1 Électricité de France 1, avenue du Général de Gaulle, Clamart Cedex, France {marc.kham,

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1 Formulaio coiue e viesse du coac froeme. Applicaio à la simulaio du emps de chue d ue grappe de commade das u cœur de réaceur ucléaire. M. Kham 1, M. Torkhai 1, P. Massi, H. Be Dhia 3 1 Élecricié de Frace 1, aveue du Gééral de Gaulle, 9141 Clamar Cedex, Frace {marc.kham, mohamed.orkhai}@edf.fr LAboraoire de Mécaique des Srucures Idusrielles Durables UMR EDF-CNRS 83 1, aveue du Gééral de Gaulle, 9141 Clamar Cedex, Frace parick.massi@edf.fr 3 École Cerale Paris, MSSMAT Grade Voie des Viges, 995 Châeay-Malabry Cedex, Frace bedhia@mssma.ecp.fr Résumé O propose ue formulaio coiue augmeée e viesse [4] du coac-froeme pour la dyamique. O more ue applicaio à la modélisaio de la chue de cee grappe de commade das le sysème de guidage [1]. O more ue rès boe correspodace avec les résulas expérimeaux aussi bie pour les évaluaios des forces d iserio que pour le emps de chue. O more aussi u progrès ooire réalisé par rappor à ue formulaio Lagragiee pocuelle du coac. Mos clés coac, froeme, formulaio coiue augmeée, dyamique, hea-méhode. 1 Iroducio Les grappes de commade serve à piloer la puissace des réaceurs des cerales REP, e surou à les arrêer e cas de besoi par chue rapide sous poids propre. Le emps de chue maximal auorisé pour la sécurié de l arrê doi impéraiveme êre respecé sous peie de oredémarrage de la rache. Ces grappes raverse successiveme u sysème de mécaisme de levée (mécaisme de commade), u guide de grappe au iveau du pléum supérieur du cœur (guidage discoiu) e les ubes-guide de l assemblage combusible (guidage coiu) (FIG.1). E débu de vie, u assemblage combusible es praiqueme droi, e le froeme ere la grappe e le guide peu êre égligé. Seule la force hydraulique s oppose alors à la chue de la grappe. Mais au cours de sa vie, l assemblage combusible subi des chargemes (mécaiques ou hermiques) exrêmeme violes, qui peuve eraîer ue Figure 1- Grappe de commade das so assemblage combusible.

2 La maîrise du emps de chue de la grappe sous poids propre es u ejeu impora pour EDF. A cee fi, il es crucial d avoir ue modélisaio fie des phéomèes de coac/froeme se produisa ere la grappe e le guidage au cours de la chue. Das cee opique se pose deux axes de recherche : u modèle performa de coac/froeme ; so associaio à u schéma d iégraio emporelle coservaif. Das ce aricle, o propose ue formulaio Lagragiee augmeée e viesse du coac associée à u -schéma [3, 5, 6], ce que l o décrira brièveme das le paragraphe. Das le paragraphe 3, e cosidéra u modèle simple de roaio de bloc, o cherchera à discuer l iérê de la méhode par rappor à des méhodes plus classiques. Das le paragraphe 4, o préseera les résulas de simulaio pour la chue d ue grappe de commade. Efi, o ermiera au paragraphe 5 par les perspecives de développeme e d amélioraio e cours de la méhode. Méhode d iégraio emporelle du coac-froeme.1 Formulaio augmeée e viesse du coac Les lois de coac e viesse so coues sous le om de Sigorii-Moreau. Elles s exprime comme sui (pour ou poi x de la surface de coac) : si d < 0 sio [[v ]] < 0 ; 0 e [[v ]] (1) où d es le jeu ormal au poi x ere les deux surfaces de coac, [[v ]] le sau de viesse ormale correspoda e λ le muliplicaeur de coac (pressio) associé. Ces lois raduise u corôle du coac, à la fois au iveau des déplacemes e des viesses. E iroduisa deux champs de sige S u e S v, les iéquaios de Sigorii-Moreau (1) peuve êre réécries sous forme augmeée : = S u S v (.[[v ]]) S u = ( d ) S v = ( [[v ]]) () où es la focio idicarice de R - défiie par x posiif. 1 x 0 χ e u réel sriceme 0 x 0. Formulaio augmeée du froeme Pour représeer les phéomèes de froeme, o adope la loi de Coulomb qui s écri, pour ou x de la surface de coac : ( ) ( ) ( ) r τ x, ( ) ( ) *+ ( ) ( ) rτ x, < µ λ x, = µ λ x, v τ x, α > 0 / v τ x, = αrτ x, (3) où es appelé coefficie de froeme de Coulomb, v viesse relaive agee e r le muliplicaeur (ou pressio) de froeme associé. O more que la loi de Coulomb (3) peu êre réécrie de maière augmeée [6] : r Λ Λ Ρ g Β 0,1g 0 Λ v (4) où es u réel sriceme posiif, homogèe à l iverse d ue viesse, e P B(0,1) l opéraeur

3 de projecio sur la boule uié. es u veceur appelé semi-muliplicaeur de froeme, e g u veceur appelé semi-muliplicaeur de froeme augmeé. La loi de Coulomb pour le froeme (4) es compléée par ue équaio de ype exclusio : 1 χ 0 g Après maipulaio des équaios 4 e 5, o arrive à cee forme ulime des codiios de froeme de Coulomb : g Λ P Λ v 1 χg 0 B( 0,1) (5) (6).3 Formulaio e viesse des équaios de coac-froeme Le pricipe des puissaces viruelles appliquées à deux solides hyperélasiques 1 e pouva éveuelleme erer e coac-froeme, s écri [3, 4] : Trouver les champs (u 1 k, u k, v 1 k, v k, λ k ) CA 1 CA CA 1 vca vh els que : (u *1, u *, v *1, v *, λ * ) CA 1 CA CA 1 vca vh i=1 i i v *i ρx. v dω + i Ω i=1 - S usvg -1 ρ i i F. S : i x Ω ( *i v ) dω [ * ] ( )( )[ * v d - µ SuS vλρ Β 0,1 g τ. v τ ] d { λ - S g } - µ SuSvλ ρ τ g = λ - ρ g us v λ * dγ c { ( )( )} * - Ρ τ c ( ) Β 0,1 g. dγ + 1- SuS v [ v ] + ρ ( 1 - ). Δ[ [ v] ] τ = τ S u = χ (- d ) S = χ ( λ - ρ [ v ]) v i i k i ( ) = u ( 0 ) + v (τ)dτ 0 * d u (7) où CA i v désige l espace des champs de viesse ciémaiqueme admissibles pour le solide i. Cee formulaio du coac sera die coiue, par opposiio aux méhodes pocuelles radiioelleme uilisées das les codes de calcul. Cee équaio es résolue par u -schéma d ordre 1, défii par : + - ( ) - + u = u + Δ 1 - θ v + Δθv (8) + v - v + a = Δ -

4 3 Aalyse du balaceme d u bloc O se propose das ce paragraphe de comparer la formulaio coiue e viesse du coac à d aures méhodes plus classiques. Pour cela o cosidère le cas du balaceme d u bloc recagulaire supposé rigide reposa sur u demi-espace égaleme supposé rigide (FIG.). Ses dimesios so 3680 cm pour ue masse de Kg. Le bloc es légèreme iclié d u agle iiial de 10 - degrés, puis relâché. Soumis uiqueme à la pesaeur, o suppose que le mouveme du bloc cosise e ue série de roaios auour de ses deux cois Figure - modèle de balaceme de bloc : (modèle di de Houser [7]). le bloc es soulevé d u agle iiial de 10 - degrés, puis relâché. O compare la formulaio coiue e viesse du coac décrie précédemme (VELOCITY), à ue formulaio avec des ressors discres aachés aux cois du bloc (DISCRETE), à ue formulaio par muliplicaeurs de Lagrage affecés au cois du bloc (LAGRANGE) e à ue formulaio coiue classique coraiga uiqueme le jeu e déplaceme (GAP). Sur la Figure 3, o représee les soluios calculées à l aide du code d élémes fiis d EDF (Code_Aser) e ermes d évoluio de l éergie ciéique du bloc au cours du emps. Les valeurs aalyiques des maxima aedus so représeées par des pois. Il apparaî que la soluio doée par la formulaio coiue e viesse es la plus saisfaisae. able O C y R 0 C1 G O1 b ii B A g x EKIN [J] BLOCK KINETIC ENERGY VARIATION EKIN ASTER (LAGRANGE METHOD) EKIN ASTER (GAP FORM.) EKIN ASTER (VELOCITY FORM.) EKIN ASTER (DISCRETE METHOD) ANALYTIC ,0 0,04 0,06 0,08 0,1 0,1 0,14 0,16 0,18 0, 0, 0,4 0,6 0,8 0,3 TIME [S] Figure 3 : modèle de balaceme de bloc : le bloc es soulevé d u agle iiial de 10 - degrés, puis relâché.

5 4 Modélisaio du emps de chue d ue grappe de commade La grappe de commade avec ses 4 crayos es modélisée par ue poure équivalee. De la même faço, les élémes du guidage (FIG.1) cosiua l assemblage combusible so représeés par u aligeme d élémes poures pour dessier u couloir de guidage de la grappe (FIG.4) [1]. La parie iférieure du guidage, forma le ube-guide de l assemblage combusible, es modélisée das ue cofiguraio déformée ypique (e forme de S) relevée sur les assemblages usagés. Sur la Figure 5, o présee les résulas de simulaios réalisées avec Code_Aser, e compara la formulaio coiue e viesse aux formulaios Lagragiee discrèe e coiue e déplaceme. Les soluios umériques so aisi comparées à la courbe expérimeale de emps de chue (évoluio de la viesse de chue e focio du emps). Figure 4: Modèle simplifié de la grappe de commade e des élémes de guidage de l assemblage combusible. Les différees méhodes de coac permee d esimer de maière relaiveme saisfaisae à la fois l évoluio de la viesse de chue e le emps de chue, égal à eviro 1.5s. E pariculier, les formulaios coiues e viesse e e déplaceme so rès proches l ue de l aure, e coïcide parfaieme avec la courbe expérimeale. Comparaiveme, la formulaio Lagragiee discrèe, mois «élaborée» que les précédees, se révèle ici mois précise. VY (m/s) 3,00,75,50,5,00 1,75 1,50 1,5 1,00 0,75 0,50 0,5 DISCRETE LAGRANGIAN FORM. VITESSE FORM. DEPL. (HHT=-0.) ESSAI (B30) 0,00 T5 = 1.519s 13,0-0,5 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 TEMPS (s) 16,0 Figure 5: Évoluio de la viesse vericale de chue du crayo e focio du emps : comparaiso des formulaios coiues e déplaceme (bleu), e viesse (rouge) du coac avec ue formulaio Lagragiee pocuelle du coac (rose), e avec des résulas d essai (oir).

6 5 Coclusios e perspecives Das ce aricle, ous avos préseé ue formulaio augmeée e viesse du coac associée à u schéma d iégraio d ordre 1 (-schéma). Cee formulaio perme u corôle de la viesse de coac e le schéma d ordre 1 d assurer ue meilleure sabilié de l iégraio emporelle. Pour eser l appor d ue elle formulaio, o a das u premier emps cosidérer le cas-es d u balaceme de bloc, pour lequel la supériorié de la méhode iroduie es mise e évidece. Efi, o a réalisé ue simulaio du emps de chue d ue grappe de commade das u assemblage combusible e cofiguraio déformée, e moré ue meilleure performace de cee méhode par rappor à u modèle de coac Lagragie discre. Mais la formulaio augmeée du coac rese aujourd hui relaiveme coûeuse : aisi, la simulaio (par Code_Aser) du emps de chue ( 4) requier 100 heures de calculs, core eviro 0 heures quad o uilise u modèle Lagragie discre pour le coac. Ce icovéie rese problémaique pour les besois d idusrialisaio d EDF. L objecif pricipal pore doc sur l amélioraio de la performace de la méhode das Code_Aser, avec quelques pises déjà ideifiées : résorpio de la boucle de poi-fixe sur la géomérie (grads déplacemes) [4], uilisaio d u solveur iéraif (Gradie Cojugué) au lieu d u solveur direc ec Référeces [1] H. Adriamboboloa, Bosselu D., Massi P. Mehodology for a umerical simulaio of a iserio or a drop of he rod cluser corol assembly i a PWR, Nuclear Egieerig ad Desig, Vol. 37, , 007. [] H. Be Dhia, Zarroug M. Hybrid fricioal coac paricles-i elemes. Revue Européee des Élémes fiis, Vol. 11, -3-4, pp , 00. [3] H. Be Dhia Level ses fields, placeme ad velociy-based formulaio of coacimpac problems, I. J. Numer. Mehods Eg., Vol. 69, , 007. [4] H. Be Dhia, Kham M., Massi P., Torkhai M. U cadre gééral pour le raieme des problèmes d ierface, Gies, 009. [5] C. Zammali Coribuio à la modélisaio mécaique e umérique des problèmes de coac-impac, hèse de docora École Cerale Paris, 005. [6] M. Kham Élémes de coac dérivés d ue formulaio hybride coiue, docume de référece Code_Aser, R5.03.5, 007. [7] G.W. Houser The behavior of ivered pedulum srucures durig earhquakes. Bull. of he Seismological Sociey of America, 53(), pp , 1963.