Description géométrique et éléments finis

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1 Description géométrique et éléments finis 1

2 Les lignes et la description filaire - Segments de droite, - Coniques fermées, - Coniques ouvertes, - Courbes quelconques. - Courbe de Bézier polynômiale ou rationnelle -Spline, -B-spline, - NURBS. 2

3 Les surfaces et la description filaire -Plans, - Surfaces réglées. Bords rectilignes 3

4 Les surfaces et la description filaire - Surfaces de Coons, -Surfaces de révolution. 4

5 Les surfaces et la description surfacique - Surfaces NURBS, - Surfaces tuyaux. 5

6 Les surfaces et la description surfacique Surfaces porteuses Courbes de limitation Surfaces restreintes 6

7 La description volumique Volume = ensemble de surfaces cousues représentation B-rep Boundary representation représentation NMG non manifold geometry Face (face) arête (edge) sommet (vertice) 7

8 La description volumique Volume = résultat d opérations booléennes sur des primitives représentation CSG Constructive Solid Geometry 8

9 L interfaçage propriétaire Win NT Unix Fichier interface propriétaire Plate-forme 2 Logiciel version 1 Plate-forme 1 Logiciel version 1 Remarque : il y a risque de perte d information lors du transfert de données entre le logiciel version n et le même logiciel version n-1. Archivage Unix Plate-forme 1 Logiciel version 5 Création de fichiers entre versions différentes d un logiciel ou pour changer de système d exploitation. 9

10 L interfaçage spécifique Catia I-deas Logiciel 3 Logiciel 4 Pro-Eng Samcef Logiciel 2 Logiciel 5 Euclid Patran Logiciel 1 - Bonne compatibilité et transparence - Maintien du niveau, chaque logiciel a son évolution propre. Logiciel 6 10

11 L interfaçage normalisé Catia I-deas Logiciel 3 Logiciel 4 Pro-Eng Logiciel 2 Fichier interface neutre Samcef Logiciel 5 Euclid Patran Logiciel 1 Logiciel 6 - Les plus simples et les plus utilisés - Indépendants des logiciels (et de leurs développements). 11

12 Problématiques scientifiques et techniques Problème de compatibilité : Parce que les logiciels n ont pas les mêmes données à coder formats différents (Ex.: les modeleurs surfaciques n ont pas à coder les notions de volumes, les modeleurs n ont pas à coder de conditions limites, etc.) Face (face) arête (edge) sommet (vertice) 12

13 Problématiques scientifiques et techniques Problème de format d échange : perte d informations Ensemble des entités codifiables par le logiciel 1 Ensemble des entités codifiables Domaine idéal d échange entre le logiciel 1 et le logiciel 2 via une interface directe Ensemble des entités codifiables par le logiciel 2 Domaine d échange entre le logiciel 1 et le logiciel 2 via la norme (interfaces indirectes : IGES, STEP, UNV ) Domaine de validité de la norme 13

14 Problématiques scientifiques et techniques Peut-on envisager des procédures automatiques pour passer du modèle CAO aux modèles de calcul? Oui mais : A chaque nouvelle famille de produit il faut mettre en place de nouvelles procédures faites par des experts. 14

15 Approche Intégrer la liaison CAO-calcul dans un cursus pédagogique - enseignement de CAO et des mathématiques associées, - enseignement théorique sur les EF, la résistance des matériaux, la mécanique des milieux continus, l analyse numérique, - utilisation d outils industriels pour la CAO et les EF, - enseignement spécifique de liaison CAO-calcul : - 2 enseignants (un de CAO et un de calcul) - des cours et des exercices ciblés - un ouvrage de référence 15

16 Interfaces Organisations Extension s Utilisation courante IGES V5.3 ANSI (American National Standard Institute).igs.iges Filaire 2D/3D, surfaces SET V2 AFNOR NF Z (Association Française de NORmalisation).set Filaire 2D/3D, surfaces VDA/FS V2 DIN (Deutsches Institut für Normung).vda Surfaces STEP R1 ISO (Organisation Internationale de Normalisation) AP203 et AP209.stp.step Filaire 2D/3D, surfaces, volumes et données EF Sociétés UNV SDRC (Structural Dynamics Research Corp.).unv Données EF DXF AutoDesk.dxf Filaire 2D STL 3D-System.stl Facettes triangulaires 16

17 I-deas Master modeler Samcef Niveau 1 Filaire IGES Filaire Niveau 2 Surfacique IGES Surfacique Niveau 3 Maillage UNV Maillage Niveau 4 Maillage + Conditions limites Matériaux Charges Caractéristiques ϕ UNV Maillage + Conditions limites Matériaux Charges Caractéristiques ϕ Param. spécifiques éléments Param. spécifiques éléments Param. spécifiques modules de calcul Param. spécifiques modules de calcul 17

18 CATIA Samcef-Field Filaire, Surfacique IGES, STEP Filaire, Surfacique Volumique STEP Volumique Maillage CATSAM Maillage Maillage + Conditions limites Matériaux Charges Caractéristiques ϕ CATSAM Maillage + Conditions limites Matériaux Charges Caractéristiques ϕ Param. spécifiques éléments Param. spécifiques éléments Param. spécifiques modules de calcul Param. spécifiques modules de calcul 18

19 Quelques notions d «éléments finis» 19

20 Poutre réelle : géométrie 3D Poutre RDM : fibre neutre, propriétés équivalentes de la section Poutre EF : 2 points, des fonctions d interpolation, des degrés de liberté, propriétés équivalentes de la section N i (x) 20

21 Topologies d éléments finis Représentation filaire Barres : 3 ddl par nœud Poutres : 6 ddl par nœud 21

22 Topologies d éléments finis Représentation surfacique Membranes : 2 ddl par nœud Coques : 6 ddl par nœud 22

23 Topologies d éléments finis Représentation volumique volumes : 3 ddl par nœud 23

24 Déroulement d un calcul statique linéaire traduction des données et vérifications, construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés, assemblage des matrices et des vecteurs associés, traitement des conditions aux limites, inversion du système réduit, - calcul des déplacements et des réactions, - calcul des contraintes. 24

25 Traduction des données et vérifications Utilisateur : surfaces, lignes, points, nœuds, mailles Programme : degrés de liberté (ddl, Dof) Vérifications : matériaux, cohérence des données, organisation de l information, paramètres de calcul 25

26 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (1) Construction d un triangle du premier degré isoparamétrique u v = (1 ζ η) u = (1 ζ η) v ζu + ζv ηu + ηv 3 3 η Chacun des trois sommets a deux degrés de liberté ξ Y X Elément de référence Elément réel 26

27 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (2) x = ( 1 ζ η) x + ζx + ηx y = ( 1 ζ η) y + ζy + ηy ζ( x1 x2) + η( x1 x3) = x1 x ζ( y1 y2) + η( y1 y3) = y1 y J = x ζ J 1 = ζ x x1 + x2 x1 + x3 J = J = ( x1 + x2 )( y1 + y3) ( y1 + y2 )( x1 + x3) y1 y2 y1 y

28 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (3) ε = ε = Bq [ J] [ J] 1 N1 N2 N3 ζ ζ ζ N1 N2 N3 η η η u u u N 1 N2 N3 v ζ ζ ζ v N 1 N2 N3 η η η v B : matrice des déformations de l élément

29 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (4) K : matrice de raideur de l élément K = T B HBdv = S B T HB J edζdη Intégration numérique : Gauss ou autre méthode 29

30 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (5) Remplacer le calcul d une intégrale par l évaluation d une somme pondérée = = f ( x, y) dxdy w f ( x, y) dy w w f ( x, y ) i + 1 i i i j i j 1 i, j Exemples de points d intégration (selon la forme, le degré, la technique)

31 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (6) H : matrice décrivant la loi de comportement du matériau («loi de Hooke») Exemple de loi EPC pour un matériau isotrope H 1 ν 0 E = 2 ν ν ν 2 La raideur est évaluée aux points d intégration. 31

32 Construction des matrices élémentaires et des vecteurs associés (7) Par une méthode d intégration analogue, construction du vecteur de charge pour les charges réparties Information concentrée sur les ddl? Pression, accélération, charge thermique, charge linéique Transformation en charge nodale énergétiquement équivalente g = V N T F r dv 32

33 Assemblage des matrices et des vecteurs associés Opération qui consiste à construire le système représentatif du comportement de toute la structure à partir des informations élémentaires précédentes Kq = g K : matrice de raideur de la structure q : vecteur des ddl de la structure g : vecteur des charges discrètes appliquées sur la structure 33

34 Traitement des conditions aux limites (1) - Conditions absolues : ddl fixé, ddl à déplacement imposé. - Conditions relatives : liaisons cinématiques, contraintes cinématiques, corps rigides, conditions de planéité, jeux et contacts. 34

35 Traitement des conditions aux limites (2) Modifications du système linéaire K q = ll l g l Taille Espace disque, mémoire, temps CPU? Optimisation du stockage de l information Choix de la méthode de résolution 35

36 Inversion du système et calcul des déplacements 1 K ll q l = K 1 ll g l Calcul des réactions q = K 1 g Les déplacements sont connus aux nœuds. 36

37 Calcul des contraintes (1) A partir des déplacements, de la cinématique dans l élément et de la loi de comportement Enfin σ!!!!!!!!!! Les contraintes sont calculées aux points d intégration. 37

38 Calcul des contraintes (2) Mais c est quoi une contrainte EF et c est calculé comment? 38

39 Contraintes (1) On appelle facette un élément infinitésimal de surface ds appartenant à un plan de coupe virtuel. Une facette est définie en un point par la direction et le sens de sa normale extérieure. r r T( Mn, ) = lim ds 0 r ΔF ds M 39

40 Contraintes (2) contrainte normale lim ds 0 ΔF n ds Contrainte tangentielles ou contraintes de cisaillement lim ds 0 ΔF t1 ds lim ds 0 ΔF t2 ds Notion de contrainte très largement utilisée en mécanique : elle est purement mathématique. Une contrainte ne se mesure pas. On a accès, sur la surface externe des solides, à des déformations par l intermédiaire des jauges de «contraintes». 40

41 Contraintes (3) r r T( M, n) = σ τ τ xx xy xz τ σ τ yx yy yz τ τ σ zx zy zz n n n x y z = r [ σ ]n T y t n x Cercles de Mohr 41

42 Contraintes (4) contraintes principales : pas de cisaillement sur la facette σ yy τ xy σ yy τ xy σ xx σ xx σ II τ maxi σ 0 [ σ ] ij = σ I 0 0 σ 0 0 II σ 0 0 III σ I σ 0 α 1 α 1 42

43 Contraintes (5) Contrainte équivalente : représentation scalaire de l état de contrainte en un point. Critère de Von Mises 1 2 [ ] ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) σ I II Critère de Tresca II τ max III III σ I σ III 2 Les critères permettent de savoir facilement si le matériau a atteint ou non sa limite d élasticité. = I e 43

44 Contraintes (6) Contrainte moyenne dans le triangle Contrainte extrapolée dans le triangle Contraintes calculées par le programme aux points d intégration de l élément. 44

45 Contraintes (7) Le champ de contrainte dépend fortement du maillage, de l intégration et du post-traitement réalisé. La validation de la contrainte (la pièce supporte-t-elle la charge ou non?) est le point le plus délicat de l analyse des résultats. 45

46 Contraintes (8) Contrainte moyenne maxi : 4 MPa 46

47 Contraintes (9) Contrainte extrapolée maxi : 10 MPa 47

48 Matériaux (1) σ E ε σ Même chemin pour la charge et la décharge ε Elastique = Réversible Linéaire = Proportionnalité entre la contrainte et la déformation (coef. élastiques constants) 48

49 Matériaux (2) σ ε Elastique = Réversible Non linéaire = Pas de proportionnalité entre la contrainte et la déformation (coef. élastiques non constants) 49

50 Matériaux (3) σ H σ E T ε p E ε Plastique = Irréversible (en partie) Écrouissage = variation de la limite élastique avec la déformation plastique. 50

51 σ Matériaux (4) σ e E E ε ε p ε e ε t Tant qu il n y a pas d endommagement, «mémoire» du module d élasticité. 51

52 Matériaux (5) σ e 52

53 σ Matériaux (6) σ et E ε Composites Carbone, bois σ ec Elastique = Réversible Linéaire = Proportionnalité entre la contrainte et la déformation (coef. élastiques constants) 53

54 Matériaux (7) On peut considérer que le module en traction est identique au module en compression mais les limites sont différentes : En post-traitement, il ne suffit pas de regarder la contrainte équivalente. Il faut regarder le signe de la contrainte (qu estce que le signe d un tenseur?) et comparer la contrainte équivalente à la limite en traction ou à la limite en compression pour chaque élément. 54

55 Matériaux (8) «Facile» pour des charges simples sur éprouvettes (traction, flexion) Beaucoup plus difficile en général 55

56 σ Matériaux (9) E c E t ε Béton Elastique = Réversible Bi-linéaire = Proportionnalité entre la contrainte et la déformation (coef. élastiques constants, mais différents selon le signe de la contrainte) 56

57 Matériaux (10) Non seulement les modules sont différents mais les limites sont différentes : Il faut tenir compte du signe de la contrainte qu on cherche dans un élément pour y prendre la bonne valeur du module pour calculer la contrainte Et en post-traitement, il ne suffit pas de regarder la contrainte équivalente. Pourtant, comportement élastique et «linéaire» 57

58 Données nécessaires (statique linéaire) le maillage du modèle (nœuds et mailles), les données physiques (sections/inerties/épaisseurs), les données matérielles, les chargements, les conditions aux limites. 58

59 59

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