitee ottement, diigée dan le en oppoé de la vitee v 1 2 une éitance au mouvement. v 1 2, la oce de, donnée pa la omule éq.12.1., oppoe alo (1) ChaleAugutin Coulomb,(1736 [Angoulême] 1806 [Pai] : oicie, ingénieu et phyicien ançai. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.1

3 ig Fomule de Coulomb. Remaque : q n et pa néceaiement uniquement le poid! L expéience monte que pou le même cop 1 et 2, une même oce q, le aute condition étant égale, la oce de ottement 0 qu il aut vaince pou mette en mouvement un de cop au epo pa appot à l aute, avèe plu gande que la oce de ottement qui oppoe une éitance au cop 1 quand il et en mouvement pa appot au cop 2. Pou cette aionlà, quand on détemine la oce de ottement d apè la omule donnée cideu, il et néceaie de pende en conidéation la diéence qui exite ente le valeu du coeicient de ottement de gliement (coeicient de ottement cinématique) μ et le coeicient de ottement tatique μ. La oce de ottement étant une oce de éaction, la quantité q de la oce de ottement au epo donnée pa la omule éq et celle uceptible d oppoe une éitance à la oce qui tend à déplace un de cop en contact pa appot à l aute, mai i q, la oce de ottement et égale à la oce. Le coeicient de ottement de gliement et une gandeu an dimenion, donnée dan le omulaie d ingénieu pou diéent ca paticulie et où on pend eulement en conidéation le matéiau de cop en mouvement et la netteté avec laquelle le uace en contact ont été uinée. En utiliant la valeu du coeicient de ottement donnée dan le omulaie et en déteminant la gandeu de la oce de ottement d apè la omule donnée cideu, nou uppoeon que la valeu du coeicient de ottement dépend eulement du matéiau et de la netteté de la uace, mai non de la vitee de gliement, de la peion péciique et de l intevalle de temp pendant lequel le gliement eectue, il aut avoi en vue que cette uppoition n et vaie qu appoximativement et eulement ente le limite pou de vitee de gliement, de peion péciique et de la duée du gliement, employée pa Coulomb dan e expéience, conomément auxquelle la omule indiquée a été établie. Le limite ente lequelle étaient eectuée le expéience de Coulomb en 1785 étaient le uivante : la vitee de gliement vaiait de 0.3 à 3 m/, la peion à la uace de contact ne dépaait pa 10 g/mm 2. C et ce qu il aut avoi en vue puique dan la technique modene, on a équemment aaie à de vitee et de peion u le uace de ottement conidéablement plu gande. Dan le expéience de Coulomb, la duée du gliement n a été nullement pie en conidéation. Ce expéience que diéent checheu ont eectuée apè celle de Coulomb ont établi, qu en deho de limite indiquée la valeu du coeicient de ottement vaie eniblement en onction de la vitee de gliement, de la peion à la uace de ottement et de la duée du gliement. Pa exemple, il a été établi qu avec l augmentation de la vitee de gliement de 2.13 à 26.8 m/, la valeu du coeicient de ottement diminue peque de 6 oi, mai, pou une même vitee, elle diminue peque de 3 oi au bout de 25 apè le début de l expéience. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.2

4 Ce qui vient d ête expoé cideu doit toujou ête pi en conidéation pendant la détemination de valeu de oce de ottement dan le calcul technique baé u le valeu de coeicient de ottement donnée dan le omulaie. Exemple de coeicient de ottement Matéiaux Fottement cinématique μ Fottement tatique μ à ec lubiié à ec lubiié Acie u acie Acie u bonze ou onte gie Acie u glace Acie u boi Acie u acie uace polie Fonte gie u onte gie onte gie u bonze Cui u métal Cui u boi Pneu u oute èche Pneu u oute mouillée Caoutchouc u métal Ganitue de ein u métal Piee u piee Boi u boi Telon u telon Pou diminue le ottement, il aut diminue la uace de contact en penant une uace tè lie avec une aute uace tè ugueue Angle et cône de ottement Si le cop 1 (ig ) et peé conte le cop 2 pa la oce q alo en l abence de oce de ottement, la éaction n du cop 2 u le cop 1 et diigée uivant la nomale à la uace de contact. ig Angle de ottement. En péence d une oce de ottement, la éaction et la éultante de la éaction nomale R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.3

5 n et de la oce de ottement, l angle 0 omé pa la éultante et la éaction nomale n appelle angle de ottement. Il découle de la ig que : tan 0 n (éq ) On touve donc d apè l équation éq : tan 0 (éq ) c etàdie que le coeicient de ottement et égal à la tangente de l angle de ottement. Aini, l angle de ottement et l angle omé pa la éaction nomale et la éultante de la oce de ottement et de la éaction nomale, oit encoe l angle dont la tangente et égale au coeicient de ottement. Si le cop 1 et en mouvement uivant diéente diection du plan, la éultante de éaction ome un angle 0 avec la éaction nomale n du côté oppoé au en de la vitee elative du mouvement et appatenant contamment à la uace d un cône d angle au ommet 2 0 obtenu pa la otation de la éultante autou de la éaction nomale (ig ). Ce cône appelle cône de ottement. ig Cône de ottement. Autement dit, on appelle cône de ottement la uace obtenue pa la otation de la éultante de la oce de ottement et de la éaction nomale autou de la éaction nomale, ou encoe le cône d angle au ommet égal au double de l angle de ottement. Application Gliement u un plan incliné. Détemination de la oce à applique u un bloc de mae m pou aue a montée à vitee contante. Yat il une oce minimale? Expime le endement du mécanime. Solution : Pojection de diéente oce u le axe co 1x in 1y p m g in 1x m g co 1y n 1 n y 1 x Application de la loi ondamentale de la dynamique F d m v dt ig Application Réolution. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.4

6 et comme v ct, nou avon F 0. 1 x co m g in 0 1y m g n 0 in co Avec, achant que tan : n puique v 0 et en emplaçant dan (2), on obtient : m g co in On emaque que : i 0 2 n m g co n et alo maximum et 3 m g co i 0 n m g co et m g co En emplaçant (3) dan (1), on obtient : co m g in m g co in in co in co co in m g m g co in co co in in in m g co 4 Recheche du minimum d eot L eot et minimum i le dénominateu et maximum, d où : co 1 Rendement du mécanime On peut expime le endement de la montée de la manièe uivante : tavail utile m g dh tavail ouni dx En conidéant un déplacement dx le long du plan incliné, auquel coepond une ditance veticale : dh dx in le endement devient : m g dh m g dx in co dx co dx Et en emplaçant (4) dan la omule cideu : in co co co Pou que le endement oit maximum ( max 1) il aut que : in co et co Et dan ce ca : in 90 R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.5

7 p et donc : et n 0 (La oce et dan le polongement du poid p ) 0 (évident). Application Equilibe d une échelle. Soient : M la mae de l homme, m la mae de l échelle, α l angle que ome l échelle avec l hoizontal, l h la ditance coepondant à la poition de l homme le long de l échelle, μ A le coeicient de ottement ente l échelle et le ol, μ B le coeicient de ottement ente l échelle et le mu. Calculez la poition limite de l homme en onction de diéent paamète. Solution : Equilibe tatique Pojection u le 3 axe : ig Application x A nb 0 1y B M g m g n A 0 1 z A B l nb l M g lh m g l 2 0 co in co co Condition d équilibe tatique exige aui que : A A n A B B nb La limite d équilibe du ytème ea atteinte loque : A A n A 4 B B nb Calcul de la poition limite de l homme En tenant compte de égalité (4) on détemine l h la ditance maximum juqu à laquelle l homme poua monte le long de l échelle an ompe l équilibe. La elation (1) devient : n n 1 A A B La elation (2) devient : n n M m g 2 A B B La elation (3) devient : M g lh co m g l 2 co nb l in B nb l co 0 3 R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.6

8 1 n M m g A 1 2 B B n B M m g 1 A 3 M g lh m g l 2 M m g A co co l in 1 l h M m l M 1 B A M m g 1 A A B A A B B tan A B l co 0 B 1 2 m M R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.7

9 Fottement dan le aticulation cylindique Loqu un abe toune à la vitee angulaie ω dan un palie, on aite au gliement de l abe dan le palie. Déteminon la éaction d appui du palie u l abe aini que le moment de oce C céé pa cette éaction d appui. Le poblème peutête taité de diéente manièe elon l hypothèe admie elativement à l ajutage du touillon et du couinet. A) 1 èe hypothèe : Contact uivant une généatice Loqu un jeu exite ente le touillon et on couinet (ajutage peu oigné) et que le matièe mie en jeu ont due (indéomable), le contact géométique n a lieu, théoiquement, que uivant une généatice C (ig ). La poition de celleci et déinie pa la diection de l eot appliqué. Pou ende le aionnement plu clai, uppoon que le touillon oit eniblement plu petit que l aléage du couinet. S il n y avait pa de ottement, on auait ente l action touilloncouinet et la éaction couinettouillon q diectement oppoé et le couple néceaie pou aue la otation auait été nul (ig gauche). ig Fottement dan le aticulation cylindique. Soit C m le couple moteu qu il aut applique pou aie toune l abe d un mouvement de otation uniome. Le dique commence pa oule u on uppot u un tè aible pacou CC ; pui, la généatice de contact demeuant en C, il glie en tounant autou de on axe géométique O. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.8

10 Le mouvement étant uniome, le oce qui ollicitent l abe ont en équilibe. Elle compennent : La chage q, oce veticale paant pa O; La éultante de éaction du couinet u l abe; elle et diigée en en contaie du mouvement et ait avec la nomale OC, un angle égal à l angle de ottement. On peut décompoe la éaction En une éaction nomale n paant pa O et une compoante tangentielle t (avec la elation t n ); Le couple moteu, dont le moment a le igne négati dan note ca de igue. C m La omme algébique de moment de toute ce oce et couple pa appot à O et nulle, oit : M 0 m m q C 0 D où (pojection uivant 1 z ) : O O R O m 0 t C 0 C t n C m m Aini pou vaince la éitance due au ottement de l abe u on couinet, il aut exece un couple de moment égal à : Cm C n (éq ) Remaque : 1) En patique, le touillon ont en acie et le couinet en bonze; le uace ottante ont gaiée et le coeicient de ottement μ et inéieu à Comme tan, l angle de ottement et inéieu à 6. Pa uite on peut emplace n pa dont elle dièe tè peu. Pou : 6 n co n. Le couple de ottement devient : C (éq ) 2) et tangent à un cecle appelé cecle icti de ottement de ayon. Nou pouvon donc aui écie que : C (éq ) En compaant le équation (éq ) et (éq ) on emaque que le ayon icti de ottement et égal à : in tan (éq ) B) 2 ième hypothèe : Contact uivant une uace emi cylindique : peion contante Le contact linéaie et patiquement impoible à caue de déomation ubie pa le cop en R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.9

11 péence. Le contact éel établia uivant un cetain ac, d autant plu étendu que l ajutage et plu péci. Le peion eont donc aui épatie u une cetaine uace. Loque l ajutage et péci et que l uue de pièce et éduite on admetta l hypothèe d une uace de contact emi cylindique u laquelle le peion péciique p oient uniomément épatie u cette uace : p ct. On peut aiément démonte (lol) que dan ce ca le moment de ottement et égal à : C 157. n 157. Le cece icti de ottement valant dan ce ca : 157. (éq ) C) 3 ième hypothèe : Contact uivant une uace emi cylindique : peion coinuoïdale Apè un cetain temp de onctionnement, une uue e ea poduite. Il en éulte une tanlation elative du cente du touillon. On peut uppoe que, i et la peion péciique la plu gande, dan la diection de l eot de peion p, la peion péciique dan la diection quelconque aiant un angle α avec la pécédente, vaut p p co max. L uue en un point peut ête conidéée comme popotionnelle à la peion en ce point et à la vitee péiphéique en ce point. L uue n et pa contante u le contact emiciculaie. Elle et maximale dan la diection de l eot de peion p et elle et nulle là où commence et init le contact. D) En éumé p max Là encoe on peut démonte que le couple de ottement vaut : C 127. n 127. Le cece icti de ottement valant dan ce ca : 127. (éq ) Dan le ca du ottement dan le aticulation cylindique, on a : C avec : i le contact a lieu uivant une généatice i le contact a lieu uivant un demicylinde (an uue) i le contact a lieu uivant un demicylinde (avec uue) R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.10

12 Remaque : C et pouquoi un appaeil neu a beoin d ête odé, le dive coeicient de ottement intene diminue, un peu, avec l uue. Application Un volant de mae égale à 60 g toune à 1500 t/min. Sachant que le coeicient de ottement de l abe dan ce palie et de 0.08 et que l abe à un diamète contant de 40 cm, calcule la puiance pedue pa ottement. Solution : Recheche de éaction d appui 15. P 3 R R 300 N B B A P 3 R R 900 N A A B ig Application Diigé ve le ba Diigé ve le haut Puiance pedue pa ottement P C i i le contact a lieu uivant une généatice : P W 60 i le contact a lieu uivant un demicylinde (an uue) : P W i le contact a lieu uivant un demicylinde (avec uue) : P W Remaque : cecle icti de ottement Dan note ca de igue, le cecle icti de ottement et epectivement de : m 16. mm mm mm ce qui et tè petit R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.11

13 12.3. Fottement de cop lexible Si un cop idéalement lexible et inextenible, c etàdie un cop paaitement indéomable ou l action de toute oce extenible et qui n oe aucune éitance au léchiement, enveloppe un cylinde ixe uivant l ac de ciconéence AB d angle au cente θ e (ig ) et e touve ou l action de oce T 1 et T 2, alo, pou qu il puie ête en mouvement u le cylinde avec une vitee uniome, il doit néceaiement atiaie à la condition : T 1 T 2 où et la oce de ottement ente le cop lexible et le cylinde. ig Fottement de cop lexible. Puique la oce de ottement et épatie u l ac de contact AB du cop lexible et du cylinde, alo la tenion du cop lexible, à pati de on point de dépat A u le cylinde juqu à on point d aivée B, coît uivant une cetaine loi de T 2 à T 1. Au point C de l ac ininiment petit CD la tenion atteint une cetaine valeu T, au point D elle augmente juqu à T dt. La oce de ottement ininiment petite u l ac CD qui conditionne l augmentation de la tenion de dt et, pa conéquent, égale à dt peut ête expimée de la manièe uivante : dt dn (éq ) Notation : μ dn coeicient de ottement dynamique oce ininiment petite pependiculaie à la uace de ottement N L intenité de la oce dn et donnée pa le pojection de tenion T et mené pale milieu de l ac CD : d d d d dn T dt in T in 2 T in dt in Sachant que : T dt u un ayon R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.12

14 ind d d dt in 0 2 on obtient : dn T d 2 T d 2 En combinant cette denièe expeion avec l équation éq : dt dt dn T d d T En intégant : T1 dt e T1 d e T2 T 0 ln T T1 T2 exp e (éq ) 2 Cette elation ente la oce T 1 qui met en mouvement le cop idéalement lexible et inextenible enveloppant le cylinde et la oce T 2 qui oppoe au mouvement a été établie pa l éminent avant L. Eule (2). Conomément à la omule d Eule, la oce de ottement u la uace de contact du cop lexible qui enveloppe le cylinde et : T T T exp (éq ) e 1 D apè cette omule, l intenité de la oce de ottement dépend aui, dan une gande meue, du coeicient de ottement et de l angle d enoulement; il n et pa diicile de en convaince, aiant le ubtitution adéquate dan la omule d Eule, que pou 0. 35, en enoulant le cop lexible quate oi autou du cylinde ( e 8 ), une oce de 1 N peut équilibe une oce de 6500 N. Dan le calcul de la tanmiion pa couoie on a aaie avec le valeu appoximative uivante : ; e. Pou ce valeu, la tenion de la patie menante de la couoie qui entaîne en otation la poulie menée et appoximativement toi oi plu gande que la tenion de la patie menée. Cependant, pou le calcul d une tanmiion pa couoie, la omule d Eule n et applicable que i on y appote de ectiication empiique. La néceité de ce ectiication découle : 1) de ce que la couoie n et pa cop idéalement lexible et inextenible 2) de ce que, pendant la otation de la poulie, la couoie et oumie à l action de la oce centiuge qui ait décoîte la peion de la couoie u la poulie et, pa conéquent, diminue la oce de ottement. (2) Paul Eule Leonhad (1707 [Bâle] 1783 [SaintPéteboug] : mathématicien et phyicien uie. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.13

15 Application Cylinde en équilibe u un axe ixe. Sachant que l on obeve l équilibe de deux mae M et m (avec m M 10 ), détemine le coeicient de ottement μ minimum ente la code et l axe ixe. Le dimenion de l abe jouentelle un ôle? Le nombe d enoulement? La mae m? Solution : Application de la loi généale pou le lien lexible Soit : T T exp 1 2 e T1 M ln ln T2 M 10 ln e ig Application Le dimenion de l abe ne jouent aucun ôle, le nombe d enoulement évidemment aini que le appot de mae. R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.14

16 12.4. Fottement de gliement de cop lubiié Si le uace de cop en ottement ont entièement ecouvete d une couche de lubiiant, alo le ottement, comme on l a dit pécédemment, appelle ottement luide. La éitance au mouvement elati dan le ca du ottement luide et conditionnée pa de acteu ditinct de ceux qui déinient la oce de ottement dan le ca de ottement ec. ig Pou de uace en ottement non lubiiée, la éitance au mouvement elati et due avant tout à ce que le apéité minucule, inviible à l œil nu, de la uace d un de cop en ottement, epéentée u la ig otement agandie, ont etenue pa de apéité emblable de la uace de l aute cop. Cet état de choe et conimé pa le ait que la oce de ottement, pou d aute condition égale, diminue pou le uace uinée avec plu de oin. Cependant, la oce de ottement ne décoît pa indéiniment en onction de l amélioation de l uinage de uace; de plu, i on coneve toute le aute condition et qu on pae à de uace uinée de plu en plu oigneuement, on emaque alo qu en atteignant une cetaine limite pou le oin appoté à l uinage, la oce de ottement commence à augmente. Ceci explique pa le ait que le oce de cohéion moléculaie commencent à avoi une action impotante dè que l adhéence de uace et tè gande. Aini, le uace oigneuement polie de deux cop, dont le apéité ont de hauteu ne dépaant pa 1/2000 de millimète (c et aini qu on uine le uace de dalle utiliée pou le contôle de calibe limite), attient avec une oce de 12.5 N/mm 2 envion. En péence d une couche de luide ente le uace de deux cop en mouvement l un pa appot à l aute, l inluence de acteu indiqué pécédemment, tel que la ugoité de uace et la cohéion moléculaie, élimine et la éitance au mouvement elati et conditionnée eulement pa le ottement à l intéieu de la couche de luide. Dan ce ca, le ine couche de luide adhèent aux uace de cop en mouvement l un pa appot à l aute et ont en mouvement pa appot aux couche de luide qui y adhèent le entaînant et le devançant même patiellement. La détemination de la oce de ottement dan le ca de ottement luide et ondée u la loi de Newton elative à la vicoité de luide d apè laquelle : luide A vel (éq ) e Notation : luide η A v el e oce de ottement coeicient de vicoité du luide uace de ottement vitee elative du mouvement l épaieu de la couche de luide N N/m 2 m 2 m/ m D apè la omule éq de Coulomb donnée pécédemment on peux en déduie le coeicient R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.15

17 de ottement luide dan une couche de luide : luide luide A v q e A v v luide e q e p (éq ) q avec : p la peion. A Il et uppoé dan la omule de Coulomb que le coeicient de ottement ec ne dépend pa de la vitee de gliement, mai comme cela a été mentionné plu haut, diéent checheu potéieu à Coulomb ont établi que pou le vitee upéieue à celle de expéience de Coulomb le coeicient de ottement diminue eniblement. Au contaie, le coeicient de ottement luide augmente popotionnellement à la vitee de gliement. Le phénomène complexe qui ont lieu dan une couche de lubiiant uent pou la pemièe oi étudié pa le ondateu de la. théoie hydaulique du ottement N. Pétov, poeeu à l intitut technologique de Péteboug, dan a billante étude intitulée Fottement dan le machine et inluence de luide lubiiant u le ottement, publiée en Dan la majoité de ca, on obeve u le uace lubiiée de cop en mouvement l un pa appot à l aute non pa un égime de ottement luide, mai bien celui de ottement emiluide ou emiec. Pou ce égime, on a encoe, pa impliication, ecou à la omule de Coulomb apè avoi eniblement diminué le coeicient de ottement pa appot aux coeicient admi dan le phénomène de ottement ec. Aini, le coeicient de ottement de l aciebonze pendant le ottement ec et envion de 0.18, tandi que pou le ottement emiec en onction de cetaine cicontance, a valeu ocille ente 0.02 et R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.16

18 12.5. Fottement de oulement Si le cop, olide étaient igoueuement indéomable, le cylinde auait une eule généatice de contact avec on uppot plan. En éalité, le deux cop e déoment, plu ou moin elon leu élaticité, i bien que le contact a lieu uivant une uace limitée pa deux généatice A et B (ig ). Loque le cylinde oule, la déomation du plan e popage dan le même en que le déplacement, mai on peut admette que le mouvement du cylinde et, à chaque intant, une otation (baculement) autou d une généatice telle que B (CIR de C B). Pou enteteni une otation uniome, la oce doit agi en pemanence. ig Fottement de oulement eieu poteu Eieu poteu Conidéon le cylinde C (ig ) qui oule u le uppot hoizontal S d un mouvement uniome. Le oce qui le ollicitent ont : la chage q du cylinde; la oce de taction hoizontale, paant pa O; la éultante du uppot que, pou impliie, nou uppoon appliquée en B, alo qu en éalité cette oce et la éultante de éaction élémentaie appliquée u l ac AB ; mai cet ac et en généal tè petit. ( e décompoe en n éaction nomale à la uace et en t qui epéente la oce de ottement tatique qui oppoe au gliement) Ce toi oce ont en équilibe. Elle ont concouante en O. Pa uite : et t déinient un couple : c et le couple moteu dont le moment et égal à : Cm l q et n déinient un aute couple, de en contaie au pécédent : c et le couple de éitance au oulement dont le moment et égal à : C q La condition de otation uniome écit donc (baculement autou de B) : l q R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.17

19 δ qui epéente la ditance de la généatice B à la veticale du point O, dépend de la déomation, laquelle dépend utout de la dueté de cop en contact. On l appelle coeicient de éitance au oulement et a la dimenion d une longueu. ou : A tite d illutation : une oue de boi u du boi : mm une oue d acie u de l acie : mm : mm (acie du, poli) une oue de voitue u l aphalte : mm Vu la petitee de δ, la ditance l et peu diéente du ayon du cylinde. On peut donc écie : q q (éq ) On voit que, pou une chage q et un coeicient δ de oulement donné la oce de taction et d autant plu petite que et plu gand. D où l avantage de oue de gand diamète pou le véhicule. Il exite une condition de oulement an gliement. Si le cylinde gliait au lieu de oule u on uppot (ig ), la compoante tangentielle de la éaction eait égale à la éitance due au ottement, oit n (avec tan ). Pou qu il n en oit pa aini, il aut que l on ait : t n Autement dit, que la oce de ottement utiliée oit inéieu (ou au plu égal) à la oce de ottement maximale poible t. Et même, pou ête toutàait exact, achant d abod qu il aut vaince le coeicient de ottement tatique : n (éq ) C et la condition de non gliement que l on peut aui expime autement, achant que, dan ce caci : et que de plu : q avec : q n il vient inalement : n n (éq ) R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.18

20 Application Meue de δ Poon un cylinde de ayon u un plan incliné et chechon pou quel angle β le cylinde commence à oule. Solution : Poitionnement de diéente oce Attention au en de et à la poition de n. Sytème au epo : Equation de tatique (pojection uivant le 3 axe) : 1 x m g in 0 1 1y m g co n z C n En combinant, on touve : n m g in m g co tan 4 ig Application Condition de oulement an gliement : n 1 et 2 m g in m g co 4 tan Application Etudion le mouvement d un cylinde homogène de ayon, poé an vitee initiale u un plan incliné. On uppoe connu le coeicient de ottement tatique μ et de éitance au oulement δ. Solution : ig Application R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.19

21 Appliquon la loi ondamentale de la dynamique 1 x m g in m a 1y m g co n 0 1 z C n JC où : n Cette inégalité expime l hypothèe du oulement an gliement ( < oce maximum poible). Dè lo, on ea amené à détemine la valeu de à pati de équation du mouvement et enuite à véiie i le éultat et inéieu à n. Si le éultat et upéieu à n, l hypothèe du oulement an gliement n et pa valable, il y aua gliement et la oce de ottement ea égale à n. Réolution : 1 3 in 2 m g in m a a m g m a n J C avec n m g co a 2 et 3 m g in m a m g co J a J C 1 1 m m g co in avec Jc m 2 C a 2 a g co in 3 2 En emplaçant a dan l équation (1) cideu, on touve : 1 m g in co 1) Roulement an gliement Pou que l hypothèe de oulement an gliement puie ête atiaite, il auda que : n m g in co m g co tan 2 3 R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.20

22 2 tan 3 2) Roulement avec gliement 2 Si : tan 3 le cylinde oule avec gliement; dan ce ca on a, achant que devient : n m g co En emplaçant dan l équation (1) cideu, on touve : m g in m g co m a a g in co (éq ) En emplaçant dan l équation (3) cideu, on touve : n m g co J avec n m g co m g co 1 J avec Jc m 2 C C Dan le ca du oulement avec gliement, il ne ea pa néceaie de teni compte de la éitance au oulement ca et tè inéieue à μ. D où l hypothèe : Et donc l accéléation angulaie devient : 2 2 g co (éq ) Pou touve la vitee, intégon le équation éq et éq : vc a dt g t C in co 1 2 g co t dt C 2 Avec : C C ca en t 0 v 0 et Vitee du point de contact La vitee du point de contact et donné pa (achant que cette vitee exite ca B n et pa v B un CIR puiqu il exite du gliement) : v v 1 ( 1 ) v 1 B C x x C x D où : 2 g co t vb g in co t v g in 3 co t (éq ) B C Et le cylinde n atteinda jamai le égime de oulement an gliement (la vitee de B ne annule jamai). R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.21

23 Concluion i : tan le mouvement et poible; i : i : tan 3 2 on aite au oulement an gliement du cylinde u le plan incliné; tan 3 2 le cylinde oule en gliant le long du plan incliné. Application Déplacement d un objet peant u de ouleaux. Loqu on a à déplace un objet loud, une caie de mae m, dan un atelie, on la dépoe u n ouleaux de açon à ubtitue au ottement de gliement u le ol le ottement de oulement, d une pat au contact de ouleaux et du ol, d aute pat au contact de ouleaux et de la caie. Evaluon la oce à applique u la caie à développe pou aue on déplacement à vitee contante dan le ca d un déplacement u de ouleaux ixe. Quel eait le couple moteu à développe i l action motice et appliquée aux ouleaux? Solution : R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.22

24 Eieu moteu A) Ca 1 : an chage à tacte Conidéon le cylinde C (ig ) qui oule u le uppot hoizontal S d un mouvement de otation uniome. Le oce qui le ollicitent ont : la chage q du cylinde; la éultante du uppot que, pou impliie, nou uppoon appliquée en B, alo qu en éalité cette oce et la éultante de éaction élémentaie appliquée u l ac AB ; mai cet ac et en généal tè petit. Ce 2 oce et le couple moteu ont en équilibe. ig Eieu moteu (an chage à tacte). Pa uite, nou auon la condition de otation uniome qui expimea de la manièe uivante (omme de moment autou de C) : Cm 0 et q Cm q (éq ) Le couple moteu dan ce caci et uniquement à vaince le ottement de oulement. B) Ca 2 : avec chage à tacte ig Conidéon le cylinde C (ig ) qui oule u le uppot hoizontal S d un mouvement de otation uniome. Le oce qui le ollicitent ont : R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.23

25 la chage q du cylinde; la oce à tactée hoizontale (oce éitante), paant pa O; le couple moteu C m ; la éultante du uppot que, pou impliie, nou uppoon appliquée en B, alo qu en éalité cette oce et la éultante de éaction élémentaie appliquée u l ac AB ; mai cet ac et en généal tè petit. ( e décompoe en n éaction nomale à la uace et en t qui epéente la oce de ottement tatique qui oppoe au gliement. Dan ce caci et de même en que le mouvement généal de la oue mai et bien oppoé au mouvement de gliement elati de la oue u le ol.) Ce toi oce et le couple moteu ont en équilibe. Pa uite : q ; et la éultante la chage q et de la oce à tacte qui eux deux déinient le couple éitant oppoé au couple moteu. t Le pojection nou donnent : 1 x t 0 1y q n 0 1 z O Cm n t l Vu la petitee de δ, la ditance l et peu diéente du ayon du cylinde. On peut donc écie : C q (éq ) m Il exite une condition de oulement an gliement. Pou que la oue ne patine pa (condition de oulement an gliement) il aut que la compoante tangentielle de la éaction oit inéieue (ou égale) à la éitance due au ottement, oit n (avec tan ). Pou qu il n en oit pa aini, il aut que l on ait : t n Autement dit, que la oce de ottement utiliée de ottement maximale poible t. oit inéieu (ou au plu égal) à la oce D ou la condition de non gliement, achant que, dan ce caci : R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.24

26 il vient inalement : t n q ou (éq ) q Conéquence : le oue motice pouont vaince une éitance la chage q et le coeicient de ottement tatique μ eont plu gand. d autant plu gande que Application Etudion le patinage d une oue motice d une voitue lo du démaage. Soit la oue, aimilé à un dique, de ayon, uppotant une mae M en plu de on poid pope m. Le ottement tatique ente le caoutchouc et le bitume et caactéié pa μ, et le coeicient de ottement de oulement tatique et caactéié pa la longueu δ. Quel et le plu gand couple moteu que l on puie applique à la oue lo du démaage dan une côte de pente α avant qu elle ne e mette à patine? Solution : Ecivon le équation de la dynamique Dan ce ca de igue, comme nou echechon la limite, nou pendon l accéléation égale à 0. 1 x M m g in 0 1y M m g co n 0 1 z C Cm n 0 M m g in n M m g co C n m ig Application mie en place de oce et couple. Cm lim M m g in M m g co Cependant, il aut aui la condition de oulement an gliement qui dit que : n donc il auda véiie que : M m g in M m g co tan R. Ittebee Mécanique Réitance paive Page 12.25

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