TD 6 Moment cinétique

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1 PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot TD 6 Moment cinétique 1. Force centrale 1. Définir une force centrale. 2. Donner les propriétés du moment cinétique d une masse ponctuelle uniquement soumise à un champ de force centrale. 3. Parmi les courbes planes ci-dessous, quelles sont celles qui ne peuvent pas être la trajectoire d une particule soumise à un champ de force centrale dont le centre serait en O? 2. Bobine Une bille lancée horizontalement avec une vitesse V 0 est attachée à un fil qui s enroule autour d un poteau fixe vertical de rayon a. Le moment cinétique de la bille est-il conservé? (on pourra négliger la force de gravité) 3. Chute libre Dans le champ de pesanteur terrestre, on lance une masse ponctuelle, m, représentée par le point M, à partir d un point O, avec une vitesse horizontale V 0 pointant vers les x positifs. On néglige tout frottement.

2 1. Exprimer le moment par rapport à O des forces agissant sur la masse m à chaque instant. 2. Calculer le moment cinétique de la masse m par rapport à O, à l instant t après le lancement. 3. Vérifier le théorème du moment cinétique à partir des résultats obtenus. 4. Le pendule simple Établir, en utilisant le théorème du moment cinétique, l équation différentielle du mouvement plan d une masse ponctuelle m suspendue à l extrémité d un fil inextensible, sans masse, de longueur l et dont l autre extrémité est fixée en O. Résoudre cette équation dans l approximation des petits angles en considérant que la masse ponctuelle a été lâchée sans vitesse initiale d un angle θ 0 par rapport à la verticale. 5. Gonds 1. Pourquoi la poignée d une porte de longueur h et de largeur L est-elle le plus loin possible de l axe des gonds? 2. Rappeler le lien entre pression du fluide et force exercée par ce fluide sur un élément de surface ds. 3. Quel est le moment total de la force du vent lorsqu il exerce une pression uniforme perpendiculairement à cette porte? 6. Calculs de moments d inertie 1. Calculer le moment d inertie I, par rapport à son axe de symétrie, d un cylindre homogène de masse m et de rayon R. 2. Calculer le moment d inertie I d une tige rectiligne de section négligeable, de masse m et de longueur l par rapport à un axe orthogonal passant par l une de ses extrémités. 3. Calculer le moment d inertie, par rapport à l un de ses diamètres, d un disque homogène de rayon R et de masse m. 7. Le manège Un manège, assimilé à un disque circulaire horizontal de rayon R et de masse M, tourne sans frottement autour de son axe de symétrie vertical. Un homme de masse m supposé ponctuel, se déplace sur ce manège le long d un cercle de rayon r avec une vitesse angulaire ω par rapport au manège. L homme et le manège sont initialement immobiles. 2

3 1. Montrer que le moment cinétique du système (homme + manège) par rapport à est conservé. 2. Donner le moment d inertie d un disque par rapport à son axe de rotation. 3. En déduire les vitesses angulaires du manège Ω et de l homme ω par rapport au sol en fonction de ω, m, M, r et R. 4. Que se passe-t-il si le manège est : i) très lourd (devant quoi?)? ii) très léger? 8. Poulie Une poulie homogène assimilée à un disque homogène (de masse M, de rayon R et de moment d inertie I par rapport à son axe) peut tourner autour de son axe horizontal maintenu fixe. Deux massesm 1 etm 2, initialement immobiles, sont suspendues de part et d autre de cette poulie par un fil inextensible de masse négligeable. Le contact fil-poulie a lieu sans glissement (il n y a donc pas de dissipation d énergie). 1. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l accélération a 1 de la masse M 1, en fonction des données du problème. 2. Déterminer les différentes forces appliquées à la poulie et aux deux masses. 3. Que deviennent ces résultats si : i) M 1 = M 2, quel que soit I ii) M M 1 et M 2? 4. Déterminer la valeur de l accélération dans le cas où M 2 = 2M 1 lorsque : i) M est négligeable ii) M = M Plan incliné: roulement sans glissement Un disque homogène de masse, m, et de rayon r roule sans glisser en suivant une ligne de plus grande pente d un plan incliné faisant un angle α avec l horizontale. 3

4 1. Représenter les forces qui s appliquent sur le disque. 2. Lier la vitesse du point O et la vitesse angulaire du disque. 3. Donner la vitesse du point C du disque, point du disque en contact avec le plan, dans les référentiels O x y et Oxy. Que dire des forces de frottements et de la dissipation d énergie? 4. Déterminer l accélération du centre de masse du disque par deux méthodes différentes. Même question si l on remplace le disque par un cerceau de même rayon et de même masse. Lequel des deux aura la plus grande accélération sur le plan incliné précédent? 10. Echelle Une échelle de longueur L = 4 m et de masse m = 20 kg, s appuie en A sur le sol horizontal (coefficient de frottement statique µ A = 0.4) et en B sur un mur vertical (sans frottement). Le centre de masse G de l échelle est situé au tiers inférieur de sa hauteur. 1. Jusqu à quelle inclinaison par rapport à l horizontale, θ min, l échelle peut-elle rester en équilibre? 2. Jusqu où un homme de masse M peut-il monter sur l échelle inclinée de θ = 60 par rapport à l horizontale? Pour quelles valeurs de θ peut-il atteindre le haut de l échelle? (A.N. : M = 80 kg) 3. Comment le résultat de la question 1) serait-il modifié si l on tenait compte des frottements en B sur le mur, caractérisés par µ B? (Rép.: Si µ B = µ A = 0.4, θ min = 29.5 ) 11. Mouvement d une toupie 1. Rappeler la définition du moment d inertie I d un solide de masse volumique ρ, par rapport à un axe. Si est un axe de symétrie du solide, rappeler la relation entre le moment cinétique J /O (où O est un point de l axe ) et le vecteur rotation angulaire Ω colinéaire à. (Rép. : J /O = I Ω) 2. Une toupie, assimilée à un cône de révolution de moment d inertie I, tourne autour de son axe de symétrie avec une vitesse angulaire Ω. fait un angle θ avec la verticale Oz. tourne avec une vitesse angulaire ω autour de l axe z. On suppose que le point de contact O avec le sol reste fixe au cours du mouvement. Donner l expression du moment cinétique J /O de la toupie dans le cas où Ω est élevée (on précisera devant quoi) et le dessiner. Représenter les forces appliquées à la toupie. Écrire le théorème du moment cinétique. 4

5 3. Quel est le mouvement de la toupie? Pour ce calcul, on utilisera le théorème du moment cinétique. Quelle est la vitesse angulaire de précession ω de la toupie? (Rép. : ω = Mgl/IΩ où l est la distance de O au centre de gravité G) 12. Théorème de Huygens 1. Montrer que le moment d inertie d un objet quelconque, de masse M, par rapport à un axe quelconque D, est donné par : I D = I DG + Ml 2 où I DG est le moment d inertie de l objet par rapport à l axe D G parallèle à D passant par le centre de masse G de l objet et l est la distance entre D et D G. 2. On rappelle que le moment d inertie d un disque homogène (rayon R, masse m) par rapport à l un de ses diamètres est I o = mr 2 /4. En déduire le moment d inertie I D d un cylindre homogène (masse M, rayon R, hauteur h) par rapport à un axe D orthogonal à son axe de symétrie qu il coupe à la distance l de son centre de masse (l pouvant être supérieur ou inférieur à h/2). Rép. : I = M(l 2 +h 2 /12+R 2 /4) 3. Le cylindre est fixé au bout d une tige sans masse de longueur l (h/2), c est à dire que la distance du centre de gravité à l axe est égal à l. On écarte la tige d un angle θ par rapport à la verticale : écrire l équation différentielle pour θ(t). Calculer la période T dans l approximation des petites oscillations. T o désignant la période d un pendule simple de masse M et de longueur l, calculer (T T o )/T o. AN : l = 20 cm, M = 55 g, R = 1.5 cm, h = 3 cm. Rép. : T/T 0 = 1+h 2 /(24l 2 )+R 2 /(8l 2 ) si R et h l. 4. Question Bonus : On suppose que la masse m de la tige n est plus négligeable. Donner l expression de T. Tracer l allure du graphe de T(l). 5

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